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Un tableau de nombres où chaque case est la somme de deux autres : rien de plus simple en apparence. Le triangle arithmétique traverse pourtant toute l'histoire des mathématiques, de l'Inde et de la Chine médiévales à l'informatique d'aujourd'hui. Il est aussi lié à un moment fondateur : dans son Traité du triangle arithmétique, Blaise Pascal énonce et applique le raisonnement par récurrence avec une netteté qu'on ne trouvait pas avant lui. Ce texte rassemble ce qu'il faut savoir sur le triangle, son histoire, ses propriétés et ses usages. À chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
On écrit $1$ en haut. Chaque ligne commence et finit par $1$, et chaque autre nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui, à gauche et à droite. Dans la présentation en tableau ci-dessous, une case est la somme de la case au-dessus et de la case en haut à gauche : $4 + 6 = 10$.
| 1 | ||||||
| 1 | 1 | |||||
| 1 | 2 | 1 | ||||
| 1 | 3 | 3 | 1 | |||
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||
| 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |
| 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |
Le nombre situé à la ligne $n$ et à la colonne $k$ (en comptant à partir de $0$) se note $\dbinom{n}{k}$ et se lit « $k$ parmi $n$ ». La règle de construction s'écrit, pour $1 \leqslant k \leqslant n-1$ :
$$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}.$$On sait aujourd'hui que $\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$, où $n! = 1\times2\times\cdots\times n$. Mais la notation factorielle n'existait pas au temps de Pascal : il ne disposait que du triangle et de sa règle d'addition.
Le triangle est bien plus ancien que Pascal. En Inde, le commentateur Halayudha (Xᵉ siècle) l'utilise pour compter les rythmes de la poésie sanskrite. À la même époque, à Bagdad, al-Karaji s'en sert pour développer les puissances d'une somme, et l'on trouve chez lui des raisonnements qui annoncent la récurrence. Au XIᵉ siècle, le mathématicien et astronome persan Omar Khayyam l'emploie pour extraire des racines : en Iran, on parle encore du « triangle de Khayyam ».
En Chine, Jia Xian le connaît au XIᵉ siècle ; Yang Hui le décrit au XIIIᵉ siècle, et les Chinois l'appellent « triangle de Yang Hui ». En 1303, Zhu Shijie en donne une figure célèbre dans son Miroir de jade des quatre inconnues.
En Europe, l'astronome allemand Petrus Apianus le fait graver en 1527 sur la page de titre d'un livre de calcul commercial ; Michael Stifel le publie en 1544, et l'Italien Tartaglia en 1556 : en Italie, c'est le « triangle de Tartaglia ». Le nom de Pascal ne lui est donné qu'après sa mort, par Pierre Rémond de Montmort (1708) et Abraham de Moivre (1730).
Blaise Pascal (1623-1662) naît à Clermont et grandit à Paris, où son père, passionné de sciences, l'emmène aux réunions de savants organisées par le père Mersenne. À seize ans, il écrit un essai sur les coniques ; à dix-neuf ans, il invente une machine à calculer, la « pascaline », pour aider son père dans ses calculs d'impôts. Il étudie ensuite le vide et la pression de l'air : en 1648, une expérience menée à sa demande au sommet du puy de Dôme montre que la colonne de mercure d'un baromètre baisse avec l'altitude.
En 1654, des questions posées par un joueur, le chevalier de Méré, sur le partage des mises d'une partie interrompue, l'amènent à correspondre avec Pierre de Fermat : de cet échange naît le calcul des probabilités. C'est la même année qu'il rédige le Traité du triangle arithmétique, publié après sa mort, en 1665. Dans la nuit du 23 novembre 1654, il vit une expérience religieuse intense, qu'il consigne dans un texte appelé le Mémorial ; il se tourne alors vers l'abbaye janséniste de Port-Royal, écrit les Provinciales (1656-1657) et prépare une apologie de la religion chrétienne restée inachevée, dont les fragments seront publiés sous le titre de Pensées (1670).
Les Pensées réfléchissent aux pouvoirs et aux limites de la raison. Pascal y distingue l'« esprit de géométrie », qui raisonne à partir de principes nets, et l'« esprit de finesse », qui saisit d'un coup des choses trop nombreuses et trop subtiles pour être démontrées. Il y décrit l'homme placé entre deux infinis, l'infiniment grand et l'infiniment petit, « un néant à l'égard de l'infini, un tout à l'égard du néant ».
Le cœur a ses raisons que la raison ne connaît point.
Le célèbre « pari » applique à la question de Dieu le raisonnement des jeux de hasard que Pascal vient d'inventer : il compare ce que l'on peut gagner et perdre en pariant pour ou contre, une sorte de calcul d'espérance avant la lettre. Le mathématicien et le philosophe ne sont pas deux hommes différents : c'est la même réflexion sur ce que la raison peut démontrer, et sur ce qu'elle ne peut pas atteindre.
Dans la première partie de son traité, Pascal démontre dix-neuf propriétés du triangle, qu'il appelle des « conséquences ». Il ne dessine pas le triangle comme nous : il le présente comme un tableau carré dont il lit les diagonales, qu'il appelle des « bases » (nos lignes), et il désigne les cases par des lettres.
En tout triangle arithmétique, deux cellules contiguës étant dans une même base, la supérieure est à l'inférieure comme la multitude des cellules depuis la supérieure jusqu'au haut de la base, à la multitude de celles depuis l'inférieure jusqu'en bas inclusivement.
« La supérieure est à l'inférieure » désigne un rapport. Dans la ligne $1, 4, 6, 4, 1$, prenons les cases voisines $4$ et $6$ : il y a deux cases de $4$ jusqu'au bout de la ligne et trois de $6$ jusqu'au début ; Pascal affirme que $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$. En écriture moderne, pour $n \geqslant 1$ et $0 \leqslant k \leqslant n-1$ :
$$\frac{\binom{n}{k}}{\binom{n}{k+1}} = \frac{k+1}{n-k}.$$Quoique cette proposition ait une infinité de cas, j'en donnerai une démonstration bien courte, en supposant deux lemmes. Le premier, qui est évident de lui-même, que cette proportion se rencontre dans la seconde base […]. Le second, que si cette proportion se trouve dans une base quelconque, elle se trouvera nécessairement dans la base suivante. D'où il se voit qu'elle est nécessairement dans toutes les bases : car elle est dans la seconde base par le premier lemme ; donc par le second elle est dans la troisième base, donc dans la quatrième, et à l'infini.
Tout est là : l'initialisation (le premier lemme), l'hérédité (le second) et la conclusion « à l'infini ». Pascal démontre ensuite l'hérédité sur un exemple, le passage de la quatrième base à la cinquième, en précisant que le raisonnement « n'est fondé que sur ce que cette proportion se trouve dans la base précédente, et que chaque cellule est égale à la précédente plus à sa supérieure, ce qui est vrai partout ». Selon nos critères, raisonner sur un exemple laisse un léger manque, mais Pascal dit clairement pourquoi l'argument est général.
On convient que $\dbinom{n}{k} = 0$ si $k < 0$ ou $k > n$ ; la règle d'addition reste alors vraie pour tous les $k$. Pour tout entier $n \geqslant 1$, notons $P(n)$ la propriété : « pour tout $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n-1$, $(n-k)\dbinom{n}{k} = (k+1)\dbinom{n}{k+1}$ ». C'est la propriété de Pascal, écrite sans fraction.
Initialisation. Pour $n = 1$, seul $k = 0$ convient : $(1-0)\dbinom{1}{0} = 1$ et $(0+1)\dbinom{1}{1} = 1$. Donc $P(1)$ est vraie.
Hérédité. Supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n \geqslant 1$ et prenons $k$ entre $0$ et $n$. Notons $a = \dbinom{n}{k-1}$, $b = \dbinom{n}{k}$, $c = \dbinom{n}{k+1}$. La règle d'addition donne $\dbinom{n+1}{k} = a + b$ et $\dbinom{n+1}{k+1} = b + c$. L'hypothèse de récurrence, appliquée à $k-1$ puis à $k$, donne $(n-k+1)\,a = k\,b$ et $(n-k)\,b = (k+1)\,c$ (ces égalités restent vraies aux bords, où $a$ ou $c$ est nul). Alors :
Les deux quantités sont égales, donc $(n+1-k)\dbinom{n+1}{k} = (k+1)\dbinom{n+1}{k+1}$ : c'est $P(n+1)$.
Conclusion. Par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geqslant 1$.
Cette propriété permet de calculer une ligne de proche en proche : $\dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n}{k}\times\dfrac{n-k}{k+1}$. En partant de $\dbinom{n}{0} = 1$, on obtient $\dbinom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$, c'est-à-dire la formule avec les factorielles : la récurrence de Pascal contient déjà la formule moderne.
Par exemple,
$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4.$$Les coefficients sont ceux de la ligne $4$. On le comprend en développant $(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$ : pour obtenir $a^2b^2$, on choisit $b$ dans $2$ des $4$ parenthèses, et il y a $\dbinom{4}{2} = 6$ façons de le faire.
C'est le sens combinatoire du triangle : $\dbinom{n}{k}$ est le nombre de façons de choisir $k$ objets parmi $n$. La règle d'addition se comprend alors sans calcul : pour choisir $k$ objets parmi $n$, soit on prend le dernier objet et il reste $k-1$ objets à choisir parmi les $n-1$ autres, soit on ne le prend pas et l'on choisit les $k$ objets parmi les $n-1$ autres. Ainsi, il y a $\dbinom{52}{5} = 2\,598\,960$ mains de cinq cartes dans un jeu de $52$ cartes, et $\dbinom{49}{6} = 13\,983\,816$ grilles possibles dans un tirage de six numéros parmi $49$.
En probabilités, si l'on répète $n$ fois de façon indépendante une épreuve qui réussit avec la probabilité $p$, le nombre $X$ de succès suit la loi binomiale :
$$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\,(1-p)^{n-k}.$$Le coefficient $\dbinom{n}{k}$ compte les façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ épreuves. La planche de Galton, où des billes rebondissent à droite ou à gauche sur des clous, en donne une image : le nombre de chemins qui mènent à chaque case est un nombre du triangle.
Le premier programme construit les lignes avec la règle d'addition, sans aucune factorielle, comme Pascal. Le second compare deux façons de calculer $\dbinom{n}{k}$. On peut les modifier et les exécuter.
k & n == k (théorème de Lucas).Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : le raisonnement par récurrence et sa rédaction ; les combinaisons, la formule $\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$, la relation de Pascal et la symétrie $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$ ; le nombre de parties d'un ensemble ; la loi binomiale, son espérance et sa variance ; les suites définies par récurrence.
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