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Une formule d'une ligne, $z_{n+1} = z_n^2 + c$, et une image d'une complexité sans fin : l'ensemble de Mandelbrot est sans doute la figure mathématique la plus célèbre du XXe siècle. On peut l'agrandir autant qu'on veut, on y trouve toujours de nouveaux détails, et même des copies de lui-même.
Pour le comprendre, il suffit des mathématiques de terminale : les nombres complexes de maths expertes (forme algébrique, module, inégalité triangulaire, forme exponentielle), les suites et leurs limites, le raisonnement par récurrence, et un peu d'algorithmique. Ce texte part de calculs faits à la main, démontre les propriétés de base, puis montre l'ensemble sur une figure qu'on peut agrandir. Il rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
On choisit un nombre complexe $c$ et on construit la suite définie par $z_0 = 0$ et, pour tout entier $n$,
$$z_{n+1} = z_n^2 + c.$$Selon la valeur de $c$, deux comportements sont possibles : ou bien la suite des modules $(|z_n|)$ reste bornée, ou bien elle ne l'est pas (on verra qu'elle tend alors vers $+\infty$).
L'ensemble de Mandelbrot, noté $M$, est l'ensemble des nombres complexes $c$ pour lesquels la suite $(|z_n|)$ est bornée.
Chaque nombre complexe $c = x + \mathrm{i}\,y$ est représenté par le point de coordonnées $(x\,;y)$ du plan. L'ensemble $M$ est donc une figure du plan : on colorie en noir les points $c$ qui sont dans $M$.
Commençons par des valeurs de $c$ réelles : tous les termes sont alors réels.
- $c = 0$ : $z_1 = 0^2 + 0 = 0$, puis tous les termes sont nuls. La suite est bornée : $0 \in M$.
- $c = -1$ : $z_1 = -1$, $z_2 = (-1)^2 - 1 = 0$, $z_3 = -1$, $z_4 = 0$… La suite alterne entre $0$ et $-1$ : elle est périodique de période $2$, donc bornée.
- $c = -2$ : $z_1 = -2$, $z_2 = 4 - 2 = 2$, $z_3 = 4 - 2 = 2$… La suite est constante égale à $2$ à partir du rang $2$ : $-2 \in M$.
- $c = 1$ : $z_1 = 1$, $z_2 = 2$, $z_3 = 5$, $z_4 = 26$, $z_5 = 677$… La suite explose : $1 \notin M$.
- $c = \frac14$ : $z_1 = 0{,}25$, $z_2 = 0{,}3125$, $z_3 \approx 0{,}3477$, $z_4 \approx 0{,}3709$, $z_5 \approx 0{,}3875$… La suite croît, mais de moins en moins vite. On démontrera plus bas qu'elle reste inférieure à $\frac12$ et qu'elle converge vers $\frac12$.
Puis une valeur complexe, $c = \mathrm{i}$, en utilisant $\mathrm{i}^2 = -1$ :
$$z_1 = \mathrm{i}, \qquad z_2 = \mathrm{i}^2 + \mathrm{i} = -1 + \mathrm{i},$$ $$\begin{aligned} z_3 &= (-1+\mathrm{i})^2 + \mathrm{i}\\ &= 1 - 2\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 + \mathrm{i}\\ &= -\mathrm{i}, \end{aligned}$$ $$z_4 = (-\mathrm{i})^2 + \mathrm{i} = -1 + \mathrm{i} = z_2.$$À partir du rang $2$, la suite alterne entre $-1 + \mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$ : elle est bornée, donc $\mathrm{i} \in M$.
| $c$ | $z_1$ | $z_2$ | $z_3$ | $z_4$ | $z_5$ | bornée ? |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | oui |
| $-1$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | oui |
| $-2$ | $-2$ | $2$ | $2$ | $2$ | $2$ | oui |
| $1$ | $1$ | $2$ | $5$ | $26$ | $677$ | non |
| $\frac14$ | $0{,}25$ | $0{,}313$ | $0{,}348$ | $0{,}371$ | $0{,}388$ | oui |
| $\mathrm{i}$ | $\mathrm{i}$ | $-1+\mathrm{i}$ | $-\mathrm{i}$ | $-1+\mathrm{i}$ | $-\mathrm{i}$ | oui |
La figure suivante permet de faire varier $c$ (réel) et de voir les termes de la suite. On peut retrouver les cas du tableau, et observer ce qui se passe entre eux : autour de $c = -1{,}3$, la suite finit par répéter quatre valeurs ; vers $c = -1{,}8$, elle semble ne jamais se stabiliser.
Pour savoir si $c$ appartient à $M$, il faudrait en principe calculer tous les termes de la suite. Le résultat suivant permet de conclure dès qu'un terme dépasse $2$ en module. Il repose sur l'inégalité triangulaire du cours de maths expertes : pour tous complexes $a$ et $b$, $|a + b| \leqslant |a| + |b|$.
Soit $c$ un nombre complexe. S'il existe un rang $p$ tel que $|z_p| > 2$ et $|z_p| \geqslant |c|$, alors la suite $(|z_n|)$ tend vers $+\infty$.
Étape 1 : une inégalité « à l'envers ». Pour tous complexes $a$ et $b$, on écrit $a = (a + b) + (-b)$ et on applique l'inégalité triangulaire :
$$|a| \leqslant |a + b| + |-b| = |a + b| + |b|,$$donc
$$|a + b| \geqslant |a| - |b|.$$Étape 2 : d'un terme au suivant. Pour un rang $n$ tel que $|z_n| \geqslant |c|$, on applique l'étape 1 avec $a = z_n^2$ et $b = c$, puis on utilise $|z_n^2| = |z_n|^2$ et $|c| \leqslant |z_n|$ :
$$\begin{aligned} |z_{n+1}| = |z_n^2 + c| &\geqslant |z_n|^2 - |c|\\ &\geqslant |z_n|^2 - |z_n|, \end{aligned}$$donc
$$|z_{n+1}| \geqslant |z_n|\,\big(|z_n| - 1\big).$$Étape 3 : une récurrence. On pose $r = |z_p|$ et $k = r - 1$. Comme $r > 2$, on a $k > 1$. Montrons par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant p$,
$$\mathcal{P}(n)\ :\quad |z_n| \geqslant r\,k^{\,n-p}.$$- Initialisation. Pour $n = p$ : $r\,k^0 = r = |z_p|$. Donc $\mathcal{P}(p)$ est vraie.
- Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un entier $n \geqslant p$. Comme $k > 1$, on a $k^{\,n-p} \geqslant 1$, donc $|z_n| \geqslant r$. On en déduit deux choses : $|z_n| \geqslant r \geqslant |c|$, ce qui permet d'appliquer l'étape 2, et $|z_n| - 1 \geqslant r - 1 = k$. Alors
Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie, et la propriété est démontrée pour tout $n \geqslant p$.
Étape 4 : la limite. La suite géométrique $(k^{\,n-p})$ a une raison $k > 1$ : elle tend vers $+\infty$. Comme $|z_n| \geqslant r\,k^{\,n-p}$ avec $r > 0$, le théorème de comparaison donne $\lim |z_n| = +\infty$.
1. L'ensemble $M$ est contenu dans le disque de centre $0$ et de rayon $2$. Si $|c| > 2$, alors $z_1 = c$ vérifie $|z_1| > 2$ et $|z_1| \geqslant |c|$ : la suite diverge et $c \notin M$.
2. Un test qu'un ordinateur peut faire. Si $|c| \leqslant 2$ et qu'un terme vérifie $|z_p| > 2$, alors $|z_p| > 2 \geqslant |c|$ : la suite diverge. On obtient donc :
$$c \in M \iff \text{pour tout } n,\ |z_n| \leqslant 2.$$Exemple : pour $c = 1$, $|z_3| = 5 > 2$ : on sait dès le troisième terme que $1 \notin M$. Le cas $c = -2$ est un cas limite : la suite reste égale à $2$, sans jamais dépasser $2$.
Un ordinateur ne peut pas calculer une infinité de termes. Il calcule les termes jusqu'à un rang maximal $N$ (par exemple $N = 200$) et s'arrête dès que $|z_n| > 2$. Si ce n'est jamais arrivé, il colorie le point en noir : il est probablement dans $M$. Le nombre de termes calculés avant de dépasser $2$ sert à colorier les autres points : c'est le temps d'échappement.
Les calculs à la main suggèrent que $1 \notin M$ alors que $\frac14 \in M$. Où est la frontière ? Pour $c$ réel, tous les termes $z_n$ sont réels ; on les note $u_n$. On va démontrer le résultat suivant.
Un réel $c$ appartient à $M$ si et seulement si $-2 \leqslant c \leqslant \frac14$.
Cas 1 : $c > \frac14$. On pose $\delta = c - \frac14 > 0$. Pour tout $n$, on fait apparaître une forme canonique :
$$\begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= u_n^2 - u_n + c\\ &= \Big(u_n - \tfrac12\Big)^2 - \tfrac14 + c\\ &= \Big(u_n - \tfrac12\Big)^2 + \delta, \end{aligned}$$donc $u_{n+1} - u_n \geqslant \delta$.
Chaque terme dépasse le précédent d'au moins $\delta$. Par récurrence, $u_n \geqslant u_0 + n\delta = n\delta$ pour tout $n$. Comme $\lim n\delta = +\infty$, la suite tend vers $+\infty$ par comparaison : $c \notin M$.
Cas 2 : $c < -2$. Alors $|c| > 2$, et la première conséquence du critère donne $c \notin M$.
Cas 3 : $0 \leqslant c \leqslant \frac14$. Montrons par récurrence que $0 \leqslant u_n \leqslant \frac12$ pour tout $n$. C'est vrai pour $u_0 = 0$. Si $0 \leqslant u_n \leqslant \frac12$, alors $0 \leqslant u_n^2 \leqslant \frac14$, donc
$$0 \leqslant c \leqslant u_n^2 + c \leqslant \tfrac14 + \tfrac14 = \tfrac12.$$La suite est bornée : $c \in M$.
Cas 4 : $-2 \leqslant c < 0$. Montrons par récurrence que, pour tout $n \geqslant 1$, $c \leqslant u_n \leqslant -c$. C'est vrai pour $u_1 = c$ car $c < 0 < -c$. Si $c \leqslant u_n \leqslant -c$, alors $|u_n| \leqslant |c|$, donc $0 \leqslant u_n^2 \leqslant c^2$ et
$$c \leqslant u_n^2 + c \leqslant c^2 + c.$$Il reste à vérifier que $c^2 + c \leqslant -c$, c'est-à-dire $c^2 + 2c \leqslant 0$, soit $c\,(c + 2) \leqslant 0$. Ce produit est négatif ou nul car $c < 0$ et $c + 2 \geqslant 0$. La suite est bornée par $|c|$ : $c \in M$.
Pour $c = \frac14$, on sait que $0 \leqslant u_n \leqslant \frac12$. De plus, $u_{n+1} - u_n = \big(u_n - \frac12\big)^2 \geqslant 0$ : la suite est croissante. Croissante et majorée, elle converge vers une limite $\ell$ qui vérifie, par passage à la limite dans la relation de récurrence, $\ell = \ell^2 + \frac14$, c'est-à-dire $\big(\ell - \frac12\big)^2 = 0$. Donc $\ell = \frac12$.
Juste au-dessus, la suite s'échappe, mais lentement : un calcul à l'ordinateur montre qu'il faut $30$ termes pour dépasser $2$ avec $c = 0{,}26$, et $312$ avec $c = 0{,}2501$. La suite passe longtemps près de $\frac12$, comme dans un goulot. La minoration $u_n \geqslant n\delta$ du cas 1 est donc très grossière : avec $\delta = 0{,}01$, elle ne garantit $u_n > 2$ qu'à partir de $n = 201$.
Pour dessiner $M$, l'ordinateur fait le test du module $2$ pour chaque pixel de l'image : le pixel représente un complexe $c = x + \mathrm{i}\,y$, et on calcule les termes avec la forme algébrique :
si $z_n = a + \mathrm{i}\,b$, alors
$$z_n^2 = a^2 - b^2 + 2ab\,\mathrm{i},$$donc
$$z_{n+1} = \big(a^2 - b^2 + x\big) + \big(2ab + y\big)\,\mathrm{i}.$$La condition $|z_n| > 2$ s'écrit $a^2 + b^2 > 4$, ce qui évite de calculer une racine carrée. Les points noirs sont dans $M$ ; les autres sont colorés selon le nombre de termes calculés avant de dépasser $2$ : plus la couleur est claire, plus la suite a mis de temps à s'échapper.
En agrandissant le bord, on découvre des spirales, des « hippocampes » et, partout, de petites copies de l'ensemble entier. La figure est infiniment détaillée : c'est une fractale. Pourtant, elle ne ressemble pas exactement à elle-même à toutes les échelles, contrairement au triangle de Sierpiński : chaque zone a son propre décor.
L'agrandissement a une limite pratique. Les ordinateurs stockent les nombres avec environ $16$ chiffres significatifs. Quand on a agrandi environ $10^{13}$ fois, deux pixels voisins correspondent à des nombres que la machine ne distingue presque plus, et l'image devient faite de gros blocs. Pour aller plus loin, les logiciels utilisent des nombres à précision augmentée, beaucoup plus lents.
Dans la suite $z_{n+1} = z_n^2 + c$, on a fixé le départ $z_0 = 0$ et fait varier $c$. On peut faire l'inverse : fixer $c$ et faire varier le point de départ $z_0$. L'ensemble des départs $z_0$ pour lesquels la suite reste bornée s'appelle l'ensemble de Julia rempli de $c$, noté $K_c$.
Exemple à la main : pour $c = 0$, la suite est $z_n = z_0^{\,2^n}$, donc $|z_n| = |z_0|^{2^n}$. Si $|z_0| < 1$, cela tend vers $0$ ; si $|z_0| = 1$, cela reste égal à $1$ ; si $|z_0| > 1$, cela tend vers $+\infty$. Donc $K_0$ est le disque de centre $0$ et de rayon $1$. Pour les autres valeurs de $c$, la forme devient bien plus compliquée.
Choisir $c$ en touchant l'ensemble de Mandelbrot :
Ensemble de Julia rempli de $c$ :
La figure illustre un théorème démontré par Fatou et Julia vers 1919 (admis ici) : l'ensemble $K_c$ est d'un seul tenant (on dit connexe) si et seulement si la suite partant de $0$ reste bornée, c'est-à-dire si et seulement si $c \in M$. L'ensemble de Mandelbrot est donc une sorte de catalogue : chacun de ses points dit si l'ensemble de Julia correspondant est d'un seul morceau. C'est d'ailleurs pour cette raison que le départ $z_0 = 0$ est privilégié : $0$ est le point où la dérivée de $z \mapsto z^2 + c$, qui vaut $2z$, s'annule.
La plus grande partie de $M$ est formée d'une cardioïde (une courbe en forme de cœur) et d'un disque posé à sa gauche. On peut les expliquer avec les nombres complexes.
Un point fixe est un complexe $w$ tel que $w^2 + c = w$. Si la suite arrive en $w$, elle y reste. Est-ce qu'une suite qui passe près de $w$ s'en rapproche ? On calcule, en utilisant $c = w - w^2$ :
$$\begin{aligned} z_{n+1} - w &= z_n^2 + c - w\\ &= z_n^2 - w^2\\ &= (z_n - w)(z_n + w). \end{aligned}$$Quand $z_n$ est proche de $w$, le facteur $z_n + w$ est proche de $2w$. Donc :
- si $|2w| < 1$, la distance à $w$ est multipliée à chaque étape par un nombre plus petit que $1$ : elle diminue comme une suite géométrique, le point fixe attire ;
- si $|2w| > 1$, la distance est multipliée par un nombre plus grand que $1$ : le point fixe repousse.
Exemple : pour $c = -\frac12$, l'équation $w^2 - w - \frac12 = 0$ a pour solution $w = \frac{1 - \sqrt3}{2} \approx -0{,}366$, et $|2w| \approx 0{,}73 < 1$ : ce point fixe attire, et la suite partant de $0$ converge vers lui.
Les valeurs de $c$ à la limite sont celles pour lesquelles $|2w| = 1$, c'est-à-dire $w = \frac12 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ avec $\theta$ réel. On en déduit $c = w - w^2$ :
$$c(\theta) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}{2} - \frac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}}{4}.$$Quand $\theta$ décrit $[0\,;2\pi]$, le point $c(\theta)$ décrit une cardioïde. On retrouve deux valeurs de l'axe réel : $c(0) = \frac12 - \frac14 = \frac14$ (le bord droit de $M$) et $c(\pi) = -\frac12 - \frac14 = -\frac34$. Pour les $c$ intérieurs à cette cardioïde, la suite partant de $0$ converge vers le point fixe attractif : c'est encore un théorème de Fatou, admis ici.
Pour $c = -1$, la suite alterne entre $0$ et $-1$. Plus généralement, cherchons deux complexes distincts $a$ et $b$ tels que $a^2 + c = b$ et $b^2 + c = a$.
- En soustrayant : $a^2 - b^2 = b - a$, soit $(a - b)(a + b) = -(a - b)$. Comme $a \neq b$, on simplifie : $a + b = -1$.
- En additionnant : $a^2 + b^2 + 2c = a + b = -1$. Or $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 1 - 2ab$, donc $1 - 2ab + 2c = -1$, soit $ab = c + 1$.
Comme pour le point fixe, deux étapes de la suite multiplient l'écart au cycle par environ $(2a)(2b) = 4ab$ :
$$\begin{aligned} z_{n+2} - a &= (z_{n+1} - b)(z_{n+1} + b)\\ &= (z_n - a)(z_n + a)(z_{n+1} + b). \end{aligned}$$Le cycle attire quand $|4ab| < 1$, c'est-à-dire
$$|4(c + 1)| < 1 \iff |c - (-1)| < \frac14.$$C'est exactement le disque de centre $-1$ et de rayon $\frac14$, qui touche la cardioïde en $-\frac34$. Vérification avec $c = -1$ : $a + b = -1$ et $ab = 0$ donnent bien le cycle $\{0\,;-1\}$. La case « Afficher la cardioïde et le disque » de la figure précédente superpose ces deux courbes à l'image calculée.
On montre de même que chaque « bourgeon » collé à la cardioïde correspond à un cycle d'une certaine période : $3$ pour les deux grands bourgeons du haut et du bas, $4$, $5$… pour les suivants.
Le texte Suites récurrentes et chaos étudie la suite logistique $x_{n+1} = r\,x_n(1 - x_n)$, qui passe d'un comportement stable au chaos quand $r$ augmente. Cette suite est la même que $z_{n+1} = z_n^2 + c$, écrite autrement.
On pose $z_n = \frac r2 - r\,x_n$. D'une part :
$$\begin{aligned} z_{n+1} &= \frac r2 - r\,x_{n+1}\\ &= \frac r2 - r^2 x_n + r^2 x_n^2. \end{aligned}$$D'autre part :
$$\begin{aligned} z_n^2 &= \Big(\frac r2 - r\,x_n\Big)^2\\ &= \frac{r^2}{4} - r^2 x_n + r^2 x_n^2. \end{aligned}$$Les deux expressions diffèrent de la constante $\frac r2 - \frac{r^2}{4}$. Donc $z_{n+1} = z_n^2 + c$ avec $c = \frac r2 - \frac{r^2}{4}$.
| suite logistique | $c = \frac r2 - \frac{r^2}4$ | comportement |
|---|---|---|
| $r = 1$ | $\frac14$ | bord droit de $M$ |
| $r = 3$ | $-\frac34$ | le point fixe cède la place à un cycle de période $2$ |
| $r = 1 + \sqrt6 \approx 3{,}449$ | $-\frac54$ | période $2$ puis période $4$ |
| $r \approx 3{,}5699$ | $\approx -1{,}4012$ | fin des doublements, début du chaos |
| $r = 1 + \sqrt8 \approx 3{,}828$ | $-\frac74$ | une fenêtre de période $3$ |
| $r = 4$ | $-2$ | chaos complet, pointe de l'antenne |
Les valeurs $-\frac34$ et $-\frac54$ se calculent avec la formule $c = \frac r2 - \frac{r^2}4$ : par exemple pour $r = 1 + \sqrt6$, on a $r^2 = 7 + 2\sqrt6$, donc
$$c = \frac{2 + 2\sqrt6 - 7 - 2\sqrt6}{4} = -\frac54.$$Ce sont exactement le point de contact entre la cardioïde et le disque ($-\frac34$) et le bord gauche du disque ($-1 - \frac14 = -\frac54$). Les doublements de période suivants se produisent en $c \approx -1{,}3681$, puis $c \approx -1{,}3940$… et s'accumulent vers $c \approx -1{,}4012$, le point de Feigenbaum. Au-delà, sur l'antenne, la suite est chaotique, sauf dans des « fenêtres » où réapparaît un cycle : la fenêtre de période $3$ commence en $-\frac74$, et c'est là que se trouve la petite copie de $M$ visible sur l'antenne.
La figure aligne les deux points de vue : chaque fois que la suite double sa période, on passe d'une « boule » de $M$ à la suivante, de plus en plus petite. Le chaos de la suite logistique correspond à l'antenne de $M$.
L'Académie des sciences de Paris met au concours, pour son Grand Prix des sciences mathématiques de 1918, l'étude de l'itération des fonctions, c'est-à-dire des suites du type $z_{n+1} = f(z_n)$. Deux Français s'y attaquent en même temps. Gaston Julia, grièvement blessé au visage en 1915 pendant la Première Guerre mondiale (il porta ensuite un bandeau de cuir sur le nez), rédige un long mémoire qui obtient le prix. Pierre Fatou, astronome à l'Observatoire de Paris, obtient des résultats très proches qu'il publie en 1919-1920 ; la question de savoir qui avait trouvé quoi en premier a donné lieu à une querelle de priorité.
Leurs travaux décrivent avec précision les ensembles qui portent aujourd'hui le nom de Julia et de Fatou, mais sans aucune image : il aurait fallu des millions de calculs à la main. Ils restent ensuite un peu oubliés pendant un demi-siècle.
Benoît Mandelbrot, né à Varsovie en 1924, arrive en France avec sa famille en 1936. Son oncle Szolem Mandelbrojt, professeur au Collège de France, lui signale très tôt le mémoire de Julia. Devenu chercheur au centre de recherche d'IBM aux États-Unis, Mandelbrot dispose, à la fin des années 1970, d'ordinateurs capables de faire les calculs. Il publie en 1980 les premières images de l'ensemble qui portera son nom (des dessins plus grossiers avaient été obtenus peu avant par d'autres chercheurs, Robert Brooks et Peter Matelski, en 1978). Les premières images, imprimées en caractères, étaient très loin des images en couleurs d'aujourd'hui.
Mandelbrot avait inventé le mot fractale en 1975 (voir Les fractales du vivant). L'image de l'ensemble devient dans les années 1980 un symbole de la science du chaos, reproduite sur des affiches et des couvertures de magazines.
- En 1982, les Français Adrien Douady et l'Américain John Hubbard démontrent que $M$ est connexe : toutes les petites copies sont reliées à la grande, par des filaments trop fins pour se voir à l'écran. Ce sont eux qui proposent le nom d'« ensemble de Mandelbrot ».
- En 1998, le Japonais Mitsuhiro Shishikura démontre que la frontière de $M$ a une dimension fractale égale à $2$ : c'est une courbe si tourmentée qu'elle « remplit » le plan autant qu'une surface.
- L'aire de $M$ n'est pas connue exactement : les estimations numériques donnent environ $1{,}506$.
- Une question centrale reste ouverte : la conjecture dite MLC (l'ensemble est-il « localement connexe » ?), dont dépendrait une description complète de sa forme.
Le programme suivant calcule le temps d'échappement pour quelques valeurs de $c$, puis dessine l'ensemble avec
des caractères : # pour les points restés bornés, . pour ceux qui s'échappent lentement. Il travaille
avec la partie réelle $a$ et la partie imaginaire $b$ de $z_n$, comme dans les formules ci-dessus.
Chaque point se calcule indépendamment des autres. C'est pourquoi les cartes graphiques, qui font des milliers de calculs en parallèle, dessinent l'ensemble en une fraction de seconde. On peut modifier le programme pour compter les points noirs d'une grille et en déduire une estimation de l'aire de $M$.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : le critère du module $2$ et l'inégalité triangulaire ; l'intervalle $[-2\,;\frac14]$ démontré par des récurrences ; les points fixes, les cycles et la cardioïde écrite en forme exponentielle ; les ensembles de Julia ; le passage de la suite logistique à $z^2 + c$.
- NSI : l'algorithme du temps d'échappement et son coût ; le calcul en parallèle ; les limites de la représentation des nombres en virgule flottante quand on agrandit l'image ; l'estimation d'une aire par comptage de pixels.
- Histoire des sciences : un problème posé en 1918 et vu pour la première fois en 1980 ; le rôle de l'ordinateur dans la découverte mathématique.
Le jury peut interroger sur les chapitres mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement, en maths expertes : la forme algébrique, le module et ses propriétés ($|zz'| = |z|\,|z'|$), l'inégalité triangulaire, la forme exponentielle. En spécialité : le raisonnement par récurrence, les suites monotones et bornées, les suites géométriques et leur limite, le théorème de comparaison, le passage à la limite dans une relation de récurrence, le second degré.
Pour réviser les chapitres de spécialité, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours en cartes.
- Ensemble de Mandelbrot et ensemble de Julia (Wikipédia).
- Sur ce site : Suites récurrentes et chaos, Les fractales du vivant et Le triangle de Sierpiński.