On assimile la Terre à une sphère de centre $O$ et de rayon $R \approx 6\,371$ km. On choisit un repère orthonormé de l'espace d'origine $O$ :

• l'axe $(Oz)$ est l'axe des pôles, dirigé vers le pôle Nord ;
• l'axe $(Ox)$ est dirigé vers le point de l'équateur situé sur le méridien de Greenwich ;
• l'axe $(Oy)$ complète le repère, vers le point de l'équateur de longitude $90°$ est.

Un lieu $M$ est repéré par sa latitude $\varphi$ (l'angle au-dessus du plan de l'équateur, de $-90°$ au pôle Sud à $90°$ au pôle Nord) et sa longitude $\lambda$ (l'angle compté depuis le méridien de Greenwich, positif vers l'est).

La longueur $R\cos\varphi$ est le rayon du parallèle sur lequel se trouve $M$ : il vaut $R$ à l'équateur et diminue jusqu'à $0$ au pôle. À Paris ($\varphi \approx 48{,}9°$), il vaut environ $6\,371 \times 0{,}657 \approx 4\,190$ km.

Un plan qui passe par le centre $O$ coupe la sphère selon un cercle de rayon $R$, le plus grand possible : on l'appelle un grand cercle. L'équateur et les méridiens sont des grands cercles, les autres parallèles n'en sont pas. Si $A$ et $B$ ne sont pas diamétralement opposés, il y a un seul grand cercle qui passe par $A$ et $B$ : c'est l'intersection de la sphère et du plan $(OAB)$.

On admet le résultat suivant, qui fonde toute la navigation aérienne : le plus court chemin entre $A$ et $B$ à la surface de la sphère est le plus petit des deux arcs du grand cercle qui passe par $A$ et $B$. Sa longueur s'appelle la distance orthodromique (du grec orthos, droit, et dromos, course).

Sur un cercle de rayon $R$, la longueur d'un arc est proportionnelle à l'angle au centre : le cercle entier, d'angle $2\pi$, mesure $2\pi R$. Un arc d'angle $\theta$ (en radians) mesure donc $R\,\theta$. Il reste à calculer l'angle $\theta = \widehat{AOB}$, et c'est le produit scalaire qui le donne.

On note $(\varphi\,;\,\lambda)$ la latitude et la longitude de $A$, $(\varphi'\,;\,\lambda')$ celles de $B$, et $\Delta\lambda = \lambda' - \lambda$ l'écart des longitudes.

La distance vaut alors $d = R\,\theta$, où $\theta$ est l'angle de $[0\,;\,\pi]$ dont le cosinus est connu (touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice, ou acos en Python). Seule la différence des longitudes intervient : c'est normal, faire tourner la Terre autour de l'axe des pôles ne change pas les distances.

Un exemple à la main : Paris et Tokyo

Paris est à environ $(48{,}9°\,;\,2{,}4°)$, Tokyo à environ $(35{,}7°\,;\,139{,}7°)$. L'écart des longitudes vaut $139{,}7 - 2{,}4 = 137{,}3°$. À la calculatrice :

• $\cos 48{,}9° \approx 0{,}657$, $\cos 35{,}7° \approx 0{,}812$ et $\cos 137{,}3° \approx -0{,}735$ ; leur produit vaut environ $-0{,}392$ ;
• $\sin 48{,}9° \approx 0{,}754$ et $\sin 35{,}7° \approx 0{,}584$ ; leur produit vaut environ $0{,}440$.

Donc $\cos\theta \approx -0{,}392 + 0{,}440 = 0{,}048$, et $\theta \approx 87{,}2°$, soit environ $1{,}523$ radian. La distance vaut

Les deux villes sont presque « à angle droit » vues du centre de la Terre : le quart de la circonférence terrestre vaut environ $10\,000$ km. Le texte Construire des cartes fait le même calcul pour Paris et New York, avec les coordonnées : environ $5\,840$ km.

Le programme suivant calcule des distances entre plusieurs villes. On peut y ajouter sa propre ville.

Deux villes à la même latitude semblent reliées naturellement par leur parallèle : on part plein est, et on garde ce cap. C'est pourtant un détour, parce qu'un parallèle (sauf l'équateur) n'est pas un grand cercle.

Un exemple extrême, à la main

Prenons deux points $A$ et $B$ sur le $60^e$ parallèle nord, de longitudes opposées ($\Delta\lambda = 180°$).

• Par le parallèle. Son rayon vaut $R\cos 60° = \dfrac{R}{2}$, et on en parcourt la moitié : $\pi \times \dfrac{R}{2} \approx 10\,008$ km.
• Par le grand cercle. Ici $\varphi = \varphi' = 60°$ et $\Delta\lambda = 180°$ ; or $\cos^2 60° = \dfrac{1}{4}$, $\cos 180° = -1$ et $\sin^2 60° = \dfrac{3}{4}$. La formule donne $\cos\theta = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}$, donc $\theta = 60°$, soit $\dfrac{\pi}{3}$ radian. La distance vaut $\dfrac{\pi R}{3} \approx 6\,672$ km.

Le grand cercle passe ici par le pôle Nord : il remonte un méridien sur $30°$, puis redescend l'autre sur $30°$. Le parallèle est plus long de moitié. Plus généralement, pour deux points de même latitude $\varphi$ séparés par un écart de longitude $\Delta\lambda$ (en radians), le parallèle mesure $R\cos\varphi\,\Delta\lambda$, et le grand cercle est toujours plus court, sauf sur l'équateur où les deux routes sont confondues.

En jouant avec les curseurs : à latitude $0$, les deux routes se confondent (l'équateur est un grand cercle) ; plus la latitude et l'écart augmentent, plus le grand cercle s'écarte du parallèle vers le pôle, et plus le gain est grand. À latitude $0$ et écart $180°$, les points sont diamétralement opposés : tous les demi-grands cercles qui les joignent ont la même longueur $\pi R$ ; la figure en dessine un, par le pôle.

Le milieu de la route, par une somme de vecteurs

Pour savoir par où passe le grand cercle, il suffit d'en trouver le milieu. Le calcul est un exercice de vecteurs.

Paris-Tokyo. On travaille avec des vecteurs de norme $1$ (on divise tout par $R$). Avec la formule des coordonnées :

• Paris : $(0{,}657\,;\,0{,}028\,;\,0{,}754)$ ;
• Tokyo : $(-0{,}619\,;\,0{,}525\,;\,0{,}584)$ ;
• leur somme : $(0{,}037\,;\,0{,}553\,;\,1{,}337)$, dont la norme vaut

La cote du milieu, ramenée à une norme $1$, vaut $\dfrac{1{,}337}{1{,}447} \approx 0{,}924$ : c'est le sinus de sa latitude, qui vaut donc environ $67{,}5°$ nord. Sa longitude est l'angle dont la tangente vaut $\dfrac{0{,}553}{0{,}037}$, soit environ $86°$ est. Le milieu de la route Paris-Tokyo est au-dessus du cercle polaire arctique, en Sibérie centrale, non loin de la ville de Norilsk. Pourtant, Paris et Tokyo sont toutes les deux plus au sud que $49°$ !

Les mêmes calculs donnent :

Le cap se mesure en degrés depuis le nord, dans le sens des aiguilles d'une montre : $90°$ est l'est, $270°$ l'ouest. Pour aller à Tokyo, qui est au sud-est de Paris sur une carte, l'avion part vers le nord-est ; pour San Francisco, il part vers le nord-ouest et passe au-dessus du sud du Groenland, près de Nuuk. Entre Santiago du Chili et Sydney, la route plonge vers l'Antarctique.

Calculer le cap de départ

Au départ de $A$, l'avion se déplace dans le plan tangent à la sphère en $A$, c'est-à-dire le plan passant par $A$ et orthogonal à $\overrightarrow{OA}$. Sa direction est celle du grand cercle : c'est le vecteur $\vec{t} = \overrightarrow{OB} - \dfrac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{R^2}\,\overrightarrow{OA}$, qui est dans le plan $(OAB)$ et orthogonal à $\overrightarrow{OA}$ (on le vérifie en calculant $\vec{t} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$). Il reste à comparer $\vec{t}$ à deux vecteurs du plan tangent : celui qui pointe vers le nord et celui qui pointe vers l'est. Deux produits scalaires donnent le cap. Le programme suivant fait ce calcul, ainsi que celui du milieu.

La géographie… et la géopolitique

Les mathématiques donnent la route la plus courte ; la politique décide si on peut l'emprunter. Pendant la guerre froide, l'Union soviétique interdisait son ciel aux compagnies occidentales. À partir de la fin des années 1950, Air France relie Paris à Tokyo par la route polaire : on survole le Groenland et le pôle, avec une escale à Anchorage, en Alaska. Le grand cercle direct, par la Sibérie, ne s'ouvre largement qu'à la fin de la guerre froide.

Depuis février 2022 et l'invasion de l'Ukraine, l'espace aérien russe est de nouveau fermé aux compagnies européennes. Les vols Paris-Tokyo s'écartent du grand cercle et passent soit plus au sud (Turquie, Asie centrale, Chine), soit par le pôle Nord et l'Alaska : le vol est allongé de plusieurs heures selon les jours et les vents, alors que des compagnies d'autres pays continuent de survoler la Russie. Une carte des routes aériennes se lit donc à la fois avec la géométrie de la sphère et avec les rapports de force entre États.

Le vent compte aussi : les courants-jets soufflent d'ouest en est à haute altitude. Les compagnies ne suivent pas exactement le grand cercle, mais la route la plus rapide, recalculée chaque jour. Le grand cercle reste la référence : c'est la route la plus courte quand l'air est immobile.

Suivre un grand cercle oblige à changer de cap sans cesse : l'avion part de Paris vers le nord-est (cap $33°$) et arrive à Tokyo en venant du nord-ouest. Pour un navigateur muni d'une boussole, il est bien plus simple de garder un cap constant. La route obtenue coupe tous les méridiens sous le même angle : c'est une loxodromie (du grec loxos, oblique). Le Portugais Pedro Nunes l'étudie vers 1537, et remarque qu'elle n'est pas un grand cercle : si le cap n'est ni le nord, ni le sud, ni l'est, ni l'ouest, elle s'enroule en spirale autour du pôle.

Une loxodromie : elle coupe tous les méridiens sous le même angle et tourne une infinité de fois autour du pôle sans l'atteindre, en gardant une longueur finie. Image : NikNaks, d'après Geek3 et Alvesgaspar, Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 3.0.

Cette spirale fait une infinité de tours, mais sa longueur est finie : comme dans les paradoxes de Zénon, une infinité de tours de plus en plus petits peut avoir une longueur totale finie. On admet que, partie de la latitude $\varphi_0$ avec un cap qui fait l'angle $\alpha$ avec le nord, elle mesure $\dfrac{R\,(\frac{\pi}{2} - \varphi_0)}{\cos\alpha}$ jusqu'au pôle. Depuis Paris au cap $45°$ (nord-est), cela fait environ $6\,460$ km.

En $1569$, Gerardus Mercator construit sa carte justement pour que les loxodromies y deviennent des droites : le marin trace un trait entre le départ et l'arrivée, mesure son angle avec les méridiens, et tient ce cap. Le prix à payer est connu : les surfaces sont très agrandies près des pôles (voir Construire des cartes), et les grands cercles y deviennent des courbes bombées vers le pôle.

Sur une carte de Mercator, les loxodromies (en rouge) sont droites et les grands cercles (en bleu) sont courbes. Entre New York et Moscou, la route la plus courte, bombée vers le nord, mesure $7\,511$ km contre $8\,359$ km à cap constant. Image : Peter Mercator (pseudonyme d'un contributeur), Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 3.0.

La loxodromie se calcule avec le logarithme : sur la carte de Mercator, un point de latitude $\varphi$ est placé à la hauteur $\ln\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2}\right)\right)$ (formule admise), et la loxodromie est le segment qui joint les deux villes sur la carte. Le programme suivant compare les deux routes.

Pour Paris-Tokyo, la loxodromie (cap constant d'environ $97°$, presque plein est) mesure environ $11\,320$ km, soit $17\,\%$ de plus que le grand cercle. Sur une courte distance, la différence est négligeable ; sur un océan, elle se compte en jours de mer. Les navigateurs du XIX^e siècle découpaient donc le grand cercle en quelques étapes, et suivaient une loxodromie sur chaque étape : on suit presque le chemin le plus court, en ne changeant de cap que quelques fois. Les grands cercles se tracent facilement sur une autre carte, la projection gnomonique, où ils deviennent des droites.

Sur la sphère, les grands cercles jouent le rôle des droites. Un triangle sphérique est formé de trois arcs de grands cercles. Ses angles sont les angles entre les tangentes aux côtés, et ils ne se comportent pas comme dans le plan.

Deux « parallèles » qui se croisent

Deux avions partent de l'équateur, à $1\,000$ km l'un de l'autre, et volent tous les deux plein nord, en suivant un méridien. Leurs routes sont toutes les deux perpendiculaires à l'équateur : dans le plan, elles seraient parallèles. Sur la sphère, elles se coupent au pôle Nord. Deux grands cercles distincts se coupent toujours, en deux points diamétralement opposés : il n'y a pas de parallèles en géométrie sphérique. Le triangle formé par les deux méridiens et l'équateur a deux angles droits, plus l'angle au pôle.

Une devinette classique en découle : un randonneur fait $10$ km vers le sud, puis $10$ km vers l'est, puis $10$ km vers le nord, et revient exactement à son point de départ. D'où est-il parti ? Du pôle Nord : les deux trajets nord-sud sont deux méridiens qui se rejoignent au pôle. (Il existe d'autres réponses, près du pôle Sud, que l'on peut chercher.)

La somme des angles et l'aire

Le triangle formé par le pôle Nord, le point de l'équateur sur le méridien de Greenwich et le point de l'équateur à $90°$ est a trois angles droits : leur somme vaut $270°$. Il occupe le huitième de la sphère. Sur une sphère de rayon $R$, la somme des angles $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ (en radians) d'un triangle dépasse toujours $\pi$, et l'excès mesure l'aire : c'est la formule de Girard (1629),

Sa démonstration repose sur une idée simple : un « fuseau » (un quartier d'orange) d'angle $\alpha$ a une aire proportionnelle à $\alpha$, donc égale à $\dfrac{\alpha}{2\pi} \times 4\pi R^2 = 2\alpha R^2$. Les trois grands cercles du triangle découpent six fuseaux qui recouvrent toute la sphère, et le triangle ainsi que son symétrique par rapport à $O$ y sont comptés trois fois chacun. Le texte Construire des cartes détaille ce calcul étape par étape, avec le théorème de Legendre utilisé par les géomètres.

Une vérification aux valeurs extrêmes. Si le triangle s'aplatit en un demi-grand cercle (trois points sur un même grand cercle, la surface d'un hémisphère), chaque angle vaut $\pi$ : la formule donne $R^2(3\pi - \pi) = 2\pi R^2$, qui est bien l'aire d'un hémisphère. Si le triangle est minuscule, il est presque plat, son aire est presque nulle, et la somme de ses angles est presque $\pi$ : on retrouve la géométrie du plan.

Le triangle pôle Nord, Paris, Tokyo

Ce triangle a trois angles calculables avec ce qui précède :

• au pôle, l'angle entre les deux méridiens est l'écart des longitudes, $137{,}3°$ ;
• à Paris, l'angle entre le méridien (direction du nord) et la route vers Tokyo est le cap de départ, environ $33{,}5°$ ;
• à Tokyo, de même, le cap vers Paris vaut environ $333{,}5°$, soit un angle de $360 - 333{,}5 = 26{,}5°$ avec le nord.

La somme vaut environ $197{,}3°$, soit un excès de $17{,}3°$, c'est-à-dire environ $0{,}302$ radian. L'aire du triangle vaut donc $6\,371^2 \times 0{,}302 \approx 12{,}3$ millions de km², environ $2{,}4\,\%$ de la surface de la Terre ($4\pi R^2 \approx 510$ millions de km²). Un grand triangle dessiné sur la Terre a donc des angles nettement plus grands qu'un triangle plan : c'est pourquoi aucune carte plane ne peut respecter à la fois les distances et les angles.

Depuis l'Antiquité, on sait que la Terre est ronde : Aristote remarque que l'ombre de la Terre sur la Lune, pendant les éclipses, est toujours un arc de cercle, et que les navires disparaissent à l'horizon par la coque avant le mât. Ératosthène en mesure même le tour, vers $-240$. Pourtant, des partisans d'une Terre plate existent encore, et diffusent une carte bien précise : un disque centré sur le pôle Nord, entouré d'un mur de glace, l'Antarctique.

La carte de Gleason (1892), présentée par son éditeur comme la Terre « telle qu'elle est », et reprise aujourd'hui par les partisans de la Terre plate. C'est une projection azimutale centrée sur le pôle Nord : les distances au pôle y sont respectées, mais l'hémisphère sud est énormément étiré. Norman B. Leventhal Map Center, Boston Public Library, Wikimedia Commons, domaine public.

Cette carte permet un test chiffré. Sur le disque, un lieu de latitude $\varphi$ est à la distance $r = R\left(\dfrac{\pi}{2} - \varphi\right)$ du centre (sa distance au pôle Nord le long d'un méridien), dans la direction de sa longitude. La distance entre deux villes se calcule alors dans le plan, avec la formule d'Al-Kashi :

Santiago du Chili et Sydney. Les deux villes sont vers $33{,}5°$ sud, donc à environ $R \times (90 + 33{,}5) \times \dfrac{\pi}{180} \approx 13\,730$ km du centre, et leurs longitudes diffèrent de $221{,}9°$ (dont le cosinus vaut environ $-0{,}745$). Sur la Terre plate :

donc $d \approx 25\,700$ km. Sur la sphère, la formule du produit scalaire donne environ $11\,350$ km. Or des vols directs relient les deux villes en un peu plus d'une douzaine d'heures, à une vitesse de croisière d'environ $900$ km/h : ils parcourent bien de l'ordre de $11\,000$ km, et non $25\,700$, ce qui demanderait près de $28$ heures sans escale. Dans l'hémisphère sud, la carte plate est fausse d'un facteur deux, et toutes les durées de vol le confirment.

Au nord, l'erreur est faible : Paris-Tokyo mesure environ $9\,900$ km sur la carte plate, contre $9\,700$ km en réalité. C'est ce qui rend la carte trompeuse : elle « marche » à peu près là où vit la majorité des humains, et devient absurde dans l'hémisphère sud. Le pendule de Foucault, qui montre la rotation de la Terre sur elle-même, est un autre argument, physique cette fois.

Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :

• Mathématiques : le produit scalaire dans un repère de l'espace et la distance orthodromique ; le milieu d'un arc par une somme de vecteurs ; la projection sur le plan tangent et le cap ; la loxodromie et le logarithme ; la somme des angles d'un triangle et l'aire.
• HGGSP : les routes aériennes de la guerre froide, la route polaire et Anchorage ; la fermeture de l'espace aérien russe depuis 2022 ; les cartes qui déforment et les représentations du monde ; la navigation des grandes découvertes.
• Physique-chimie : les vents d'altitude et la route la plus rapide ; la rotation de la Terre, le pendule de Foucault et les preuves de la rotondité.

• Orthodromie, loxodromie et géométrie sphérique (Wikipédia).
• Sur ce site : Construire des cartes (projections, triangulation, formule de Girard démontrée), Le pendule de Foucault, La mesure du temps (la longitude en mer) et Aristote et l'infini, les paradoxes de Zénon.