Au Moyen Âge, une pièce vaut d'abord par le métal précieux qu'elle contient. Le roi frappe la monnaie, et il peut la « muer » : refondre les pièces en y mettant moins d'argent, ou changer leur valeur officielle. Les rois Philippe VI et Jean II ont procédé à de très nombreuses mutations pour financer la guerre. Vers 1355-1360, Oresme rédige en latin un traité sur « l'origine, la nature, le droit et les mutations des monnaies », qu'il traduira lui-même en français. On le considère souvent comme l'un des premiers ouvrages consacrés entièrement à une question économique.

Ses thèses sont audacieuses pour l'époque :

• la monnaie n'appartient pas au prince, mais à la communauté qui s'en sert pour échanger ;
• sa raison d'être est d'avoir une valeur stable, à laquelle chacun peut se fier ;
• une mutation est un impôt caché, plus injuste qu'un impôt ordinaire, car personne ne l'a consenti ; le prince ne devrait muer la monnaie qu'en cas de nécessité, avec l'accord de la communauté.

Un exemple à la main. Une pièce contient $4$ grammes d'argent. Le roi décide une mutation : les nouvelles pièces, de même valeur officielle, ne contiendront plus que $3{,}2$ grammes, soit $20\,\%$ d'argent en moins.

• On rapporte à l'atelier $100$ anciennes pièces, soit $400$ grammes d'argent. On peut en tirer $\dfrac{400}{3{,}2} = 125$ pièces neuves. Le roi en rend $100$ et garde les $25$ autres (moins le coût de la frappe) : c'est le seigneuriage.
• Mais les marchands ne sont pas dupes. Un bien qui valait $10$ anciennes pièces, c'est-à-dire $40$ grammes d'argent, vaut maintenant $\dfrac{40}{3{,}2} = 12{,}5$ pièces neuves : les prix exprimés en pièces augmentent de $25\,\%$. Ceux qui perdent sont ceux qui sont payés en pièces à un montant fixé d'avance : rentes, salaires, loyers.

Plusieurs mutations. Si chaque mutation retire $20\,\%$ de l'argent, la quantité d'argent dans une pièce après $n$ mutations est une suite géométrique de raison $0{,}8$ :

Les prix en pièces sont multipliés par $\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25$ à chaque mutation : après $n$ mutations, par $1{,}25^{\,n}$. Au bout de combien de mutations la pièce contient-elle moins du quart de son argent de départ ?

• On cherche $n$ tel que $0{,}8^{\,n} < 0{,}25$.
• La fonction $\ln$ est strictement croissante : $n \ln 0{,}8 < \ln 0{,}25$.
• Comme $\ln 0{,}8 < 0$, on divise en changeant le sens : $n > \dfrac{\ln 0{,}25}{\ln 0{,}8} \approx 6{,}2$.

Il suffit de $7$ mutations, et les prix sont alors multipliés par $1{,}25^7 \approx 4{,}8$. Le tableur ci-dessous refait ces calculs ; on peut changer l'argent de départ (cellule B2), la part retirée à chaque mutation (B3, écrite avec un point : 0.2) et le prix de départ d'un bien (B4).

La colonne E donne le nombre de pièces neuves que l'on tire de $100$ pièces de la mutation précédente : tout ce qui dépasse $100$ est le gain du roi.

Oresme décrit aussi ce qui se passe quand circulent ensemble des pièces anciennes, riches en argent, et des pièces nouvelles, plus pauvres, avec la même valeur officielle : chacun garde les bonnes pièces, les fond ou les envoie à l'étranger, où elles valent leur poids de métal, et ne dépense que les mauvaises. Les bonnes pièces disparaissent de la circulation. Ce phénomène porte aujourd'hui le nom de loi de Gresham, d'après un financier anglais du XVI^e siècle, mais il avait été décrit avant lui par Oresme et par Copernic.

Nos billets ne contiennent plus de métal précieux : leur valeur repose entièrement sur la confiance, celle que chacun accorde à l'institution qui les émet. C'est l'idée d'Oresme, poussée jusqu'au bout. Créer de la monnaie en grande quantité pour financer une dépense publique fait monter les prix : c'est ce que les économistes appellent l'impôt d'inflation, qui pèse sur ceux qui détiennent de la monnaie ou des revenus fixes, comme la mutation au Moyen Âge. C'est pourquoi, dans la zone euro, la politique monétaire est confiée à une banque centrale indépendante, la Banque centrale européenne, dont l'objectif est une inflation de $2\,\%$ par an. Même ce faible taux n'est pas négligeable : les prix doublent quand $1{,}02^{\,n} = 2$, soit $n = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}02} \approx 35$ ans.

L'application la plus remarquable concerne le mouvement. Oresme prend comme longitude le temps et comme latitude la vitesse. Il affirme que la distance parcourue est représentée par l'aire de la figure.

Pourquoi ? Si la vitesse est constante, égale à $v$ pendant une durée $t$, la distance vaut $v \times t$ : c'est l'aire d'un rectangle de côtés $t$ et $v$. Si la vitesse change, on découpe le temps en petits intervalles, sur chacun desquels la vitesse est presque constante : la distance est presque la somme des aires de petits rectangles, et ces rectangles remplissent la figure. C'est exactement l'idée de l'intégrale : si $v(t)$ est la vitesse à l'instant $t$, la distance parcourue entre les instants $0$ et $T$ est

Oresme n'a évidemment ni la notion de fonction, ni celle d'intégrale, qui apparaîtront trois siècles plus tard. Mais l'image de l'aire est là.

Dans les années 1330, des savants du Merton College, à Oxford, que l'on appelle les « calculateurs » (Thomas Bradwardine, William Heytesbury, Richard Swineshead, Jean de Dumbleton), énoncent une règle : un mobile dont la vitesse augmente régulièrement parcourt la même distance que s'il allait tout le temps à sa vitesse du milieu de la durée. Leurs textes arrivent à Paris après 1340. Oresme en donne une démonstration par une figure.

Le mobile part de la vitesse $0$ et atteint la vitesse $V$ au bout du temps $T$. Sa figure est un triangle rectangle de côtés $T$ et $V$. Coupons-le par l'horizontale de hauteur $\dfrac{V}{2}$ : le petit triangle qui dépasse en haut à droite est égal au petit triangle qui manque en haut à gauche pour former le rectangle de hauteur $\dfrac{V}{2}$. Le triangle et le rectangle ont donc la même aire :

Avec les outils de terminale. Si la vitesse est $v(t) = \dfrac{V}{T}\,t$, une primitive de $v$ est $\dfrac{V}{2T}\,t^2$, donc

La valeur moyenne de la vitesse, $\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T v(t)\,\mathrm{d}t = \dfrac{V}{2}$, est bien la vitesse à l'instant $\dfrac{T}{2}$.

La figure montre aussi qu'en coupant le temps en deux moitiés, le mobile parcourt pendant la seconde moitié trois fois plus de chemin que pendant la première : le triangle bleu a pour aire $\dfrac{1}{4}$ de l'aire totale, le trapèze orange $\dfrac{3}{4}$. Oresme fait cette remarque. Plus généralement, la distance parcourue au bout du temps $t$ vaut $d(t) = \dfrac{V}{2T}\,t^2$ : elle est proportionnelle au carré du temps. Pendant des intervalles de temps égaux successifs, les distances sont entre elles comme les nombres impairs $1, 3, 5, 7\ldots$, car $(k+1)^2 - k^2 = 2k + 1$.

En 1638, Galilée démontre exactement le même théorème, avec une figure semblable, dans ses Discours sur deux sciences nouvelles ; il l'applique à la chute des corps et le confronte à des expériences avec des billes roulant sur des plans inclinés. A-t-il lu Oresme ou les calculateurs d'Oxford ? Leurs textes circulaient dans les universités italiennes, mais on n'en a aucune preuve. Et une différence est essentielle : Oresme ne dit pas que la chute d'un corps est un mouvement uniformément accéléré. Il raisonne sur un mouvement imaginé, sans mesure ni expérience. Le premier à relier ce mouvement à la chute des corps semble être l'Espagnol Domingo de Soto, en 1551.

Les savants de son temps savaient que $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ ne dépasse jamais $1$. Oresme va plus loin : d'une quantité, retirons un millième, puis un millième du reste, et ainsi de suite. Il affirme que la quantité finit par être épuisée, aussi petite que soit la part retirée.

• Après $n$ prélèvements, il reste $0{,}999^{\,n}$ de la quantité de départ : c'est une suite géométrique de raison $0{,}999$, comprise entre $0$ et $1$, donc elle tend vers $0$.
• Pour qu'il reste moins de $1\,\%$, il faut $0{,}999^{\,n} < 0{,}01$, soit $n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}999} \approx 4\,603$ prélèvements : beaucoup, mais un nombre fini.
• La somme des parts retirées vaut $1 - 0{,}999^{\,n}$, qui tend vers $1$ : en les rassemblant, on reconstitue la quantité de départ.

Oresme montre ensuite que la somme $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \cdots$ est infinie, bien que ses termes deviennent aussi petits qu'on veut. Notons $H_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n}$.

En l'appliquant à $n = 1, 2, 4, 8, \ldots$ : $H_2 - H_1 \geqslant \dfrac{1}{2}$, $H_4 - H_2 \geqslant \dfrac{1}{2}$, $H_8 - H_4 \geqslant \dfrac{1}{2}$… En additionnant les $k$ premières inégalités, $H_{2^k} \geqslant 1 + \dfrac{k}{2}$, qui tend vers $+\infty$. Oresme conclut à peu près ainsi : il y a là une infinité de parties dont chacune est plus grande que la moitié d'un pied, donc le tout est infini. La croissance est pourtant d'une lenteur extrême : il faut plus de $10^{43}$ termes pour que la somme dépasse $100$.

Oresme utilise aussi ses figures pour calculer des sommes. Un mobile va à la vitesse $1$ pendant la première moitié d'une heure, à la vitesse $2$ pendant le quart d'heure suivant, à la vitesse $3$ pendant le huitième suivant, et ainsi de suite. La distance totale est

Oresme montre, en découpant et en réarrangeant la figure en escalier, que cette distance est quatre fois celle de la première demi-heure, c'est-à-dire $S = 2$, bien que la vitesse augmente sans limite. Démontrons-le avec les outils de terminale.

À la cour de Charles V, l'astrologie qui prétend prédire l'avenir des hommes est en vogue. Oresme la combat avec des mathématiques. Beaucoup d'astrologues croient à une « Grande Année » : au bout d'une très longue période, $36\,000$ ans selon certains, tous les astres reviendraient exactement à leur position de départ, et l'histoire se répéterait. Pour cela, il faudrait que les durées des mouvements des astres soient dans des rapports commensurables, c'est-à-dire que leurs rapports soient des fractions. Oresme soutient que c'est très improbable, et il écrit qu'il faut « attaquer les philosophes avec la philosophie et les mathématiciens avec les mathématiques ».

Pour Oresme, deux rapports sont commensurables si l'un est une puissance fractionnaire de l'autre. Par exemple, les rapports $8$ et $4$ sont commensurables car $8 = 4^{3/2}$ : en effet $4^3 = 64 = 8^2$. Il considère les $100$ rapports $2, 3, 4, \ldots, 101$ et les compare deux à deux.

• Le nombre de paires. Il y a $\dbinom{100}{2} = \dfrac{100 \times 99}{2} = 4\,950$ façons d'en choisir deux.
• Les paires commensurables. Ce sont les paires de puissances d'un même nombre. Les puissances de $2$ jusqu'à $101$ sont $2, 4, 8, 16, 32, 64$ : elles forment $\dbinom{6}{2} = 15$ paires. Celles de $3$ sont $3, 9, 27, 81$ : $\dbinom{4}{2} = 6$ paires. S'y ajoutent $\{5\,;25\}$, $\{6\,;36\}$, $\{7\,;49\}$ et $\{10\,;100\}$. Au total, $15 + 6 + 4 = 25$ paires.

On retrouve exactement le compte d'Oresme : $25$ paires commensurables sur $4\,950$. Si l'on choisit deux de ces rapports au hasard, la probabilité qu'ils soient commensurables est $\dfrac{25}{4\,950} \approx 0{,}005$. Oresme affirme que cette proportion diminue encore quand on prend plus de nombres, et en conclut qu'il est « vraisemblable » que deux rapports inconnus soient incommensurables : la Grande Année n'existe probablement pas. C'est l'un des premiers raisonnements de type probabiliste de l'histoire, deux siècles avant les premiers calculs de probabilités.

Dire que $3$ est une puissance fractionnaire de $2$, c'est dire qu'il existe des entiers $p$ et $q$ non nuls tels que $3 = 2^{p/q}$, c'est-à-dire $3^q = 2^p$. En appliquant le logarithme, cela revient à dire que $\dfrac{\ln 3}{\ln 2} = \dfrac{p}{q}$ est un nombre rationnel.

Le même raisonnement, avec la décomposition en facteurs premiers, montre que deux entiers sont commensurables au sens d'Oresme seulement s'ils sont des puissances d'un même entier, ce qui justifie le dénombrement ci-dessus.