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On part d'un triangle, on en retire le milieu, puis le milieu de chaque morceau restant, et ainsi de suite à l'infini. La figure obtenue, le triangle de Sierpinski, est l'une des fractales les plus célèbres. On la retrouve là où on ne l'attend pas : dans le triangle de Pascal, dans des points tirés au hasard, dans les programmes d'ordinateur les plus simples, sur la coquille de certains mollusques, dans des molécules d'ADN et jusque dans les antennes des téléphones. Ce texte rassemble ces apparitions et ce qu'elles ont en commun. À chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
À l'étape $0$, on prend un triangle équilatéral plein. À chaque étape, chaque triangle plein est partagé en quatre triangles égaux en joignant les milieux de ses côtés, et l'on retire celui du centre. Il reste trois triangles deux fois plus petits, et l'on recommence avec chacun d'eux. Le triangle de Sierpinski est ce qui reste « à la fin », après une infinité d'étapes. Le mathématicien polonais Wacław Sierpiński l'a étudié en 1915, comme exemple d'une courbe aux propriétés surprenantes ; mais le motif décorait déjà, au Moyen Âge, des sols de marbre réalisés par les Cosmati, une famille d'artisans de la région de Rome.
À chaque étape, on garde $3$ triangles sur $4$ : l'aire est multipliée par $\dfrac{3}{4}$. Si l'aire du triangle de départ vaut $1$, l'aire restante après $n$ étapes est $a_n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$, une suite géométrique de raison comprise entre $0$ et $1$ : elle tend vers $0$. Après $10$ étapes, il reste $5{,}6\,\%$ de l'aire ; après $50$, moins d'un millionième.
Au contraire, le nombre de triangles est multiplié par $3$ et leur côté divisé par $2$. Si le côté de départ vaut $1$, la somme des périmètres de tous les petits triangles après $n$ étapes est $p_n = 3^n \times 3 \times \dfrac{1}{2^n} = 3\left(\dfrac{3}{2}\right)^n$, une suite géométrique de raison supérieure à $1$ : elle tend vers $+\infty$.
La figure limite a donc une aire nulle et une longueur infinie : ce n'est ni vraiment une surface, ni vraiment une ligne.
Pour mesurer cet objet entre deux mondes, on regarde comment il se comporte quand on l'agrandit. Si l'on double les dimensions d'un segment, on obtient $2 = 2^1$ copies du segment de départ ; d'un carré, $4 = 2^2$ copies ; d'un cube, $8 = 2^3$ copies. L'exposant est la dimension. Si l'on double le triangle de Sierpinski, on obtient $3$ copies de lui-même. Sa dimension $d$ vérifie donc $2^d = 3$, c'est-à-dire
$$d = \frac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1{,}585.$$Plus qu'une ligne, moins qu'une surface : c'est le sens du mot fractale, forgé par Benoît Mandelbrot en 1975, à partir du latin fractus, « brisé ».
Écrivons le triangle de Pascal et colorions les nombres impairs. Une figure apparaît : le triangle de Sierpinski. Ce n'est pas une coïncidence. Pour savoir si un nombre du triangle est pair ou impair, il suffit de connaître la parité des deux nombres situés au-dessus de lui, puisqu'il est leur somme :
| au-dessus | impair + impair | impair + pair | pair + pair |
|---|---|---|---|
| en dessous | pair | impair | pair |
Avec $1$ pour impair et $0$ pour pair, la règle s'écrit $1 + 1 = 0$, $1 + 0 = 1$, $0 + 0 = 0$ : c'est l'addition « modulo $2$ ». Or, en partant d'une seule case $1$, cette règle reproduit exactement la construction de Sierpinski : chaque bloc de $2^k$ lignes est fait de trois copies du bloc précédent, séparées par un triangle de zéros. On le démontre avec le théorème de Lucas, et l'on en déduit par exemple que la ligne $n$ du triangle de Pascal contient $2^s$ nombres impairs, où $s$ est le nombre de chiffres $1$ de $n$ en base $2$.
Ce lien est développé dans le texte Le triangle de Pascal et la première récurrence, avec une figure où l'on voit le motif apparaître ligne après ligne.
Voici un jeu étonnant, popularisé par le mathématicien Michael Barnsley à la fin des années 1980. On place les trois sommets $A$, $B$, $C$ d'un triangle et un point de départ quelconque. Puis on répète :
On s'attendrait à un nuage de points sans forme. C'est le triangle de Sierpinski qui apparaît, de plus en plus net. La raison est géométrique : prendre le milieu entre un point et le sommet $A$, c'est appliquer l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$. Or le triangle de Sierpinski est exactement formé de ses trois images par ces trois homothéties ; quel que soit le point de départ, les points s'en rapprochent à chaque étape, la distance étant divisée par deux.
Ce jeu relie les probabilités et la géométrie : chaque tirage est imprévisible, mais la figure d'ensemble ne l'est pas. Les logiciels de synthèse d'images utilisent des systèmes de ce type, appelés systèmes de fonctions itérées, pour dessiner des fougères, des arbres ou des nuages très réalistes avec quelques transformations seulement.
Un automate cellulaire est une rangée de cases, chacune blanche ou noire. À chaque étape, toutes les cases changent en même temps, et la nouvelle couleur de chaque case ne dépend que de sa couleur et de celles de ses deux voisines. On dessine les rangées successives les unes sous les autres. Comme il y a $8$ configurations possibles pour trois cases voisines, il y a $2^8 = 256$ règles possibles, que le physicien Stephen Wolfram a numérotées de $0$ à $255$ au début des années 1980.
Le cône textile (Conus textile), un mollusque venimeux de l'océan Indien et du Pacifique, porte sur sa coquille un motif de triangles blancs de toutes tailles sur fond brun, qui rappelle à la fois le triangle de Sierpinski et la règle 30. Ce n'est pas un hasard : le motif est fabriqué comme un automate cellulaire.
La coquille grandit par son bord. Le long de ce bord, une rangée de cellules de l'animal dépose, ou non, du pigment à chaque étape de croissance. Chaque cellule « décide » en fonction de ses voisines : une cellule qui produit du pigment stimule ses voisines, mais produit aussi une substance qui, en diffusant, les freine. La coquille garde la trace de toutes les rangées successives, comme le dessin d'un automate garde la trace de toutes ses générations. Le biologiste allemand Hans Meinhardt a reproduit sur ordinateur, avec ce mécanisme d'activation et d'inhibition, les motifs d'un très grand nombre de coquillages (The Algorithmic Beauty of Sea Shells, 1995). L'idée remonte au mathématicien Alan Turing, qui avait montré en 1952 que deux substances qui réagissent et diffusent peuvent créer spontanément des taches et des rayures : c'est la réaction-diffusion, qui expliquerait aussi les rayures du zèbre ou les taches du léopard.
C'est une question naturelle en SVT : si la sélection naturelle a conservé ce motif, à quoi sert-il ? Il faut ici être honnête : on ne connaît pas d'avantage établi. Plusieurs hypothèses sont discutées.
Ce que les mathématiques apportent est sûr, en revanche : une règle locale très simple suffit à produire un motif d'une grande complexité. La complexité du vivant ne demande pas toujours un programme génétique compliqué.
Le triangle de Sierpinski n'est pas seulement une curiosité de mathématiciens. On le retrouve dans des laboratoires de biologie moléculaire, dans les téléphones, dans un casse-tête du XIXe siècle et, sous une forme voisine, dans des réactions chimiques. Chacun de ces domaines peut nourrir une question de Grand Oral ; il faut alors pouvoir répondre aux questions du jury, c'est pourquoi chacun est développé ci-dessous.
Le principe : des briques qui ne s'accrochent qu'aux bonnes voisines. L'ADN est formé de deux brins enroulés, dont les bases se font face par paires : A en face de T, C en face de G. Deux brins ne s'apparient solidement que si leurs bases sont complémentaires. Les biologistes savent aujourd'hui synthétiser des brins dont ils choisissent la suite de bases. On peut donc fabriquer de petits assemblages de brins, des « tuiles » d'une dizaine de nanomètres, dont chaque côté se termine par quelques bases laissées libres, appelées bouts collants. Deux tuiles s'accrochent quand leurs bouts collants sont complémentaires, et seulement dans ce cas : la suite de bases d'un bout collant joue le rôle d'une étiquette.
Comment des tuiles peuvent calculer. En 2004, Paul Rothemund, Nick Papadakis et Erik Winfree, du California Institute of Technology, publient dans PLoS Biology des triangles de Sierpinski fabriqués de cette façon. Les tuiles s'empilent comme les briques d'un mur : chacune repose sur deux tuiles de la rangée du dessous, exactement comme chaque nombre du triangle de Pascal est calculé à partir de deux nombres de la ligne précédente. Les deux bouts collants du bas d'une tuile portent l'étiquette $0$ ou $1$, ceux du haut portent le résultat. Il y a quatre sortes de tuiles, une par cas :
C'est l'addition modulo $2$, le « ou exclusif » des informaticiens, c'est-à-dire la règle 90. Les chercheurs règlent la température de la solution pour qu'une tuile accrochée par un seul bout collant se détache presque aussitôt : une tuile ne reste en place que si ses deux bouts collants du bas trouvent chacun leur partenaire. Une tuile ne s'installe donc qu'à un endroit où les deux tuiles du dessous sont déjà là, et seulement si elle porte le bon résultat. En partant d'une rangée de départ, des milliards de tuiles dans un tube à essai construisent ainsi, toutes seules, le triangle de Pascal modulo $2$, que l'on photographie au microscope à force atomique.
Les erreurs. Le procédé n'est pas parfait. Il arrive qu'une mauvaise tuile reste accrochée par un seul côté avant d'être recouverte ; les auteurs mesurent un taux d'erreur compris entre $1\,\%$ et $10\,\%$ par tuile selon les conditions. Le point important est qu'une erreur ne reste pas isolée : les tuiles du dessus calculent à partir d'une entrée fausse, et toute une partie du triangle est faussée. La figure ci-dessous le montre.
Pourquoi c'est important. Le triangle n'est pas le but : c'est une démonstration. Dès 1994, l'informaticien Leonard Adleman avait résolu un petit problème de chemin dans un graphe en manipulant des brins d'ADN dans des tubes ; c'était la naissance du calcul moléculaire. Erik Winfree avait montré dans sa thèse, en 1998, qu'un assemblage de tuiles bien choisies peut en principe effectuer n'importe quel calcul qu'effectue un ordinateur. Le triangle de Sierpinski de 2004 a été l'une des premières réalisations expérimentales d'un tel assemblage « algorithmique ». Deux ans plus tard, Rothemund inventait l'origami d'ADN : un long brin replié par de petits brins agrafes en une forme choisie à l'avance (il dessina ainsi des visages souriants de cent nanomètres). Ces techniques servent aujourd'hui à fabriquer des structures à l'échelle du nanomètre, par exemple pour transporter des molécules ou positionner des composants avec une grande précision.
Il faut éviter un contresens : il ne s'agit pas de faire calculer des êtres vivants, ni de remplacer les ordinateurs. Un calcul par l'ADN est lent et sujet aux erreurs ; son intérêt est de construire des objets minuscules en programmant la façon dont ils s'assemblent.
Ce qu'il faut savoir sur une antenne. Une onde électromagnétique de fréquence $f$ a une longueur d'onde $\lambda = \dfrac{c}{f}$, où $c \approx 3 \times 10^8$ m/s est la vitesse de la lumière. Une antenne simple, une tige dressée au-dessus d'une surface métallique, fonctionne bien quand sa longueur vaut à peu près le quart de la longueur d'onde. Par exemple, pour $f = 900$ MHz :
$$\lambda = \frac{3 \times 10^8}{9 \times 10^8} \approx 0{,}33 \text{ m}, \qquad \frac{\lambda}{4} \approx 8{,}3 \text{ cm}.$$Pour une fréquence double, $1{,}8$ GHz, il faut une antenne deux fois plus courte, environ $4{,}2$ cm ; pour $3{,}6$ GHz, environ $2{,}1$ cm. Or un téléphone communique sur plusieurs bandes de fréquences (téléphonie, wifi, GPS, Bluetooth), et une tige donnée ne fonctionne bien qu'autour d'une fréquence.
L'idée fractale. Un objet auto-similaire contient des copies de lui-même à plusieurs échelles. Une antenne en forme de triangle de Sierpinski, alimentée par sa pointe, contient une copie de hauteur moitié, qui contient elle-même une copie de hauteur moitié, et ainsi de suite. Chaque échelle se comporte un peu comme une antenne de taille différente : l'antenne fonctionne sur plusieurs fréquences, à peu près dans le rapport $2$ les unes des autres, puisque les copies sont deux fois plus petites à chaque étape. C'est ce qu'ont mesuré en 1998 Carles Puente et ses collègues de l'université polytechnique de Catalogne avec leur « monopôle de Sierpinski ». Le même argument que pour le flocon de Koch joue aussi : une forme fractale fait tenir une grande longueur de métal dans un petit espace.
Une histoire et des nuances. Les premières publications sur les antennes fractales sont celles de l'astronome et radioamateur américain Nathan Cohen, en 1995. Selon le récit qu'il en fait, l'idée lui est venue parce que son propriétaire, à Boston, lui interdisait d'installer une grande antenne : il en a plié une en forme de courbe de Koch, et elle fonctionnait. Des entreprises ont ensuite été fondées pour exploiter ces brevets, et des antennes fractales équipent des téléphones et des objets connectés. Il faut toutefois rester prudent devant un jury : au début des années 2000, des ingénieurs, notamment Steven Best, ont montré que des antennes repliées non fractales, de même encombrement, obtiennent souvent des performances comparables. La forme fractale est une solution élégante parmi d'autres, pas une solution miracle ; les antennes des téléphones actuels ont des formes très variées, calculées par ordinateur.
Le jeu et son inventeur. On dispose de trois piquets et de $n$ disques de tailles différentes, empilés du plus grand au plus petit sur le premier piquet. Il faut transporter la pile sur un autre piquet, en déplaçant un seul disque à la fois et sans jamais poser un disque sur un plus petit. Le jeu est mis en vente en 1883 sous le nom d'un certain « professeur N. Claus (de Siam) » : c'est l'anagramme de Lucas (d'Amiens). Édouard Lucas, professeur de mathématiques au lycée Saint-Louis à Paris, est le même Lucas que celui du théorème sur le triangle de Pascal modulo $2$ cité plus haut. Une légende, publiée peu après, raconte que dans un temple de Bénarès des prêtres déplacent sans relâche $64$ disques d'or, et que le monde finira quand ils auront terminé.
Le nombre minimal de déplacements. Notons $h_n$ le nombre minimal de déplacements pour $n$ disques. Pour bouger le plus grand disque, il faut que les $n - 1$ autres soient tous sur le troisième piquet : il faut donc d'abord les y transporter ($h_{n-1}$ déplacements), puis déplacer le grand disque ($1$ déplacement), puis remettre les $n - 1$ disques dessus ($h_{n-1}$ déplacements). On obtient
$$h_1 = 1 \qquad \text{et} \qquad h_n = 2h_{n-1} + 1.$$C'est une suite arithmético-géométrique. En posant $v_n = h_n + 1$, on trouve $v_n = 2v_{n-1}$ : la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_1 = 2$, donc $v_n = 2^n$ et
$$h_n = 2^n - 1,$$ce que l'on peut aussi démontrer par récurrence. Pour les $64$ disques de la légende, à raison d'un déplacement par seconde, il faudrait $2^{64} - 1 \approx 1{,}8 \times 10^{19}$ secondes, soit environ $585$ milliards d'années, à comparer aux $13{,}8$ milliards d'années de l'âge de l'Univers.
Où est le triangle de Sierpinski ? Chaque disque peut être sur l'un des trois piquets, et une position autorisée est entièrement décrite par le piquet de chaque disque (sur un piquet, les disques sont forcément rangés par taille) : il y a donc $3^n$ positions. Dessinons un point par position et relions deux points quand un seul déplacement permet de passer de l'une à l'autre : c'est le graphe des tours de Hanoï. Les positions où le plus grand disque est sur un même piquet forment une copie du graphe à $n - 1$ disques ; il y a trois telles copies, reliées entre elles par un seul trait chacune (le déplacement du grand disque). Le graphe a donc la structure du triangle de Sierpinski. Les trois « coins » sont les positions où toute la pile est sur un seul piquet, et la solution optimale est le côté du triangle qui joint deux coins : $2^n - 1$ traits.
Une solution qui compte en binaire. Si l'on numérote les disques du plus petit ($1$) au plus grand, le disque déplacé au $k$-ième coup de la solution optimale est le numéro $1$ plus le nombre de zéros qui terminent l'écriture de $k$ en base $2$. Le plus petit disque bouge donc un coup sur deux (aux coups impairs), le disque $2$ aux coups $2$, $6$, $10$…, le disque $3$ aux coups $4$, $12$, $20$… C'est exactement ce qui se passe quand on compte en binaire : le dernier chiffre change à chaque fois, l'avant-dernier une fois sur deux, et ainsi de suite. Le programme suivant, récursif, affiche la solution.
Une réaction qu'on ne voulait pas croire. Au début des années 1950, le chimiste soviétique Boris Belousov cherche à imiter en éprouvette une étape de la respiration cellulaire. Il observe un mélange (acide citrique, bromate de potassium et un sel de cérium) qui passe du jaune à l'incolore, puis revient au jaune, plusieurs fois de suite, comme une horloge. Les revues refusent son article : les relecteurs pensent qu'une réaction ne peut pas osciller, et qu'il s'est trompé. Il n'en publie qu'un court résumé en 1959, dans un recueil peu lu. Au début des années 1960, un jeune chercheur, Anatoli Jabotinski, reprend et améliore l'expérience, avec un indicateur coloré qui passe du rouge au bleu. Le phénomène est désormais appelé réaction de Belousov-Jabotinski ; ses découvreurs reçoivent le prix Lénine en 1980, Belousov à titre posthume.
Pourquoi on n'y croyait pas, et pourquoi c'est possible. Une réaction chimique évolue vers l'équilibre, et il semblait contraire à la thermodynamique qu'un mélange revienne périodiquement en arrière. En réalité, le mélange dans son ensemble évolue bien vers l'équilibre : seules les quantités de certaines espèces intermédiaires oscillent, tant que le mélange est loin de l'équilibre. Au bout d'un certain temps, les réactifs s'épuisent et les oscillations s'arrêtent. Le mécanisme, en partie élucidé en 1972 par Richard Field, Endre Kőrös et Richard Noyes, repose sur deux ingrédients :
On reconnaît le couple activation et inhibition du modèle de Meinhardt pour les coquillages.
Des ondes et des spirales. Si l'on verse le mélange en couche mince dans une boîte de Petri, sans l'agiter, les oscillations ne sont plus synchronisées : des cercles bleus partent de certains points et se propagent sur le fond rouge, et une onde brisée s'enroule en spirale. Le milieu est dit excitable : un point au repos s'excite si ses voisins sont excités, puis traverse une période réfractaire pendant laquelle il ne peut pas être excité de nouveau. Ces trois règles suffisent à faire un automate cellulaire, présenté dans la figure ci-dessous. Elle montre ce qui arrive à une onde coupée en son milieu : son extrémité libre s'enroule.
Pourquoi cela intéresse aussi la biologie. Les mêmes ondes spirales se rencontrent dans des milieux vivants excitables. Dans le muscle cardiaque, une onde électrique parcourt normalement le cœur à chaque battement ; si elle se brise et s'enroule en spirale, le cœur se contracte de façon désordonnée, ce qui intervient dans certaines arythmies et dans la fibrillation. Des amibes sociales, les Dictyostelium, se rassemblent en suivant des ondes spirales d'un signal chimique qu'elles émettent elles-mêmes. Enfin, les taches fixes prévues par Turing en 1952, qui ne bougent pas comme ces ondes, ont été observées pour la première fois dans une réaction chimique en 1990, par une équipe de Bordeaux (Vincent Castets, Étiennette Dulos, Jacques Boissonade et Patrick De Kepper).
Le lien avec le triangle de Sierpinski est donc indirect mais profond : dans les coquillages, les réactions chimiques et les automates cellulaires, des règles locales simples, appliquées partout en même temps, produisent des formes globales complexes sans qu'aucun plan d'ensemble ne soit écrit nulle part.
Le premier programme écrit le triangle de Pascal modulo $2$ avec des étoiles ; le second applique la règle 30. On peut changer le nombre de lignes et exécuter.
>>.Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : les suites géométriques, leur limite selon la raison, la somme de leurs termes ; la fonction logarithme népérien et ses propriétés ; les coefficients binomiaux et la relation de Pascal ; le raisonnement par récurrence ; les homothéties et les milieux ; la loi uniforme et les variables aléatoires.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.