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Sur une carte du monde, le Groenland paraît aussi grand que l'Afrique, alors qu'il est environ quatorze fois plus petit. Ce n'est pas une erreur du cartographe : c'est une conséquence mathématique. On ne peut pas aplatir une sphère sans la déformer, pas plus qu'on ne peut étaler à plat la peau d'une orange sans la déchirer ni l'étirer.
Construire une carte pose donc deux problèmes : mesurer la Terre (savoir où sont les lieux) et la représenter à plat (choisir quelles déformations accepter). Ce texte présente les deux avec les outils de terminale : géométrie dans l'espace et produit scalaire, trigonométrie, dérivation, logarithme. Il rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
- Des cartes de la Renaissance aux Cassini
- Repérer un point sur la sphère
- Projeter la sphère sur un plan
- Mesurer les déformations avec la dérivée
- Aucune carte ne peut être parfaite
- Mercator, Peters et le débat
- Mesurer un pays avec des triangles
- Quand les triangles ne sont plus plats
- Des directions pour construire sa question
Les savants grecs savaient déjà que la Terre est ronde, et Ptolémée, au IIe siècle, donnait les coordonnées de milliers de lieux et plusieurs façons de les dessiner. Ces savoirs passent par les savants du monde musulman avant de revenir en Europe à la fin du Moyen Âge.
À la Renaissance, Oronce Fine (1494-1555), premier titulaire d'une chaire de mathématiques au Collège royal (l'actuel Collège de France), dresse l'une des premières cartes imprimées de la France et des mappemondes « en forme de cœur ». Il y applique une projection qui conserve les aires, due au cartographe allemand Johannes Werner.
Au XVIIe siècle, la cartographie devient une affaire d'État. Colbert fonde l'Académie royale des sciences en 1666 et veut une carte exacte du royaume, utile pour l'armée, les impôts et le commerce. L'abbé Jean Picard mesure un arc du méridien de Paris par triangulation entre 1668 et 1670, puis quatre générations de Cassini, à la tête de l'Observatoire de Paris, couvrent la France entière de triangles. La carte de Cassini, en $180$ feuilles, est publiée dans la seconde moitié du XVIIIe siècle : c'est la première carte précise et détaillée d'un pays entier. Une carte est aussi un instrument de pouvoir : seul un État centralisé pouvait mobiliser pendant un siècle les savants, les instruments et les crédits nécessaires.
On assimile la Terre à une sphère de centre $O$ et de rayon $R \approx 6\,371$ km. On choisit un repère orthonormé de l'espace d'origine $O$ : l'axe $(Oz)$ passe par le pôle Nord, et l'axe $(Ox)$ est dirigé vers le point de l'équateur situé sur le méridien de Greenwich. Un lieu est repéré par deux angles :
- sa latitude $\varphi$, l'angle au-dessus du plan de l'équateur (de $-90°$ au pôle Sud à $90°$ au pôle Nord) ;
- sa longitude $\lambda$, l'angle compté à partir du méridien de Greenwich (positif vers l'est).
En projetant d'abord sur le plan de l'équateur, puis sur les axes, on obtient ses coordonnées :
- $x = R\cos\varphi\cos\lambda$ ;
- $y = R\cos\varphi\sin\lambda$ ;
- $z = R\sin\varphi$.
En effet, le point est à la hauteur $z = R\sin\varphi$, et à la distance $R\cos\varphi$ de l'axe des pôles : c'est le rayon du parallèle sur lequel il se trouve.
Sur la sphère, le plus court chemin entre deux points $A$ et $B$ est un arc de grand cercle, c'est-à-dire d'un cercle de centre $O$. Sa longueur est $R\,\theta$, où $\theta = \widehat{AOB}$ est en radians. Et cet angle se calcule avec le produit scalaire :
$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = R^2 \cos\theta.$$Un exemple : Paris et New York. Paris est à environ $48{,}86°$ de latitude et $2{,}35°$ de longitude, New York à $40{,}71°$ et $-74{,}01°$. En divisant les coordonnées par $R$ :
- Paris : $(0{,}657\,;\,0{,}027\,;\,0{,}753)$ ;
- New York : $(0{,}209\,;\,-0{,}729\,;\,0{,}652)$ ;
- produit scalaire : on additionne $0{,}657 \times 0{,}209 \approx 0{,}137$, $0{,}027 \times (-0{,}729) \approx -0{,}020$ et $0{,}753 \times 0{,}652 \approx 0{,}491$, ce qui donne environ $0{,}609$.
Donc $\cos\theta \approx 0{,}609$, $\theta \approx 52{,}5°$ soit environ $0{,}916$ radian, et la distance vaut environ $6\,371 \times 0{,}916 \approx 5\,840$ km. C'est à peu près la distance parcourue par un avion entre les deux villes, qui suit un grand cercle passant au-dessus de l'Atlantique Nord.
Une projection associe à chaque point $(\lambda\,;\varphi)$ de la sphère un point $(X\,;Y)$ du plan de la carte. Les plus anciennes sont de vraies constructions géométriques ; aujourd'hui, on les décrit par des formules. Dans toute la suite, les angles sont en radians.
On pose un plan tangent à la sphère, par exemple au pôle Nord, et on y envoie chaque point.
- Projection orthographique : on projette orthogonalement sur le plan. Un point de latitude $\varphi$ arrive à la distance $R\cos\varphi$ du pôle : c'est la Terre vue de très loin.
- Projection gnomonique : on prolonge la demi-droite $[OM)$ issue du centre jusqu'au plan.
Le plan tangent au pôle Nord a pour équation $z = R$. Les points de la demi-droite $[OM)$ sont les points $tM$ avec $t \geqslant 0$, de coordonnées $tR\cos\varphi\cos\lambda$, $tR\cos\varphi\sin\lambda$ et $tR\sin\varphi$. Ce point est dans le plan si $tR\sin\varphi = R$, c'est-à-dire $t = \dfrac{1}{\sin\varphi}$. Sa distance à l'axe des pôles est alors $t \times R\cos\varphi = \dfrac{R\cos\varphi}{\sin\varphi}$.
Seul l'hémisphère Nord peut être représenté (si $\varphi \leqslant 0$, la demi-droite ne rencontre pas le plan), et les points proches de l'équateur partent à l'infini. Mais cette projection a une propriété remarquable :
Un grand cercle est l'intersection de la sphère et d'un plan $\mathcal{P}$ passant par $O$. Pour chaque point $M$ de ce cercle, la demi-droite $[OM)$ est contenue dans $\mathcal{P}$, donc son image est dans $\mathcal{P}$ et dans le plan tangent. Or deux plans non parallèles se coupent selon une droite : toutes les images sont sur cette droite.
Sur une carte gnomonique, le plus court chemin entre deux villes est donc un segment : les navigateurs et les pilotes s'en servent pour tracer les routes les plus courtes, avant de les reporter sur une autre carte.
On enroule un cylindre autour de l'équateur, on y reporte les points, puis on le déroule. Les méridiens deviennent des droites verticales équidistantes, les parallèles des droites horizontales : $X = R\lambda$, et $Y$ ne dépend que de la latitude. Tout le choix porte sur la fonction $Y = R\,g(\varphi)$ :
| projection | $Y$ | propriété |
|---|---|---|
| cylindrique équidistante | $R\varphi$ | distances justes le long des méridiens |
| équivalente de Lambert (1772) | $R\sin\varphi$ | aires justes |
| Mercator (1569) | $R\ln\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2}\right)\right)$ | angles justes |
La construction de la carte de Mercator et le rôle du logarithme sont racontés dans le texte Le logarithme, de Napier à Brouncker. La projection de Lambert repose sur un résultat d'Archimède : la zone de la sphère comprise entre deux plans horizontaux a la même aire que la bande du cylindre qui l'entoure entre ces deux plans, c'est-à-dire $2\pi R \times h$, où $h$ est la distance entre les plans. Projeter horizontalement sur le cylindre, ce qui donne $Y = R\sin\varphi$, conserve donc les aires.
Regardons un tout petit carré sur la sphère, autour d'un point de latitude $\varphi$, et ce qu'il devient sur une carte cylindrique.
- Horizontalement. Le parallèle de latitude $\varphi$ est un cercle de rayon $R\cos\varphi$, donc de longueur $2\pi R\cos\varphi$. Sur la carte, il est représenté par un segment de longueur $2\pi R$, comme l'équateur. Les longueurs est-ouest sont multipliées par $\dfrac{1}{\cos\varphi}$. À $60°$ de latitude, $\cos 60° = \frac{1}{2}$ : elles sont doublées.
- Verticalement. Sur la sphère, monter d'un petit angle $h$ en latitude, c'est parcourir $Rh$. Sur la carte, on monte de $R\,g(\varphi + h) - R\,g(\varphi)$, soit environ $R\,g'(\varphi)\,h$ quand $h$ est petit, par définition du nombre dérivé. Les longueurs nord-sud sont multipliées par $g'(\varphi)$.
Les aires sont donc multipliées par $\dfrac{g'(\varphi)}{\cos\varphi}$, et les formes sont respectées seulement si les deux facteurs sont égaux.
| projection | $g'(\varphi)$ | facteur des aires | à $60°$ |
|---|---|---|---|
| équidistante | $1$ | $\frac{1}{\cos\varphi}$ | $\times 2$ |
| Lambert | $\cos\varphi$ | $1$ | $\times 1$ |
| Mercator | $\frac{1}{\cos\varphi}$ | $\frac{1}{\cos^2\varphi}$ | $\times 4$ |
Pour Mercator, on admet que la dérivée de $\ln\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2}\right)\right)$ est $\dfrac{1}{\cos\varphi}$ (on peut le vérifier avec la dérivée d'une fonction composée et d'un quotient). Les deux facteurs sont égaux : la carte de Mercator respecte les angles, ce qui permet de suivre un cap constant en traçant une droite. Mais les aires sont multipliées par $\dfrac{1}{\cos^2\varphi}$ : vers $72°$ de latitude, au milieu du Groenland, par environ $10{,}5$. C'est pourquoi le Groenland, d'environ $2{,}2$ millions de km², y paraît comparable à l'Afrique, qui en compte environ $30$ millions.
Peut-on trouver une carte qui respecte toutes les distances, au moins sur une petite région ? La réponse est non, et on peut le démontrer avec des outils de terminale.
Un cercle sur la Terre. Prenons tous les points situés à la distance $r$ du pôle Nord, en marchant sur la sphère. Ils forment un parallèle. L'angle au centre correspondant est $\dfrac{r}{R}$, donc ce parallèle a pour rayon $R\sin\dfrac{r}{R}$ et pour périmètre $2\pi R\sin\dfrac{r}{R}$.
Posons $f(x) = x - \sin x$ sur $[0\,;+\infty[$. Alors $f'(x) = 1 - \cos x \geqslant 0$, et $f'$ ne s'annule qu'en des points isolés : $f$ est strictement croissante. Comme $f(0) = 0$, on a $f(x) > 0$ pour $x > 0$.
Donc $2\pi R\sin\dfrac{r}{R} < 2\pi r$ : sur la sphère, un « cercle » de rayon $r$ est plus court qu'un cercle du plan de même rayon. Pour $r = 1\,000$ km, il mesure environ $6\,257$ km au lieu de $6\,283$ km. Une carte qui respecterait toutes les distances enverrait ce cercle sur un cercle du plan de même rayon, donc de même périmètre : c'est impossible.
C'est un cas particulier d'un théorème de Gauss (1827) : une surface courbe ne peut pas être appliquée sur un plan sans déformer les longueurs. On peut conserver les angles (carte conforme, comme Mercator) ou les aires (carte équivalente, comme Lambert), mais jamais les deux à la fois. Chaque carte est un compromis, choisi selon l'usage : naviguer, comparer des surfaces, mesurer des distances depuis un point.
La carte de Mercator, conçue en 1569 pour la navigation, est devenue pendant des siècles l'image du monde dans les écoles et les atlas. Elle agrandit fortement les régions proches des pôles, donc l'Europe et l'Amérique du Nord, et rapetisse en proportion l'Afrique, l'Amérique du Sud et l'Asie du Sud.
En 1973, l'historien allemand Arno Peters présente une carte « équivalente » (qui respecte les aires) comme une carte plus juste envers les pays du Sud. Elle connaît un grand succès auprès d'organisations humanitaires et d'Églises. Les cartographes lui ont reproché de déformer fortement les formes, et de reprendre une projection déjà publiée par l'Écossais James Gall en 1855 : c'est une projection cylindrique équivalente, comme celle de Lambert, simplement étirée verticalement. À la fin des années 1980, plusieurs associations de géographes ont recommandé d'abandonner les cartes du monde rectangulaires au profit de projections de compromis, qui ne conservent exactement ni les aires ni les angles mais déforment moins l'ensemble.
Le débat dépasse les mathématiques : une carte n'est jamais neutre. Le choix du centre (l'Europe, le Pacifique, un pôle), de l'orientation (le nord en haut est une convention) ou du méridien d'origine sont des choix humains. En 1884, une conférence internationale à Washington choisit le méridien de Greenwich comme origine des longitudes ; la France, qui défendait le méridien de Paris, ne s'y rallie officiellement qu'en 1911.
Au XVIIe siècle, mesurer une grande distance au sol est très difficile, mais mesurer un angle est facile avec une lunette montée sur un grand quart de cercle. La triangulation, mise au point par le Hollandais Willebrord Snell en 1615, utilise cette idée : on mesure soigneusement une seule longueur, la base, puis on vise des repères bien visibles (clochers, tours, moulins) et on mesure des angles. On calcule les autres longueurs avec la loi des sinus : dans un triangle $ABC$ d'angles $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$,
$$\frac{BC}{\sin\widehat{A}} = \frac{AC}{\sin\widehat{B}} = \frac{AB}{\sin\widehat{C}}.$$Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $C$. Dans le triangle $AHC$, rectangle en $H$, $CH = AC\sin\widehat{A}$. Dans le triangle $BHC$, $CH = BC\sin\widehat{B}$. Donc $AC\sin\widehat{A} = BC\sin\widehat{B}$, c'est-à-dire $\dfrac{BC}{\sin\widehat{A}} = \dfrac{AC}{\sin\widehat{B}}$. On raisonne de même avec la hauteur issue de $A$. (Si un angle est obtus, la démonstration s'adapte avec $\sin(\pi - x) = \sin x$.)
En 1669, Picard mesure sa base le long de la route droite qui allait du moulin de Villejuif ($A$) au pavillon de Juvisy ($B$) : $AB = 5\,663$ toises, soit environ $11{,}04$ km (la toise du Châtelet vaut environ $1{,}949$ m). Il vise le clocher de Brie-Comte-Robert ($C$) et mesure :
- $\widehat{A} = 54°\,4'\,35''$, soit $54 + \dfrac{4}{60} + \dfrac{35}{3\,600} \approx 54{,}076°$ ;
- $\widehat{B} = 95°\,6'\,55''$, soit environ $95{,}115°$ ;
- $\widehat{C} = 30°\,48'\,30''$, soit environ $30{,}808°$.
La somme vaut exactement $180°$ : Picard a réparti la petite erreur de mesure entre les angles. Avec la loi des sinus,
$$AC = AB \times \frac{\sin\widehat{B}}{\sin\widehat{C}}.$$La calculatrice donne $\sin\widehat{B} \approx 0{,}996\,02$ et $\sin\widehat{C} \approx 0{,}512\,17$, d'où $AC \approx 11\,012{,}9$ toises.
Picard trouve $11\,012$ toises et $5$ pieds. De proche en proche, avec $13$ triangles, il atteint les environs d'Amiens. En mesurant aussi la latitude des extrémités par l'observation des étoiles, il obtient qu'un degré de méridien mesure $57\,060$ toises, soit environ $111{,}2$ km : une précision remarquable. Si la Terre est une sphère, un arc de $1°$, c'est-à-dire de $\dfrac{\pi}{180}$ radian, mesure $R \times \dfrac{\pi}{180}$, d'où un rayon d'environ
$$R = \frac{180 \times 111{,}2}{\pi} \approx 6\,371 \text{ km}.$$
Les Cassini prolongent la triangulation de Dunkerque à Perpignan, le long du méridien de Paris, puis à travers tout le pays. Leurs mesures posent une question : la Terre est-elle vraiment une sphère ? Newton affirmait qu'en tournant elle s'aplatit aux pôles. Pour trancher, l'Académie envoie deux expéditions mesurer un degré de méridien, l'une en Laponie (1736-1737), l'autre au Pérou (1735-1744). La réponse est nette : un degré est plus long près du pôle, la Terre est aplatie aux pôles. Il faut alors reprendre les calculs en tenant compte de cette forme. Le même travail, entre Dunkerque et Barcelone, servira à Delambre et Méchain, de 1792 à 1798, pour définir le mètre.
Sur une sphère, un « triangle » est formé de trois arcs de grands cercles. Partons du pôle Nord, descendons le méridien de Greenwich jusqu'à l'équateur, suivons l'équateur sur un quart de tour vers l'est, puis remontons au pôle. Les trois angles de ce triangle sont droits : leur somme vaut $270°$, et non $180°$. Ce triangle occupe le huitième de la sphère, donc son aire vaut $\dfrac{4\pi R^2}{8} = \dfrac{\pi R^2}{2}$.
Sur une sphère, la somme des angles d'un triangle dépasse toujours $\pi$, et ce dépassement, appelé excès sphérique, est lié à l'aire. Ici, l'excès vaut $\dfrac{3\pi}{2} - \pi = \dfrac{\pi}{2}$, et l'aire vaut exactement $R^2 \times \dfrac{\pi}{2}$. Ce n'est pas un hasard.
Étape 1 : l'aire d'un fuseau. Deux demi-grands cercles qui joignent les pôles en faisant un angle $\alpha$ délimitent un « fuseau », comme un quartier d'orange. Son aire est proportionnelle à $\alpha$ : pour $\alpha = 2\pi$, c'est toute la sphère, d'aire $4\pi R^2$. Un fuseau d'angle $\alpha$ a donc pour aire $2\alpha R^2$.
Étape 2 : les trois grands cercles. Les trois côtés du triangle $T$ sont portés par trois grands cercles. Ils découpent aussi un triangle $T'$, symétrique de $T$ par rapport au centre $O$, de même aire $\mathcal{A}$. En chaque sommet, l'angle du triangle définit un fuseau qui contient $T$, et le fuseau opposé, de même angle, qui contient $T'$.
Étape 3 : le recouvrement. Ces six fuseaux recouvrent toute la sphère. Les points de $T$ et de $T'$ sont couverts trois fois, tous les autres une seule fois. En additionnant les aires des six fuseaux, on compte donc la sphère une fois, plus deux fois $T$ et deux fois $T'$. Chaque angle donne deux fuseaux d'aire $2\alpha R^2$, soit $4\alpha R^2$ :
$$4R^2(\alpha + \beta + \gamma) = 4\pi R^2 + 4\mathcal{A}.$$En divisant par $4$ : $R^2(\alpha + \beta + \gamma) = \pi R^2 + \mathcal{A}$, d'où la formule.
Ce résultat a été publié par le mathématicien français Albert Girard en 1629. Il donne l'excès sphérique, en radians :
$$\alpha + \beta + \gamma - \pi = \frac{\mathcal{A}}{R^2}.$$Calculons l'excès pour des triangles équilatéraux de côté $a$ tracés sur la Terre, en approchant leur aire par celle du triangle plan, $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$, avec $R = 6\,371$ km. On convertit en secondes d'angle (un radian vaut environ $206\,265''$).
| côté $a$ | aire | excès sphérique |
|---|---|---|
| $11$ km | $52$ km² | $0{,}27''$ |
| $30$ km | $390$ km² | $2''$ |
| $100$ km | $4\,330$ km² | $22''$ |
| $1\,000$ km | $433\,000$ km² | $37'$ (plus d'un demi-degré) |
Par exemple, pour $a = 100$ km : $\dfrac{4\,330}{6\,371^2} \approx 1{,}07 \times 10^{-4}$ radian, soit environ $1{,}07 \times 10^{-4} \times 206\,265 \approx 22''$. Le premier triangle de Picard, d'environ $96$ km², a un excès d'à peine une demi-seconde, bien en dessous de la précision de ses instruments : il pouvait le traiter comme plat. Mais pour les grands triangles de plusieurs dizaines de kilomètres de côté, mesurés au XVIIIe siècle avec des instruments précis à la seconde près, l'excès n'est plus négligeable. Forcer la somme des angles à $180°$, comme on le faisait, revenait alors à fausser les angles, et les erreurs s'accumulaient le long d'une chaîne de triangles.
Le théorème de Legendre (1787). Adrien-Marie Legendre, qui participait alors aux mesures entre Paris et Greenwich, propose une règle très simple pour les triangles dont les côtés sont petits devant le rayon de la Terre : on retranche à chacun des trois angles mesurés le tiers de l'excès sphérique, puis on calcule les côtés avec la loi des sinus plane, comme si le triangle était plat. L'erreur commise est négligeable. Pour un triangle de $100$ km de côté, on retire environ $7''$ à chaque angle. Les géodésiens ont utilisé cette règle jusqu'à l'arrivée des calculateurs électroniques.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : les coordonnées sur la sphère et la distance par le produit scalaire ; la projection gnomonique et les grands cercles ; les déformations mesurées par la dérivée ; l'inégalité $\sin x < x$ et l'impossibilité d'une carte parfaite ; la loi des sinus et la triangulation ; la formule de Girard et l'excès sphérique.
- HGGSP : la carte comme instrument de pouvoir (Colbert, les Cassini) ; la représentation du monde et le débat Mercator-Peters ; le choix du méridien de Greenwich ; l'invention du mètre.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : les repères de l'espace, les coordonnées d'un point et le produit scalaire dans l'espace ; les équations de plans et l'intersection de deux plans ; les fonctions sinus et cosinus, les radians ; le nombre dérivé, la dérivation et le sens de variation ; la fonction logarithme.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Projection cartographique, carte de Cassini, triangulation et théorème de Legendre (Wikipédia).
- J. P. Snyder, Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections, University of Chicago Press, 1993.
- Sur ce site : Le logarithme, de Napier à Brouncker (la carte de Mercator) et Nicole Oresme.