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Achille, le plus rapide des Grecs, ne rattrapera jamais une tortue. Une flèche en vol est immobile. Pour traverser une pièce, il faut d'abord en traverser la moitié, puis la moitié du reste, et ainsi de suite sans fin : on n'arrivera donc jamais. Ces raisonnements, attribués au philosophe Zénon d'Élée il y a vingt-cinq siècles, ont l'air absurdes, et pourtant il a fallu attendre très longtemps pour savoir exactement où ils se trompent. La réponse passe par les suites, les sommes infinies et la notion de limite, au cœur du programme de terminale, et elle a obligé les philosophes et les mathématiciens à réfléchir à ce qu'est l'infini. Ce texte rassemble ces connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
Zénon vit au Ve siècle avant notre ère à Élée, une cité grecque du sud de l'Italie. Il est l'élève et le défenseur du philosophe Parménide, pour qui l'être est un, immobile et éternel : le changement et le mouvement que nous croyons voir ne seraient que des illusions des sens. Pour défendre son maître, Zénon invente des arguments qui montrent que, si l'on admet le mouvement, on aboutit à des contradictions. Ses écrits sont perdus ; nous connaissons quatre de ses paradoxes du mouvement surtout par Aristote, qui les rapporte pour les réfuter dans sa Physique.
Personne ne doute qu'Achille rattrape la tortue. La difficulté est ailleurs : dire précisément quelle étape du raisonnement de Zénon est fausse. Les deux premiers paradoxes reposent sur la même idée, qu'une infinité d'étapes ne peut pas être achevée. Les mathématiques permettent d'y répondre.
Soit $[A_0B]$ un segment de longueur $1$. On note $A_1$ son milieu, $A_2$ le milieu de $[A_1B]$, et, pour tout entier $n$, $A_{n+1}$ le milieu de $[A_nB]$. On définit les longueurs $\ell_n = A_nA_{n+1}$ des étapes, et la distance $s_n = A_0A_n$ parcourue après $n$ étapes.
$\ell_0 = A_0A_1 = \dfrac{1}{2}$, puis $\ell_1 = \dfrac{1}{4}$ et $\ell_2 = \dfrac{1}{8}$. Comme $A_{n+1}$ est le milieu de $[A_nB]$, chaque étape est la moitié de la précédente : $\ell_{n+1} = \dfrac{1}{2}\ell_n$. La suite $(\ell_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $\dfrac{1}{2}$, et pour tout entier $n$,
$$\ell_n = \frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{2^{n+1}}.$$La distance parcourue est la somme des étapes : $s_n = \ell_0 + \ell_1 + \cdots + \ell_{n-1}$. On met $\dfrac{1}{2}$ en facteur et on utilise la formule du cours $1 + q + \cdots + q^{n-1} = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ pour $q \neq 1$ :
Comme $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$, la suite $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ tend vers $0$, donc
$$\lim_{n \to +\infty} s_n = 1.$$La somme d'une infinité de longueurs non nulles peut donc être finie. Au XIIIe siècle, l'évêque et savant anglais Robert Grosseteste, commentant Aristote, le dit déjà en mots : en divisant la ligne en deux, puis la moitié en deux, et ainsi de suite, « dans la première division on prend une moitié ; dans la deuxième division, une moitié et un quart ; dans la troisième, une moitié et un quart et un huitième », et « une telle addition ne produira jamais par agrégation une grandeur infinie ».
La réponse à Zénon. Si l'on marche à vitesse constante $v$, la durée de chaque étape est proportionnelle à sa longueur : la $n$-ième étape dure $\dfrac{\ell_n}{v}$, et les durées forment elles aussi une suite géométrique dont la somme tend vers $\dfrac{1}{v}$. Une infinité d'étapes peut tenir dans une durée finie. L'erreur de Zénon est de croire qu'une infinité d'étapes demande un temps infini.
À l'instant $t = 0$, Achille est à la distance $L > 0$ derrière la tortue. Leurs vitesses, constantes, sont $v_A$ et $v_T$, avec $v_A > v_T$. Suivons le découpage de Zénon. Notons $a_1 = L$ la distance que parcourt Achille pour atteindre le point de départ de la tortue, $a_2$ la distance qu'il parcourt ensuite pour atteindre la position qu'elle occupait à ce moment, et ainsi de suite : $a_n$ est la $n$-ième étape d'Achille, et $t_n$ sa durée.
Achille parcourt $a_n$ à la vitesse $v_A$, donc $t_n = \dfrac{a_n}{v_A}$. Pendant cette durée, la tortue avance de $v_T\,t_n$, et c'est exactement la distance qu'Achille devra parcourir à l'étape suivante :
$$a_{n+1} = v_T\,t_n = v_T\times\frac{a_n}{v_A} = \frac{v_T}{v_A}\,a_n.$$La suite $(a_n)_{n \geqslant 1}$ est géométrique de raison $q = \dfrac{v_T}{v_A}$ et de premier terme $a_1 = L$.
Après $n$ étapes, Achille a parcouru $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$. Avec la formule de la somme des termes d'une suite géométrique :
Comme $0 < q < 1$, $q^n$ tend vers $0$ :
$$\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{v_A L}{v_A - v_T}.$$Les durées $t_n = \dfrac{a_n}{v_A}$ forment elles aussi une suite géométrique de raison $q$, et leur somme tend vers $\dfrac{L}{v_A - v_T}$. Les étapes de Zénon sont infiniment nombreuses, mais elles tiennent toutes dans une durée finie.
À l'instant $t$, Achille a parcouru $d_A(t) = v_A\,t$ et la tortue se trouve à $d_T(t) = L + v_T\,t$ du point de départ d'Achille. Achille a rattrapé la tortue quand $d_A(t) \geqslant d_T(t)$ :
en divisant par $v_A - v_T$, qui est strictement positif. Achille rattrape donc la tortue à l'instant $\dfrac{L}{v_A - v_T}$, après avoir parcouru $v_A \times \dfrac{L}{v_A - v_T}$, exactement la limite de la suite $(S_n)$.
Une application numérique. Si Achille court à $10$ m/s, la tortue avance à $1$ m/s et part avec $100$ m d'avance, alors $q = 0{,}1$ : les étapes de Zénon mesurent $100$ m, $10$ m, $1$ m, $0{,}1$ m… Achille rattrape la tortue au bout de $\dfrac{100}{9} \approx 11{,}1$ s, après $\dfrac{1\,000}{9} \approx 111{,}1$ m. La figure montre la course dans un repère où le temps est en abscisse : les étapes de Zénon s'accumulent vers le point de rencontre.
Aristote (IVe siècle avant notre ère) ne disposait pas des suites ni des limites. Sa réponse à Zénon est philosophique, et elle a marqué toute la pensée occidentale jusqu'au XIXe siècle. Dans sa Physique, il distingue deux sens du mot infini.
Pour Aristote, seul l'infini en puissance existe. Un segment peut être divisé autant qu'on veut, mais il n'est pas réellement fait d'une infinité de morceaux. Quand Achille court, il ne franchit pas une infinité d'étapes réellement séparées : c'est nous qui découpons sa course par la pensée. Et comme le temps se divise exactement comme l'espace, la course divisée à l'infini se fait dans un temps divisé de la même façon. Pour la flèche, Aristote répond que le temps n'est pas composé d'instants, comme une ligne n'est pas composée de points : on ne peut pas parler de mouvement ou de repos « dans un instant ».
La méfiance envers l'infini en acte dure très longtemps. Galilée remarque en 1638 qu'il y a « autant » de carrés parfaits que de nombres entiers, puisqu'on peut les associer un à un ($1 \leftrightarrow 1$, $2 \leftrightarrow 4$, $3 \leftrightarrow 9$…), alors que les carrés ne sont qu'une partie des entiers : il en conclut qu'on ne peut pas comparer des quantités infinies. Descartes, dans ses Principes de la philosophie (1644), juge ridicule que des esprits finis prétendent raisonner sur l'infini. Il faudra attendre Cantor pour que les mathématiciens osent manipuler l'infini en acte.
Dans la dichotomie et dans la course d'Achille, les étapes deviennent de plus en plus petites, et leur somme est finie. Est-ce toujours le cas quand les termes ajoutés tendent vers $0$ ? Au XIVe siècle, le savant normand Nicole Oresme, philosophe, économiste, physicien et conseiller du roi Charles V, montre que non, avec la somme des inverses des entiers. Pour tout entier $n \geqslant 1$, posons
$$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}.$$On calcule $H_1 = 1$, $H_2 = 1{,}5$, $H_3 \approx 1{,}833$ et $H_4 \approx 2{,}083$ ; un programme donne $H_{1\,000} \approx 7{,}485$. La suite croît, mais très lentement.
En retirant à $H_{2n}$ ses $n$ premiers termes, il reste les termes de $\dfrac{1}{n+1}$ à $\dfrac{1}{2n}$ :
$$H_{2n} - H_n = \tfrac{1}{n+1} + \tfrac{1}{n+2} + \cdots + \tfrac{1}{2n}.$$Cette somme a $n$ termes. Pour $k$ entre $1$ et $n$, on a $n + k \leqslant 2n$, et comme la fonction inverse est décroissante sur $]0\,;+\infty[$, $\dfrac{1}{n+k} \geqslant \dfrac{1}{2n}$. Chacun des $n$ termes est donc au moins égal à $\dfrac{1}{2n}$ :
$$H_{2n} - H_n \geqslant n\times\frac{1}{2n} = \frac{1}{2}.$$Oresme conclut à peu près ainsi : il y a là une infinité de parties dont chacune est plus grande que la moitié d'un pied, donc le tout est infini. On peut rédiger sa conclusion avec une récurrence.
Initialisation. $H_{2^0} = H_1 = 1 \geqslant 1 + 0$.
Hérédité. Supposons $H_{2^n} \geqslant 1 + \dfrac{n}{2}$. En appliquant le résultat précédent avec $2^n$ :
c'est-à-dire $H_{2^{n+1}} \geqslant 1 + \dfrac{n+1}{2}$.
Conclusion. L'inégalité est vraie pour tout entier naturel $n$. Comme $1 + \dfrac{n}{2}$ tend vers $+\infty$, la suite croissante $(H_n)$ n'est pas majorée : elle tend vers $+\infty$.
La somme des inverses est donc infinie, alors que ses termes tendent vers $0$. La différence avec Achille tient à la vitesse à laquelle les termes diminuent : ceux d'une suite géométrique de raison $q$ avec $0 < q < 1$ diminuent très vite, ceux de la série harmonique trop lentement. La divergence est pourtant d'une lenteur extrême : il faut $83$ termes pour dépasser $5$, $12\,367$ pour dépasser $10$, et environ $1{,}5 \times 10^{43}$ pour dépasser $100$ : aucun ordinateur ne pourra jamais faire ce calcul terme à terme.
Les calculs précédents utilisent le mot « limite ». Ce mot a mis plus de deux mille ans à recevoir un sens précis.
La suite $(u_n)$ a pour limite le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Cette définition est la réponse moderne à Zénon. Elle ne dit pas que l'on « atteint » $1$ au bout d'une infinité d'étapes ; elle dit que, aussi près de $1$ que l'on veuille être, on y est à partir d'une certaine étape, et qu'on y reste. Il n'est plus question d'achever une infinité d'opérations : c'est un énoncé sur chacune des précisions possibles, une à une, dans l'esprit de l'infini en puissance d'Aristote.
Soit un intervalle ouvert contenant $1$. Il contient un intervalle de la forme $]1 - \varepsilon\,;1 + \varepsilon[$ avec $\varepsilon > 0$. Comme $s_n < 1$, il suffit que $s_n > 1 - \varepsilon$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{2^n} < \varepsilon$. La fonction $\ln$ étant strictement croissante, cela équivaut à
$$-n\ln 2 < \ln\varepsilon \iff n > \frac{-\ln\varepsilon}{\ln 2}.$$Tous les termes dont le rang dépasse $\dfrac{-\ln\varepsilon}{\ln 2}$ sont donc dans l'intervalle. Pour $\varepsilon = 10^{-6}$, on trouve $n > 19{,}93$ : à partir de la $20$e étape, on est à moins d'un millionième de l'arrivée.
Le paradoxe de la flèche pose une autre question : qu'est-ce que la vitesse à un instant donné ? En un instant, la flèche ne parcourt aucune distance, et la vitesse moyenne « distance divisée par durée » n'a pas de sens si la durée est nulle. La réponse moderne est encore une limite. Si $x(t)$ est la position de la flèche à l'instant $t$, sa vitesse moyenne entre les instants $t$ et $t + h$ est
$$\frac{x(t + h) - x(t)}{h},$$et sa vitesse instantanée est la limite de ce quotient quand $h$ tend vers $0$ : c'est le nombre dérivé $x'(t)$. La flèche n'a pas besoin de bouger « pendant » un instant pour avoir une vitesse non nulle à cet instant : la vitesse n'est pas une propriété d'un instant isolé, mais de ce qui se passe autour de lui. C'est exactement la vitesse du programme de physique-chimie, $v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$, et c'est en partie pour la définir que Newton a créé le calcul différentiel.
L'effet Zénon quantique. La physique moderne a donné le nom de Zénon à un phénomène étonnant. En mécanique quantique, mesurer un système le force à « choisir » un état. Si l'on mesure très souvent un système qui devrait évoluer (par exemple un atome qui devrait changer de niveau d'énergie), on peut ralentir cette évolution, et même la geler : comme si une marmite surveillée ne bouillait jamais. Le phénomène a été décrit théoriquement en 1977 par les physiciens Baidyanaith Misra et George Sudarshan, qui lui ont donné ce nom, et observé en 1990 par l'équipe de David Wineland, à l'institut américain des normes (NIST), avec des ions de béryllium. Ce n'est pas une confirmation de Zénon, mais un clin d'œil : dans le monde quantique, observer sans cesse peut empêcher le changement.
À la fin du XIXe siècle, le mathématicien allemand Georg Cantor ose ce qu'Aristote refusait : traiter des ensembles infinis comme des objets achevés et les comparer. Son idée est celle de Galilée, prise au sérieux : deux ensembles ont « autant » d'éléments si l'on peut associer chaque élément de l'un à exactement un élément de l'autre, sans en oublier. On dit qu'il existe une bijection entre eux.
Il y a autant d'entiers pairs que d'entiers : on associe $n$ à $2n$. Une partie d'un ensemble infini peut donc être aussi grande que lui, ce qui contredit la cinquième « notion commune » d'Euclide, « le tout est plus grand que la partie ». Cette propriété sert même aujourd'hui à définir les ensembles infinis.
Pour faire sentir cette étrangeté, le mathématicien allemand David Hilbert imagine, dans un cours de 1924, un hôtel qui a une infinité de chambres numérotées $1$, $2$, $3$… L'histoire a été popularisée par le physicien George Gamow dans son livre Un, deux, trois… l'infini (1947). Un soir, l'hôtel est complet : chaque chambre est occupée. Et pourtant, le réceptionniste trouve toujours de la place.
Mathématiquement, chaque déménagement est une fonction qui associe à chaque ancien numéro de chambre un nouveau numéro, sans que deux clients se retrouvent dans la même chambre (on dit que la fonction est injective). La fonction $n \mapsto n + 1$ ne prend jamais la valeur $1$, la fonction $n \mapsto 2n$ ne prend jamais de valeur impaire : ce sont ces valeurs manquantes qui libèrent des chambres. Dans un hôtel fini, c'est impossible : si $N$ clients occupent $N$ chambres et changent de chambre sans se retrouver à deux, ils occupent encore les $N$ chambres.
Un ensemble est dit dénombrable si l'on peut ranger tous ses éléments en une seule liste $u_0$, $u_1$, $u_2$…, chacun recevant un numéro différent. Cantor montre en 1874 que l'ensemble des fractions est dénombrable, alors qu'il y a une infinité de fractions entre deux entiers quelconques. L'idée est de commencer par les couples d'entiers.
Ranger les couples d'entiers. Plaçons les couples $(p\,;q)$ d'entiers naturels dans un tableau infini, $p$ indiquant la ligne et $q$ la colonne. Le tableau est infini dans les deux directions : si l'on parcourt la première ligne, on n'en sort jamais. On le parcourt donc par diagonales : la diagonale numéro $d$ contient les couples tels que $p + q = d$, qui sont en nombre $d + 1$, et chaque diagonale est finie. On numérote $(0\,;0)$, puis $(1\,;0)$ et $(0\,;1)$, puis $(2\,;0)$, $(1\,;1)$ et $(0\,;2)$, et ainsi de suite. Chaque couple reçoit un numéro, et deux couples différents reçoivent des numéros différents.
Posons $d = p + q$. Avant la diagonale $d$, il y a les diagonales $0$, $1$, …, $d - 1$, qui contiennent $1$, $2$, …, $d$ couples. Leur nombre total est la somme des termes d'une suite arithmétique :
$$1 + 2 + \cdots + d = \frac{d(d+1)}{2}.$$Sur la diagonale $d$, on range les couples dans l'ordre des $q$ croissants : le couple $(p\,;q)$ y occupe la place $q$ en comptant à partir de $0$. Son numéro est donc
$$N(p\,;q) = \frac{(p+q)(p+q+1)}{2} + q.$$Par exemple, $(2\,;1)$ est sur la diagonale $3$ : $N(2\,;1) = \dfrac{3 \times 4}{2} + 1 = 7$.
Ranger les fractions. On fait de même avec les fractions positives $\dfrac{p}{q}$, avec $p$ et $q$ entiers non nuls, en sautant celles qui ne sont pas irréductibles, déjà rencontrées sous une autre forme (par exemple $\dfrac{2}{2} = \dfrac{1}{1}$). On obtient la liste
$$\frac{1}{1},\ \frac{2}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{3}{1},\ \frac{1}{3},\ \frac{4}{1},\ \frac{3}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{1}{4},\ \dots$$dans laquelle chaque fraction positive apparaît exactement une fois. Il y a donc « autant » de fractions que d'entiers.
Le même procédé range les passagers de l'infinité de cars de l'hôtel de Hilbert : le passager $j$ du car $i$ est le couple $(i\,;j)$, et il reçoit la chambre numéro $N(i\,;j) + 1$.
Après les entiers et les fractions, on pourrait croire que tous les ensembles infinis ont la même taille. En 1891, Cantor publie une démonstration devenue célèbre, l'argument diagonal, qui montre que non : les nombres réels compris entre $0$ et $1$ ne peuvent pas être rangés en une liste. Voici la démonstration, étape par étape.
Il n'existe aucune liste $u_1$, $u_2$, $u_3$… qui contienne tous les nombres réels de l'intervalle $]0\,;1[$.
Étape 1 : l'hypothèse. Supposons au contraire qu'il existe une telle liste : chaque réel de $]0\,;1[$ y figure, à un certain rang. On va fabriquer un réel de $]0\,;1[$ qui n'est pas dans la liste, ce qui sera une contradiction.
Étape 2 : écrire la liste. On écrit chaque nombre de la liste avec son développement décimal. On note $a_{n,k}$ la $k$-ième décimale du $n$-ième nombre :
| rang | développement décimal |
|---|---|
| $u_1$ | 0, $a_{1,1}$ $a_{1,2}$ $a_{1,3}$ $a_{1,4}$ … |
| $u_2$ | 0, $a_{2,1}$ $a_{2,2}$ $a_{2,3}$ $a_{2,4}$ … |
| $u_3$ | 0, $a_{3,1}$ $a_{3,2}$ $a_{3,3}$ $a_{3,4}$ … |
| $u_4$ | 0, $a_{4,1}$ $a_{4,2}$ $a_{4,3}$ $a_{4,4}$ … |
Les chiffres en rouge forment la diagonale du tableau : la première décimale du premier nombre, la deuxième décimale du deuxième nombre, et ainsi de suite.
Étape 3 : fabriquer un nouveau nombre. On construit le nombre $x = 0{,}c_1c_2c_3\ldots$ en choisissant chacune de ses décimales ainsi : pour tout entier $k \geqslant 1$,
Dans tous les cas, $c_k \neq a_{k,k}$ : la $k$-ième décimale de $x$ est différente de la $k$-ième décimale du $k$-ième nombre. Le nombre $x$ n'a que des $4$ et des $5$ comme décimales : il est compris entre $0{,}444\ldots$ et $0{,}555\ldots$, donc il appartient bien à $]0\,;1[$.
Étape 4 : $x$ n'est pas dans la liste. Prenons un rang $n$ quelconque. Les nombres $x$ et $u_n$ ont des $n$-ièmes décimales différentes, puisque $c_n \neq a_{n,n}$. Donc $x \neq u_n$. Comme c'est vrai pour tout rang $n$, le nombre $x$ n'est égal à aucun nombre de la liste.
Étape 5 : la contradiction. On a fabriqué un réel de $]0\,;1[$ qui n'est pas dans la liste, alors que la liste était censée les contenir tous. L'hypothèse de l'étape 1 est donc fausse : aucune liste ne contient tous les réels de $]0\,;1[$.
Un point délicat, et pourquoi on choisit $4$ et $5$. Deux écritures décimales différentes peuvent représenter le même nombre : $0{,}5000\ldots = 0{,}4999\ldots$. En effet, avec la somme des termes d'une suite géométrique, comme pour la dichotomie,
et donc $0{,}4999\ldots = 0{,}4 + 0{,}0999\ldots = 0{,}5$. Il pourrait donc arriver qu'un nombre diffère de $x$ par une décimale sans être différent de $x$. Ce problème n'arrive qu'avec des écritures qui se terminent par une infinité de $0$ ou de $9$. En fabriquant $x$ avec seulement des $4$ et des $5$, on est sûr que $x$ n'a qu'une seule écriture décimale, et l'étape 4 est correcte.
Un exemple. La figure ci-dessous fabrique le nombre $x$ à partir d'une liste de six nombres tirés au hasard. Le bouton change la liste : quelle que soit la liste, le nombre $x$ construit sur la diagonale n'y figure pas. Bien sûr, une figure ne montre que les six premiers nombres : c'est la démonstration qui garantit que le raisonnement marche pour une liste infinie.
Pourquoi le même raisonnement ne prouve-t-il pas que les fractions sont « trop nombreuses » ? On peut ranger les fractions de $]0\,;1[$ en une liste, et fabriquer le nombre $x$ de la même façon. Mais rien ne garantit que $x$ soit une fraction : le raisonnement prouve seulement que $x$ n'est pas dans la liste, ce qui n'a rien de contradictoire si $x$ est irrationnel. Pour les réels, au contraire, $x$ est toujours un réel de $]0\,;1[$, et c'est ce qui crée la contradiction.
Ce que cela signifie. L'infini des réels est strictement plus grand que celui des entiers : il existe des infinis de tailles différentes. Comme les fractions sont dénombrables et que les réels ne le sont pas, il y a, en ce sens, « beaucoup plus » de nombres irrationnels que de nombres rationnels. Cet argument est aussi l'ancêtre de résultats fondamentaux en informatique : en 1936, Alan Turing en reprend l'idée pour montrer que certains problèmes ne peuvent être résolus par aucun programme.
Ces idées ont choqué. Le mathématicien Leopold Kronecker combat Cantor, et certains philosophes et théologiens y voient une prétention à saisir l'infini divin. Mais elles s'imposent : en 1926, David Hilbert déclare que « personne ne doit pouvoir nous chasser du paradis que Cantor a créé pour nous ». Une question reste vertigineuse : existe-t-il un infini strictement compris entre celui des entiers et celui des réels ? C'est l'hypothèse du continu. Kurt Gödel (1940) et Paul Cohen (1963) ont montré qu'on ne peut ni la démontrer ni la réfuter à partir des axiomes habituels des mathématiques.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : les suites arithmétiques et géométriques, la somme des termes d'une suite géométrique ; la définition de la limite d'une suite, les théorèmes de comparaison et de convergence monotone ; le raisonnement par récurrence ; la fonction logarithme népérien ; le nombre dérivé comme limite d'un taux d'accroissement.
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