D'après la loi de la gravitation de Newton, un objet de masse $m$ situé à la distance $r$ du centre de la Terre est attiré par une force d'intensité

où $M$ est la masse de la Terre et $G$ la constante de gravitation. On utilise le produit $GM \approx 3{,}986 \times 10^{14}$ (en m³/s²). Le rayon de la Terre vaut $R \approx 6\,371$ km. Plus on s'éloigne, plus la force diminue : à deux fois le rayon de la Terre, elle est déjà quatre fois plus faible.

Pour éloigner l'objet du rayon $R$ jusqu'à une distance $D$, il faut fournir un travail contre la gravitation. Comme la force change avec la distance, ce travail se calcule par une intégrale : c'est la somme des petits travaux $F(r) \times \mathrm{d}r$ sur chaque petit déplacement.

Une primitive de $\dfrac{1}{r^2}$ sur $]0\,;+\infty[$ est $-\dfrac{1}{r}$, car la dérivée de $-\dfrac{1}{r}$ est $\dfrac{1}{r^2}$. Donc

Quand $D$ tend vers $+\infty$, $\dfrac{1}{D}$ tend vers $0$, et $W(D)$ tend vers $\dfrac{GMm}{R}$ : l'énergie nécessaire pour s'échapper complètement est finie, alors que la distance à parcourir est infinie.

Un objet lancé (sans moteur, et en négligeant l'air) à la vitesse $v$ possède l'énergie cinétique $\dfrac{1}{2}mv^2$. Il s'échappe si cette énergie suffit à payer le travail, c'est-à-dire si $\dfrac{1}{2}mv^2 \geqslant \dfrac{GMm}{R}$.

• On divise par $m > 0$ et on multiplie par $2$ : $v^2 \geqslant \dfrac{2GM}{R}$.
• La vitesse est positive : $v \geqslant \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$.
• Numériquement, $\dfrac{2 \times 3{,}986 \times 10^{14}}{6{,}371 \times 10^6} \approx 1{,}25 \times 10^8$, dont la racine carrée vaut environ $11\,200$ m/s.

La vitesse de libération de la Terre est d'environ $11{,}2$ km/s, soit plus de $40\,000$ km/h. Elle ne dépend pas de la masse de l'objet : un caillou et un vaisseau doivent aller aussi vite.

La Lune est à environ $384\,400$ km du centre de la Terre. Quelle vitesse faut-il au vaisseau, sur son orbite à $r_0 = 6\,556$ km du centre (une altitude de $185$ km), pour atteindre cette distance $D$ ? On néglige l'attraction de la Lune. Le même raisonnement que plus haut donne la condition

Le calcul donne $v_0 \approx 10{,}93$ km/s. C'est un peu moins que la vitesse de libération à cette altitude, environ $11{,}0$ km/s : le vaisseau ne quitte pas l'attraction de la Terre, il monte sur une très longue trajectoire qui l'emmène jusqu'à la Lune, où l'attraction lunaire prend le relais. Le moteur du troisième étage de Saturn V faisait passer le vaisseau d'environ $7{,}8$ km/s à environ $10{,}9$ km/s.

À $10{,}9$ km/s, $384\,400$ km se parcourent en moins de dix heures. Pourtant, les équipages d'Apollo mettaient environ trois jours. La raison : le vaisseau est freiné en permanence par l'attraction de la Terre, et il arrive près de la Lune avec une vitesse beaucoup plus faible. Pour calculer la durée, il faut résoudre l'équation du mouvement, où la vitesse et la distance changent sans cesse. On ne sait pas le faire simplement à la main, mais on peut le faire pas à pas avec la méthode d'Euler, présentée plus loin. Sur un modèle simplifié (mouvement en ligne droite, départ à $10{,}95$ km/s, sans la Lune), un calcul avec un pas d'une seconde, soit près de $280\,000$ étapes, donne environ $77$ heures, un peu plus de trois jours, et une vitesse d'arrivée d'environ $0{,}6$ km/s. Avec un pas de $10$ secondes, le même calcul ne parvient même pas à la Lune : les petites erreurs de chaque étape font perdre trop de vitesse au vaisseau, dont la vitesse de départ est très proche de la limite. Un calcul pas à pas demande donc de choisir le pas avec soin.

Une fusée avance en éjectant vers l'arrière des gaz à grande vitesse : c'est la propulsion par réaction, étudiée en physique avec la conservation de la quantité de mouvement. Notons $u$ la vitesse d'éjection des gaz par rapport à la fusée, $m(t)$ la masse de la fusée (qui diminue, puisqu'elle brûle son carburant) et $v(t)$ sa vitesse. Loin de toute force extérieure, la conservation de la quantité de mouvement conduit à la relation (admise ici, elle se démontre en physique en écrivant le bilan pendant une très courte durée) :

Comme $m'(t) < 0$ (la masse diminue), on a bien $v'(t) > 0$ : la fusée accélère.

Cette formule a été publiée en 1903 par le Russe Constantin Tsiolkovski. Elle a une conséquence redoutable : le gain de vitesse ne dépend que du logarithme du rapport des masses. En inversant la formule, $\dfrac{m_0}{m_1} = \mathrm{e}^{\Delta v / u}$ : la masse nécessaire croît exponentiellement avec la vitesse visée. Pour gagner environ $9{,}4$ km/s (ce qu'il faut pour atteindre l'orbite basse, en tenant compte des pertes dues à la gravité et à l'air) avec des gaz éjectés à $3$ km/s, il faudrait $\dfrac{m_0}{m_1} = \mathrm{e}^{9{,}4/3} \approx 23$ : la fusée devrait être faite à $96\,\%$ de carburant. Aucune structure n'est assez légère pour cela.

Prenons une fusée de $100$ tonnes, avec des gaz éjectés à $u = 3$ km/s et une charge utile de $1$ tonne. On suppose que les réservoirs et les moteurs pèsent $10\,\%$ de la masse du carburant qu'ils contiennent. (Ces nombres sont choisis pour l'exemple.)

• Un seul étage. Avec $P$ tonnes de carburant : $P + 0{,}1P + 1 = 100$, donc $P = 90$ : $90$ t de carburant et $9$ t de structure. À la fin, il reste $9 + 1 = 10$ t, et $\Delta v = 3 \ln\dfrac{100}{10}$, soit $3 \ln 10 \approx 6{,}9$ km/s.
• Deux étages. Premier étage : $72$ t de carburant et $7{,}2$ t de structure ; second étage : $18$ t de carburant et $1{,}8$ t de structure ; plus la charge utile de $1$ t. Le total fait bien $100$ t.
  • Le premier étage brûle ses $72$ t : la masse passe de $100$ à $28$ t, d'où $\Delta v_1 = 3 \ln\dfrac{100}{28} \approx 3{,}82$ km/s.
  • On largue sa structure vide, $7{,}2$ t : il reste $20{,}8$ t.
  • Le second étage brûle ses $18$ t : la masse passe de $20{,}8$ à $2{,}8$ t, d'où $\Delta v_2 = 3 \ln\dfrac{20{,}8}{2{,}8} \approx 6{,}02$ km/s.
  Au total, $3{,}82 + 6{,}02 \approx 9{,}84$ km/s.

Avec la même masse et le même carburant, deux étages donnent environ $9{,}8$ km/s au lieu de $6{,}9$ : on ne traîne pas inutilement des réservoirs vides. La fusée Saturn V avait trois étages et pesait près de $3\,000$ tonnes au décollage, pour envoyer vers la Lune un vaisseau et un module lunaire d'environ $45$ tonnes. Ses deux derniers étages brûlaient de l'hydrogène et de l'oxygène liquides, dont les gaz sont éjectés plus vite, ce qui augmente $u$ dans la formule.

Katherine Johnson au centre de recherche de Langley de la NASA, en 1966. Photo : NASA, Wikimedia Commons, domaine public.

Avant les ordinateurs, le mot « calculatrice » (en anglais computer) désignait une personne. Au centre de recherche de Langley, en Virginie, des dizaines de femmes faisaient à la main les calculs des ingénieurs. Dans les années 1940 et 1950, les calculatrices afro-américaines travaillaient dans un service séparé, le West Area Computing, à cause des lois de ségrégation raciale.

Katherine Johnson (1918-2020) y entre en 1953. Mathématicienne brillante, elle rejoint l'équipe qui calcule les trajectoires des premiers vols spatiaux américains : celui d'Alan Shepard en 1961, puis celui de John Glenn en 1962, premier Américain à faire le tour de la Terre en orbite. Les trajectoires de Glenn étaient calculées par un ordinateur électronique ; on raconte que Glenn a demandé qu'elle vérifie les calculs à la main avant de partir. Elle a ensuite participé aux calculs des trajectoires d'Apollo 11, et aux procédures de secours qui ont servi au retour d'Apollo 13 en 1970. Elle a reçu la médaille présidentielle de la liberté en 2015, et le film Les Figures de l'ombre (2016) a fait connaître son histoire et celle de ses collègues Dorothy Vaughan et Mary Jackson.

Le problème du retour. Pour ramener une capsule, il faut savoir à quel instant allumer les rétrofusées pour qu'elle quitte son orbite et amerrisse là où attendent les navires de récupération. Dans le film, on voit Katherine Johnson trouver la solution pour le vol de Glenn en pensant à la méthode d'Euler, « de l'histoire ancienne, mais qui marche ». Cette scène est une mise en scène : les calculs réels combinaient des formules et diverses méthodes numériques. Mais l'idée est juste : quand une équation ne se résout pas exactement, on avance pas à pas. C'est ce que fait la partie suivante, sur un modèle simplifié.

Margaret Hamilton à côté des listings du logiciel de navigation d'Apollo, vers 1969. Photo : MIT / Draper Laboratory, Wikimedia Commons, domaine public.

Les vaisseaux Apollo emportaient un ordinateur de guidage, l'Apollo Guidance Computer, conçu au MIT. Il avait quelques milliers de mots de mémoire vive et quelques dizaines de milliers de mots de programmes, gravés une fois pour toutes dans une mémoire tissée à la main avec des fils de cuivre. C'est infiniment moins qu'un téléphone actuel, mais c'était l'un des premiers ordinateurs à circuits intégrés.

L'équipe qui écrivait son logiciel était dirigée par Margaret Hamilton, qui a popularisé l'expression « génie logiciel ». Pendant la descente d'Apollo 11 vers la Lune, l'ordinateur déclenche des alarmes, notamment l'alarme $1202$ : il reçoit plus de travail qu'il ne peut en faire. Le logiciel avait été conçu pour faire face à cette situation : il abandonne les tâches les moins importantes et redémarre en gardant les calculs essentiels au guidage. Les contrôleurs au sol jugent que l'on peut continuer, et l'alunissage a lieu. Margaret Hamilton a reçu la médaille présidentielle de la liberté en 2016.

On connaît la valeur d'une fonction $f$ à un instant $t$ et l'on sait calculer sa dérivée. Pour un petit pas $h$, la dérivée est presque le taux d'accroissement, donc

On remplace la courbe par sa tangente sur une petite durée, puis on recommence à partir du point obtenu. On construit ainsi une suite de valeurs approchées. Plus le pas est petit, meilleure est l'approximation en général, mais plus il faut de calculs. Cette méthode a été décrite par Leonhard Euler au XVIII^e siècle. Elle est aussi utilisée dans le texte Les systèmes proies-prédateurs.

Dernière étape du retour d'une capsule : la descente sous parachutes, jusqu'à l'amerrissage. Modélisons la vitesse de chute $v(t)$ (en m/s) par l'équation $v' = g - k\,v^2$, où $g = 9{,}81$ traduit la pesanteur et $k\,v^2$ le freinage de l'air, avec $k = 0{,}121$. (C'est un modèle choisi pour l'exemple.) La capsule descend à $20$ m/s quand les parachutes sont bien ouverts : $v_0 = 20$. Avec un pas $h = 0{,}1$ s, la relation $v_{n+1} = v_n + h\,(g - k\,v_n^{\,2})$ donne :

• $0{,}121 \times 20^2 = 48{,}4$, donc $v_1 = 20 + 0{,}1 \times (9{,}81 - 48{,}4)$, soit $v_1 \approx 16{,}14$ ;
• $0{,}121 \times 16{,}14^2 \approx 31{,}52$, donc $v_2 = 16{,}14 + 0{,}1 \times (9{,}81 - 31{,}52)$, soit $v_2 \approx 13{,}97$ ;
• $v_3 \approx 12{,}59$, et ainsi de suite.

La vitesse diminue et se stabilise. Sa limite $\ell$ vérifie $\ell = \ell + h\,(g - k\,\ell^2)$, donc $k\,\ell^2 = g$ et $\ell = \sqrt{\dfrac{g}{k}} \approx 9$ m/s, environ $32$ km/h : c'est l'ordre de grandeur de la vitesse d'amerrissage des capsules Apollo.

Attention au pas. Avec $h = 1$ s, on obtient $v_1 = 20 + (9{,}81 - 48{,}4) \approx -18{,}6$ : une vitesse négative, ce qui n'a aucun sens. Un pas trop grand donne des résultats faux. Choisir le pas fait partie du travail.

Revenons au problème de Katherine Johnson, dans une version très simplifiée. Une capsule tourne sur une orbite circulaire à $200$ km d'altitude. Elle allume ses rétrofusées, qui la freinent d'environ $150$ m/s. Elle tombe alors vers la Terre en suivant une ellipse. À quel endroit atteint-elle l'altitude de $100$ km, où commence vraiment l'atmosphère ?

On repère la capsule par ses coordonnées $(x\,;y)$ dans un repère centré sur la Terre. L'accélération est dirigée vers le centre et vaut $\dfrac{GM}{r^2}$, où $r = \sqrt{x^2 + y^2}$. On applique la méthode d'Euler aux quatre grandeurs $x$, $y$ et les deux coordonnées de la vitesse, exactement comme pour les proies et les prédateurs.

Le programme trouve environ $6\,000$ km avec un pas de $1$ s, mais plus de $8\,500$ km avec un pas de $10$ s : une erreur de plusieurs milliers de kilomètres, qui ferait amerrir la capsule loin des navires. Avec un pas de $0{,}1$ s, le résultat ne change presque plus (environ $5\,800$ km), mais le calcul est dix fois plus long. Ces nombres viennent d'un modèle sans atmosphère et sans rotation de la Terre : ils donnent des ordres de grandeur, pas les vraies valeurs des missions.