Rappelons que $a \equiv b \pmod{n}$ signifie que $n$ divise $a - b$ : $a$ et $b$ ont le même reste dans la division par $n$. Calculons les carrés des entiers de $0$ à $6$, puis leurs restes modulo $7$ :

Les restes non nuls obtenus sont $1$, $2$ et $4$ : on les appelle les résidus quadratiques modulo $7$. Les restes $3$, $5$ et $6$ ne sont jamais atteints : ce sont les non-résidus. Par exemple, aucun carré d'entier ne se termine par $3$ quand on l'écrit en base $7$.

On remarque que la ligne des restes est symétrique : $x$ et $7 - x$ ont le même carré modulo $7$, car $(7 - x)^2 = 49 - 14x + x^2$ et $49 - 14x$ est un multiple de $7$. Modulo $11$, on trouve de la même façon les résidus $1, 3, 4, 5, 9$ : encore exactement la moitié des restes non nuls.

Le lemme d'Euclide est indispensable : modulo $8$, qui n'est pas premier, les carrés de $1$, $3$, $5$ et $7$ valent tous $1$, et il n'y a que deux résidus non nuls, $1$ et $4$. C'est Gauss qui a fait de ces questions une théorie, dans ses Recherches arithmétiques de 1801 ; son résultat le plus célèbre, la loi de réciprocité quadratique, relie le fait que $p$ soit un carré modulo $q$ au fait que $q$ soit un carré modulo $p$.

Un entier de Gauss est un nombre complexe $a + ib$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs. Dans le plan complexe, ce sont les points du quadrillage à coordonnées entières. La somme et le produit de deux entiers de Gauss sont encore des entiers de Gauss :

Par exemple, $(2 + i)(2 - i) = 4 - i^2 = 5$ et $(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$.

On mesure la « taille » d'un entier de Gauss par sa norme, le carré de son module : $N(a + ib) = a^2 + b^2 = |a + ib|^2$. Comme le module d'un produit est le produit des modules, on a pour tous entiers de Gauss $z$ et $w$ :

C'est l'outil principal de cette partie : il ramène les questions sur les entiers de Gauss à des questions sur les entiers ordinaires. Les seuls entiers de Gauss de norme $1$ sont $1, -1, i$ et $-i$ ; ils jouent le rôle que jouent $1$ et $-1$ chez les entiers ordinaires, et on les appelle les unités.

On copie la définition des entiers : si $\pi$ est un entier de Gauss non nul, on dit que $z \equiv w \pmod{\pi}$ lorsqu'il existe un entier de Gauss $k$ tel que $z - w = k\pi$. Les règles de calcul sont les mêmes que pour les entiers : on peut ajouter et multiplier des congruences.

À la main, avec $\pi = 3$. Le quotient $\dfrac{a + ib}{3} = \dfrac{a}{3} + i\,\dfrac{b}{3}$ est un entier de Gauss si et seulement si $3$ divise $a$ et $3$ divise $b$. Donc $a + ib \equiv c + id \pmod{3}$ revient à $a \equiv c$ et $b \equiv d$ modulo $3$. Chaque entier de Gauss est ainsi congru à un et un seul des neuf nombres $a + ib$ avec $a$ et $b$ dans $\{0, 1, 2\}$ : il y a $9$ classes, et $9$ est la norme de $3$.

C'est un fait général, que l'on admet : modulo un entier de Gauss $\pi$, il y a exactement $N(\pi)$ classes. On le vérifiera sur les figures : la mosaïque se répète par blocs de $N(\pi)$ carreaux.

Élevons au carré les neuf représentants $a + ib$, avec $(a + ib)^2 = (a^2 - b^2) + 2ab\,i$, puis réduisons les deux coordonnées modulo $3$ :

Les carrés non nuls modulo $3$ sont $1$, $2$, $i$ et $2i$ : quatre classes sur huit, encore la moitié. Les quatre autres, $1 + i$, $1 + 2i$, $2 + i$ et $2 + 2i$, ne sont les carrés de rien. On remarque que $2$, qui n'est pas un carré modulo $3$ chez les entiers, en devient un chez les entiers de Gauss : $2 \equiv -1 = i^2$.

La démonstration du premier paragraphe se recopie presque mot pour mot. Soit $\pi$ un premier de Gauss de norme impaire. Si $z^2 \equiv w^2 \pmod{\pi}$, alors $\pi$ divise $(z - w)(z + w)$, donc divise $z - w$ ou $z + w$ : $w \equiv z$ ou $w \equiv -z$. Chaque carré non nul provient donc d'exactement deux classes, $z$ et $-z$, et il y a exactement $\dfrac{N(\pi) - 1}{2}$ carrés non nuls.

Thiele choisit un premier de Gauss $\pi$ et colorie chaque carreau du quadrillage, centré en un entier de Gauss $q$ :

• en  rouge  si $q \equiv 0 \pmod{\pi}$ ;
• en  bleu  si $q$ est un carré non nul modulo $\pi$ (un résidu quadratique) ;
• en blanc sinon.

La couleur d'un carreau ne dépend que de la classe de $q$ modulo $\pi$. Or $q + \pi \equiv q$ et $q + i\pi \equiv q$ : la mosaïque est donc invariante par les translations de vecteurs $\pi$ et $i\pi$. Ces deux vecteurs ont la même longueur $|\pi|$ et sont perpendiculaires (multiplier par $i$ fait tourner d'un quart de tour) : la mosaïque est faite d'un même motif, répété dans un carré de côté $|\pi|$ et d'aire $|\pi|^2 = N(\pi)$. Ce carré contient $N(\pi)$ carreaux, un par classe.

Il y a d'autres symétries. Puisque $-1 = i^2$ est un carré, si $q \equiv x^2$ alors $-q \equiv (ix)^2$ : $q$ et $-q$ ont la même couleur, et la mosaïque est symétrique par rapport à l'origine. Quand $\pi$ est un entier ordinaire, comme $3$ ou $19$, la conjugaison conserve les congruences modulo $\pi$ : la mosaïque est aussi symétrique par rapport à l'axe des réels.

On place $N$ points régulièrement espacés sur un cercle, numérotés de $0$ à $N - 1$, et on choisit un entier $k$. On relie chaque point $n$ au point dont le numéro est le reste de $kn$ modulo $N$. Les dessins obtenus sont devenus célèbres grâce à des vidéos de vulgarisation, celles de Mathologer et de Micmaths notamment.

À la main, avec $N = 10$ et $k = 2$.

On trace donc les cordes $1 \to 2$, $2 \to 4$, $3 \to 6$, $4 \to 8$, $5 \to 0$, et ainsi de suite. Le point $0$ est relié à lui-même : il n'y a pas de corde.

Plaçons le cercle dans le plan complexe, centré en $0$ et de rayon $1$, et notons $\omega = e^{2i\pi/N}$. Le point numéro $n$ a pour affixe $\omega^n = e^{2i\pi n/N}$ : ce sont les racines $N$-ièmes de l'unité, car $\omega^N = e^{2i\pi} = 1$. La corde issue du point $n$ va de $\omega^n$ à $\omega^{kn}$.

On comprend alors pourquoi les numéros se calculent modulo $N$ : si $kn = qN + r$, alors $\omega^{kn} = (\omega^N)^q \times \omega^r = \omega^r$. Deux conséquences :

• $k$ et $k + N$ donnent la même figure, car $(k + N)n = kn + nN$ $\equiv kn \pmod{N}$.
• La corde de $n$ à $kn$ a pour longueur $|\omega^{kn} - \omega^n| = |\omega^{(k-1)n} - 1|$, puisque $|\omega^n| = 1$ ; et en écrivant $e^{i\theta} - 1 = e^{i\theta/2}\left(e^{i\theta/2} - e^{-i\theta/2}\right)$, on trouve une longueur égale à $2\left|\sin\left(\tfrac{(k-1)n\pi}{N}\right)\right|$.

Partons d'un point et suivons les cordes : $n \to kn \to k^2 n \to \cdots$ Avec $N = 7$ et $k = 2$, on obtient $1 \to 2 \to 4 \to 1$ et $3 \to 6 \to 5 \to 3$ : deux cycles de longueur $3$, parce que $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$. Le plus petit exposant $d \geqslant 1$ tel que $k^d \equiv 1 \pmod{N}$ s'appelle l'ordre de $k$ modulo $N$.

Avec $N = 10$ et $k = 2$, au contraire, les points $0$ et $5$ arrivent tous les deux en $0$ : l'application $n \mapsto kn$ n'est pas une bijection. Ce n'est pas un hasard.

Avec $k = 2$ et $N = 10$, $2$ et $10$ ne sont pas premiers entre eux, d'où le « télescopage » observé.

Quand $N$ devient grand, les cordes de la table de $2$ dessinent le contour d'une courbe en forme de cœur, la cardioïde : elles en sont les tangentes. On dit que la cardioïde est l'enveloppe des cordes (voir le texte L'enveloppe d'une famille de courbes). Montrons-le, en remplaçant l'angle $2\pi n/N$ par un nombre réel $\theta$ quelconque.

La corde va de $A(\cos\theta\,;\sin\theta)$ à $B(\cos 2\theta\,;\sin 2\theta)$. On considère le point $M$ défini par

c'est-à-dire

Pourquoi un cœur ? En écrivant $M = \tfrac{2}{3}e^{i\theta} + \tfrac{1}{3}e^{2i\theta}$, on reconnaît le mouvement d'un point fixé sur un petit cercle de rayon $\tfrac{1}{3}$ dont le centre $\tfrac{2}{3}e^{i\theta}$ tourne autour de l'origine, pendant que le point tourne deux fois plus vite. C'est le cercle de rayon $\tfrac{1}{3}$ qui roule sans glisser autour d'un cercle fixe de même rayon : la courbe est une épicycloïde à un point de rebroussement, la cardioïde. Ce point de rebroussement est en $\theta = \pi$, où $x' = y' = 0$ : $M = -\tfrac{1}{3}$.

Le même calcul marche pour la table de $k$ : la corde de $e^{i\theta}$ à $e^{ik\theta}$ est tangente au point

qui décrit une épicycloïde à $k - 1$ points de rebroussement. Pour $k = 3$, c'est la néphroïde (en forme de rein), à deux points de rebroussement ; pour $k = 6$, une fleur à cinq pétales. On la reconnaît dans une tasse de café éclairée de côté : la lumière réfléchie par le bord forme une néphroïde ou une cardioïde, selon la position de la source.

Mathologer a fait remarquer que la cardioïde de la table de $2$ a exactement la forme de la grande « bulle » de l'ensemble de Mandelbrot, défini lui aussi avec les nombres complexes (voir le texte La fractale de Mandelbrot). Les deux dessins de ce texte, mosaïques et cercles, racontent la même idée : un calcul modulo un nombre devient une figure périodique, sur un quadrillage ou sur un cercle.