François Viète naît en 1540 à Fontenay-le-Comte, en Vendée. Il est avocat, puis conseiller au parlement de Bretagne à Rennes, puis maître des requêtes du roi Henri III à partir de 1580, une charge importante dans l'administration du royaume. Ses mathématiques, il les fait à côté de ce métier, et il paie souvent lui-même l'impression de ses livres. Nous sommes en pleine guerre de Religion : Viète, longtemps proche de familles protestantes, suit Henri III à Tours en 1589, puis sert Henri IV jusqu'en 1602. Il meurt à Paris en 1603.

Avant Viète, on écrit les problèmes avec des mots et des exemples numériques. Dans son Introduction à l'art analytique (Isagoge, 1591), il propose de noter les inconnues par des voyelles ($A$, $E$…) et les quantités connues par des consonnes ($B$, $D$…). Pour la première fois, on peut raisonner sur toutes les équations d'un même type à la fois, au lieu de résoudre des exemples un par un : c'est le début du calcul littéral que l'on apprend au collège.

L'écriture reste lourde : la multiplication se dit in, le carré quadratum, le cube cubus, et l'égalité s'écrit en toutes lettres. Viète refuse aussi les nombres négatifs et impose que tous les termes d'une égalité aient la même « dimension » (on n'ajoute pas une longueur à une aire). Descartes, en 1637, simplifiera tout cela avec les lettres minuscules et les inconnues $x$, $y$, $z$ que nous utilisons encore.

Pendant les guerres de Religion, la Ligue catholique, soutenue par le roi Philippe II d'Espagne, combat Henri IV. Des lettres chiffrées envoyées par les Espagnols sont interceptées et confiées à Viète. Elles utilisent un chiffrement homophone : une même lettre peut être codée par plusieurs groupes de symboles différents, ce qui brouille le simple comptage des fréquences. Viète parvient pourtant à casser ces codes, en cherchant d'abord les voyelles (il en remarque une parmi presque toutes les suites de trois lettres) et en exploitant les nombres laissés en clair : dans un message militaire, $5\,000$ annonce plutôt des fantassins et une centaine plutôt des cavaliers.

Le récit traditionnel veut que Philippe II, persuadé que seul le diable pouvait lire ses lettres, se soit plaint au pape de sorcellerie. Le pape, qui avait ses propres déchiffreurs, n'y aurait pas donné suite. L'anecdote est souvent racontée ; elle dit surtout à quel point le déchiffrement était devenu une affaire d'État. On retrouve d'ailleurs une parenté entre les deux activités de Viète : dans un message chiffré comme dans une équation, on cherche des inconnues, et les voyelles sont les premières trouvées.

Dans un cercle de centre $O$ et de rayon $1$, on inscrit un polygone régulier à $m$ côtés. Il est formé de $m$ triangles isocèles identiques, de sommet $O$, dont les deux côtés égaux mesurent $1$ et forment un angle de $\dfrac{2\pi}{m}$. L'aire d'un tel triangle vaut $\dfrac{1}{2}\times 1 \times 1 \times \sin\left(\dfrac{2\pi}{m}\right)$ (base $1$, hauteur $\sin\left(\dfrac{2\pi}{m}\right)$), donc l'aire du polygone est

Exemples à la main. Pour le carré $(m = 4)$ : $A_4 = 2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2$. Pour l'octogone $(m = 8)$ : $A_8 = 4\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$. Le rapport vaut $\dfrac{A_4}{A_8} = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : c'est exactement le premier facteur $c_1 = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$. Ce n'est pas un hasard.

On double le nombre de côtés en partant du carré : $4$, $8$, $16$, $32$… Les rapports successifs se simplifient en cascade :

Avec la propriété, le membre de gauche vaut $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{16}\right)$. Plus généralement, pour tout entier $n \geqslant 1$, en notant $P_n$ le produit des $n$ premiers facteurs :

Le symbole $\displaystyle\prod$ se lit « produit » : il joue pour les multiplications le rôle que $\displaystyle\sum$ joue pour les additions.

Quand le nombre de côtés devient très grand, le polygone « remplit » le disque, dont l'aire vaut $\pi$. Viète l'admet comme une évidence géométrique. Avec le cours de terminale, on peut le démontrer. Posons $h = \dfrac{2\pi}{m}$ ; alors

Quand $m$ tend vers $+\infty$, $h$ tend vers $0$, et $\dfrac{\sin(h)}{h} = \dfrac{\sin(h) - \sin(0)}{h - 0}$ est un taux d'accroissement de la fonction sinus en $0$ : il tend vers le nombre dérivé $\sin'(0) = \cos(0) = 1$. Donc $A_m$ tend vers $\pi$, et $P_n$ tend vers $\dfrac{2}{\pi}$ :

C'est la formule de Viète : il reste à voir que $\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+1}}\right)$ est bien le facteur $c_k$ aux racines imbriquées (section 5).

Soit $x$ un réel non nul. On pose $h = \dfrac{x}{2^n}$, qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Alors

et, comme dans la section précédente, $\dfrac{\sin(h)}{h}$ tend vers $\sin'(0) = 1$. Donc $2^n\sin\left(\dfrac{x}{2^n}\right)$ tend vers $x$. Pour $\sin(x) \neq 0$, on divise l'égalité de la propriété :

et ce quotient tend vers $\dfrac{\sin(x)}{x}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

• Avec $x = \dfrac{\pi}{2}$, on retrouve la formule de Viète : le produit tend vers $\dfrac{1}{\pi/2} = \dfrac{2}{\pi}$.
• Avec $x = \dfrac{\pi}{3}$, on obtient une autre formule : le produit des $\cos\left(\dfrac{\pi}{3\times 2^k}\right)$ tend vers $\dfrac{\sqrt{3}/2}{\pi/3} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi} \approx 0{,}82699$.

Puisque $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$, on a $\ln(P_n) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\ln(u_k)$. Comme la fonction exponentielle est continue et que $P_n = \mathrm{e}^{\ln(P_n)}$ :

• si la somme $\ln(P_n)$ a une limite finie $S$, le produit converge vers $\mathrm{e}^{S}$, qui n'est pas nul ;
• si la somme tend vers $-\infty$, le produit tend vers $0$ : on dit qu'il diverge vers $0$, car la somme, elle, ne converge pas.

Étudier un produit infini, c'est donc étudier une somme infinie de logarithmes.

• Un produit qui diverge. $\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{k}\right)$ $= \dfrac{2}{1}\times\dfrac{3}{2}\times\cdots\times\dfrac{n+1}{n}$ $= n+1$, qui tend vers $+\infty$, alors que les facteurs tendent vers $1$. En prenant le logarithme, on obtient $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{1}{k}\right) = \ln(n+1)$ : c'est une autre manière de voir que la série harmonique diverge, puisque $\ln\left(1+\dfrac{1}{k}\right) \leqslant \dfrac{1}{k}$.
• Un produit qui tend vers $0$. $\displaystyle\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k}\right)$ $= \dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\times\cdots\times\dfrac{n-1}{n}$ $= \dfrac{1}{n}$, qui tend vers $0$ : par convention, ce produit diverge.
• Un produit qui converge. Comme $1-\dfrac{1}{k^2} = \dfrac{(k-1)(k+1)}{k^2}$, le produit $\displaystyle\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$ se simplifie en cascade et vaut $\dfrac{n+1}{2n}$, qui tend vers $\dfrac{1}{2}$. (Vérification pour $n = 3$ : $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{8}{9} = \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$.)

Les facteurs doivent tendre vers $1$, mais cela ne suffit pas : tout dépend de la vitesse.

Chaque facteur $c_n$ est dans $]0\,;1[$, donc la suite $(P_n)$ est décroissante (on multiplie à chaque étape par un nombre inférieur à $1$) et minorée par $0$ : d'après le théorème de la limite monotone, elle converge. Ce théorème ne dit pas que la limite n'est pas nulle ; c'est le calcul de la section 3 qui donne la valeur $\dfrac{2}{\pi} \approx 0{,}6366$. Viète, lui, ne se pose pas la question : la convergence des produits infinis ne sera étudiée rigoureusement qu'au XIXe siècle.

D'après la section 3, $\dfrac{2}{P_n} = A_{2^{n+2}} = 2^{n+1}\sin\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)$. En posant $h = \dfrac{\pi}{2^{n+1}}$, on a $2^{n+1} = \dfrac{\pi}{h}$, donc $\dfrac{2}{P_n} = \pi\times\dfrac{\sin(h)}{h}$. Tout repose sur un encadrement de $\sin(h)$.

En divisant par $h > 0$ puis en multipliant par $\pi$ : $\pi - \dfrac{\pi h^2}{6} \leqslant \dfrac{2}{P_n} \leqslant \pi$, d'où

Le majorant est divisé par $4$ à chaque facteur ajouté. Pour $n = 1$, il vaut $\dfrac{\pi^3}{96} \approx 0{,}32$, pour une erreur réelle de $0{,}31$ : l'encadrement est presque optimal. On peut aussi s'en servir pour prévoir le nombre de facteurs nécessaires : pour une erreur inférieure à $10^{-10}$, il suffit que $4^{n+1} \geqslant \dfrac{\pi^3}{6}\times 10^{10}$, soit, avec le logarithme, $n+1 \geqslant \dfrac{\ln(\pi^3/6) + 10\ln 10}{\ln 4} \approx 17{,}8$ : $17$ facteurs.

Après Viète, deux autres écritures « infinies » de $\pi$ deviennent célèbres :

• le produit de Wallis (1656) : $\dfrac{\pi}{2} = \displaystyle\prod_{k=1}^{+\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}$, soit $\dfrac{2}{1}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{3}\times\dfrac{4}{5}\times\cdots$ ; il n'utilise que des fractions, sans aucune racine ;
• la série de Leibniz (1674, connue en Inde bien avant) : $\dfrac{\pi}{4} = 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \cdots$.

Leur erreur après $n$ termes est de l'ordre de $\dfrac{1}{n}$ : pour gagner une décimale, il faut dix fois plus de termes. Après $1\,000$ termes, elles n'ont que trois décimales justes, quand Viète en a dix avec $17$ facteurs. En contrepartie, chaque facteur de Viète demande une racine carrée, longue à calculer à la main.

Le programme suivant calcule les trois approximations pour le même nombre $n$ de facteurs ou de termes. Changez la valeur de n et observez : au-delà d'environ $25$ facteurs, Viète atteint la précision de l'ordinateur (une quinzaine de chiffres) et ne progresse plus.