Tout repose sur une seule opération. Soient $A$ et $B$ deux points et $t$ un réel de $[0\,;1]$. On place le point $P$ du segment $[AB]$ tel que

Pour $t = 0$, $P$ est en $A$ ; pour $t = 1$, $P$ est en $B$ ; pour $t = \frac{1}{2}$, c'est le milieu. Avec un point $O$ quelconque (l'origine du repère), la relation de Chasles donne

Les coordonnées de $P$ sont donc $(1-t)$ fois celles de $A$ plus $t$ fois celles de $B$. Les deux coefficients $1-t$ et $t$ sont positifs et leur somme vaut $1$ : $P$ est une moyenne pondérée de $A$ et $B$ (on dit aussi un barycentre). Pour alléger, on écrira simplement

en sous-entendant qu'il s'agit d'une égalité entre coordonnées.

Prenons trois points $A_0(0\,;0)$, $A_1(2\,;4)$ et $A_2(4\,;0)$. On construit le point de paramètre $t = \frac{1}{2}$ en deux étages :

1. on prend le milieu $P_0$ de $[A_0A_1]$, soit $P_0(1\,;2)$, et le milieu $P_1$ de $[A_1A_2]$, soit $P_1(3\,;2)$ ;
2. on prend le milieu $M$ de $[P_0P_1]$, soit $M(2\,;2)$.

Le point $M$ est le point de la courbe obtenu pour $t = \frac{1}{2}$. Il n'est pas sur le point $A_1$ : la courbe est « attirée » par $A_1$ sans l'atteindre. Avec $t = \frac{1}{4}$, on remplace les milieux par les points situés au quart de chaque segment : $P_0(0{,}5\,;1)$, $P_1(2{,}5\,;3)$, puis $M = \frac{3}{4}P_0 + \frac{1}{4}P_1$, soit $M(1\,;1{,}5)$.

Pour un réel $t$ quelconque de $[0\,;1]$, on pose

On remplace $P_0$ et $P_1$ par leurs expressions dans $M$ et on regroupe : $A_0$ reçoit le coefficient $(1-t)\times(1-t) = (1-t)^2$, $A_1$ reçoit $(1-t)t + t(1-t) = 2t(1-t)$, et $A_2$ reçoit $t\times t = t^2$. Donc

Les trois poids $(1-t)^2$, $2t(1-t)$ et $t^2$ sont positifs sur $[0\,;1]$ et leur somme vaut $\big((1-t)+t\big)^2 = 1$ : $M$ est encore une moyenne pondérée des points de contrôle. Quand $t$ parcourt $[0\,;1]$, $M$ décrit une courbe de Bézier de degré 2. On vérifie avec $t = \frac{1}{4}$ : les poids valent $\frac{9}{16}$, $\frac{6}{16}$ et $\frac{1}{16}$, et l'abscisse vaut $\frac{6}{16}\times 2 + \frac{1}{16}\times 4 = 1$, l'ordonnée $\frac{6}{16}\times 4 = 1{,}5$, comme à la main.

Quelle courbe obtient-on ? Avec nos trois points, les coordonnées de $M$ sont

Comme $t = \frac{x}{4}$, on obtient $y = 8\times\frac{x}{4}\left(1-\frac{x}{4}\right) = \frac{x(4-x)}{2}$ : c'est un arc de parabole. C'est un fait général : une courbe de Bézier de degré 2 est toujours un morceau de parabole (voir le texte La parabole et son foyer).

Une parabole ne peut pas changer de sens de courbure : elle ne sait pas dessiner un « S ». Bézier utilise donc quatre points de contrôle $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$. La courbe part de $A_0$, est attirée par $A_1$ puis par $A_2$, et arrive en $A_3$. On recommence la même construction, avec un étage de plus :

1. sur les trois segments $[A_0A_1]$, $[A_1A_2]$, $[A_2A_3]$, on place $P_0$, $P_1$ et $P_2$ avec le même rapport $t$ ;
2. sur $[P_0P_1]$ et $[P_1P_2]$, on place $Q_0$ et $Q_1$ ;
3. sur $[Q_0Q_1]$, on place le point $M$ de la courbe.

À la main. Prenons $A_0(0\,;0)$, $A_1(1\,;3)$, $A_2(4\,;3)$, $A_3(5\,;0)$ et $t = \frac{1}{2}$.

La figure ci-dessous refait cette construction pour toutes les valeurs de $t$ : déplacez le curseur, puis déplacez les points de contrôle bleus avec le doigt ou la souris.

Comme avec trois points, on remplace chaque étage par son expression. Le deuxième étage d'abord, avec le calcul fait pour trois points :

Puis $M = (1-t)Q_0 + tQ_1$. On regroupe les termes en $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ :

• $A_0$ n'apparaît que dans $Q_0$ : coefficient $(1-t)^3$ ;
• $A_1$ apparaît dans les deux : $(1-t)\times 2t(1-t)$ $+\; t(1-t)^2$ $= 3t(1-t)^2$ ;
• $A_2$ : $(1-t)t^2$ $+\; t\times 2t(1-t)$ $= 3t^2(1-t)$ ;
• $A_3$ n'apparaît que dans $Q_1$ : coefficient $t^3$.

D'où la formule des courbes de Bézier de degré 3, celles que Bézier utilisait. En notant $b_0 = (1-t)^3$, $b_1 = 3t(1-t)^2$, $b_2 = 3t^2(1-t)$ et $b_3 = t^3$ :

En développant les poids, on retrouve les quatre polynômes que l'on attribue à Bézier : $-t^3 + 3t^2 - 3t + 1$, $3t^3 - 6t^2 + 3t$, $-3t^3 + 3t^2$ et $t^3$. On vérifie la formule sur l'exemple, avec $t = \frac{1}{2}$ : les poids valent $\frac{1}{8}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{1}{8}$, donc

exactement le point trouvé avec les milieux.

Les quatre poids sont positifs sur $[0\,;1]$ et leur somme vaut $\big((1-t)+t\big)^3 = 1$. Conséquence : chaque coordonnée de $M$ est comprise entre la plus petite et la plus grande coordonnée correspondante des points de contrôle. Par exemple $0 \leqslant y_M \leqslant 3$ sur notre exemple. Plus précisément, la courbe reste dans le plus petit polygone convexe qui contient les points de contrôle. C'est précieux pour un ingénieur : en regardant les points de contrôle, on sait d'avance dans quelle zone la courbe se trouvera, sans rien calculer.

Avec les quatre points de l'exemple, la formule donne, pour $t\in[0\,;1]$ :

On étudie chacune comme une fonction de terminale.

• $x'(t) = 3 + 12t - 12t^2$ $= 3 + 12t(1-t)$. Sur $[0\,;1]$, $t(1-t) \geqslant 0$, donc $x'(t) \geqslant 3 > 0$ : $x$ est strictement croissante, de $x(0) = 0$ à $x(1) = 5$. Le point avance toujours vers la droite.
• $y'(t) = 9 - 18t$, positive sur $\left[0\,;\frac{1}{2}\right]$ et négative sur $\left[\frac{1}{2}\,;1\right]$ : $y$ croît de $0$ à $y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{4}$, puis redescend à $0$.

Le point le plus haut de la courbe est donc $M(2{,}5\,;2{,}25)$, obtenu pour $t = \frac{1}{2}$. Il est nettement plus bas que les points $A_1$ et $A_2$ (d'ordonnée $3$) : la courbe est attirée par eux sans les atteindre.

Pour un petit nombre $h$, le nombre dérivé donne $x(t+h) \approx x(t) + h\,x'(t)$ et $y(t+h) \approx y(t) + h\,y'(t)$. Le point se déplace donc presque selon le vecteur de coordonnées $\big(h\,x'(t)\,;h\,y'(t)\big)$. On admet que le vecteur $\vec{v}(t)$ de coordonnées $\big(x'(t)\,;y'(t)\big)$, s'il n'est pas nul, dirige la tangente à la courbe au point de paramètre $t$. En physique, c'est le vecteur vitesse d'un mobile dont $t$ serait le temps.

Aux extrémités, sur l'exemple. $\vec{v}(0)$ a pour coordonnées $(3\,;9)$, c'est-à-dire $3\,\overrightarrow{A_0A_1}$ puisque $\overrightarrow{A_0A_1}(1\,;3)$. De même $\vec{v}(1)$ a pour coordonnées $(3\,;-9)$ $= 3\,\overrightarrow{A_2A_3}$.

Dans le cas général. Dérivons les poids : on note $b_0(t) = (1-t)^3$, $b_1(t) = 3t(1-t)^2$, $b_2(t) = 3t^2(1-t)$ et $b_3(t) = t^3$.

• $b_0'(t) = -3(1-t)^2$, donc $b_0'(0) = -3$ ;
• $b_1'(t) = 3(1-t)^2 - 6t(1-t)$, donc $b_1'(0) = 3$ ;
• $b_2'(t) = 6t(1-t) - 3t^2$ et $b_3'(t) = 3t^2$ s'annulent en $0$.

Comme $x(t) = \sum_{k=0}^{3} b_k(t)\,x_k$, on obtient $x'(0) = 3(x_1 - x_0)$, et de même $y'(0) = 3(y_1 - y_0)$. Donc

et, de même avec les dérivées en $1$,

La courbe part de $A_0$ en direction de $A_1$, et arrive en $A_3$ en venant de la direction de $A_2$. C'est ce qui rend la méthode si commode : les deux points intermédiaires sont des « poignées » qui règlent les tangentes au départ et à l'arrivée. Plus on éloigne une poignée, plus la vitesse au départ est grande, et plus la courbe « colle » longtemps à cette direction.

Avec $n + 1$ points de contrôle $A_0$, …, $A_n$, on recommence le même geste autant de fois qu'il le faut : chaque étage remplace une liste de points par la liste, plus courte d'un point, des points placés au rapport $t$ sur les segments consécutifs. Après $n$ étages, il ne reste qu'un point : c'est le point $M$ de la courbe. Paul de Casteljau utilisait cette construction chez Citroën dès la fin des années 1950 ; elle se fait à la règle et ne demande que des additions et des multiplications.

La construction de de Casteljau pour quatre points, animée. Animation : Phil Tregoning, Wikimedia Commons, domaine public.

Pour trois et quatre points, on a vu que le résultat est une moyenne pondérée des points de contrôle, avec les poids $1$, $2$, $1$ puis $1$, $3$, $3$, $1$ devant les puissances de $t$ et de $1-t$. On reconnaît des lignes du triangle de Pascal. Démontrons-le pour tout $n$.

On note $\mathcal{P}(n)$ cette propriété et on la démontre par récurrence.

Le triangle de Pascal (voir le texte Le triangle de Pascal) apparaît ainsi deux fois : dans les coefficients, et dans la forme même de l'algorithme, qui construit un triangle de points étage par étage.

Le programme suivant calcule des points de la courbe des deux façons, par l'algorithme (une boucle qui raccourcit la liste) et par la formule, sur l'exemple à quatre points.

Pour $t = 0{,}25$, les deux calculs donnent $(1{,}0625\,;1{,}6875)$ ; on le retrouve avec $x(t) = 3t + 6t^2 - 4t^3$ et $y(t) = 9t(1-t)$. En informatique, on préfère souvent l'algorithme : il est très stable vis-à-vis des erreurs d'arrondi (voir La théorie des erreurs), et il permet de couper une courbe en deux morceaux : les points $A_0$, $P_0$, $Q_0$, $M$ sont les points de contrôle de la première moitié, et $M$, $Q_1$, $P_2$, $A_3$ ceux de la seconde.

Les poids qui apparaissent dans la formule s'appellent les polynômes de Bernstein : pour $n$ entier et $0 \leqslant k \leqslant n$,

Ils portent le nom du mathématicien russe Sergueï Bernstein, qui les a introduits en 1912, bien avant les ordinateurs, pour démontrer qu'on peut approcher n'importe quelle fonction continue sur $[0\,;1]$ par des polynômes. Sa démonstration utilisait… le calcul des probabilités.

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $t$ : le nombre de succès quand on répète $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve qui réussit avec la probabilité $t$. Le cours de terminale donne

Le polynôme de Bernstein $B_k^n(t)$ est exactement la probabilité d'obtenir $k$ succès. On en déduit sans calcul trois propriétés.

1. Les poids sont positifs, ce sont des probabilités.
2. Leur somme vaut $1$, puisque $X$ prend forcément l'une des valeurs $0$, …, $n$ : $$\sum_{k=0}^{n} B_k^n(t) = 1.$$ C'est aussi la formule du binôme de Newton appliquée à $\big(t + (1-t)\big)^n = 1^n = 1$.
3. Le point de la courbe est une espérance. Tirons un indice $X$ au hasard selon cette loi binomiale et regardons le point de contrôle $A_X$. L'abscisse moyenne de ce point aléatoire est $\sum_k P(X = k)\,x_k = x_M$. Le point $M$ de la courbe est le point moyen de $A_X$.

Cette lecture explique la forme de la courbe. Quand $t$ est proche de $0$, $X$ vaut presque toujours $0$ et $M$ est près de $A_0$. Quand $t$ augmente, l'espérance $E(X) = nt$ augmente, et ce sont les points de contrôle d'indice proche de $nt$ qui « pèsent » le plus. Les points de contrôle attirent la courbe chacun à leur tour.

Une conséquence. Si les abscisses des points de contrôle sont régulièrement espacées, $x_k = \frac{k}{n}$, alors $x_M = \sum_k P(X=k)\frac{k}{n} = \frac{E(X)}{n} = \frac{nt}{n} = t$. L'abscisse du point de paramètre $t$ est alors $t$ lui-même : la courbe est le graphe de la fonction $t \mapsto \sum_k B_k^n(t)\,y_k$. C'est la construction de Bernstein : pour approcher une fonction $f$ continue, il prend $y_k = f\left(\frac{k}{n}\right)$. Plus $n$ est grand, plus il est probable que la fréquence $\frac{X}{n}$ soit proche de $t$ (loi des grands nombres), et plus la moyenne des $f\left(\frac{X}{n}\right)$ est proche de $f(t)$.

Pour $1 \leqslant k \leqslant n - 1$, dérivons $g(t) = t^k(1-t)^{n-k}$ sur $[0\,;1]$ (le coefficient binomial ne change pas les variations). Avec la dérivée d'un produit, et en notant $h(t) = t^{k-1}(1-t)^{n-k-1}$ :

Avec $u(t) = t^k$ et $v(t) = (1-t)^{n-k}$, on a $u'(t)v(t) = kt^{k-1}(1-t)^{n-k}$ $= k\,h(t)(1-t)$ et $u(t)v'(t)$ $= -(n-k)t^k(1-t)^{n-k-1}$ $= -(n-k)\,h(t)\,t$. Donc

Sur $]0\,;1[$, le facteur $h(t)$ est strictement positif : $g'(t)$ a le signe de $k - nt$, positif avant $\frac{k}{n}$ et négatif après. Le poids $B_k^n$ est maximal en $t = \frac{k}{n}$ : c'est à ce moment-là que le point $A_k$ attire le plus la courbe. La figure montre les $n + 1$ polynômes ; pour chaque valeur de $t$, leurs valeurs s'ajoutent pour faire $1$.

Une police de caractères moderne ne stocke pas des images des lettres, mais leurs contours, sous forme de morceaux de droites et de courbes de Bézier. C'est ce qui permet d'afficher la même lettre nette à toutes les tailles, d'une note de bas de page à une affiche : on multiplie les coordonnées des points de contrôle par l'échelle voulue, et l'on recalcule la courbe. Cela fonctionne parce qu'une courbe de Bézier se transforme bien : l'image par un agrandissement (ou une rotation, une translation) de la courbe est la courbe de Bézier des images des points de contrôle, puisque $M$ est une moyenne pondérée des points de contrôle.

• Le langage PostScript d'Adobe (1984), puis le format PDF et les polices dites « Type 1 » et OpenType « CFF », utilisent des courbes de degré 3.
• Le format TrueType, lancé par Apple au début des années 1990, utilise des courbes de degré 2 : des arcs de parabole, plus rapides à calculer, mais il en faut davantage pour une même lettre.
• Le format d'images SVG du web propose les deux : dans un chemin, la commande Q trace une courbe de degré 2, et la commande C une courbe de degré 3 à partir de deux poignées et d'un point d'arrivée.

Quand l'ordinateur affiche la lettre, il doit transformer chaque courbe en pixels. L'algorithme de de Casteljau, appliqué avec $t = \frac{1}{2}$, coupe une courbe en deux moitiés dont il donne les points de contrôle. On recommence jusqu'à ce que chaque morceau soit presque droit (ses points de contrôle presque alignés), puis on trace des segments. C'est un algorithme récursif, un thème central en NSI.

Sur un téléphone, une fenêtre qui s'ouvre ne se déplace pas à vitesse constante : elle démarre vite et ralentit en arrivant. Les feuilles de style du web (CSS) règlent ce mouvement par une courbe de Bézier de degré 3, notée cubic-bezier(x1, y1, x2, y2). Ses points de contrôle sont $A_0(0\,;0)$, $A_1(x_1\,;y_1)$, $A_2(x_2\,;y_2)$ et $A_3(1\,;1)$. L'abscisse représente la fraction de la durée écoulée, l'ordonnée la fraction du trajet parcourue. La courbe appelée ease, utilisée par défaut, est cubic-bezier(0.25, 0.1, 0.25, 1).

Avec ces points, la formule donne

Question : quelle fraction du trajet est faite à la moitié de la durée ? Il faut trouver $t$ tel que $x(t) = 0{,}5$, puis calculer $y(t)$.

• $x'(t) = 3t^2 - 1{,}5t + 0{,}75$ a pour discriminant $2{,}25 - 9 < 0$ : $x'$ est toujours positive, $x$ est strictement croissante et continue sur $[0\,;1]$, de $0$ à $1$.
• D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $x(t) = 0{,}5$ a une unique solution, que l'on approche par dichotomie (voir Approximation des solutions d'une équation).

Résultat : à la moitié de la durée, $t \approx 0{,}6996$ et $y \approx 0{,}802$ : l'élément a déjà parcouru 80 % de son trajet. Au quart de la durée, il en est à environ 41 %, aux trois quarts à 96 %. Le bouton ci-dessous lance trois billes sur la même durée, avec trois courbes différentes.

Les trois billes partent et arrivent en même temps, mais pas de la même façon. La troisième a ses poignées horizontales : d'après l'étude des tangentes, sa vitesse est nulle au départ et à l'arrivée, d'où l'impression de douceur. Les jeux vidéo et les films d'animation règlent de la même façon le mouvement de leurs personnages entre deux positions clés.

Le but de Bézier était de décrire des surfaces de carrosserie. L'idée se prolonge avec deux paramètres $u$ et $v$ : on se donne une grille de $4\times 4$ points de contrôle. Pour une valeur de $u$, chacune des quatre lignes de la grille donne un point par la formule de degré 3 ; ces quatre points servent à leur tour de points de contrôle d'une courbe, parcourue avec le paramètre $v$. Quand $u$ et $v$ varient dans $[0\,;1]$, on obtient un « carreau » de surface, qu'on modifie en déplaçant les seize points. La modélisation en trois dimensions (conception assistée par ordinateur, impression 3D, images de synthèse) repose encore sur ces carreaux et sur leurs généralisations.

La plaque du passage Pierre-Bézier à Boulogne-Billancourt, où se trouvaient les usines Renault. Photo : Chabe01, Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 4.0.

Pierre Bézier (1910-1999), ingénieur des Arts et Métiers et de Supélec, entre chez Renault en 1933 et y fait toute sa carrière. Après la guerre, il conçoit des machines-transfert qui déplacent automatiquement les pièces d'un poste d'usinage au suivant, une étape importante de l'automatisation de l'industrie. Mis à l'écart dans les années 1960, il lance presque seul, avec une petite équipe, le système de dessin et d'usinage numérique Unisurf, dont l'ordinateur est installé en 1968. Il soutient en 1977 une thèse de doctorat d'État sur la définition numérique des courbes et des surfaces.

Une anecdote, racontée par Bézier lui-même et rapportée avec des variantes : pour que ses collègues acceptent des formules venues d'un ingénieur maison, il les aurait présentées comme l'œuvre d'un mathématicien célèbre, un certain Onésime Durand… qui n'a jamais existé. Le nom de « courbes de Bézier » s'est imposé plus tard, d'abord dans les universités américaines et britanniques, où l'on a remarqué, au début des années 1970, que ses poids étaient les polynômes de Bernstein.

Paul de Casteljau (1930-2022), physicien et mathématicien de formation, entre chez Citroën en 1958 pour résoudre le même problème. Il met au point la construction par segments successifs et les « formes à pôles », décrites dans des rapports internes vers 1959 et 1963. Mais Citroën tient au secret : ses travaux restent confidentiels, et il ne publie un livre qu'en 1985. Bézier, qui avait publié ses travaux, a donné son nom aux courbes ; de Casteljau a donné le sien à l'algorithme. Les deux ingénieurs sont arrivés au même objet par deux chemins différents, l'un par une formule, l'autre par une construction géométrique, et la démonstration par récurrence de ce texte montre pourquoi ces deux chemins mènent au même endroit.

L'histoire illustre une tension réelle entre la recherche industrielle, qui protège ses découvertes pour garder un avantage sur ses concurrents, et la science, qui progresse en publiant. Elle montre aussi que des idées mathématiques importantes ne viennent pas toujours des universités.