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Depuis Copernic et Galilée, les savants sont convaincus que la Terre tourne sur elle-même. Mais personne ne l'avait jamais vu directement. En 1851, le physicien Léon Foucault suspend une lourde boule à un très long fil sous la coupole du Panthéon, à Paris : en quelques minutes, le public voit le plan dans lequel oscille le pendule tourner lentement. C'est la Terre qui tourne sous lui.
Ce texte présente l'expérience et les mathématiques qui l'expliquent, avec les outils de terminale : dérivation et fonctions trigonométriques pour les oscillations, nombre dérivé pour l'approximation des petits angles, géométrie dans l'espace pour la rotation du plan. Il rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
Léon Foucault n'est pas un savant de l'Académie : il a abandonné ses études de médecine et se passionne pour les expériences. Au début de l'année 1851, il fixe un pendule de $2$ mètres au plafond de sa cave et observe que le plan des oscillations tourne très lentement. Il recommence avec un fil d'environ $11$ mètres dans la grande salle de la Méridienne, à l'Observatoire de Paris, et envoie aux savants une invitation restée célèbre : « Vous êtes invités à venir voir tourner la Terre ».
Le prince-président Louis-Napoléon Bonaparte lui permet ensuite d'installer l'expérience au Panthéon, à partir de mars 1851 : une sphère d'environ $28$ kg est suspendue à un fil d'environ $67$ mètres. Une pointe sous la sphère trace un sillon dans du sable disposé sur le sol. Le succès public est immense. Le Panthéon est rendu au culte à la fin de l'année 1851 et le pendule est démonté ; il a été réinstallé plusieurs fois depuis. Le pendule d'origine est conservé au musée des Arts et Métiers, et une copie oscille aujourd'hui au Panthéon.
Le contexte compte aussi. Deux siècles plus tôt, en 1633, Galilée avait été condamné pour avoir défendu le mouvement de la Terre. En 1851, la question scientifique est tranchée depuis longtemps, mais l'expérience de Foucault rend la rotation de la Terre visible pour tous, dans un monument au cœur de Paris.
Un pendule simple est formé d'une masse suspendue à un fil de longueur $L$. Pour de petites oscillations, le temps d'un aller-retour, appelé période, vaut
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},$$où $g \approx 9{,}81$ m/s² est l'intensité de la pesanteur. La période ne dépend ni de la masse, ni de l'amplitude (tant qu'elle reste petite) : c'est ce qui permet de construire des horloges (voir le texte La mesure du temps).
À la main, pour le Panthéon. Avec $L = 67$ m :
- $\dfrac{L}{g} = \dfrac{67}{9{,}81} \approx 6{,}83$ ;
- $\sqrt{6{,}83} \approx 2{,}61$ ;
- $T \approx 2\pi \times 2{,}61 \approx 16{,}4$ secondes.
Pour le pendule de $11$ m de l'Observatoire, on trouve environ $6{,}7$ s, et pour celui de $2$ m de la cave, environ $2{,}8$ s. Un fil long donne des oscillations lentes et amples, que le public peut suivre facilement, et le pendule oscille plus longtemps avant de s'arrêter.
D'où vient cette formule ? D'une équation que l'on va étudier maintenant.
Repérons la position du pendule par l'angle $\theta(t)$ entre le fil et la verticale, en radians. La mécanique de Newton (voir le texte La mécanique newtonienne) montre, et nous l'admettrons, que
$$\theta''(t) = -\frac{g}{L}\,\sin\theta(t).$$C'est une équation différentielle qui contient la dérivée seconde de $\theta$ : elle n'est pas au programme de terminale, qui traite seulement des équations du type $y' = ay + b$. Mais on peut la comprendre et vérifier une solution avec les seuls outils de dérivation.
Le nombre dérivé de la fonction sinus en $0$ vaut $\cos 0 = 1$. Par définition du nombre dérivé,
$$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta - \sin 0}{\theta - 0} = 1,$$c'est-à-dire
$$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1.$$Autrement dit, la tangente à la courbe du sinus en $0$ est la droite $y = \theta$, et pour $\theta$ proche de $0$, $\sin\theta \approx \theta$. Au Panthéon, la sphère s'écarte d'environ $3$ mètres de la verticale au bout d'un fil de $67$ m : l'angle vaut environ $\dfrac{3}{67} \approx 0{,}045$ rad. Pour $\theta = 0{,}05$, la calculatrice donne $\sin 0{,}05 \approx 0{,}049\,98$ : l'écart relatif est de l'ordre de $0{,}04\,\%$. On remplace donc l'équation par
$$\theta''(t) = -\frac{g}{L}\,\theta(t).$$Posons $\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L}}$ (la lettre grecque « oméga »), de sorte que $\omega^2 = \dfrac{g}{L}$. On lâche le pendule sans vitesse depuis l'angle $\theta_0$.
Étape 1 : dérivée première. La dérivée de $t \mapsto \cos(\omega t)$ est $t \mapsto -\omega\sin(\omega t)$ (dérivée d'une fonction composée). Donc $\theta'(t) = -\theta_0\,\omega\sin(\omega t)$.
Étape 2 : dérivée seconde. La dérivée de $t \mapsto \sin(\omega t)$ est $t \mapsto \omega\cos(\omega t)$. Donc
$$\theta''(t) = -\theta_0\,\omega^2\cos(\omega t) = -\omega^2\,\theta(t).$$Comme $\omega^2 = \dfrac{g}{L}$, on obtient bien $\theta''(t) = -\dfrac{g}{L}\,\theta(t)$.
Étape 3 : conditions de départ. $\theta(0) = \theta_0\cos 0 = \theta_0$ et $\theta'(0) = -\theta_0\,\omega\sin 0 = 0$ : le pendule part bien de l'angle $\theta_0$ sans vitesse.
Étape 4 : la période. La fonction cosinus est périodique de période $2\pi$. La fonction $\theta$ reprend donc la même valeur quand $\omega t$ augmente de $2\pi$, c'est-à-dire quand $t$ augmente de $\dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$.
On retrouve la formule de la période. On admet que c'est la seule solution qui part de $\theta_0$ sans vitesse. On voit aussi pourquoi la période ne dépend pas de l'amplitude $\theta_0$ : $\theta_0$ multiplie la solution, mais n'apparaît pas dans $\omega$. Pour de grands angles, l'approximation $\sin\theta \approx \theta$ n'est plus valable et la période augmente légèrement avec l'amplitude.
Les deux seules forces qui agissent sur la sphère sont son poids, vertical, et la tension du fil, dirigée le long du fil. Ces deux forces sont contenues dans le plan vertical où oscille le pendule. Aucune ne peut donc faire sortir le pendule de ce plan : le plan d'oscillation garde une direction fixe par rapport aux étoiles. C'est le sol, entraîné par la Terre, qui tourne sous lui.
- Au pôle Nord, le fil est dans le prolongement de l'axe de rotation de la Terre. Le sol tourne sous le pendule comme un disque sur une platine : en un jour (exactement $23$ h $56$ min, un jour sidéral), il fait un tour complet. Vu par un observateur sur le sol, le plan d'oscillation fait un tour en sens inverse, dans le sens des aiguilles d'une montre : environ $15°$ par heure.
- À l'équateur, le fil est perpendiculaire à l'axe de la Terre. Le sol ne tourne pas autour de la verticale du lieu : il est seulement transporté. Le plan d'oscillation ne tourne pas par rapport au sol.
- Entre les deux, l'effet est intermédiaire. Il faut savoir quelle « part » de la rotation de la Terre fait tourner le sol autour de la verticale du lieu.
On représente la rotation de la Terre par un vecteur $\vec{\Omega}$ porté par son axe, dirigé vers le pôle Nord, de norme $15°$ par heure. En un lieu de latitude $\varphi$, notons $\vec{u}$ le vecteur unitaire de la verticale (dirigé vers le haut). On admet le résultat de mécanique suivant : seule la composante de $\vec{\Omega}$ le long de la verticale fait tourner le sol autour de la verticale. Cette composante est la projection orthogonale de $\vec{\Omega}$ sur la droite verticale, de mesure le produit scalaire $\vec{\Omega} \cdot \vec{u}$.
Étape 1 : l'angle entre l'axe et la verticale. Plaçons-nous dans le plan qui contient l'axe de la Terre et le lieu $M$ (le plan du méridien). La verticale en $M$ passe par le centre $O$ de la Terre. La latitude $\varphi$ est l'angle entre $(OM)$ et le plan de l'équateur, qui est perpendiculaire à l'axe. L'angle entre l'axe et la droite $(OM)$ vaut donc $90° - \varphi$.
Étape 2 : le produit scalaire. Comme $\vec{u}$ est unitaire, $\vec{\Omega} \cdot \vec{u} = \|\vec{\Omega}\| \times 1 \times \cos(90° - \varphi)$.
Étape 3 : la trigonométrie. Pour tout angle, $\cos(90° - \varphi) = \sin\varphi$. Donc $\vec{\Omega} \cdot \vec{u} = 15° \times \sin\varphi$ par heure.
Le plan d'oscillation fait donc un tour complet, par rapport au sol, en une durée
$$D(\varphi) = \frac{24 \text{ h}}{\sin\varphi}$$(plus précisément $\dfrac{23{,}93 \text{ h}}{\sin\varphi}$, avec le jour sidéral). Cette loi a été énoncée par Foucault dès 1851, et démontrée peu après par des mathématiciens, dont Jacques Binet.
À Paris, la latitude vaut environ $48{,}85°$, donc $\sin\varphi \approx 0{,}753$ et la rotation est d'environ $15 \times 0{,}753 \approx 11{,}3°$ par heure. Un tour complet prend $\dfrac{23{,}93}{0{,}753} \approx 31{,}8$ heures. Au Panthéon, comme la période est d'environ $16$ secondes, le plan tourne de près d'un vingtième de degré à chaque aller-retour : il faut quelques minutes pour voir la sphère effleurer un nouveau repère.
| lieu | latitude | rotation (°/h) | un tour en |
|---|---|---|---|
| pôle Nord | $90°$ | $15$ | $24$ h |
| Paris | $48{,}9°$ | $11{,}3$ | $32$ h |
| latitude $30°$ | $30°$ | $7{,}5$ | $48$ h |
| équateur | $0°$ | $0$ | jamais |
| Sydney | $-33{,}9°$ | $-8{,}4$ | $43$ h |
Une étude de fonction. Sur $]0°\,;90°]$, la fonction sinus est strictement croissante et positive, donc $\varphi \mapsto \dfrac{24}{\sin\varphi}$ est strictement décroissante. Quand $\varphi$ tend vers $0$, $\sin\varphi$ tend vers $0$ par valeurs positives, et la durée tend vers $+\infty$ : près de l'équateur, la rotation devient imperceptible. Dans l'hémisphère Sud, $\sin\varphi$ est négatif : le plan tourne dans l'autre sens, contraire aux aiguilles d'une montre.
La figure montre la trace de la sphère vue d'au-dessus, dans le repère lié au sol. Pour que l'on voie quelque chose, la rotation du plan est énormément accélérée : en réalité, à Paris, le pendule fait environ $7\,000$ allers-retours pendant un tour complet du plan. Le curseur règle la latitude.
- Une preuve directe. D'autres phénomènes indiquaient déjà le mouvement de la Terre, comme l'aplatissement de la Terre aux pôles ou l'aberration de la lumière des étoiles, découverte par Bradley en 1729 (liée à la révolution autour du Soleil). Le pendule de Foucault est la première expérience de laboratoire qui montre la rotation de la Terre sur elle-même, sans regarder le ciel.
- Une expérience délicate. Un petit défaut de symétrie dans la suspension, ou un lancer qui donne une légère vitesse de côté, fait tourner le plan d'oscillation et peut masquer l'effet. Foucault brûlait le fil qui retenait la sphère pour la lâcher sans la pousser. Les frottements de l'air amortissent les oscillations : un fil long et une sphère lourde les rendent négligeables plus longtemps.
- Un modèle simplifié. Ce texte admet deux résultats de mécanique (l'équation du pendule et le rôle de la seule composante verticale de la rotation). Leur démonstration complète demande la mécanique dans un repère qui tourne, étudiée après le bac.
- La suite. En 1852, Foucault invente le gyroscope, qui montre lui aussi la rotation de la Terre, et qui sert aujourd'hui à la navigation des avions et des satellites.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : la limite de $\dfrac{\sin\theta}{\theta}$ et l'approximation des petits angles ; la vérification d'une solution d'équation différentielle par la dérivation ; la période d'une fonction trigonométrique ; le produit scalaire et la projection sur une droite ; l'étude de $\varphi \mapsto \dfrac{24}{\sin\varphi}$.
- Physique-chimie : le pendule simple et l'isochronisme ; les forces qui agissent sur le pendule ; les repères en mouvement.
- HGGSP : de la condamnation de Galilée à l'expérience publique de 1851 ; la science montrée au public sous la Deuxième République ; le Panthéon, monument laïque ou religieux selon les régimes.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : les fonctions sinus et cosinus, leurs dérivées et leur périodicité ; la dérivée d'une fonction composée $t \mapsto f(at + b)$ ; le nombre dérivé et la tangente ; la limite de $\dfrac{\sin x}{x}$ en $0$ ; les équations différentielles $y' = ay + b$ ; le produit scalaire et l'orthogonalité dans l'espace ; le sens de variation d'une fonction.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Pendule de Foucault et Léon Foucault (Wikipédia).
- W. Tobin, Léon Foucault, le miroir et le pendule, EDP Sciences, 2002.
- Sur ce site : La mécanique newtonienne, La mesure du temps et Nicole Oresme (la rotation de la Terre au XIVe siècle).