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Faisons tourner la courbe de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$, pour $x \geqslant 1$, autour de l'axe des abscisses. On obtient une sorte de pavillon de trompette, infiniment long, qui s'effile sans jamais se fermer. Ce solide a une propriété qui a stupéfié les savants du XVIIe siècle : son volume est fini, il vaut exactement $\pi$, alors que sa surface est infinie. On pourrait le remplir de peinture, mais pas le peindre.
Evangelista Torricelli l'a découvert en 1641. Aujourd'hui, on l'appelle la trompette de Gabriel, en pensant à l'archange qui sonne le Jugement dernier. Pour le comprendre, il suffit de mathématiques de terminale : la fonction logarithme, les primitives et l'intégrale, les limites, la série harmonique. Ce texte rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
Dans un repère orthonormé de l'espace, on fait tourner autour de l'axe des abscisses la courbe de la fonction $f$ définie sur $[1\,;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$. Chaque point de la courbe décrit un cercle. Le cercle obtenu à l'abscisse $x$ a pour centre le point $(x\,;0\,;0)$ et pour rayon $\dfrac{1}{x}$.
À la main. En $x = 1$, l'embouchure est un cercle de rayon $1$ ; en $x = 10$, le rayon n'est plus que $0{,}1$ ; en $x = 1\,000$, il vaut $0{,}001$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$, le rayon tend vers $0$, mais il n'est jamais nul : la trompette ne se referme jamais. On s'intéresse à trois grandeurs : l'aire de la région plane sous la courbe, le volume du solide et l'aire de sa surface.
Pour travailler avec des nombres finis, on coupe la trompette à l'abscisse $A > 1$, on calcule, puis on regarde ce qui se passe quand $A$ tend vers $+\infty$. Faites varier $A$ dans la figure : elle montre le profil de la trompette coupée et les trois grandeurs calculées dans les sections suivantes.
Commençons par la région plane comprise entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = A$. La fonction $f$ est continue et positive sur $[1\,;A]$, donc cette aire vaut, en unités d'aire,
$$\begin{aligned}\int_1^A \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x &= \big[\ln x\big]_1^A\\ &= \ln A - \ln 1 = \ln A,\end{aligned}$$car la fonction logarithme népérien est une primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$.
À la main. Pour $A = 10$, l'aire vaut $\ln 10 \approx 2{,}30$ ; pour $A = 100$, elle vaut $\ln 100 = 2\ln 10 \approx 4{,}61$ ; pour $A = 1\,000\,000$, elle vaut $6\ln 10 \approx 13{,}8$. Elle grandit très lentement : il faut multiplier $A$ par $10$ pour ajouter seulement $2{,}3$. Mais elle grandit sans limite, puisque $\displaystyle\lim_{A \to +\infty} \ln A = +\infty$ : la région sous la courbe, infiniment longue, a une aire infinie.
Ce résultat est le cousin d'un autre : la série harmonique $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots$ tend, elle aussi, vers l'infini. Notons $H_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n}$.
Soit $k$ un entier tel que $1 \leqslant k \leqslant n$. Pour tout réel $x$ de $[k\,;k+1]$, on a $x \geqslant k > 0$, donc $\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{k}$ (la fonction inverse est décroissante sur $]0\,;+\infty[$).
Par positivité de l'intégrale (ou croissance), on en déduit
$$\int_k^{k+1} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x \leqslant \int_k^{k+1} \frac{1}{k}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{k}.$$On additionne ces inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$. D'après la relation de Chasles, les intégrales se mettent bout à bout :
$$\int_1^{n+1} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x \leqslant \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n},$$c'est-à-dire $\ln(n+1) \leqslant H_n$. Comme $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \ln(n+1) = +\infty$, le théorème de comparaison donne $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} H_n = +\infty$.
Les rectangles de largeur $1$ et de hauteur $\dfrac{1}{k}$ recouvrent la région sous la courbe : si la région a une aire infinie, la somme des rectangles aussi. Nicole Oresme avait démontré au XIVe siècle, par un tout autre argument, que la série harmonique dépasse n'importe quel nombre ; voir les textes Nicole Oresme et Aristote et l'infini, les paradoxes de Zénon.
Pour calculer le volume du solide, on le coupe en tranches très fines, perpendiculaires à l'axe. Entre les abscisses $x$ et $x + h$, avec $h$ petit, la tranche ressemble à un disque épais, c'est-à-dire à un cylindre de rayon $f(x)$ et de hauteur $h$, de volume $\pi f(x)^2 \times h$. En additionnant ces volumes et en faisant tendre $h$ vers $0$, on retrouve exactement la méthode des rectangles, appliquée cette fois à la fonction $x \mapsto \pi f(x)^2$. On admet donc que le volume du solide obtenu en faisant tourner la courbe de $f$ entre $1$ et $A$ vaut
$$V(A) = \int_1^A \pi\,f(x)^2\,\mathrm{d}x.$$C'est la formule du volume d'un solide de révolution. On la vérifie sur un cas connu : pour la fonction constante égale à $r$, le solide est un cylindre, et la formule donne $\pi r^2 \times (A - 1)$, soit l'aire de la base multipliée par la hauteur.
Ici $f(x)^2 = \dfrac{1}{x^2}$. Une primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0\,;+\infty[$ est $x \mapsto -\dfrac{1}{x}$ : en effet, la dérivée de $-\dfrac{1}{x}$ est $\dfrac{1}{x^2}$. Donc
$$\begin{aligned}V(A) &= \pi \int_1^A \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \pi\left[-\frac{1}{x}\right]_1^A\\ &= \pi\left(-\frac{1}{A} + 1\right) = \pi\left(1 - \frac{1}{A}\right).\end{aligned}$$À la main. Pour $A = 10$, $V(10) = 0{,}9\,\pi \approx 2{,}83$ ; pour $A = 100$, $V(100) = 0{,}99\,\pi \approx 3{,}11$ ; pour $A = 1\,000$, $V(1\,000) = 0{,}999\,\pi \approx 3{,}139$. Le volume augmente avec $A$ (on ajoute de la trompette), mais de moins en moins.
Comme $\displaystyle\lim_{A \to +\infty} \frac{1}{A} = 0$, on obtient
$$\lim_{A \to +\infty} V(A) = \pi.$$La trompette entière, infiniment longue, a un volume fini égal à $\pi$. C'est exactement le volume d'un cylindre de rayon $1$ et de longueur $1$. Le volume de la trompette ne dépasse jamais $\pi$ : $V(A) < \pi$ pour tout $A > 1$. Il faut aller jusqu'à $A \approx 1\,973$ pour que $V(A)$ dépasse $3{,}14$.
On peut aussi encadrer le volume par des cylindres, comme le faisaient les savants avant le calcul intégral. Entre $k$ et $k + 1$, le rayon de la trompette est compris entre $\dfrac{1}{k+1}$ et $\dfrac{1}{k}$. La tranche contient donc le cylindre de rayon $\dfrac{1}{k+1}$ et de longueur $1$, et elle est contenue dans le cylindre de rayon $\dfrac{1}{k}$. En additionnant :
$$\pi\left(\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots\right) \leqslant V$$et
$$V \leqslant \pi\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots\right).$$Or la somme des inverses des carrés vaut $\dfrac{\pi^2}{6}$ : c'est le célèbre problème de Bâle, résolu par Euler en 1735. L'encadrement devient
$$\pi\left(\frac{\pi^2}{6} - 1\right) \leqslant V \leqslant \frac{\pi^3}{6},$$soit environ $2{,}03 \leqslant V \leqslant 5{,}17$. Le volume exact, $\pi \approx 3{,}14$, est bien entre les deux. L'essentiel est ailleurs : une infinité de cylindres de plus en plus petits peut tenir dans un volume fini, parce que leurs volumes diminuent assez vite, comme $\dfrac{1}{k^2}$. Pour la surface, nous allons voir que les morceaux ne diminuent que comme $\dfrac{1}{k}$, et cela change tout.
La surface de la trompette est courbe : on ne peut pas la déplier à plat. Pour montrer qu'elle est infinie, il suffit pourtant de la comparer à des surfaces simples, des cylindres, grâce à une idée géométrique : projeter raccourcit.
Prenons le morceau de trompette compris entre les abscisses $k$ et $k + 1$. Tous ses points sont à une distance de l'axe au moins égale à $\rho = \dfrac{1}{k+1}$, car la fonction $f$ est décroissante. Envoyons chaque point vers l'axe, le long du rayon qui le rejoint, jusqu'au cylindre de rayon $\rho$ : c'est comme l'ombre du morceau sur ce cylindre, la lumière venant de l'extérieur. Cette ombre recouvre entièrement le cylindre de rayon $\rho$ et de longueur $1$.
Or l'ombre est toujours plus petite que l'objet. Deux points de la trompette situés à la même abscisse, aux distances $r_1$ et $r_2$ de l'axe et séparés par un angle $\alpha$, sont à la distance $d$ telle que (formule d'Al-Kashi) $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos\alpha$, qu'on peut écrire
$$d^2 = (r_1 - r_2)^2 + 2r_1r_2(1 - \cos\alpha).$$Leurs ombres, à la distance $\rho$ de l'axe, sont à la distance $d'$ telle que $d'^2 = 2\rho^2(1 - \cos\alpha)$. Comme $r_1 \geqslant \rho$, $r_2 \geqslant \rho$ et $1 - \cos\alpha \geqslant 0$, on a $d'^2 \leqslant d^2$ : les distances diminuent (le cas de deux points d'abscisses différentes se traite de la même façon, en ajoutant le carré de l'écart des abscisses aux deux membres). Une surface dont toutes les longueurs raccourcissent en projection a une aire qui diminue ; on l'admet ici, c'est intuitif : l'ombre d'une feuille sur un mur n'est jamais plus grande que la feuille, si on l'écrase vers le mur.
Conclusion : l'aire du morceau de trompette entre $k$ et $k + 1$ est au moins celle du cylindre de rayon $\dfrac{1}{k+1}$ et de longueur $1$, c'est-à-dire $\dfrac{2\pi}{k+1}$.
Soit $n \geqslant 2$ un entier et $S_n$ l'aire de la surface entre les abscisses $1$ et $n$. On la coupe en $n - 1$ morceaux, entre $k$ et $k + 1$, pour $k$ allant de $1$ à $n - 1$. D'après ce qui précède,
$$S_n \geqslant \frac{2\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} + \cdots + \frac{2\pi}{n}.$$On met $2\pi$ en facteur : la somme entre parenthèses est $H_n - 1$, donc
$$S_n \geqslant 2\pi\,(H_n - 1).$$D'après la section L'aire sous la courbe est infinie, $H_n \geqslant \ln(n+1)$, donc $S_n \geqslant 2\pi\big(\ln(n+1) - 1\big)$.
Comme $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \ln(n+1) = +\infty$, le théorème de comparaison donne $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n = +\infty$ : la surface de la trompette est infinie.
À la main. Pour $n = 10$, $H_{10} \approx 2{,}929$ et la minoration donne $S_{10} \geqslant 2\pi \times 1{,}929 \approx 12{,}1$. Pour $n = 100$, elle donne déjà plus de $26{,}3$. Le volume, lui, n'a jamais dépassé $3{,}15$.
Avec un peu plus de calcul (hors programme), on démontre que l'aire de la surface obtenue en faisant tourner la courbe de $f$ entre $1$ et $A$ vaut
$$S(A) = 2\pi \int_1^A f(x)\sqrt{1 + f'(x)^2}\,\mathrm{d}x.$$L'idée est la même que pour le volume : on découpe la surface en fines bandes, et chaque bande est presque un tronc de cône dont le côté penché a pour longueur environ $\sqrt{1 + f'(x)^2}\times h$, qui est toujours au moins égale à $h$. C'est encore l'idée « une longueur est plus grande que sa projection ». On en déduit
$$S(A) \geqslant 2\pi \int_1^A \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = 2\pi \ln A.$$La surface est minorée par $2\pi$ fois l'aire de la région plane sous la courbe, qui est infinie. Le tableau compare les trois grandeurs (la dernière colonne, surface exacte, est obtenue par un calcul numérique).
| $A$ | aire $\ln A$ | volume $V(A)$ | $2\pi\ln A$ | surface $S(A)$ |
|---|---|---|---|---|
| $2$ | $0{,}69$ | $1{,}57$ | $4{,}36$ | $5{,}02$ |
| $10$ | $2{,}30$ | $2{,}83$ | $14{,}47$ | $15{,}18$ |
| $100$ | $4{,}61$ | $3{,}11$ | $28{,}94$ | $29{,}65$ |
| $1\,000$ | $6{,}91$ | $3{,}14$ | $43{,}40$ | $44{,}11$ |
| $10^6$ | $13{,}82$ | $3{,}14$ | $86{,}81$ | $87{,}52$ |
La surface grandit lentement, comme un logarithme : pour qu'elle dépasse $1\,000$, il faut une trompette longue d'environ $10^{69}$ unités, bien plus que la taille de l'Univers observable mesurée en millimètres. Mais elle finit par dépasser n'importe quel nombre.
Prenons le décimètre comme unité. Le volume de la trompette vaut $\pi$ dm3, soit environ $3{,}14$ litres. Avec un peu plus de trois litres de peinture, on peut donc, en pensée, remplir la trompette entière. Pourtant, sa surface intérieure étant infinie, aucune quantité de peinture ne suffirait à la peindre : une couche de $0{,}1$ mm, soit $0{,}001$ dm, demanderait un volume égal à la surface multipliée par $0{,}001$, c'est-à-dire un volume infini. Remplir la trompette, c'est en particulier recouvrir sa paroi intérieure de peinture : comment trois litres peuvent-ils faire ce qu'aucune quantité ne peut faire ?
Le paradoxe se dissout quand on regarde de près ce que veut dire « peindre ».
- Une couche d'épaisseur constante ne tient pas. Au-delà de l'abscisse $x = 1\,000$, le rayon de la trompette est plus petit que $0{,}001$. Une couche de $0{,}1$ mm n'y rentre plus : la peinture remplit le tube. Le calcul « surface × épaisseur » n'a de sens que si l'épaisseur est petite devant le rayon, ce qui devient faux au bout de la trompette. La quantité réellement utilisée, elle, ne peut pas dépasser le volume de la trompette.
- Une couche infiniment fine ne coûte rien. Une surface mathématique n'a pas d'épaisseur. La « peindre » avec une couche d'épaisseur nulle demande un volume nul de peinture. Le paradoxe mélange une aire (en dm2) et un volume (en dm3) : un physicien dirait que ces grandeurs n'ont pas la même dimension et qu'on ne peut pas les comparer.
- La vraie peinture est faite de molécules. Au-delà d'une certaine abscisse, le rayon de la trompette devient plus petit qu'une molécule de pigment, puis qu'un atome : la trompette réelle n'existe plus. Le paradoxe est une propriété du modèle mathématique, pas d'un objet qu'on pourrait fabriquer.
Il n'y a donc aucune contradiction logique. Il y a un conflit avec notre intuition, qui associe « petit volume » et « petite surface ». Cette intuition est juste pour les objets bornés, comme une boule ou un cube, et fausse pour un objet infiniment long.
Evangelista Torricelli (1608-1647) est surtout connu pour le baromètre à mercure, en 1643. Élève de Galilée à la fin de la vie de celui-ci, il lui succède comme mathématicien du grand-duc de Toscane. En 1641, il découvre que le solide que nous appelons trompette de Gabriel, et qu'il nomme solide hyperbolique aigu, a le même volume qu'un cylindre fini. Il publie la démonstration en 1644, dans ses Opera geometrica.
Sa démonstration, avec les indivisibles. Torricelli n'a pas d'intégrale. Il découpe le solide, non pas en disques, mais en surfaces de cylindres emboîtés, de même axe que la trompette. Dans l'esprit de son raisonnement, ajoutons au solide le cylindre de rayon $1$ compris entre les abscisses $0$ et $1$. Pour un rayon $y$ compris entre $0$ et $1$, la surface cylindrique de rayon $y$ contenue dans le solide va de l'abscisse $0$ jusqu'à l'abscisse $\dfrac{1}{y}$, où elle rencontre la trompette. Son aire vaut donc
$$2\pi y \times \frac{1}{y} = 2\pi,$$la même pour tous les rayons ! Le solide est fait de ces surfaces, toutes d'aire $2\pi$, « empilées » pour $y$ allant de $0$ à $1$. Il a donc le même volume qu'un solide fait de disques d'aire $2\pi$ empilés sur une hauteur $1$, soit $2\pi$. En retirant le cylindre ajouté, de volume $\pi$, il reste $\pi$ pour la trompette : c'est le résultat que nous avons trouvé par l'intégrale. La méthode des indivisibles, ses succès et ses pièges sont racontés dans le texte La méthode des indivisibles.
La stupeur. Le résultat circule dans les lettres entre savants italiens et français (Cavalieri, Mersenne, Roberval, Fermat…). Il choque, parce qu'on pensait depuis Aristote qu'un objet infini ne pouvait pas avoir une grandeur finie. Torricelli lui-même le présente comme une chose « incroyable ». Le philosophe Thomas Hobbes, en guerre ouverte avec le mathématicien John Wallis sur la quadrature du cercle et l'usage de l'infini, aurait écrit en 1656 que, pour comprendre un tel résultat, il ne faut être ni géomètre ni logicien, mais fou. Isaac Barrow, le maître de Newton à Cambridge, y revient dans ses leçons sur l'infini. Le débat porte sur une question de philosophie : a-t-on le droit de raisonner sur un infini achevé, et pas seulement sur un infini potentiel, qui grandit sans fin ? Ce débat est présenté dans le texte Aristote et l'infini.
Le nom de « trompette de Gabriel » est beaucoup plus récent : il est apparu au XXe siècle, en référence à la trompette que l'archange Gabriel ferait sonner à la fin des temps. L'image convient à un objet qui joint le fini et l'infini.
En terminale, on calcule l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$ borné. Pour parler de l'aire ou du volume « jusqu'à l'infini », on fait comme dans ce texte : on calcule l'intégrale jusqu'à $A$, puis on cherche la limite quand $A$ tend vers $+\infty$. Si cette limite existe et est finie, on dit que l'intégrale converge, et on note
$$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \lim_{A \to +\infty} \int_1^A \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = 1.$$Sinon, on dit qu'elle diverge, comme $\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$. Ces intégrales, appelées intégrales généralisées, sont étudiées après le bac, mais elles ne demandent que la notion de limite.
Une famille de trompettes. Remplaçons $\dfrac{1}{x}$ par $\dfrac{1}{x^a}$, avec $a > 0$. Pour $a \neq 1$, une primitive de $x \mapsto x^{-a}$ est $x \mapsto \dfrac{x^{1-a}}{1-a}$, donc
$$\int_1^A \frac{\mathrm{d}x}{x^a} = \frac{A^{1-a} - 1}{1 - a}.$$Si $a > 1$, l'exposant $1 - a$ est négatif, $A^{1-a}$ tend vers $0$ et l'intégrale converge vers $\dfrac{1}{a-1}$. Si $a < 1$, $A^{1-a}$ tend vers $+\infty$ et l'intégrale diverge. Le volume de la trompette de profil $\dfrac{1}{x^a}$ fait intervenir $\dfrac{1}{x^{2a}}$ : il est fini dès que $2a > 1$. La surface est au moins $2\pi\displaystyle\int_1^A \frac{\mathrm{d}x}{x^a}$ : elle est infinie dès que $a \leqslant 1$. Toutes les trompettes avec $\dfrac{1}{2} < a \leqslant 1$ ont donc le même comportement paradoxal ; celle de Torricelli, $a = 1$, est la plus simple.
Le flocon de Koch. On part d'un triangle équilatéral et, sur chaque côté, on remplace le tiers du milieu par deux côtés d'un petit triangle. On recommence indéfiniment. À chaque étape, le périmètre est multiplié par $\dfrac{4}{3}$ : c'est une suite géométrique de raison plus grande que $1$, qui tend vers $+\infty$. L'aire, elle, augmente de moins en moins et tend vers $\dfrac{8}{5}$ de l'aire du triangle de départ. Le flocon a un périmètre infini autour d'une aire finie : c'est la version plane de la trompette, sans même avoir besoin d'aller à l'infini (le flocon tient dans un disque). Voir le texte Les fractales en biologie, qui montre comment les poumons utilisent ce principe pour loger une immense surface d'échange dans la cage thoracique.
Le triangle de Sierpinski fait l'inverse : son aire est nulle et son périmètre infini (voir Le triangle de Sierpinski).
L'escalier de Cantor, enfin, est la courbe d'une fonction continue et croissante, qui monte de $0$ à $1$ alors que sa dérivée est nulle « presque partout » : elle monte uniquement sur un ensemble de points dont la longueur totale est nulle. Il montre qu'en analyse, l'intuition doit souvent céder devant la démonstration.
Le programme suivant approche la trompette coupée en $x = A$ par des troncs de cône. On découpe $[1\,;A]$ en $N$ morceaux dont les bornes forment une suite géométrique (plus serrées au début, où la trompette change vite). Pour chaque morceau, entre les abscisses $x_1$ et $x_2$, le tronc de cône de rayons $r_1 = \dfrac{1}{x_1}$ et $r_2 = \dfrac{1}{x_2}$ a pour volume $\dfrac{\pi}{3}(x_2 - x_1)(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2)$ et pour aire latérale $\pi(r_1 + r_2)\,\ell$, où $\ell$ est la longueur du côté penché.
On observe que le volume approché colle à la formule $\pi\left(1 - \dfrac{1}{A}\right)$, alors que la surface augmente d'environ $2\pi\ln 10 \approx 14{,}5$ chaque fois que $A$ est multiplié par $10$.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : l'aire sous $\dfrac{1}{x}$ et le logarithme ; le volume par une intégrale et le passage à la limite ; la série harmonique et sa comparaison avec une intégrale ; la différence entre $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x^2}$ ; l'encadrement par des cylindres et le problème de Bâle.
- HLP : l'infini potentiel et l'infini actuel, d'Aristote au XVIIe siècle ; la querelle de Hobbes et de Wallis ; l'intuition face à la démonstration ; ce qu'est un paradoxe, et comment on en sort.
- Physique-chimie : modèle et réalité ; les dimensions des grandeurs (une aire n'est pas un volume) ; le passage de l'échelle macroscopique à l'échelle moléculaire ; Torricelli et le baromètre.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : la fonction logarithme népérien, sa dérivée et sa limite en $+\infty$ ; les primitives des fonctions usuelles ; le calcul intégral (lien avec l'aire, relation de Chasles, positivité) ; les limites de fonctions et de suites, le théorème de comparaison ; les suites géométriques ; la formule d'Al-Kashi et le produit scalaire ; les boucles en Python.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.