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Archimède de Syracuse est sans doute le plus grand savant de l'Antiquité. Il a encadré le nombre $\pi$, calculé l'aire d'un morceau de parabole, le volume de la sphère, énoncé la loi du levier et le principe des corps flottants, et construit des machines de guerre. Autour de lui se sont accumulées des légendes célèbres : le bain et « Eurêka », le point d'appui pour soulever le monde, les miroirs qui brûlent les navires romains.
Ce texte présente ses principaux résultats avec les mathématiques de terminale (suites, limites, sommes géométriques, intégrales, algorithmes) et distingue, autant que possible, ce que l'on sait de ce que l'on raconte. Il rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
Archimède naît à Syracuse, cité grecque de Sicile, probablement vers 287 avant notre ère (la date vient d'un auteur bien plus tardif). Il aurait étudié à Alexandrie, en Égypte, le grand centre savant de l'époque, et il a correspondu avec des savants alexandrins, comme Ératosthène. Il passe l'essentiel de sa vie à Syracuse, proche du roi Hiéron II.
Pendant la deuxième guerre punique, Syracuse s'allie à Carthage contre Rome. Les machines d'Archimède (catapultes, grues qui soulèvent les navires) retardent le siège romain mené par Marcellus. La ville est prise en 212 avant notre ère, et Archimède est tué par un soldat romain. L'historien grec Plutarque, trois siècles plus tard, rapporte plusieurs versions de sa mort ; la plus célèbre, où il dit au soldat « ne dérange pas mes cercles », est une tradition, non un fait établi. Quant aux miroirs qui auraient incendié la flotte romaine, aucun texte contemporain n'en parle, et les tentatives modernes de reconstitution n'ont pas convaincu.
Archimède avait demandé que l'on grave sur sa tombe une sphère inscrite dans un cylindre, en souvenir du résultat dont il était le plus fier. Plus d'un siècle après, l'orateur romain Cicéron, en poste en Sicile, raconte avoir retrouvé la tombe, envahie par les ronces, grâce à cette figure.
Prenons un cercle de diamètre $1$ : sa circonférence vaut $\pi$. Dans De la mesure du cercle, Archimède enferme ce cercle entre deux polygones réguliers : l'un inscrit (ses sommets sont sur le cercle), l'autre circonscrit (ses côtés touchent le cercle). Le périmètre du premier est plus petit que $\pi$, celui du second plus grand. En doublant le nombre de côtés, il passe de $6$ à $12$, $24$, $48$, puis $96$ côtés, et obtient
$$3 + \frac{10}{71} < \pi < 3 + \frac{1}{7},$$soit $3{,}1408 < \pi < 3{,}1429$. La valeur $\dfrac{22}{7}$ sera utilisée pendant près de deux mille ans. Archimède travaille sans trigonométrie ni écriture décimale, avec des fractions et des encadrements de racines carrées faits à la main.
Le cercle a pour rayon $r = \dfrac{1}{2}$. L'hexagone régulier inscrit est formé de $6$ triangles équilatéraux : son côté vaut $s_6 = r = \dfrac{1}{2}$ et son périmètre $6 \times \dfrac{1}{2} = 3$.
Pour passer au dodécagone ($12$ côtés), on coupe chaque arc en deux. Soit $[AB]$ un côté de l'hexagone, $O$ le centre, $H$ le milieu de $[AB]$, et $C$ le point du cercle sur la demi-droite $[OH)$. Le nouveau côté est $AC$.
- Dans le triangle $OHA$ rectangle en $H$ : $OH^2 = OA^2 - AH^2$, soit $OH^2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{16} = \dfrac{3}{16}$, donc $OH = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \approx 0{,}4330$.
- $HC = OC - OH$, soit $HC \approx 0{,}5 - 0{,}4330 = 0{,}0670$.
- Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ : $AC^2 = AH^2 + HC^2$, soit $AC^2 \approx 0{,}0625 + 0{,}0045 = 0{,}0670$, donc $AC \approx 0{,}2588$.
Le périmètre du dodécagone inscrit vaut environ $12 \times 0{,}2588 \approx 3{,}106$ : on se rapproche de $\pi$.
On reprend les mêmes notations, avec $AB = s$ et $AH = \dfrac{s}{2}$.
Étape 1. $OH^2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{s^2}{4}$, donc $OH = \dfrac{1}{2}\sqrt{1 - s^2}$.
Étape 2. $HC = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{1 - s^2}$.
Étape 3. Par le théorème de Pythagore, $s'^2 = AH^2 + HC^2$. On développe le carré de $HC$ :
$$HC^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sqrt{1 - s^2} + \frac{1 - s^2}{4}.$$En ajoutant $AH^2 = \dfrac{s^2}{4}$, les termes en $s^2$ s'éliminent et il reste $s'^2 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{1 - s^2}$.
Le polygone circonscrit. Le polygone circonscrit à $n$ côtés s'obtient à partir de l'inscrit par un agrandissement de centre $O$, qui envoie $H$ sur le cercle. Le rapport d'agrandissement est $\dfrac{OC}{OH}$ (théorème de Thalès), donc son côté vaut
$$t = s \times \frac{1/2}{\frac{1}{2}\sqrt{1 - s^2}} = \frac{s}{\sqrt{1 - s^2}}.$$En notant $p_n = n\,s$ et $q_n = n\,t$ les deux périmètres, on obtient $p_n < \pi < q_n$ :
| côtés | inscrit $p_n$ | circonscrit $q_n$ |
|---|---|---|
| $6$ | $3$ | $3{,}4641$ |
| $12$ | $3{,}1058$ | $3{,}2154$ |
| $24$ | $3{,}1326$ | $3{,}1597$ |
| $48$ | $3{,}1394$ | $3{,}1461$ |
| $96$ | $3{,}1410$ | $3{,}1427$ |
Les deux suites encadrent $\pi$ de plus en plus finement : la suite des $p_n$ est croissante, celle des $q_n$ décroissante, et leur écart tend vers $0$. Ce sont deux suites adjacentes, qui convergent vers la même limite, $\pi$. On peut vérifier que l'écart est à peu près divisé par $4$ à chaque doublement : $0{,}11$, $0{,}027$, $0{,}0067$, $0{,}0017$.
Le programme suivant poursuit le calcul. Au-delà d'une vingtaine de doublements, la machine, qui calcule avec un nombre limité de chiffres, commence à perdre en précision dans le calcul de $1 - \sqrt{1 - s^2}$ : c'est une limite du calcul en nombres à virgule, pas de la méthode.
Dans La quadrature de la parabole, Archimède montre que l'aire d'un segment de parabole (la région comprise entre une parabole et une corde) vaut les $\dfrac{4}{3}$ de l'aire d'un triangle bien choisi. Plaçons-nous dans un repère, avec la parabole $y = x^2$ et la corde $[AB]$ d'extrémités $A(-1\,;1)$ et $B(1\,;1)$. La région étudiée est comprise entre la parabole et le segment $[AB]$.
Le premier triangle. On prend le sommet $C(0\,;0)$ de la parabole. Le triangle $ABC$ a pour base $AB = 2$ et pour hauteur $1$ : son aire vaut $1$.
On recommence. Il reste deux petits segments de parabole, sur les cordes $[AC]$ et $[CB]$. Dans chacun, on construit un triangle de la même façon, en prenant le point de la parabole d'abscisse le milieu de la corde. Puis on recommence dans les quatre segments restants, et ainsi de suite.
Étape 1 : un découpage. La verticale d'abscisse $m$ coupe la corde en un point $K$ d'ordonnée $\dfrac{a^2 + b^2}{2}$ (le milieu de la corde). Elle partage le triangle en deux triangles de base commune $[MK]$ (avec $M(m\,;m^2)$) et de « hauteurs » horizontales $\dfrac{b-a}{2}$ chacune.
Chacun des deux triangles a pour aire $\dfrac{1}{2} \times MK \times \dfrac{b-a}{2}$, donc l'aire totale $\mathcal{A}$, qui en est le double, vaut
$$\mathcal{A} = \frac{1}{2}\,(b-a)\,MK.$$Étape 2 : la longueur $MK$.
$$MK = \frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2.$$En réduisant au même dénominateur et en développant $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :
$$MK = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \frac{(b-a)^2}{4}.$$Étape 3. L'aire vaut $\dfrac{1}{2}\,(b-a) \times \dfrac{(b-a)^2}{4} = \dfrac{(b-a)^3}{8}$.
Vérification : pour le premier triangle, $a = -1$, $b = 1$, et $\dfrac{2^3}{8} = 1$.
Conséquence. À chaque étape, la largeur des cordes est divisée par $2$, donc l'aire de chaque triangle est divisée par $2^3 = 8$ ; mais il y a deux fois plus de triangles. L'aire ajoutée à chaque étape est donc multipliée par $\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$.
Après $n$ étapes, l'aire couverte par les triangles vaut
$$S_n = 1 + \frac{1}{4} + \cdots + \left(\frac{1}{4}\right)^n.$$C'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$ :
$$S_n = \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{4}}.$$Comme $0 < \dfrac{1}{4} < 1$, $\left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}$ tend vers $0$, et la somme tend vers $\dfrac{1}{3/4} = \dfrac{4}{3}$. Les triangles remplissent peu à peu le segment de parabole, dont l'aire vaut donc $\dfrac{4}{3}$, les quatre tiers du premier triangle. Archimède n'utilise pas de limite : il montre, par un double raisonnement par l'absurde (la « méthode d'exhaustion »), que l'aire ne peut être ni plus grande ni plus petite que $\dfrac{4}{3}$.
Avec une intégrale. Le segment est la région comprise entre la droite d'équation $y = 1$ et la parabole, pour $x$ entre $-1$ et $1$. Son aire vaut
$$\int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1},$$soit $\dfrac{2}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4}{3}$.
On retrouve en une ligne le résultat qu'Archimède obtenait par une construction infinie. C'est toute la puissance du calcul intégral, inventé près de deux mille ans plus tard ; les étapes intermédiaires sont racontées dans le texte sur la méthode des indivisibles.
Dans De la sphère et du cylindre, Archimède démontre qu'une sphère occupe les deux tiers du cylindre dans lequel elle est inscrite, aussi bien pour le volume que pour la surface (en comptant les deux disques du cylindre). C'est la figure qu'il voulait sur sa tombe.
Le cylindre. Une sphère de rayon $R$ est inscrite dans un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $2R$, dont le volume vaut $\pi R^2 \times 2R = 2\pi R^3$.
Étape 1 : les tranches. Coupons la boule par un plan perpendiculaire à un diamètre, à la distance $x$ du centre, avec $-R \leqslant x \leqslant R$. La section est un disque dont le rayon $\rho$ vérifie, par le théorème de Pythagore, $\rho^2 = R^2 - x^2$. Son aire vaut $S(x) = \pi (R^2 - x^2)$.
Étape 2 : le volume comme somme des tranches. On admet que le volume est l'intégrale de l'aire des sections :
$$V = \int_{-R}^{R} \pi (R^2 - x^2)\,\mathrm{d}x.$$Étape 3 : le calcul. Une primitive de $x \mapsto R^2 - x^2$ est $x \mapsto R^2 x - \dfrac{x^3}{3}$, qui vaut $\dfrac{2R^3}{3}$ en $R$ et $-\dfrac{2R^3}{3}$ en $-R$. Donc $V = \pi \times \dfrac{4R^3}{3} = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.
Le rapport vaut $\dfrac{4\pi R^3 / 3}{2\pi R^3} = \dfrac{2}{3}$. Pour la surface, la sphère a pour aire $4\pi R^2$ (résultat admis) et le cylindre $2\pi R \times 2R + 2 \times \pi R^2 = 6\pi R^2$ : le rapport est encore $\dfrac{2}{3}$.
Archimède, lui, n'avait pas d'intégrale. Dans La Méthode, il raconte comment il a trouvé ce résultat : en imaginant la sphère, un cône et un cylindre découpés en tranches très fines, qu'il met en équilibre sur un levier. Il en tire le résultat, puis le démontre rigoureusement par la méthode d'exhaustion. Il distingue ainsi clairement la découverte et la preuve.
Dans De l'équilibre des plans, Archimède énonce la loi du levier : deux masses $m_1$ et $m_2$ placées aux distances $d_1$ et $d_2$ du point d'appui sont en équilibre lorsque
$$m_1 \times d_1 = m_2 \times d_2.$$Une masse dix fois plus petite équilibre une masse dix fois plus grande si elle est dix fois plus loin. La phrase « Donnez-moi un point d'appui et je soulèverai le monde » lui est attribuée par des auteurs bien postérieurs.
Un calcul d'ordre de grandeur. La Terre a une masse d'environ $6 \times 10^{24}$ kg. Pour l'équilibrer avec $60$ kg, le rapport des distances doit être $\dfrac{6 \times 10^{24}}{60} = 10^{23}$. Si la Terre est à $1$ m du point d'appui, Archimède devrait être à $10^{23}$ m, soit environ dix millions d'années-lumière ! Et pour soulever la Terre de $1$ cm, il devrait abaisser son extrémité de $10^{21}$ m. Le levier ne crée pas d'énergie : ce qu'on gagne en force, on le perd en déplacement.
Dans Des corps flottants, Archimède établit qu'un corps plongé dans un liquide subit une poussée vers le haut égale au poids du liquide qu'il déplace. En notations modernes, si $V$ est le volume immergé, $\rho_\ell$ la masse volumique du liquide et $g$ l'intensité de la pesanteur, la poussée vaut $\Pi = \rho_\ell \, V \, g$.
Flotter. Un objet de volume $V$ et de masse volumique $\rho$ flotte en enfonçant un volume $V_i$ tel que son poids égale la poussée : $\rho \, V g = \rho_\ell \, V_i \, g$, donc $\dfrac{V_i}{V} = \dfrac{\rho}{\rho_\ell}$. Pour un iceberg (glace d'environ $917$ kg/m³ dans l'eau de mer d'environ $1\,025$ kg/m³), la partie immergée représente $\dfrac{917}{1\,025} \approx 89\,\%$ : on n'en voit qu'environ $11\,\%$.
Selon l'architecte romain Vitruve, qui écrit environ deux siècles après Archimède, le roi Hiéron soupçonnait son orfèvre d'avoir mêlé de l'argent à l'or d'une couronne. Archimède aurait trouvé la solution dans son bain, en voyant l'eau déborder, et serait sorti nu dans la rue en criant « Eurêka ! » (« J'ai trouvé ! »). Il aurait comparé l'eau déplacée par la couronne et par un lingot d'or de même masse.
Le calcul montre que c'est peu vraisemblable. Prenons une couronne de $1$ kg. L'or a une masse volumique d'environ $19{,}3$ g/cm³, l'argent d'environ $10{,}5$ g/cm³.
- En or pur, son volume serait $\dfrac{1\,000}{19{,}3} \approx 51{,}8$ cm³.
- Avec $30\,\%$ d'argent : $\dfrac{700}{19{,}3} + \dfrac{300}{10{,}5}$, soit environ $36{,}3 + 28{,}6 = 64{,}9$ cm³.
- La différence, environ $13$ cm³, versée dans un vase de $20$ cm de diamètre (une surface de $\pi \times 10^2 \approx 314$ cm²), élève le niveau de $\dfrac{13}{314} \approx 0{,}04$ cm : moins d'un demi-millimètre, presque impossible à voir.
En 1586, le jeune Galilée a proposé une méthode bien plus sensible, qui utilise vraiment le principe d'Archimède : suspendre la couronne et un lingot d'or de même masse aux deux bras d'une balance, puis plonger le tout dans l'eau. La couronne, plus volumineuse, subit une poussée plus forte : la balance penche du côté de l'or. Que l'anecdote du bain soit vraie ou non, c'est Galilée qui en a donné une version physiquement crédible.
Les œuvres d'Archimède nous sont parvenues par des copies faites au Moyen Âge à Byzance, puis traduites en latin. Un texte, La Méthode, était connu par une mention mais considéré comme perdu. En 1906, le philologue danois Johan Ludvig Heiberg l'identifie dans un palimpseste conservé à Constantinople : un parchemin dont le texte a été gratté pour réutiliser les feuilles. Une copie des œuvres d'Archimède, réalisée vers le Xe siècle, avait été effacée au XIIIe siècle pour écrire un livre de prières.
Le manuscrit disparaît ensuite pendant une partie du XXe siècle, abîmé par l'humidité et les moisissures, puis réapparaît lors d'une vente aux enchères à New York en 1998. Son acheteur l'a confié à un musée de Baltimore, où des équipes l'ont étudié pendant une dizaine d'années avec des techniques d'imagerie (lumières de différentes couleurs, rayons X), qui ont permis de lire des passages encore inconnus.
La Méthode est précieuse parce qu'Archimède y explique comment il trouve ses résultats : en découpant les figures en une infinité de tranches et en les pesant mentalement sur un levier. Cette façon de raisonner annonce les indivisibles du XVIIe siècle et, de loin, le calcul intégral.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : l'encadrement de $\pi$ et les suites adjacentes ; la quadrature de la parabole, la somme géométrique et l'intégrale ; le volume de la boule par les tranches ; la méthode d'exhaustion et la notion de limite.
- Physique-chimie : la poussée d'Archimède, la flottaison, la masse volumique ; le levier, les moments et la conservation de l'énergie.
- HGGSP : la science dans le monde grec, Alexandrie et Syracuse ; la guerre entre Rome et Carthage ; la transmission des savoirs antiques par les copies et les palimpsestes ; la part de la légende dans l'histoire des sciences.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : les suites géométriques, la somme de leurs termes et leur limite ; les suites monotones et bornées, les suites adjacentes ; les primitives et le calcul intégral ; la géométrie dans l'espace (sections, volumes) ; le théorème de Pythagore et le théorème de Thalès ; l'algorithmique (boucles).
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Archimède, palimpseste d'Archimède et quadrature de la parabole (Wikipédia).
- R. Netz et W. Noel, Le Codex d'Archimède, JC Lattès, 2008.
- Sur ce site : La méthode des indivisibles, Aristote et l'infini, les paradoxes de Zénon, La méthode de Monte-Carlo (approcher $\pi$ par le hasard) et Longueur d'un arc de courbe.