La Terre fait un tour sur elle-même, soit $360°$, en environ $24$ heures. Le Soleil semble donc tourner autour de l'axe de la Terre de $\dfrac{360°}{24} = 15°$ par heure. Un cadran solaire utilise ce mouvement : une tige, le style, est placée parallèlement à l'axe de la Terre (elle pointe vers l'étoile Polaire), et son ombre tourne autour d'elle de $15°$ par heure. Le midi solaire est l'instant où le Soleil est au plus haut, exactement au sud : l'ombre est alors dans le plan du méridien.

Sur un mur vertical orienté plein sud, les lignes des heures ne sont pas espacées de $15°$ : elles se resserrent près de midi. Notons $\varphi$ la latitude du lieu, $\alpha$ l'angle horaire (multiple de $15°$, compté à partir de midi) et $\beta$ l'angle, sur le mur, entre la ligne de midi et la ligne de l'heure cherchée. En plaçant les points dans un repère de l'espace et en écrivant les tangentes et le cosinus dans trois triangles rectangles, on démontre la relation

Un exemple à la main. À Paris, $\varphi \approx 48{,}83°$. Pour $15$ h, l'angle horaire est $\alpha = 3 \times 15° = 45°$, donc $\tan \alpha = 1$ et $\tan \beta = \cos 48{,}83° \approx 0{,}658$. La calculatrice donne $\beta \approx 33°$ : la ligne de $15$ h fait un angle de $33°$, et non $45°$, avec la ligne de midi.

Les heures du matin sont symétriques par rapport à la ligne de midi.

Si l'on note chaque jour l'instant du midi solaire sur une montre parfaite, on constate qu'il n'arrive pas toujours à la même heure : début février, le Soleil est en retard d'environ $14$ minutes ; début novembre, il est en avance d'environ $16$ minutes. Deux causes se superposent.

• L'orbite de la Terre est une ellipse : la Terre va plus vite près du Soleil (début janvier) que loin de lui (début juillet), et le Soleil semble avancer irrégulièrement dans le ciel. Cet effet a une période d'un an.
• L'axe de la Terre est incliné d'environ $23{,}4°$ sur le plan de son orbite : le mouvement apparent du Soleil, projeté sur l'équateur, n'est pas régulier. Cet effet a une période d'une demi-année.

Pour avoir des heures égales, on a inventé un « Soleil moyen » fictif, qui tourne régulièrement : nos montres donnent le temps moyen. La différence entre l'heure du vrai Soleil et l'heure moyenne s'appelle l'équation du temps (le mot « équation » a ici son sens ancien de « correction »).

Pour le jour numéro $N$ de l'année (de $1$ à $365$), posons $B = \dfrac{2\pi (N - 81)}{365}$ (en radians). Une formule approchée très utilisée, que l'on admet, donne l'équation du temps en minutes comme une somme de deux termes, $E(N) = A(N) + C(N)$, avec :

• $A(N) = 9{,}87 \sin(2B)$, de période $\dfrac{365}{2}$ jours : c'est l'effet de l'inclinaison ;
• le terme de période $365$ jours, effet de l'ellipse : $$C(N) = -7{,}53 \cos(B) - 1{,}5 \sin(B).$$

Un exemple à la main : le 15 février ($N = 46$).

• $B = \dfrac{2\pi \times (-35)}{365} \approx -0{,}602$ rad, donc $2B \approx -1{,}205$.
• $\sin(2B) \approx -0{,}934$, $\cos(B) \approx 0{,}824$ et $\sin(B) \approx -0{,}566$.
• $A \approx 9{,}87 \times (-0{,}934) \approx -9{,}22$ ;
• $-7{,}53 \times 0{,}824 \approx -6{,}20$ et $-1{,}5 \times (-0{,}566) \approx 0{,}85$, donc $C \approx -5{,}35$ ;
• $E = A + C \approx -14{,}6$ minutes.

Le Soleil est en retard d'environ $14{,}6$ minutes : un cadran solaire indique midi quand les montres (réglées sur le temps moyen du lieu) indiquent environ $12$ h $15$.

Les cadrans les plus soignés portent une courbe en forme de huit, l'analemme, qui permet de lire directement la correction selon la date. La même courbe se dessine dans le ciel si l'on photographie le Soleil à la même heure de montre tout au long de l'année.

Entre deux midis solaires consécutifs, il s'écoule en moyenne $24$ heures. Mais si l'équation du temps diminue d'un jour à l'autre, le Soleil prend du retard : ce jour solaire a duré un peu plus de $24$ heures. Plus précisément, la durée du jour solaire numéro $N$ vaut environ

c'est-à-dire à peu près $24$ h $- E'(N)$, où $E'(N)$ est en minutes par jour. Pour estimer l'ordre de grandeur, dérivons le terme principal : la dérivée de $N \mapsto 9{,}87 \sin(2B)$ est $9{,}87 \times 2 \times \dfrac{2\pi}{365} \cos(2B)$, qui vaut au plus $9{,}87 \times \dfrac{4\pi}{365} \approx 0{,}34$ minute par jour, soit environ $20$ secondes. En ajoutant les autres termes, le modèle donne des jours solaires qui varient d'environ $22$ secondes de moins à $28$ secondes de plus que $24$ heures : les plus longs vers la fin décembre, les plus courts vers la mi-septembre. Ces petites différences s'accumulent et finissent par faire le quart d'heure de décalage du mois de février.

Les premières horloges mécaniques apparaissent en Europe à la fin du XIII^e siècle ; elles peuvent dériver de plusieurs minutes, voire d'un quart d'heure, par jour. Au début du XVII^e siècle, Galilée remarque que les petites oscillations d'un pendule ont toujours à peu près la même durée, quelle que soit leur amplitude : c'est l'isochronisme (selon une anecdote célèbre, mais invérifiable, il l'aurait observé sur un lustre de la cathédrale de Pise).

Dessin de la première horloge à pendule conçue par Christiaan Huygens en 1657. Wikimedia Commons, domaine public.

En 1656-1657, le savant néerlandais Christiaan Huygens construit la première horloge à pendule. La précision passe à quelques secondes par jour. Dans son Horologium oscillatorium (1673), il étudie le pendule mathématiquement et montre qu'un pendule dont la masse décrit un arc de cycloïde, plutôt qu'un arc de cercle, est parfaitement isochrone.

Pour de petites oscillations, la période d'un pendule simple (le temps d'un aller-retour) est donnée par la formule, que l'on admet ici (elle se démontre en physique avec une équation différentielle) :

où $L$ est la longueur du fil en mètres et $g \approx 9{,}81$ m/s² l'intensité de la pesanteur. La période ne dépend ni de la masse, ni de l'amplitude (tant qu'elle est petite).

Le pendule qui bat la seconde. On veut que chaque aller, ou chaque retour, dure une seconde : $T = 2$ s.

• On élève au carré : $T^2 = 4\pi^2 \dfrac{L}{g}$, donc $L = \dfrac{g\,T^2}{4\pi^2}$.
• $L = \dfrac{9{,}81 \times 4}{4\pi^2} = \dfrac{9{,}81}{\pi^2} \approx 0{,}994$ m.

Presque exactement un mètre ! Ce n'est pas un hasard complet : en 1790-1791, on a hésité à définir le mètre comme la longueur du pendule qui bat la seconde, avant de choisir une fraction du méridien terrestre, notamment parce que $g$ varie d'un lieu à l'autre.

Si la longueur du pendule change un peu (la chaleur dilate le métal), la période change, et l'horloge avance ou retarde. De combien ?

Un exemple. Le pendule de $0{,}994$ m s'allonge de $1$ mm. Alors $\dfrac{\Delta T}{T} \approx \dfrac{0{,}001}{2 \times 0{,}994} \approx 0{,}000\,5$. Chaque oscillation dure $0{,}05\,\%$ de plus, donc l'horloge compte $0{,}05\,\%$ de secondes en moins : sur une journée de $86\,400$ secondes, elle retarde d'environ $86\,400 \times 0{,}000\,5 \approx 43$ s. Un millimètre suffit à faire perdre trois quarts de minute par jour. Les horlogers ont inventé des pendules « compensés », faits de métaux qui se dilatent différemment, pour que la longueur reste constante.

Une découverte inattendue. En 1672, l'astronome Jean Richer emporte une horloge à pendule à Cayenne, près de l'équateur. Elle y retarde d'environ deux minutes et demie par jour par rapport à Paris. Comme $T = 2\pi\sqrt{L/g}$, cela signifie que $g$ est plus faible à Cayenne : la pesanteur varie avec la latitude. Newton y verra une preuve que la Terre est aplatie aux pôles.

En mer, on trouve facilement sa latitude : elle se déduit de la hauteur du Soleil à midi ou de celle de l'étoile Polaire. La longitude, elle, est un problème de temps. La Terre tourne de $15°$ par heure, c'est-à-dire de $1°$ toutes les $4$ minutes. Si un navigateur sait qu'il est midi solaire à bord, et qu'une horloge réglée au port de départ indique $15$ h, il est à $3 \times 15° = 45°$ à l'ouest de son port. Il suffit donc d'emporter l'heure du port : mais aucune horloge à pendule ne fonctionne sur un bateau qui roule et tangue.

Les erreurs de longitude ont coûté de nombreux naufrages. En 1707, une flotte britannique se brise sur les îles Scilly, au large de la Cornouailles, et plus d'un millier de marins périssent. En 1714, le Parlement britannique promet, par le Longitude Act, une récompense pouvant atteindre $20\,000$ livres à qui saura déterminer la longitude à un demi-degré près.

Sur un parallèle de latitude $\varphi$, le cercle parcouru a pour rayon $R\cos\varphi$, où $R \approx 6\,371$ km est le rayon de la Terre. Un degré de longitude y mesure donc

• Une erreur de $1$ minute de temps donne une erreur de $\dfrac{1}{4}$ de degré, soit environ $27{,}8$ km à l'équateur, et $27{,}8 \times \cos 48{,}8° \approx 18{,}3$ km à la latitude de Paris.
• Pour respecter le demi-degré du Longitude Act, l'horloge ne doit pas dériver de plus de $2$ minutes sur tout le voyage. Pour une traversée de six semaines, soit $42$ jours, cela fait moins de $\dfrac{120}{42} \approx 3$ secondes par jour.

Le chronomètre H4 de John Harrison, exposé au National Maritime Museum de Greenwich. Photo : Colonel Warden, Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 3.0.

Le menuisier et horloger anglais John Harrison consacre sa vie à ce problème. Après trois grandes horloges marines, il construit une montre d'une quinzaine de centimètres, H4. Lors d'un voyage d'essai vers la Jamaïque, en 1761-1762, elle n'aurait dérivé que d'environ $5$ secondes en $81$ jours, d'après le chiffre le plus souvent cité. À la latitude de la Jamaïque (environ $18°$), $5$ secondes de temps correspondent à $\dfrac{5}{240}$ de degré, soit environ

Le jury, qui croyait davantage à une méthode astronomique (la mesure de la distance entre la Lune et des étoiles), tarde pourtant à lui verser la récompense : Harrison ne la touche, en grande partie, qu'à la fin de sa vie, au début des années 1770. Les chronomètres de marine se généralisent ensuite au XIX^e siècle.

Au XX^e siècle, on s'aperçoit que la rotation de la Terre elle-même n'est pas parfaitement régulière : elle ralentit très lentement et varie un peu d'une année à l'autre. Depuis 1967, la seconde n'est plus définie par le mouvement de la Terre, mais par les atomes : c'est la durée de $9\,192\,631\,770$ oscillations d'un rayonnement émis par l'atome de césium 133. Les meilleures horloges atomiques actuelles dériveraient de moins d'une seconde en plusieurs millions d'années, et les horloges les plus récentes, dites optiques, font encore mieux.

Comme la Terre tourne de façon irrégulière, le temps universel coordonné (UTC) a été maintenu proche de la rotation terrestre par l'ajout occasionnel d'une seconde intercalaire ; il y en a eu $27$ depuis 1972. En 2022, la Conférence générale des poids et mesures a décidé de cesser ces ajouts d'ici 2035.

Chaque satellite GPS envoie l'heure exacte de son horloge atomique. Le récepteur mesure le temps $\Delta t$ mis par le signal pour arriver ; le signal voyage à la vitesse de la lumière, $c \approx 3 \times 10^8$ m/s, donc la distance au satellite vaut $d = c \times \Delta t$.

• Une erreur d'un millionième de seconde ($1$ microseconde) sur $\Delta t$ donne une erreur de $3 \times 10^8 \times 10^{-6} = 300$ m sur la distance.
• Connaître sa distance à un satellite place le récepteur sur une sphère centrée sur ce satellite. Avec trois satellites, on obtient l'intersection de trois sphères ; un quatrième satellite sert à corriger l'horloge du récepteur, qui est beaucoup moins précise que celles des satellites. C'est un problème de géométrie dans l'espace : un point est à une distance donnée d'un point fixe s'il appartient à une sphère, dont on écrit l'équation dans un repère orthonormé.

La relativité s'en mêle. Selon la théorie de la relativité d'Einstein, une horloge qui se déplace vite retarde, et une horloge plus éloignée de la Terre, où la pesanteur est plus faible, avance. Pour les satellites GPS, les deux effets ne se compensent pas : l'ordre de grandeur souvent cité est une avance d'environ $38$ microsecondes par jour. Sans correction, l'erreur de position grandirait d'environ

par jour, soit une dizaine de kilomètres. Les horloges des satellites sont donc réglées pour tenir compte de cet effet : la relativité est utilisée chaque jour par des milliards de téléphones.