John Napier (1550-1617) est le huitième seigneur (laird) de Merchiston, près d'Édimbourg. Ce grand propriétaire terrien est d'abord connu de son vivant comme théologien protestant : son commentaire de l'Apocalypse, publié en 1593, violemment hostile à la papauté, est un succès dans toute l'Europe. Les mathématiques sont pour lui une activité de loisir, à laquelle il consacre pourtant une vingtaine d'années de calculs.

Son idée part d'une observation simple sur les puissances : pour multiplier deux puissances d'un même nombre, on additionne les exposants, $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$. Si l'on dispose d'une table qui donne, pour chaque nombre, l'exposant correspondant, une multiplication devient une addition, et une racine carrée une division par deux.

En 1614, Napier publie Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (« Description de la merveilleuse règle des logarithmes »), avec des tables pour les calculs de trigonométrie. Le mot « logarithme », qu'il invente, associe les mots grecs logos (rapport) et arithmos (nombre). En 1617, l'année de sa mort, il publie aussi un instrument de calcul, les « bâtons de Napier ».

Le succès est immédiat. Le professeur londonien Henry Briggs rend visite à Napier peu après la parution du livre ; ils conviennent de prendre $10$ pour base. Briggs publie en 1624 les logarithmes décimaux de $30\,000$ nombres avec quatorze décimales. Kepler les utilise pour ses tables du mouvement des planètes (1627). On prête à Laplace la formule selon laquelle les logarithmes, en abrégeant les calculs, ont « doublé la vie des astronomes ».

En 1647, le jésuite flamand Grégoire de Saint-Vincent étudie l'aire sous l'hyperbole d'équation $y = \dfrac{1}{x}$. Il remarque que les aires comprises entre $1$ et $2$, entre $2$ et $4$, entre $4$ et $8$… sont égales. En 1649, son élève Alphonse Antoine de Sarasa fait le lien : l'aire sous l'hyperbole se comporte comme un logarithme.

En terminale, cette idée est exactement la définition intégrale du logarithme népérien. La fonction $\ln$ est dérivable, de dérivée $x \mapsto \dfrac{1}{x}$, et $\ln 1 = 0$ ; c'est donc la primitive de $\dfrac{1}{x}$ qui s'annule en $1$ :

Calculer un logarithme, c'est donc calculer une aire. Il reste à savoir comment.

William Brouncker (vers 1620-1684), deuxième vicomte Brouncker, est un aristocrate irlandais né trois ans après la mort de Napier. Il est l'un des fondateurs de la Royal Society de Londres, l'académie des sciences anglaise, et son premier président, de 1662 à 1677. Il est aussi commissaire de la Marine royale : le célèbre journal de Samuel Pepys, administrateur de la Marine, le cite très souvent. En mathématiques, on lui doit une écriture de $\dfrac{4}{\pi}$ en fraction continue, la résolution de l'équation dite de Pell, et c'est à lui que le jeune William Neile communique en 1657 son calcul de la longueur d'une courbe.

En 1668, dans les Philosophical Transactions de la Royal Society, Brouncker calcule l'aire sous l'hyperbole entre $1$ et $2$, c'est-à-dire $\ln 2$. Sa méthode consiste à empiler des rectangles sous la courbe, en divisant leur largeur par deux à chaque étape.

À la première étape, un rectangle de largeur $1$ et de hauteur $\dfrac{1}{2}$ : son aire vaut $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{1\times2}$. À la deuxième, on ajoute au-dessus, entre $1$ et $1{,}5$, un rectangle de largeur $\dfrac{1}{2}$ et de hauteur $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$, d'aire $\dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{3\times4}$. À la troisième, deux rectangles d'aires $\dfrac{1}{30} = \dfrac{1}{5\times6}$ et $\dfrac{1}{56} = \dfrac{1}{7\times8}$. Brouncker obtient ainsi :

Les sommes partielles valent $0{,}5$ ; $0{,}5833$ ; $0{,}6167$ ; $0{,}6345$… Mais la convergence est très lente : après $10$ termes, l'erreur vaut encore environ $0{,}024$ ; après $1\,000$ termes, environ $0{,}000\,25$. L'erreur est de l'ordre de $\dfrac{1}{4n}$ : pour gagner une décimale, il faut dix fois plus de termes.

D'autres séries vont beaucoup plus vite. Par exemple, $\ln 2 = 2\left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3\times3^3} + \dfrac{1}{5\times3^5} + \cdots\right)$ donne déjà $0{,}693\,146$ avec cinq termes. Au XVIIIᵉ siècle, c'est avec des séries de ce genre que l'on recalcule et corrige les tables de logarithmes.

Napier meurt en 1617, Brouncker naît vers 1620 : ils ne se sont jamais rencontrés. Mais leurs travaux sont les deux bouts d'une même histoire.

• Deux façons de calculer le même objet. Napier obtient ses logarithmes par des milliers de multiplications et d'extractions de racines, au prix de vingt ans de travail. Brouncker, en montrant que le logarithme est une aire et en la calculant par une série, ouvre la voie à des calculs beaucoup plus simples.
• Une même communauté. Briggs, qui transforme les logarithmes de Napier, enseigne la géométrie et la navigation au Gresham College de Londres ; c'est dans ce milieu qu'est née en 1660 la Royal Society que Brouncker présidera.
• La mer. Le premier à traduire en anglais le livre de Napier, en 1616, est Edward Wright, le mathématicien qui a calculé les tables de la carte de Mercator. Brouncker, lui, administre la Marine royale. Les logarithmes sont d'abord un outil pour l'astronomie et la navigation.

Un navire qui garde le même cap (le même angle avec la direction du nord) ne suit pas le plus court chemin : il décrit sur le globe une spirale appelée loxodromie, décrite par le Portugais Pedro Nunes en 1537. Mais c'est la route la plus simple à tenir avec un compas. Le navigateur a donc besoin d'une carte où ces routes sont des lignes droites : il trace un trait à la règle entre son port de départ et sa destination, et lit le cap à suivre.

En 1569, le Flamand Gérard Mercator publie une carte du monde « à l'usage des navigateurs » qui a cette propriété. Les méridiens y sont des droites verticales parallèles. Or sur le globe, un parallèle de latitude $\varphi$ est plus court que l'équateur, dans le rapport $\cos\varphi$ : la carte l'étire donc horizontalement d'un facteur $\dfrac{1}{\cos\varphi}$. Pour que les angles soient respectés, il faut l'étirer verticalement d'autant. Les parallèles s'écartent de plus en plus en allant vers les pôles. Mercator les place sans formule, de façon approchée.

En 1599, Edward Wright, dans Certaine Errors in Navigation, calcule leur position exacte. Il découpe la latitude en petits pas (une minute d'angle) et additionne les étirements $\dfrac{1}{\cos\varphi}$ de chaque pas, exactement comme Brouncker additionne des rectangles. Sur une carte où le rayon de la Terre vaut $R$, le parallèle de latitude $\varphi$ est à la hauteur

Vers 1645, le professeur de navigation Henry Bond remarque que les tables de Wright coïncident avec une table de logarithmes de tangentes. La démonstration vient en 1668, avec James Gregory :

Par exemple, le parallèle de latitude $60^\circ$ est à la hauteur $1{,}317\,R$ ; la somme de Wright avec un pas d'un degré donne déjà $1{,}3169\,R$. Au pôle, la hauteur devient infinie : la carte de Mercator ne peut pas représenter les pôles.

La carte de Mercator, les tables de Wright et les logarithmes s'ajoutent aux autres outils de la navigation européenne : la boussole, l'astrolabe et le quadrant pour mesurer la latitude, puis les tables astronomiques. Aux XVIIᵉ et XVIIIᵉ siècles, ils servent les grandes compagnies de commerce (la Compagnie néerlandaise des Indes orientales, fondée en 1602, la Compagnie anglaise des Indes orientales) et les marines de guerre. Maîtriser la navigation au long cours, c'est maîtriser les routes du commerce mondial, y compris celles de la traite atlantique, et soutenir la construction des empires coloniaux.

Ces outils ne suffisent évidemment pas à expliquer la domination européenne sur les océans : elle repose aussi sur les navires, l'artillerie, les capitaux et la puissance des États. Mais ils en sont une condition : la science appliquée devient un instrument de puissance. Le thème relie l'histoire des sciences à celle des conquêtes maritimes et à la question de la connaissance comme enjeu de pouvoir.

Les logarithmes servent aussi à mesurer des grandeurs qui varient sur des ordres de grandeur très différents.

• Le pH : $\mathrm{pH} = -\log\big[\mathrm{H_3O^+}\big]$, la concentration étant exprimée en mol/L. Passer de $\mathrm{pH} = 3$ à $\mathrm{pH} = 2$, c'est multiplier par $10$ la concentration en ions oxonium.
• Le niveau sonore : $L = 10\log\dfrac{I}{I_0}$ en décibels. Ajouter $10$ dB, c'est multiplier l'intensité sonore par $10$ ; deux sources identiques ensemble ajoutent environ $3$ dB.
• La règle à calcul : deux règles graduées en échelle logarithmique, que l'on fait glisser l'une contre l'autre, additionnent des longueurs et donc multiplient des nombres. Elle a été l'outil de calcul des ingénieurs jusqu'à l'arrivée des calculatrices électroniques, dans les années 1970.

Le premier programme calcule les sommes partielles de la série de Brouncker ; le second reproduit le calcul de Wright et le compare à la formule exacte. On peut les modifier et les exécuter.

Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :

• Mathématiques, fonction logarithme : ses propriétés algébriques, sa définition comme primitive, sa lecture comme aire.
• Mathématiques, calcul intégral et suites : sommes de rectangles, séries, vitesse de convergence.
• HGGSP : les outils scientifiques de l'expansion maritime européenne ; les cartes comme représentations du monde et instruments de pouvoir.
• Histoire des sciences : Napier, Briggs, Wright, Brouncker et la naissance de la Royal Society.
• NSI : calculer une fonction avec un algorithme, précision et coût, des tables aux machines.
• Physique-chimie : les échelles logarithmiques (pH, décibels), la règle à calcul.

• Histoire des logarithmes et des exponentielles (Wikipédia) : de Napier à Euler, avec Saint-Vincent, Sarasa et Brouncker.
• John Napier, Henry Briggs, William Brouncker et Edward Wright (Wikipédia).
• Projection de Mercator et loxodromie (Wikipédia).
• Règle à calcul (Wikipédia).
• Sur ce site : l'animation Algorithme de Brouncker et les textes Longueur d'un arc de courbe (où apparaît William Neile) et Approximation des solutions d'une équation.