En 1705, l'astronome anglais Edmond Halley remarque que les comètes observées en 1531, 1607 et 1682 suivent presque le même chemin dans le ciel. Il propose que ce soit la même comète, qui tourne autour du Soleil sur une ellipse très allongée. Calculons comme lui :

• entre deux passages, il s'écoule $1607 - 1531 = 76$ ans, puis $1682 - 1607 = 75$ ans ;
• en moyenne $75{,}5$ ans, d'où un retour attendu vers $1682 + 75{,}5 \approx 1758$.

Halley meurt en 1742, sans savoir s'il avait raison. Si la comète revient, ce sera une preuve éclatante de la théorie de la gravitation de Newton, encore contestée en France.

La troisième loi de Kepler relie la période $T$ d'un astre autour du Soleil (en années) et le demi-grand axe $a$ de son orbite (en unités astronomiques, la distance Terre-Soleil valant $1$) : $T^2 = a^3$. Pour la comète, $a^3 = 75{,}5^2$.

• En appliquant le logarithme : $3 \ln a = 2 \ln 75{,}5$, donc $\ln a = \dfrac{2}{3}\ln 75{,}5$.
• En appliquant l'exponentielle : $a = \mathrm{e}^{\frac{2}{3}\ln 75{,}5} \approx 17{,}9$ unités astronomiques.

L'ellipse est très aplatie : au plus près, la comète passe à environ $0{,}6$ unité astronomique du Soleil, et au plus loin elle s'en éloigne d'environ $35$, au-delà de l'orbite de Neptune (que l'on ne connaissait pas). On ne la voit que quelques mois, près du Soleil.

Avec seulement le Soleil et la comète, le calcul serait simple : c'est le problème des deux corps, et l'orbite est une ellipse. Mais la comète passe près de Jupiter et de Saturne, dont l'attraction la freine ou l'accélère. On ne sait pas résoudre exactement le problème de plusieurs corps qui s'attirent (voir le texte Le problème des trois corps). Clairaut a mis au point une méthode d'approximation, dite des perturbations : on part de l'ellipse et on calcule, morceau par morceau, les petites corrections dues aux planètes.

En 1757, poussé par Lalande, il l'applique à la comète. Le travail est énorme : il faut calculer, degré par degré le long de l'orbite et sur $150$ ans, les distances et les forces de Jupiter et de Saturne. Lalande écrira : « Mme Lepaute nous fut d'un si grand secours, que nous n'aurions point osé sans elle entreprendre cet énorme travail. » Pendant plus de six mois, ils calculent « depuis le matin jusqu'au soir, quelquefois même à table ».

En novembre 1758, Clairaut annonce à l'Académie des sciences que la comète passera au plus près du Soleil vers la mi-avril 1759, à un mois près. D'après les chiffres habituellement cités, Jupiter la retarde d'environ $518$ jours et Saturne d'environ $100$ jours. La comète passe au plus près du Soleil le 13 mars 1759 : à l'intérieur de la marge annoncée. C'est un triomphe pour la théorie de Newton. Pourtant, dans le livre qu'il publie ensuite, Clairaut ne cite pas Nicole-Reine Lepaute ; c'est Lalande qui lui rendra justice.

La comète de Halley lors de son passage suivant, photographiée le 6 juin 1910. Observatoire Yerkes, Wikimedia Commons, domaine public.

Sans calculatrice, multiplier deux nombres de sept chiffres est long et source d'erreurs. Les calculateurs utilisaient des tables de logarithmes décimaux. Le logarithme décimal est défini par $\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}$ : il vérifie $\log 10 = 1$ et, comme $\ln$,

Une multiplication devient une addition, une puissance devient une multiplication. On lit les logarithmes dans la table, on les additionne, puis on cherche dans la table le nombre qui a pour logarithme le résultat.

Dans le Traité d'horlogerie, Nicole-Reine Lepaute donne la longueur d'un pendule simple selon son nombre de « vibrations » par heure (une vibration est un aller, c'est-à-dire une demi-oscillation). Voici deux lignes de sa table, avec les unités de l'époque : $1$ pied $= 12$ pouces, $1$ pouce $= 12$ lignes, et $1$ pied vaut environ $32{,}48$ cm.

La formule. La physique donne, pour de petites oscillations, la période $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$, où $\ell$ est la longueur et $g$ l'intensité de la pesanteur (environ $9{,}807$ m/s², soit environ $30{,}189$ pieds par seconde au carré). Avec $v$ vibrations par heure, une oscillation complète dure $T = \dfrac{2 \times 3\,600}{v}$ secondes. En élevant au carré l'égalité $\dfrac{2 \times 3\,600}{v} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$ :

Prenons $v = 17\,900$. On applique les propriétés du logarithme :

On lit dans une table (les valeurs sont arrondies à sept décimales) :

• $\log\dfrac{3\,600}{17\,900} = \log 36 - \log 179$, avec $\log 36 \approx 1{,}556\,302\,5$ et $\log 179 \approx 2{,}252\,853\,0$, soit $\log\dfrac{3\,600}{17\,900} \approx -0{,}696\,550\,5$ ;
• $\log \pi \approx 0{,}497\,149\,9$ ;
• $\log 30{,}189 \approx 1{,}479\,848\,7$.

La parenthèse vaut $-0{,}696\,550\,5 - 0{,}497\,149\,9$, soit $-1{,}193\,700\,4$, que l'on multiplie par $2$ : $-2{,}387\,400\,8$. On ajoute $1{,}479\,848\,7$ : $\log \ell \approx -0{,}907\,552\,1$.

Les tables ne contiennent pas de logarithmes négatifs. On ajoute $1$, ce qui revient à multiplier par $10$ : $\log(10\ell) = 1 + \log \ell \approx 0{,}092\,447\,9$. On cherche alors dans la table le nombre qui a ce logarithme.

L'interpolation affine. La table donne $\log 1{,}2372 \approx 0{,}092\,439\,9$ et $\log 1{,}2373 \approx 0{,}092\,475\,0$. Notre valeur est entre les deux. Entre deux lignes aussi proches, on remplace la fonction $\log$ par la fonction affine qui passe par ces deux points.

• Notre valeur dépasse la première de $0{,}092\,447\,9 - 0{,}092\,439\,9$, soit $0{,}000\,008\,0$.
• L'écart entre les deux valeurs de la table est $0{,}092\,475\,0 - 0{,}092\,439\,9$, soit $0{,}000\,035\,1$.
• Le rapport vaut $\dfrac{0{,}000\,008\,0}{0{,}000\,035\,1} \approx 0{,}23$ : on avance des $23$ centièmes d'un pas de la table, soit $1{,}2372 + 0{,}0001 \times 0{,}23 \approx 1{,}237\,22$.

Ainsi $10\ell \approx 1{,}2372$ et $\ell \approx 0{,}123\,72$ pied.

La conversion. $0{,}123\,72 \times 12 \approx 1{,}4846$ pouce, soit $1$ pouce et $0{,}4846 \times 12 \approx 5{,}82$ lignes. C'est exactement la valeur de la table. Le même calcul pour $18\,000$ vibrations donne $1$ pouce $5{,}62$ lignes, la première ligne de la table.

Chaque ligne de la table demande ainsi une dizaine de lectures dans les tables, des additions et une interpolation. Pour la comète, il en a fallu des milliers.

Après le succès de la comète, Lalande dirige la Connaissance des temps, un recueil annuel d'éphémérides : les positions prévues du Soleil, de la Lune et des planètes, jour par jour. Les marins s'en servent pour trouver leur longitude en mer (voir le texte La mesure du temps). Nicole-Reine Lepaute dirige avec lui les équipes de calculateurs. D'après Lalande, elle calcule notamment :

• les éphémérides du Soleil, de la Lune et des planètes pendant de nombreuses années ;
• une table des angles parallactiques (1763) ;
• une carte de l'Europe montrant, quart d'heure par quart d'heure, la progression de l'éclipse annulaire de Soleil du 1^er avril 1764 ;
• des éphémérides de Saturne, et jusqu'en 1783 les positions des astres pour les années suivantes.

En 1761, elle est admise à l'académie de Béziers, l'une des rares académies de l'époque à accueillir des femmes.

Une affichette vendue à Paris pour annoncer l'éclipse du 1^er avril 1764, avec les heures prévues et la liste des villes où elle serait visible. Archives nationales, Wikimedia Commons, CC0.

Quand on ne sait pas résoudre exactement les équations du mouvement, on avance pas à pas : connaissant la position et la vitesse à un instant, on calcule la position un petit peu plus tard en supposant que la vitesse ne change pas pendant ce petit intervalle. C'est l'idée de la méthode d'Euler (présentée aussi dans le texte Les systèmes proies-prédateurs). Les calculateurs du XVIII^e siècle utilisaient des méthodes de ce type, plus élaborées. Voyons sur un exemple simple pourquoi le choix du pas est si important.

Un modèle simple. Un point tourne sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, à vitesse constante. À la position $(x\,;y)$, sa vitesse est le vecteur $(-y\,;x)$, perpendiculaire au rayon. La méthode d'Euler avec un pas de temps $h$ donne

À la main, avec $h = 0{,}1$. On part de $(1\,;0)$. Alors $x_1 = 1 - 0{,}1 \times 0 = 1$ et $y_1 = 0 + 0{,}1 \times 1 = 0{,}1$. La distance au centre vaut $\sqrt{1 + 0{,}01} \approx 1{,}005$ : le point calculé est déjà sorti du cercle.

Pour faire un tour complet (durée $2\pi$) en $N$ pas, on prend $h = \dfrac{2\pi}{N}$. Après un tour, le rayon calculé vaut

• Avec $20$ pas, $R_{20} \approx 2{,}56$ : le résultat n'a plus de sens.
• Avec $100$ pas, $R_{100} \approx 1{,}22$ ; avec $360$ pas (un par degré), $R_{360} \approx 1{,}06$.

La limite. On a $\ln R_N = \dfrac{N}{2}\ln\left(1 + \dfrac{4\pi^2}{N^2}\right)$. Posons $u = \dfrac{4\pi^2}{N^2}$, qui tend vers $0$ quand $N$ tend vers $+\infty$. Alors $\ln R_N = \dfrac{2\pi^2}{N} \times \dfrac{\ln(1 + u)}{u}$. Le quotient $\dfrac{\ln(1+u)}{u}$ tend vers le nombre dérivé de $\ln$ en $1$, qui vaut $1$, et $\dfrac{2\pi^2}{N}$ tend vers $0$. Donc $\ln R_N$ tend vers $0$, et $R_N$ tend vers $1$ : plus le pas est petit, plus le calcul est juste, mais plus il y a de calculs. C'est tout le dilemme des calculateurs, qui procédaient « degré par degré ».