Prenons deux segments qui se rejoignent, gradués de la même façon. Relions la graduation $1$ de l'un à la graduation $n - 1$ de l'autre, puis $2$ à $n - 2$, et ainsi de suite. Chaque fil est droit, et pourtant une courbe se dessine : chaque fil la touche en un point et y est tangent. Plus on met de fils, plus la courbe est nette. C'est le principe de l'« art filaire », que l'on pratique avec des clous et du fil de couleur.

La même construction avec un fil et une planchette à clous. Photo : Leopoldkumar, Wikimedia Commons, domaine public (CC0).

« Tangentes » veut dire ici que les deux courbes passent par un même point et y ont la même tangente. Quand les courbes sont les représentations graphiques de deux fonctions $f$ et $g$, elles sont tangentes au point d'abscisse $x_0$ si $f(x_0) = g(x_0)$ et $f'(x_0) = g'(x_0)$. Tout le calcul des enveloppes repose donc sur la dérivée et l'équation de la tangente.

L'idée est ancienne. En 1673, Christiaan Huygens étudie la développée d'une courbe, l'enveloppe de ses normales, pour construire des horloges à pendule plus régulières. En 1682, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus étudie les caustiques, enveloppes de rayons lumineux. En 1692 et 1694, Gottfried Wilhelm Leibniz pose la question en général et donne une méthode de calcul. Au siècle suivant, Gaspard Monge étend la notion aux surfaces de l'espace et en fait un outil pour les ingénieurs.

Dans un repère orthonormé, on considère le cercle $\mathscr{C}$ de centre $(0\,;1)$ et de rayon $1$, d'équation $x^2 + (y-1)^2 = 1$. Pour tout réel $t$ de $]0\,;1]$, le cercle a deux points d'abscisse $t$ : en résolvant $(y-1)^2 = 1 - t^2$, on trouve les ordonnées

Pour chacun de ces points, on trace la parabole qui passe par l'origine et dont le sommet est ce point. La figure montre la famille obtenue : une courbe semble la border par le haut. On conjecture que c'est la parabole d'équation $y = 2 - \dfrac{x^2}{2}$, qui a son sommet en $(0\,;2)$ et coupe l'axe des abscisses en $2$.

L'équation des paraboles. Une parabole de sommet $(t\,;h)$ a une équation de la forme $y = h + a(x-t)^2$. Elle passe par l'origine si et seulement si $h + at^2 = 0$, c'est-à-dire $a = -\dfrac{h}{t^2}$. La parabole de la famille est donc la courbe de

Comme le point $(t\,;h)$ est sur le cercle, $t^2 + (h-1)^2 = 1$, soit $t^2 = 2h - h^2 = h(2-h)$. On en déduit $\dfrac{h}{t^2} = \dfrac{1}{2-h}$ : c'est cette relation qui va tout faire marcher.

La démonstration. Étudions l'écart entre la courbe conjecturée et une parabole de la famille :

En développant $\dfrac{h}{t^2}(x-t)^2 = \dfrac{h}{t^2}x^2 - \dfrac{2h}{t}x + h$, les termes $h$ et $-h$ se compensent et il reste un polynôme du second degré :

Son coefficient dominant vaut $\dfrac{1}{2-h} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{h}{2(2-h)}$, qui est strictement positif car $0 < h < 2$. Calculons son discriminant :

Le discriminant est nul : $D$ a une racine double $x_0$, et $D(x) = \dfrac{h}{2(2-h)}(x - x_0)^2$ avec $x_0 = \dfrac{2(2-h)}{t}$. Deux conséquences :

• $D(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ : chaque parabole de la famille est située sous la courbe $y = 2 - \dfrac{x^2}{2}$ ;
• $D(x_0) = 0$ et $D'(x_0) = 0$ : au point d'abscisse $x_0$, les deux courbes ont la même ordonnée et la même dérivée, donc la même tangente. Elles sont tangentes.

Enfin, quand $t$ parcourt $]0\,;1]$, le point de contact $x_0$ parcourt tout l'intervalle $]0\,;2]$ pour les paraboles de sommet haut, et $[2\,;+\infty[$ pour celles de sommet bas : tous les points de la courbe d'abscisse positive sont atteints. La parabole $y = 2 - \dfrac{x^2}{2}$ est bien l'enveloppe de la famille.

Cette démonstration n'utilise que le second degré et la dérivée. Il existe une méthode générale, au-delà du programme : si la famille a pour équation $F(x, y, t) = 0$, on dérive cette équation par rapport au paramètre $t$ en gardant $x$ et $y$ fixes, et l'on élimine $t$ entre les deux équations obtenues. C'est la méthode de Leibniz.

Un canon tire ses boulets toujours à la même vitesse $v$, mais on peut choisir l'angle $\alpha$ de tir. En négligeant les frottements de l'air, la deuxième loi de Newton donne la trajectoire, une parabole découverte par Galilée en 1638 :

où $g \approx 9{,}81$ m/s² est l'intensité de la pesanteur. Quand $\alpha$ varie, on obtient une famille de paraboles. Quels sont les points que l'on peut atteindre ?

Un calcul de second degré. Posons $u = \tan\alpha$ et $k = \dfrac{g}{2v^2}$. Comme $\dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tan^2\alpha$, la trajectoire s'écrit $y = xu - kx^2(1 + u^2)$. Fixons un point $(x\,;y)$ avec $x > 0$. Il est atteint s'il existe un angle, donc un réel $u$, tel que

C'est une équation du second degré en $u$. Elle a une solution si et seulement si son discriminant est positif ou nul :

En divisant par $x^2$, qui est strictement positif, on obtient $1 - 4k\left(y + kx^2\right) \geqslant 0$, c'est-à-dire

En remplaçant $k$ par sa valeur :

La courbe d'équation $y = \dfrac{v^2}{2g} - \dfrac{g}{2v^2}x^2$ est une parabole : c'est la parabole de sûreté. Les points situés en dessous sont atteints par deux angles de tir (deux solutions $u$), les points situés au-dessus ne sont jamais atteints, et les points de la courbe le sont par un seul angle : la trajectoire correspondante y est tangente. La parabole de sûreté est l'enveloppe des trajectoires. Ce résultat est dû à Evangelista Torricelli, l'élève de Galilée, en 1644.

On lit sur la formule les deux records. La hauteur maximale, atteinte en tirant à la verticale, est $\dfrac{v^2}{2g}$ ; la portée maximale au sol, pour $y = 0$, est $\dfrac{v^2}{g}$, obtenue en tirant à $45^\circ$. Un ballon lancé à $20$ m/s monte au plus à environ $20$ m et va au plus à environ $41$ m. Dans le vide, un boulet tiré à $400$ m/s irait à plus de $16$ km ; dans l'air, les canons de la fin du XVIII^e siècle portaient à quelques kilomètres seulement. Les frottements changent la forme des trajectoires et de leur enveloppe, mais l'idée reste la même : il existe une frontière de la zone atteignable, et un abri situé au-delà est sûr. D'où le nom.

Un fils de marchand à l'école du génie. Gaspard Monge naît à Beaune en 1746, fils d'un marchand. Remarqué très jeune (il enseigne la physique à seize ans au collège de la Trinité, à Lyon), il dessine un plan de sa ville qui attire l'attention d'un officier du génie. Il entre en 1765 à l'école royale du génie de Mézières, où l'on forme les officiers chargés des fortifications. Il n'y est que dessinateur : n'étant pas noble, il ne peut pas devenir officier. On lui confie alors un problème capital, le défilement des fortifications : comment élever les remparts pour qu'une position ne puisse pas être vue et atteinte par l'artillerie ennemie installée sur les hauteurs voisines ? On le résolvait par tâtonnements ou par de longs calculs. Monge propose une construction géométrique simple, fondée sur une surface tangente au terrain environnant. Ses supérieurs, la trouvant trop rapide pour être juste, la croient bâclée ; il insiste, et elle s'impose. Il devient répétiteur, puis professeur.

Gaspard Monge (1746-1818), lithographie de François-Séraphin Delpech. Wikimedia Commons, domaine public.

La géométrie descriptive, un secret militaire. À Mézières, Monge invente la géométrie descriptive : une méthode pour représenter sans ambiguïté un objet de l'espace par deux projections orthogonales sur deux plans, une vue de face et une vue de dessus, et pour résoudre sur le papier les problèmes d'espace (intersections, ombres, tailles de pierre ou de charpente). Elle est jugée si utile à la construction des fortifications qu'elle est tenue secrète : elle ne doit pas parvenir aux ennemis du royaume. Elle n'est enseignée publiquement qu'en 1795. Le dessin technique d'aujourd'hui, avec ses vues de face, de dessus et de côté, en descend directement.

Les guerres de la Révolution. Républicain convaincu, Monge devient ministre de la Marine en 1792. La France est en guerre contre une coalition européenne et soumise à un blocus : il manque des armes, du salpêtre pour la poudre, du métal. À la demande du Comité de salut public, Monge organise la fabrication : la production de salpêtre est multipliée et il rédige en 1794, avec les chimistes Berthollet et Vandermonde, une Description de l'art de fabriquer les canons, un manuel d'une grande clarté destiné aux ouvriers des fonderies. La même année, il participe à la fondation de l'École polytechnique, chargée de former les ingénieurs dont l'État et l'armée ont besoin ; il y enseigne la géométrie avec passion. Il suit ensuite Bonaparte en Italie, puis en Égypte, où il préside l'Institut d'Égypte fondé au Caire ; il reste fidèle à l'Empereur, qui le fait comte de Péluse. Exclu de l'Institut à la Restauration, il meurt en 1818. Ses cendres sont transférées au Panthéon en 1989, pour le bicentenaire de la Révolution.

La même science pour la paix. Les savoirs de Monge servent aussi la paix et la vie civile. La géométrie descriptive devient l'outil des architectes, des tailleurs de pierre, des charpentiers et des constructeurs de machines. Monge fait partie de la commission qui crée le système métrique, instrument d'unification du commerce. En 1781, il publie un Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais : comment transporter de la terre d'un endroit à un autre (pour une route, un canal ou un rempart) en minimisant l'effort total ? Ce problème du transport optimal, repris en 1942 par le mathématicien soviétique Leonid Kantorovitch pour l'économie planifiée, est aujourd'hui un domaine de recherche très actif : il a valu la médaille Fields à Cédric Villani en 2010 et à Alessio Figalli en 2018. L'histoire de Monge illustre une question au cœur du thème « faire la guerre, faire la paix » : un même savoir scientifique peut servir l'une et l'autre, et l'État révolutionnaire puis impérial a organisé la science pour la mettre au service de sa puissance.

Les surfaces développables. En mathématiques, Monge étend les enveloppes à l'espace. Une famille de plans qui dépend d'un paramètre a, en général, une surface enveloppe, tangente à chacun des plans le long d'une droite. Ces surfaces sont exactement celles que l'on peut dérouler sur un plan sans déchirer ni étirer la matière : les cylindres, les cônes, et des surfaces plus étonnantes. On les appelle surfaces développables, étudiées au début des années 1770 par Euler et par Monge. Monge classe les surfaces selon la façon dont on peut les fabriquer : les surfaces de révolution sont celles qu'un tourneur obtient sur son tour, les surfaces développables celles qu'un chaudronnier façonne dans une tôle sans l'abîmer.

Dans les ateliers, de nombreuses pièces sont obtenues par enveloppe : la forme de la pièce n'est pas celle de l'outil, mais l'enveloppe des positions successives de l'outil qui se déplace. C'est le cœur des métiers de l'usinage (fraiseur, tourneur, régleur de machines à commande numérique), de la découpe et de la conception mécanique.

Le fraisage. Une fraise est un outil cylindrique qui tourne très vite et enlève la matière. Vue de dessus, c'est un disque de rayon $r$. Quand son centre suit un trajet, le bord de la rainure creusée est l'enveloppe des cercles de rayon $r$ centrés sur ce trajet : deux courbes « parallèles » au trajet, à la distance $r$. Inversement, pour obtenir un contour voulu, la machine doit faire passer le centre de l'outil à la distance $r$ de ce contour : c'est la correction de rayon d'outil, calculée automatiquement par les machines à commande numérique. Une conséquence pratique : un coin intérieur usiné ne peut jamais être plus pointu que la fraise. Il est arrondi, avec un rayon au moins égal à $r$ ; les concepteurs le prévoient sur leurs plans.

La découpe. Les machines de découpe au laser, au plasma ou au jet d'eau fonctionnent de la même façon. Le faisceau n'est pas infiniment fin : il enlève une bande de matière, la saignée, de quelques dixièmes de millimètre pour un laser et de l'ordre du millimètre pour un jet d'eau. La pièce découpée est bordée par l'enveloppe des positions du faisceau ; pour obtenir la cote exacte, la machine décale sa trajectoire d'une demi-saignée, c'est la compensation de saignée.

Les engrenages taillés par génération. Les dents d'un engrenage ne sont pas taillées une à une à la forme voulue. On utilise un outil à dents droites, une crémaillère ou une fraise-mère (une sorte de vis dont les filets sont coupants), qui tourne en même temps que la roue à tailler, comme si les deux engrenaient. À chaque instant, le flanc droit de l'outil occupe une nouvelle position par rapport à la roue, et le flanc de la dent obtenue est l'enveloppe de toutes ces positions. On parle de taillage par génération. La courbe obtenue est une développante de cercle : celle que décrit l'extrémité d'un fil que l'on déroule en le gardant tendu autour d'un cylindre. Étudié par Euler au XVIII^e siècle, ce profil a deux qualités précieuses : les dents roulent l'une sur l'autre en transmettant une vitesse parfaitement régulière, et cela reste vrai même si l'écart entre les deux roues est légèrement imprécis. Presque tous les engrenages des voitures, des vélos et des machines l'utilisent.

Taillage d'une roue dentée par une fraise-mère (à gauche, en bas) : l'outil et la roue tournent ensemble, et chaque dent est l'enveloppe des positions de l'outil. Photo : Kolossos, Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 3.0.

D'autres métiers. Les cames d'un moteur, qui ouvrent et ferment les soupapes, ont un profil calculé comme enveloppe des positions du poussoir qui les suit. Les chaudronniers et les tôliers tracent à plat les surfaces développables de Monge (conduits, trémies, coques) avant de les rouler ou de les plier ; les tailleurs de pierre et les charpentiers, notamment chez les Compagnons du Devoir, pratiquent encore le « trait », héritier de la géométrie descriptive. Enfin, les logiciels de conception assistée par ordinateur (CAO) calculent les surfaces balayées par les outils pour simuler l'usinage avant de lancer la machine.

Au début des années 1960, les constructeurs automobiles veulent dessiner les carrosseries par ordinateur et commander directement les machines qui fraisent les maquettes. Il faut pour cela décrire des courbes souples avec peu de nombres. Chez Citroën, Paul de Casteljau trouve une méthode dès 1959, mais l'entreprise la garde secrète. Chez Renault, l'ingénieur Pierre Bézier développe la même idée et la publie : ces courbes portent aujourd'hui son nom.

Une courbe de Bézier du second degré est définie par trois points $P_0$, $P_1$ et $P_2$. Pour chaque réel $t$ de $[0\,;1]$, la construction de De Casteljau place :

• le point $A$ sur $[P_0P_1]$ tel que $\overrightarrow{P_0A} = t\,\overrightarrow{P_0P_1}$, et le point $B$ sur $[P_1P_2]$ tel que $\overrightarrow{P_1B} = t\,\overrightarrow{P_1P_2}$ ;
• puis le point $M$ sur $[AB]$ tel que $\overrightarrow{AM} = t\,\overrightarrow{AB}$.

Quand $t$ va de $0$ à $1$, le point $M$ décrit la courbe. En coordonnées, on trouve que le point $M(t)$ est

ce qui signifie que chaque coordonnée de $M$ est un polynôme du second degré en $t$ : la courbe est un arc de parabole. En dérivant chaque coordonnée, on obtient

car $\overrightarrow{AB} = (1-t)\,\overrightarrow{P_0P_1} + t\,\overrightarrow{P_1P_2}$. Le vecteur dérivé, qui dirige la tangente, est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ : le segment $[AB]$ est tangent à la courbe en $M$. Or les segments $[AB]$ sont exactement les fils tendus du début de ce texte. La courbe de Bézier est leur enveloppe.

Les courbes de Bézier sont partout. Les lettres de ce texte sont dessinées avec elles : les polices de caractères TrueType utilisent des courbes du second degré, les polices PostScript des courbes du troisième degré, définies par quatre points. Les logiciels de dessin vectoriel, le format d'image SVG, les animations et les logiciels de CAO reposent sur elles. Une courbe de Bézier du troisième degré s'obtient en répétant la construction de De Casteljau un étage de plus.

Par une journée ensoleillée, on voit souvent à la surface du café ou du lait une courbe lumineuse en forme de cœur. Ce n'est pas un reflet de la tasse, mais une caustique : les rayons du Soleil se réfléchissent sur la paroi intérieure, cylindrique, et les rayons réfléchis ne se croisent pas en un seul point. Ils ont une enveloppe, et c'est le long de cette enveloppe que la lumière se concentre le plus, puisque des rayons voisins s'y accumulent. Le mot vient du grec kaustikos, « qui brûle ».

Une caustique à la surface d'un café. Photo : Daisychainnow, Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 3.0.

Si les rayons arrivent parallèles, comme ceux du Soleil, la caustique d'un cercle de rayon $R$ est une courbe appelée néphroïde (« en forme de rein ») ; sa pointe se trouve à la distance $\dfrac{R}{2}$ du centre. C'est exactement le défaut des miroirs sphériques décrit dans le texte sur la parabole : un miroir en arc de cercle ne concentre pas la lumière en un point, mais le long d'une caustique. La parabole est la seule courbe dont la caustique, pour des rayons parallèles à l'axe, se réduit à un point : son foyer.

Les caustiques sont partout dans la nature : les réseaux lumineux qui dansent au fond d'une piscine sont les caustiques de la surface ondulée de l'eau, et l'arc-en-ciel en est une aussi. Dans une goutte de pluie, les rayons du Soleil réfractés, réfléchis puis réfractés ressortent dans toutes les directions, mais ils s'accumulent autour d'un angle d'environ $42^\circ$ avec la direction opposée au Soleil : c'est là que l'arc apparaît. Descartes l'a calculé en 1637, en suivant des milliers de rayons à la main.

Le premier programme reprend le calcul de la parabole de sûreté : pour une cible donnée, il dit si elle est atteignable et donne les angles de tir. Le second calcule des points d'une courbe de Bézier par la construction de De Casteljau. On peut changer les valeurs et exécuter.

Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :

• Mathématiques : démontrer qu'une courbe est l'enveloppe d'une famille avec le second degré et la dérivée, la parabole de sûreté, les courbes de Bézier.
• HGGSP : Gaspard Monge et le thème « faire la guerre, faire la paix » : la science au service de l'État en guerre, le secret militaire, la fondation de l'École polytechnique, les usages civils des mêmes savoirs.
• Sciences de l'ingénieur : le taillage des engrenages par génération, la développante de cercle, le fraisage et la correction de rayon d'outil, la CAO.
• Physique-chimie : les trajectoires de projectiles, les caustiques et l'arc-en-ciel.
• NSI : les courbes de Bézier, l'algorithme de De Casteljau, les polices de caractères et le dessin vectoriel.

• Enveloppe, Gaspard Monge et courbe de Bézier (Wikipédia).
• G. Monge, Application de l'analyse à la géométrie, 1807, et Géométrie descriptive, 1799 (consultables sur Gallica).
• G. Monge, Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais, Académie royale des sciences, 1781.
• Sur ce site : l'animation Un exemple d'enveloppe d'une famille de courbes et le texte La parabole et son foyer.