Emmy Noether naît en 1882 à Erlangen, en Bavière, dans une famille juive. Son père, Max Noether, est professeur de mathématiques à l'université de la ville. À cette époque, les femmes ne peuvent pas s'inscrire normalement à l'université en Allemagne. Elle obtient d'abord en 1900 le diplôme pour enseigner l'anglais et le français, puis suit les cours de mathématiques comme simple auditrice, avec l'autorisation de chaque professeur. Quand l'inscription des femmes est enfin autorisée en Bavière, en 1904, elle s'inscrit, et soutient en 1907 une thèse d'algèbre. Pendant près de huit ans, elle travaille ensuite à l'institut de mathématiques d'Erlangen sans être payée.

En 1915, les deux plus grands mathématiciens de Göttingen, alors la capitale mondiale des mathématiques, David Hilbert et Felix Klein, l'invitent à les rejoindre. Ils travaillent sur la théorie de la relativité générale qu'Albert Einstein est en train d'achever, et ont besoin de ses compétences. Mais pour enseigner à l'université, il faut obtenir l'habilitation, et elle est refusée aux femmes. Des professeurs s'y opposent : que penseront nos soldats, demande l'un d'eux, s'ils reviennent du front pour apprendre aux pieds d'une femme ? Hilbert aurait répondu que le sexe d'un candidat n'était pas un argument, et que l'université n'était pas un établissement de bains. Pendant quatre ans, les cours de Noether sont annoncés sous le nom de Hilbert.

C'est à Göttingen, en 1918, qu'elle démontre le théorème qui porte son nom. Après la guerre, la république de Weimar ouvre l'habilitation aux femmes : elle l'obtient en 1919. Elle reçoit un petit salaire à partir de 1923, mais ne sera jamais professeure titulaire.

Dans les années 1920, elle renouvelle l'algèbre. Autour d'elle se forme un groupe de jeunes chercheurs venus de toute l'Europe, que l'on surnomme les « garçons de Noether ». Elle enseigne d'une manière très libre, en réfléchissant devant son auditoire ; ses idées sont diffusées notamment par le livre Algèbre moderne de son élève Bartel van der Waerden (1930-1931), qui a formé des générations de mathématiciens. En 1932, elle est invitée à donner une conférence plénière au Congrès international des mathématiciens, à Zurich, une reconnaissance majeure.

En avril 1933, quelques semaines après l'arrivée de Hitler au pouvoir, une loi nazie chasse de la fonction publique les fonctionnaires juifs et les opposants. Noether, juive, pacifiste et proche de la gauche, est privée du droit d'enseigner. Elle émigre aux États-Unis, où elle obtient un poste au Bryn Mawr College, une université pour femmes près de Philadelphie, et donne des conférences à l'Institute for Advanced Study de Princeton, où se trouve aussi Einstein. Elle meurt en avril 1935, à 53 ans, des suites d'une opération. Dans une lettre publiée par le New York Times, Einstein écrit qu'elle était, selon les mathématiciens les plus compétents, le génie mathématique créatif le plus important depuis que les femmes ont accès aux études supérieures.

On lâche sans vitesse une balle de masse $m$ (en kilogrammes) depuis une hauteur de $20$ mètres. On néglige les frottements de l'air et on prend $g = 10$ m/s² pour simplifier. On note $z(t)$ la hauteur de la balle et $v(t)$ sa vitesse (verticale) à l'instant $t$ (en secondes). En physique-chimie, on montre que

et donc $v(t) = z'(t) = -10t$.

La balle touche le sol quand $z(t) = 0$, soit $t^2 = 4$ et $t = 2$ secondes.

L'énergie mécanique de la balle est la somme de son énergie cinétique (liée à la vitesse) et de son énergie potentielle de pesanteur (liée à la hauteur) :

L'énergie potentielle se transforme en énergie cinétique, mais leur somme reste la même : l'énergie mécanique se conserve.

Imaginons un monde fictif où l'intensité de la pesanteur varierait avec le temps : $g(t)$ au lieu de $g$. On aurait $v'(t) = -g(t)$ et $E(t) = \frac{1}{2}\,m\,v(t)^2 + m\,g(t)\,z(t)$. En dérivant le produit $g(t)\,z(t)$ :

soit $E'(t) = m\,g'(t)\,z(t)$, qui n'est pas nul en général : l'énergie ne se conserve plus. La conservation de l'énergie vient de ce que la loi de la chute ne change pas avec le temps : une expérience faite aujourd'hui ou demain donne le même résultat. C'est exactement l'idée du théorème de Noether.

Une symétrie d'une figure est une transformation (rotation, réflexion) qui la superpose à elle-même. Pour un triangle équilatéral $ABC$ :

• Un dénombrement. Une symétrie envoie chaque sommet sur un sommet, et deux sommets différents sur deux sommets différents : elle est déterminée par une permutation de $A$, $B$, $C$. Il y a $3$ choix pour l'image de $A$, puis $2$ pour celle de $B$, puis $1$ pour celle de $C$ : au plus $3! = 6$ symétries.
• Elles existent toutes. On trouve l'identité, les rotations de $120°$ et de $240°$ autour du centre, et les trois réflexions par rapport aux hauteurs du triangle : $1 + 2 + 3 = 6$.

Pour un carré, on trouve seulement $8$ symétries (quatre rotations et quatre réflexions), et non $4! = 24$ : deux sommets voisins doivent rester voisins, ce qui interdit la plupart des permutations.

Faire une symétrie puis une autre donne encore une symétrie du triangle : on dit qu'on les compose. Notons $r$ la rotation de $120°$, et $s$ la réflexion d'axe passant par $A$.

• Faire $r$ trois fois revient à tourner de $360°$ : on obtient l'identité.
• Faire $s$ deux fois donne aussi l'identité.
• L'ordre compte. Suivons le sommet $A$. Si l'on fait $s$ puis $r$, $A$ reste en place par $s$, puis va à la place de $B$ par $r$. Si l'on fait $r$ puis $s$, $A$ va à la place de $B$ par $r$, puis à la place de $C$ par $s$. Les deux résultats sont différents.

Contrairement à la multiplication des nombres, la composition des symétries n'est pas commutative. On peut ranger tous les résultats dans un tableau à $6$ lignes et $6$ colonnes, comme une table de multiplication.

Regardons maintenant les quatre rotations d'un carré : $0°$, $90°$, $180°$ et $270°$. En composer deux revient à additionner les angles, en retirant $360°$ si l'on dépasse. Comparons avec les restes de la division par $4$ : on additionne deux restes parmi $0$, $1$, $2$, $3$ et on garde le reste de la somme dans la division par $4$.

Par exemple $3 + 2 = 5$, dont le reste dans la division par $4$ est $1$. Si l'on remplace $0$, $1$, $2$, $3$ par $0°$, $90°$, $180°$, $270°$, on obtient exactement le tableau des rotations du carré : $270° + 180° = 450°$, soit $90°$. Deux situations très différentes, l'une géométrique et l'autre arithmétique, ont la même structure, aux noms près.

C'est l'esprit de l'algèbre de Noether : au lieu de faire des calculs particuliers, étudier les règles de calcul elles-mêmes, et reconnaître la même structure dans des domaines différents. Les mathématiciens appellent groupe ce type de structure (il avait été dégagé au XIX^e siècle, notamment par Évariste Galois). Noether a fait de même avec des structures plus riches, appelées anneaux et idéaux ; certains portent aujourd'hui son nom, les anneaux « noethériens ». Les symétries sont d'ailleurs le lien entre ses deux grands domaines : les symétries d'une loi physique forment, elles aussi, une telle structure.