Les plus anciennes valeurs connues viennent de calculs pratiques, pour des champs, des greniers ou des cuves.

• Babylone. Une tablette trouvée à Suse, datée du début du II^e millénaire avant notre ère, compare le périmètre d'un hexagone et celui du cercle, et conduit à la valeur $3 + \dfrac{1}{8} = 3{,}125$.
• L'Égypte. Le papyrus Rhind (vers 1650 avant notre ère) calcule l'aire d'un champ rond de diamètre $9$ comme celle d'un carré de côté $8$. Cela revient à prendre $\pi \times 4{,}5^2 = 8^2$, soit $\pi = \dfrac{256}{81} \approx 3{,}1605$.
• La Bible. Le Premier livre des Rois (7, 23) décrit dans le temple de Salomon une cuve de bronze ronde de dix coudées « d'un bord à l'autre » et dont « un cordon de trente coudées » fait le tour : cela revient à $\pi = 3$. Il s'agit d'une description, pas d'un calcul.

Prenons un cercle de rayon $1$, donc de périmètre $2\pi$.

L'hexagone inscrit. Un hexagone régulier inscrit se découpe en six triangles équilatéraux de côté $1$ : son périmètre vaut $6$. Le plus court chemin entre deux points étant la ligne droite, chaque côté est plus court que l'arc qu'il sous-tend. Donc $6 < 2\pi$, c'est-à-dire $\pi > 3$.

L'hexagone circonscrit. Ses côtés sont tangents au cercle. Depuis le centre, chaque côté est vu sous un angle de $60°$ et se trouve à la distance $1$ du centre : un demi-côté vaut $\tan 30° = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Le périmètre vaut donc $12 \times \dfrac{1}{\sqrt 3} = 4\sqrt{3}$, et il est plus long que le cercle : $2\pi < 4\sqrt 3$, soit $\pi < 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$.

On a donc $3 < \pi < 3{,}47$. En doublant le nombre de côtés, on resserre l'encadrement : avec $n$ côtés, les mêmes calculs donnent

Ces formules contiennent $\pi$ et ne servent donc pas à le calculer : elles montrent seulement que l'encadrement se resserre. Pour calculer vraiment, Archimède passe de $n$ à $2n$ côtés par des racines carrées, sans connaître $\pi$. Avec $96$ côtés, il obtient $\dfrac{223}{71} < \pi < \dfrac{22}{7}$, soit $3{,}1408 < \pi < 3{,}1429$. Ce calcul est détaillé, avec un programme Python, dans le texte Archimède.

La méthode des polygones a été reprise ailleurs, et poussée très loin.

• En Chine, Liu Hui commente en 263 un classique de calcul, les Neuf chapitres. Avec un polygone de $192$ côtés, il obtient $3{,}14$, puis $3{,}1416$ avec $3\,072$ côtés. Deux siècles plus tard, Zu Chongzhi encadre $\pi$ entre $3{,}1415926$ et $3{,}1415927$, et propose la fraction $\dfrac{355}{113} \approx 3{,}14159292$, juste à six décimales. Il faudra près de mille ans pour faire mieux.
• À Samarcande, en 1424, l'astronome persan al-Kashi calcule $2\pi$ avec seize décimales exactes, à l'aide d'un polygone de $3 \times 2^{28}$ côtés, soit plus de 800 millions. Il choisit ce nombre pour que l'erreur soit plus petite que l'épaisseur d'un cheveu sur un cercle de la taille de l'univers connu de son temps, explique-t-il.
• À Leyde, Ludolph van Ceulen consacre une grande partie de sa vie au calcul de $\pi$ par les polygones et atteint $35$ décimales, publiées après sa mort en 1615. En Allemagne, on a longtemps appelé $\pi$ le « nombre de Ludolph ».

La reconstitution de la pierre tombale de Ludolph van Ceulen dans la Pieterskerk de Leyde (l'originale était perdue) : le texte encadre le périmètre d'un cercle de diamètre $1$ entre deux nombres de $35$ décimales. Photo : A.L. Boon, Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 3.0.

En 1593, le Français François Viète écrit la première formule exacte qui donne $\pi$ par une infinité d'opérations : un produit infini de racines carrées imbriquées, tiré lui aussi des polygones. Elle fait l'objet d'un texte à part, Le premier produit infini.

À la fin du XVII^e siècle, avec le calcul différentiel et intégral, une idée nouvelle apparaît : obtenir $\pi$ par une somme infinie de fractions toutes simples. Leibniz publie en 1682 la formule suivante, déjà connue en Écosse par James Gregory et, bien avant, en Inde, dans l'école du Kerala (Madhava, vers 1400) :

Plus précisément, si l'on note $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{2k+1}$ la somme des $n+1$ premiers termes, alors la suite $(S_n)$ converge vers $\dfrac{\pi}{4}$.

À la main. $S_0 = 1$, $S_1 = 1 - \dfrac13 = \dfrac23 \approx 0{,}667$, $S_2 = \dfrac23 + \dfrac15 = \dfrac{13}{15} \approx 0{,}867$, $S_3 = \dfrac{13}{15} - \dfrac17 = \dfrac{76}{105} \approx 0{,}724$. Les sommes oscillent autour de $\dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785$, en s'en rapprochant lentement.

La fonction $t \mapsto \dfrac{1}{1+t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ ; elle admet donc une primitive $F$ qui s'annule en $0$ : $F(x) = \displaystyle\int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}$. On l'appelle « arc tangente », mais on n'a besoin que de sa définition.

Une formule très lente. La majoration explique la lenteur : l'erreur sur $\pi$, c'est-à-dire sur $4S_n$, est de l'ordre de $\dfrac{2}{n}$. Avec $100$ termes, $4S_n$ vaut environ $3{,}1316$ : une seule décimale juste. Pour chaque décimale de plus, il faut dix fois plus de termes : personne n'a jamais calculé $\pi$ sérieusement ainsi.

La série de Leibniz est lente parce qu'on y remplace $t$ par $1$ : les puissances $1^{2k}$ ne diminuent pas. La même démonstration, menée entre $0$ et un nombre $x$ de $[0\,;1]$, donne

avec un reste qui vérifie

Pour $x = \dfrac15$, chaque terme est environ $25$ fois plus petit que le précédent : on gagne presque une décimale et demie par terme. En 1706, l'astronome anglais John Machin trouve une égalité qui permet d'en profiter :

Il calcule ainsi $100$ décimales de $\pi$, à la main. Avec seulement trois termes de chaque somme, on a déjà $3{,}14162$, et avec cinq termes, sept décimales justes.

Le programme suivant affiche, pour quelques nombres de termes, la valeur obtenue par chacune des trois méthodes et l'écart avec la valeur de $\pi$ connue de Python. On peut changer la liste des nombres de termes.

Avec $10$ termes, la formule de Machin atteint déjà la précision maximale des nombres à virgule de l'ordinateur (une quinzaine de chiffres), alors que Leibniz et Wallis ne donnent même pas la première décimale. Pour aller au-delà, les programmes de records travaillent avec des entiers immenses plutôt qu'avec des nombres à virgule.

Pendant deux siècles, des calculateurs appliquent ce type de formules à la main. L'Anglais William Shanks publie en 1873 un calcul de $707$ décimales, fruit de longues années de travail. En 1946, D. F. Ferguson, qui refait le calcul avec une machine de bureau, découvre que Shanks s'est trompé à partir de la $528^\text{e}$ décimale : tout ce qui suit est faux.

En 1949, l'ordinateur ENIAC, l'un des tout premiers, calcule $2\,037$ décimales en environ $70$ heures, avec la formule de Machin. C'est un test autant qu'un calcul : on vérifie qu'une machine fonctionne en lui faisant calculer un nombre connu. Depuis, la course continue avec des formules bien plus rapides (Ramanujan, les frères Chudnovsky) : au milieu des années 2020, les records dépassent la centaine de milliers de milliards de décimales. L'animation les dix millions premières décimales de π permet d'en parcourir une petite partie.

Ces décimales ne servent pas aux calculs pratiques : une quarantaine suffit pour calculer le périmètre de l'univers observable à la taille d'un atome près. Elles servent à tester les ordinateurs (une seule erreur de calcul se voit), à éprouver de nouveaux algorithmes, et à étudier une question encore ouverte : les chiffres de $\pi$ se comportent-ils comme s'ils étaient tirés au hasard ?

Georges-Louis Leclerc, futur comte de Buffon, est surtout connu comme naturaliste, auteur de l'Histoire naturelle et intendant du Jardin du roi, l'actuel Jardin des plantes. Jeune, il fait des mathématiques : en 1733, il présente à l'Académie des sciences un mémoire sur le jeu du « franc-carreau », où l'on parie sur la position d'une pièce jetée sur un carrelage. C'est l'une des premières fois que des probabilités sont calculées avec des aires, donc avec le calcul intégral, et non en comptant des cas.

Le mémoire est perdu, mais Buffon le reprend en 1777 dans son Essai d'arithmétique morale, avec un problème devenu célèbre : on jette une aiguille sur un parquet dont les lames sont parallèles et de même largeur. Quelle est la probabilité que l'aiguille tombe à cheval sur deux lames ?

La page de l'Essai d'arithmétique morale où Buffon pose le problème : « Je suppose que dans une chambre, dont le parquet est simplement divisé par des joints parallèles, on jette en l'air une baguette… ». Image : Wikimedia Commons, domaine public.

Contrairement à ce qu'on lit souvent, Buffon ne s'est jamais servi des aiguilles pour estimer $\pi$ : il cherchait la longueur d'aiguille qui rend le pari équitable. C'est Laplace, en 1812, dans sa Théorie analytique des probabilités, qui propose de jeter des aiguilles pour retrouver $\pi$, tout en précisant que les géomètres n'emploieront sans doute pas ce moyen.

Les lames ont une largeur $d$ et l'aiguille une longueur $\ell \leqslant d$ (elle ne peut alors couper qu'un seul joint). Une position de l'aiguille est décrite par deux nombres :

• $y$, la distance de son milieu au joint le plus proche, comprise entre $0$ et $\dfrac{d}{2}$ ;
• $\theta$, l'angle aigu qu'elle fait avec les joints, compris entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$.

Chaque moitié de l'aiguille s'écarte du milieu, perpendiculairement aux joints, de $\dfrac{\ell}{2}\sin\theta$ (trigonométrie dans le triangle rectangle). L'aiguille coupe donc le joint exactement quand

Lancer « au hasard » signifie ici que le point $(\theta\,;y)$ tombe uniformément dans le rectangle $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right] \times \left[0\,;\dfrac{d}{2}\right]$ : la probabilité d'une région est son aire divisée par celle du rectangle. C'est le même principe que dans la méthode de Monte-Carlo.

Exemple. Pour une aiguille de la largeur d'une lame ($\ell = d$), $p = \dfrac{2}{\pi} \approx 0{,}637$ : près de deux aiguilles sur trois coupent un joint. Le pari est équitable quand $p = \dfrac12$, c'est-à-dire $\ell = \dfrac{\pi}{4}d \approx 0{,}785\,d$ : c'est la réponse de Buffon, « à peu près les trois quarts » de la largeur d'une lame.

Avec $\ell = d$, on a $p = \dfrac{2}{\pi}$, donc $\pi = \dfrac{2}{p}$. On jette $n$ aiguilles et on compte les $c$ qui coupent un joint. La fréquence $f = \dfrac{c}{n}$ est une estimation de $p$, et $\dfrac{2}{f} = \dfrac{2n}{c}$ une estimation de $\pi$. Par la loi des grands nombres, plus $n$ est grand, plus il est probable que la fréquence $f$ soit proche de $p$, donc que $\dfrac{2n}{c}$ soit proche de $\pi$.

Exemple à la main. Sur $100$ aiguilles, $66$ coupent un joint : l'estimation vaut $\dfrac{200}{66} \approx 3{,}03$. Avec $63$, elle vaudrait $3{,}17$. Une seule aiguille de plus ou de moins change la deuxième décimale.

Le nombre $X$ d'aiguilles qui coupent un joint suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (lancers indépendants, deux issues). La fréquence $F = \dfrac{X}{n}$ a pour espérance $p$ et pour variance $\dfrac{p(1-p)}{n}$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne, pour tout $\delta > 0$,

car $p(1-p) \leqslant \dfrac14$ (le maximum de $x(1-x)$ est atteint en $\dfrac12$). Pour que ce risque soit au plus de $5\,\%$, il suffit de prendre $\dfrac{1}{4n\delta^2} = 0{,}05$, soit $\delta = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}2\,n}} \approx \dfrac{2{,}24}{\sqrt n}$.

(Le tableau suppose que la fréquence obtenue est exactement $\dfrac{2}{\pi}$, pour montrer la largeur de l'intervalle.) La précision progresse comme $\dfrac{1}{\sqrt n}$ : pour gagner une décimale, il faut cent fois plus de lancers. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est prudente ; un calcul plus fin (avec la loi normale) divise la largeur par un peu plus de deux, mais ne change pas cette règle. Le cours complet sur l'intervalle de confiance se trouve dans le texte La méthode de Monte-Carlo, qui calcule aussi $\pi$ en jetant des points dans un carré.

Pour simuler une aiguille, il faut tirer un angle au hasard. Mais tirer un angle entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$ suppose de connaître $\pi$ ! Le programme ci-dessous contourne le problème : il tire un point au hasard dans un quart de disque et prend la direction de ce point. Le sinus s'obtient alors sans jamais utiliser $\pi$.

En 1901, l'Italien Mario Lazzarini annonce avoir lancé $3\,408$ aiguilles, avec un rapport $\dfrac{\ell}{d} = \dfrac56$, et obtenu $1\,808$ intersections. Son estimation vaut alors

c'est-à-dire

avec six décimales justes : un résultat bien trop beau. D'après le calcul de précision ci-dessus, $3\,408$ lancers ne garantissent même pas la première décimale. Plusieurs indices font douter :

• $3\,408 = 16 \times 213$ et $1\,808 = 16 \times 113$ : les nombres sont exactement ceux qu'il faut pour tomber sur la fraction $\dfrac{355}{113}$ de Zu Chongzhi, connue depuis longtemps.
• Avec ces réglages, la probabilité d'obtenir exactement $1\,808$ intersections sur $3\,408$ lancers est d'environ $1{,}4\,\%$. Ce n'est pas impossible, mais il suffit de s'arrêter au « bon » moment, ou de choisir le nombre de lancers après coup, pour fabriquer un tel résultat.

En 1994, le mathématicien Lee Badger a analysé ce compte rendu et conclu qu'il était très probablement arrangé. Cette histoire est une belle leçon de statistique : une estimation trop précise, compte tenu du nombre d'essais, est aussi suspecte qu'une estimation fausse.

Toutes les valeurs historiques sont des fractions : $\dfrac{22}{7}$, $\dfrac{355}{113}$, $\dfrac{256}{81}$… La question se pose donc : $\pi$ est-il lui-même une fraction ?

• En 1761, Jean-Henri Lambert, savant alsacien de l'Académie de Berlin, démontre que $\pi$ est irrationnel : ce n'est pas un quotient de deux entiers. Ses décimales ne deviennent donc jamais périodiques. Sa preuve utilise un développement de la tangente en « fraction continue », au-delà du programme de terminale.
• En 1882, l'Allemand Ferdinand von Lindemann démontre davantage : $\pi$ est transcendant. Il n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers, comme $x^2 - 2 = 0$ (dont $\sqrt2$ est solution, ce qui en fait un nombre irrationnel mais pas transcendant).

Pour comparer : démontrer que $\sqrt 2$ est irrationnel tient en quelques lignes, par l'absurde et la parité. Pour $\pi$, il a fallu deux mille ans après Euclide, et les outils de l'analyse.

Depuis l'Antiquité grecque, un problème célèbre résiste : construire, à la règle et au compas seulement, un carré de même aire qu'un disque donné. Pour un disque de rayon $1$, il faut un carré de côté $\sqrt{\pi}$.

En 1837, Pierre-Laurent Wantzel montre que toutes les longueurs constructibles à la règle et au compas (à partir d'une longueur $1$) sont solutions d'équations polynomiales à coefficients entiers : elles s'obtiennent par additions, multiplications, divisions et racines carrées. Si $\sqrt\pi$ était constructible, $\pi$ le serait aussi, en le multipliant par lui-même, et il ne serait pas transcendant. Le théorème de Lindemann ferme donc la question : la quadrature du cercle est impossible.

L'expression « chercher la quadrature du cercle » est restée dans la langue pour désigner une entreprise vouée à l'échec. Elle n'a pas découragé tout le monde : en 1897, aux États-Unis, un projet de loi de l'Indiana, inspiré par un médecin persuadé d'avoir résolu le problème, imposait une méthode qui revenait à donner à $\pi$ une valeur fausse. Voté par la Chambre des représentants de l'État, il fut ajourné par le Sénat après l'intervention d'un professeur de mathématiques de passage.