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Une pile de pièces de monnaie a le même volume, qu'elle soit bien droite ou penchée. Une ramette de papier aussi. Cette remarque banale est au cœur d'une méthode qui, au XVIIe siècle, a permis de calculer des aires et des volumes difficiles bien avant l'invention de l'intégrale : la méthode des indivisibles. On imagine qu'une surface est faite d'une infinité de lignes, et un volume d'une infinité de surfaces, ses « indivisibles ».
La méthode donne souvent le bon résultat… mais pas toujours. Ce texte présente ses succès, puis des contre-exemples qui montrent qu'elle est fausse telle quelle, et la façon dont certains mathématiciens l'ont corrigée, ce qui conduit tout droit à l'intégrale de terminale. Il rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
- Cavalieri et son principe
- Le volume de la boule par le bol de Galilée
- La méthode est fausse : des contre-exemples
- La parade : des indivisibles en progression arithmétique
- Vers l'intégrale : l'aire sous la parabole
- Roberval et la cycloïde
- Critiques et héritage
- Des directions pour construire sa question
Bonaventura Cavalieri est un religieux italien, élève de Galilée, professeur de mathématiques à Bologne. En 1635, il publie la Géométrie des indivisibles. Il y compare deux figures en comparant leurs indivisibles, et en tire un principe qui porte son nom.
Dans le plan. Deux figures sont placées entre deux droites parallèles. Si toute droite parallèle à celles-ci coupe les deux figures selon des segments de même longueur, alors les deux figures ont la même aire.
Dans l'espace. Deux solides sont placés entre deux plans parallèles. Si tout plan parallèle à ceux-ci coupe les deux solides selon des surfaces de même aire, alors les deux solides ont le même volume.
Un exemple à la main. Un rectangle de base $4$ et de hauteur $3$, et un parallélogramme de même base $4$ et de même hauteur $3$, posés sur la même droite. Toute parallèle à la base coupe chacun d'eux selon un segment de longueur $4$. D'après le principe, ils ont la même aire, $4 \times 3 = 12$ : on retrouve la formule de l'aire du parallélogramme. C'est la pile de pièces penchée.
Ce principe est juste. Avec les outils de terminale, il découle du calcul d'une aire ou d'un volume par une intégrale : si deux figures ont, à chaque hauteur $h$, des sections de même longueur (ou de même aire) $S(h)$, leurs aires (ou leurs volumes) valent toutes deux $\displaystyle\int_a^b S(h)\,\mathrm{d}h$. Ce qui pose problème, comme on le verra, c'est l'idée qu'une figure est la somme de ses lignes.
Dans ses Discours concernant deux sciences nouvelles (1638), Galilée compare une demi-boule à un « bol ». Prenons une demi-boule de rayon $R$, posée sur sa face plane. Et prenons un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $R$, dans lequel on creuse un cône renversé : sa pointe est au centre du fond, sa base est le disque du haut du cylindre. Ce qui reste est le bol.
Comparons les sections à la hauteur $h$ (avec $0 \leqslant h \leqslant R$).
- Demi-boule. La section est un disque. Son rayon $\rho$ vérifie, par le théorème de Pythagore dans le triangle formé par le centre, le centre de la section et un point du bord : $\rho^2 + h^2 = R^2$. Son aire est $\pi\rho^2 = \pi(R^2 - h^2)$.
- Bol. La section est une couronne : le disque du cylindre, de rayon $R$, privé du disque du cône. Le cône a sa pointe en bas et son rayon vaut $R$ en haut, à la hauteur $R$ : à la hauteur $h$, son rayon vaut $h$ (théorème de Thalès). L'aire de la couronne est $\pi R^2 - \pi h^2$.
Les deux aires sont égales à toute hauteur. D'après le principe de Cavalieri, la demi-boule et le bol ont le même volume :
$$V = \pi R^2 \times R - \frac{1}{3}\pi R^2 \times R,$$soit $V = \dfrac{2}{3}\pi R^3$ pour la demi-boule.
La boule entière a donc pour volume $\dfrac{4}{3}\pi R^3$. Archimède avait trouvé ce résultat bien avant, par une autre méthode (voir le texte sur Archimède). Vérification par une intégrale : une primitive de $h \mapsto \pi(R^2 - h^2)$ est $h \mapsto \pi\left(R^2 h - \dfrac{h^3}{3}\right)$, donc
$$\int_0^R \pi(R^2 - h^2)\,\mathrm{d}h = \pi\left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right),$$c'est-à-dire $\dfrac{2}{3}\pi R^3$.
Le principe de Cavalieri compare des lignes à la même hauteur. Mais la méthode des indivisibles va plus loin : elle affirme qu'une aire est la « somme » de toutes ses lignes. Prise à la lettre, cette idée conduit à des absurdités. Les contemporains de Cavalieri, en particulier son ami Evangelista Torricelli, en ont trouvé plusieurs.
Prenons le rectangle de sommets $O(0\,;0)$, $(2\,;0)$, $(2\,;1)$ et $(0\,;1)$. La diagonale qui joint $O$ au point $(2\,;1)$ le partage en deux triangles : $T_1$, en dessous, et $T_2$, au-dessus. Ils sont superposables (une symétrie de centre $(1\,;0{,}5)$ échange l'un et l'autre) : ils ont la même aire, $1$.
Associons maintenant à chaque point $P$ de la diagonale deux indivisibles :
- dans $T_1$, le segment vertical qui va de $P$ jusqu'à l'axe des abscisses ;
- dans $T_2$, le segment horizontal qui va de $P$ jusqu'à l'axe des ordonnées.
Quand $P$ parcourt la diagonale, les segments verticaux remplissent $T_1$ et les segments horizontaux remplissent $T_2$. Le point $P$ a pour coordonnées $\left(x\,;\frac{x}{2}\right)$ avec $0 \leqslant x \leqslant 2$ : le segment vertical mesure $\dfrac{x}{2}$ et le segment horizontal mesure $x$. Chaque indivisible de $T_2$ est deux fois plus long que son partenaire dans $T_1$, et ils se correspondent un à un. Si l'aire était la somme des indivisibles, on aurait $\text{aire}(T_2) = 2 \times \text{aire}(T_1)$, c'est-à-dire $1 = 2$.
Où est l'erreur ? Les segments verticaux sont espacés régulièrement selon $x$, mais les segments horizontaux, qui passent par les mêmes points, sont espacés selon $y = \dfrac{x}{2}$ : deux fois plus serrés. Si l'on donne à chaque indivisible une petite épaisseur, les bandes horizontales sont deux fois plus fines que les bandes verticales. Le double de longueur est exactement compensé par la moitié d'épaisseur. Une aire n'est pas une somme de longueurs : c'est une somme de longueurs multipliées par des épaisseurs.
Galilée a lui-même remarqué une conséquence étrange du bol. À la hauteur $h = R$, tout en haut, la section de la demi-boule se réduit à un point, et la section du bol à un cercle de rayon $R$ (la couronne a une épaisseur nulle). Si les indivisibles « égaux » à chaque hauteur étaient vraiment égaux, il faudrait conclure qu'un cercle est égal à un point. Galilée en tire que l'on ne peut pas comparer des indivisibles comme on compare des grandeurs ordinaires.
Un dernier contre-exemple, cette fois pour les longueurs. Dans un carré de côté $1$, on va d'un coin au coin opposé par un escalier de $n$ marches, dont chaque marche mesure $\frac{1}{n}$ en largeur et $\frac{1}{n}$ en hauteur.
- La longueur de l'escalier vaut $n \times \left(\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n}\right) = 2$, quel que soit $n$.
- Quand $n$ augmente, l'escalier se rapproche autant qu'on veut de la diagonale : tous ses points sont à une distance au plus $\dfrac{1}{n}$ de celle-ci.
- « À la limite », on obtiendrait une diagonale de longueur $2$. Or elle mesure $\sqrt{2} \approx 1{,}41$.
Pourtant, l'aire sous l'escalier, elle, tend bien vers l'aire du triangle, $\dfrac{1}{2}$. Le passage « à l'infiniment fin » marche pour certaines grandeurs et pas pour d'autres : il faut une théorie pour savoir quand on a le droit de le faire. Le texte Longueur d'un arc de courbe montre comment on mesure correctement une longueur.
Plusieurs mathématiciens ont compris d'où venaient ces paradoxes. Le Français Gilles Personne de Roberval (1602-1675), professeur au Collège royal (l'actuel Collège de France), écrit dans son Traité des indivisibles (publié seulement en 1693, après sa mort) qu'il ne considère pas une surface comme faite de lignes, mais d'une infinité de petites surfaces. Il les prend toutes de même épaisseur : les positions des indivisibles forment une progression arithmétique, c'est-à-dire, en langage d'aujourd'hui, une suite arithmétique, avec un écart constant entre deux indivisibles voisins.
C'est exactement ce qui manquait dans le paradoxe des deux triangles : si l'on découpe les deux triangles en bandes verticales de même largeur, la bande de $T_1$ à l'abscisse $x$ a pour hauteur $\frac{x}{2}$ et celle de $T_2$ a pour hauteur $1 - \frac{x}{2}$ ; les sommes de leurs aires se calculent et donnent toutes les deux $1$. Avec des bandes régulièrement espacées, la méthode devient un calcul de sommes, et la question devient : ces sommes ont-elles une limite quand les bandes deviennent de plus en plus fines ? C'est l'idée des sommes de rectangles, qui conduit à l'intégrale.
Cherchons l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre la parabole $y = x^2$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 1$. Découpons $[0\,;1]$ en $4$ bandes de largeur $\dfrac{1}{4}$ : les abscisses $0$, $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{4}$, $1$ sont en progression arithmétique.
- Avec des rectangles qui passent sous la courbe (hauteur prise à gauche) : $$\frac{1}{4} \times \frac{0 + 1 + 4 + 9}{16} = \frac{14}{64} \approx 0{,}219.$$
- Avec des rectangles qui dépassent (hauteur prise à droite) : $$\frac{1}{4} \times \frac{1 + 4 + 9 + 16}{16} = \frac{30}{64} \approx 0{,}469.$$
Donc $0{,}219 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 0{,}469$. Pour serrer l'encadrement, il faut plus de bandes, et donc savoir calculer la somme des carrés des entiers.
Initialisation. Pour $n = 1$ : $1^2 = 1$ et $\dfrac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1$.
Hérédité. Supposons la formule vraie au rang $n$. Alors
la somme $1^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2$ est égale à
$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2.$$On met $\dfrac{n+1}{6}$ en facteur : le membre de droite vaut $\dfrac{n+1}{6}\big(n(2n+1) + 6(n+1)\big)$, et
On développe : $n(2n+1) + 6(n+1)$ est égal à $2n^2 + 7n + 6$,
et l'on vérifie en développant que $2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3)$.
On obtient $\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$, c'est-à-dire la formule au rang $n+1$, puisque $2(n+1) + 1 = 2n + 3$.
Vérification : pour $n = 4$, $\dfrac{4 \times 5 \times 9}{6} = 30$, la somme trouvée plus haut. Roberval utilisait une forme de ce résultat : la somme des carrés des $n$ premiers entiers est un peu plus grande que le tiers de $n^3$.
Avec $n$ bandes de largeur $\dfrac{1}{n}$, la somme des rectangles qui dépassent vaut
$$S_n = \frac{1}{n}\left(\frac{1^2}{n^2} + \cdots + \frac{n^2}{n^2}\right),$$c'est-à-dire
$$S_n = \frac{1^2 + \cdots + n^2}{n^3}.$$D'après la formule, $S_n = \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$. De même, la somme des rectangles qui passent sous la courbe s'arrête au carré $(n-1)^2$, d'où $s_n = \dfrac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$. En développant le numérateur de $S_n$ :
$$S_n = \frac{2n^2 + 3n + 1}{6n^2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}.$$Quand $n$ tend vers $+\infty$, $\dfrac{1}{2n}$ et $\dfrac{1}{6n^2}$ tendent vers $0$, donc $S_n$ tend vers $\dfrac{1}{3}$. Le même calcul donne $s_n = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{6n^2}$, qui tend aussi vers $\dfrac{1}{3}$. Comme $s_n \leqslant \mathcal{A} \leqslant S_n$ pour tout $n$, le théorème des gendarmes donne $\mathcal{A} = \dfrac{1}{3}$. C'est bien $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}$.
Les sommes de rectangles de même largeur sont les ancêtres directs des sommes de Riemann, qui servent depuis 1854 à définir rigoureusement l'intégrale.
Une roue de rayon $r$ roule sans glisser sur le sol. Un point marqué sur le bord de la roue décrit une courbe en arches, la cycloïde, que l'on appelait aussi « la roulette ». Quand la roue a tourné d'un angle $t$ (en radians), elle a avancé de $rt$ (la longueur d'arc déroulée sur le sol) et le point marqué a pour coordonnées
$$x(t) = rt - r\sin t,$$ $$y(t) = r - r\cos t.$$Une arche correspond à un tour de roue, $0 \leqslant t \leqslant 2\pi$ : elle est large de $2\pi r$ et haute de $2r$.
Vers 1634-1636, Roberval montre que l'aire sous une arche vaut trois fois l'aire du disque de la roue. Voici l'idée de sa démonstration, pour une demi-arche ($0 \leqslant t \leqslant \pi$), qui doit valoir $\dfrac{3}{2}\pi r^2$. Il introduit une « compagne » de la cycloïde : la courbe des points $(rt\,;\,r - r\cos t)$, qui ont la même hauteur que le point de la cycloïde mais sont décalés vers la droite de $r\sin t$.
- Sous la compagne. La compagne est la courbe $y = r - r\cos\dfrac{x}{r}$ pour $0 \leqslant x \leqslant \pi r$. Une primitive de $x \mapsto r - r\cos\dfrac{x}{r}$ est $x \mapsto rx - r^2\sin\dfrac{x}{r}$, donc l'aire sous la compagne vaut $\pi r^2 - r^2 \sin\pi - 0 = \pi r^2$. (Roberval l'obtenait par une symétrie : la compagne partage le rectangle de côtés $\pi r$ et $2r$ en deux moitiés superposables.)
- Entre la cycloïde et sa compagne. À la hauteur $y = r - r\cos t$, la largeur de la bande est $r\sin t$. Or le cercle de la roue, posé sur le sol (centre à la hauteur $r$), a à cette même hauteur une demi-corde horizontale de longueur $\sqrt{r^2 - (y - r)^2}$, c'est-à-dire $\sqrt{r^2 - r^2\cos^2 t}$, soit $r\sin t$ (car $\sin t \geqslant 0$ pour $0 \leqslant t \leqslant \pi$). Les deux figures ont des sections de même longueur à toute hauteur : par le principe de Cavalieri, la région entre les deux courbes a l'aire d'un demi-disque, $\dfrac{\pi r^2}{2}$.
L'aire sous la demi-arche est donc $\pi r^2 + \dfrac{\pi r^2}{2} = \dfrac{3}{2}\pi r^2$, et l'aire sous l'arche entière $3\pi r^2$. Le principe de Cavalieri est ici utilisé correctement : on compare des segments à la même hauteur.
Roberval ne publie pas sa démonstration : sa chaire du Collège royal était remise en jeu tous les trois ans par un concours, et garder ses méthodes secrètes lui donnait un avantage. Quand Torricelli publie le même résultat en 1644, Roberval l'accuse de plagiat. En 1658, Blaise Pascal, sous le pseudonyme d'Amos Dettonville, lance un concours sur la cycloïde (aires, volumes, centres de gravité) et en raconte l'histoire dans son Histoire de la roulette. Le prix n'est attribué à personne, mais le concours fait progresser la question : l'Anglais Christopher Wren montre alors qu'une arche a pour longueur $8r$.
La méthode a été vivement attaquée. Le jésuite suisse Paul Guldin reproche à Cavalieri de parler de « toutes les lignes » d'une figure, une infinité qu'on ne peut ni compter ni comparer ; Cavalieri lui répond en 1647. Certains historiens pensent que l'opposition des jésuites aux indivisibles avait aussi des raisons philosophiques et religieuses : admettre que le continu est fait d'éléments indivisibles heurtait la philosophie d'Aristote enseignée dans leurs collèges. Ce point reste discuté.
Malgré les critiques, la méthode s'est répandue parce qu'elle donnait des résultats. À la fin du XVIIe siècle, Newton et Leibniz inventent le calcul différentiel et intégral, qui reprend l'idée de sommer des éléments infiniment petits, avec une notation (le signe $\int$ de Leibniz est un S allongé, pour « somme ») et des règles de calcul. Mais il faudra attendre le XIXe siècle, avec Cauchy puis Riemann, et la définition précise de la limite, pour que les contre-exemples soient vraiment écartés : une aire est la limite de sommes de rectangles dont la largeur tend vers $0$, pas une somme de lignes.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : le principe de Cavalieri et le volume de la boule ; les paradoxes des indivisibles et leur explication ; la somme des carrés par récurrence et l'encadrement de l'aire sous la parabole ; l'aire de la cycloïde ; ce qu'apporte la notion de limite.
- HGGSP : les savants du XVIIe siècle, leurs réseaux et leurs querelles de priorité ; les concours et la chaire de Ramus ; le débat entre science et autorités religieuses.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : le raisonnement par récurrence ; les suites arithmétiques ; les limites de suites et le théorème des gendarmes ; l'intégrale comme aire, les primitives et le calcul d'une intégrale ; le calcul de volumes simples ; les fonctions trigonométriques et leurs dérivées.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Principe de Cavalieri, méthode des indivisibles et cycloïde (Wikipédia).
- B. Pascal, Histoire de la roulette, 1658.
- Sur ce site : Archimède, Aristote et l'infini, les paradoxes de Zénon, Longueur d'un arc de courbe et Nicole Oresme (la distance comme aire).