En terminale, une parabole est d'abord la courbe d'une fonction du second degré. Pour étudier sa propriété optique, on la place de la façon la plus simple : sommet à l'origine, axe vertical. Son équation est alors

où $f > 0$ est un nombre que l'on appelle la distance focale. On appelle foyer le point $F(0\,;f)$, situé sur l'axe à la distance $f$ du sommet, et directrice la droite $d$ d'équation $y = -f$, située à la même distance de l'autre côté du sommet.

La démonstration est un calcul de distances. Soit $M(x\,;y)$ un point du plan et $H(x\,;-f)$ son projeté sur la directrice. On a $MH = |y + f|$ et, d'après la formule de la distance, $MF^2 = x^2 + (y - f)^2$. Comme ces longueurs sont positives, $MF = MH$ équivaut à $MF^2 = MH^2$, c'est-à-dire à

En développant les deux carrés, les termes $y^2$ et $f^2$ apparaissent des deux côtés et se simplifient :

soit $x^2 = 4fy$, c'est-à-dire $y = \dfrac{x^2}{4f}$.

Cette définition ne fait plus référence à des axes : c'est elle que les géomètres grecs utilisaient, et c'est elle qui permet de dessiner une parabole avec une règle, une équerre et une ficelle. La figure ci-dessous permet de le vérifier en déplaçant le point $M$.

La loi de la réflexion. Quand un rayon lumineux frappe un miroir, il repart de façon que l'angle entre le rayon réfléchi et le miroir soit égal à l'angle entre le rayon incident et le miroir, de l'autre côté de la normale. Sur un miroir courbe, on applique cette loi avec la tangente au point d'impact : localement, le miroir se comporte comme un miroir plan tangent à la courbe. La loi vaut aussi pour les ondes radio et pour le son.

Démonstration. Soit $M\left(a\,;\dfrac{a^2}{4f}\right)$ un point de la parabole, avec $a \neq 0$. La fonction $x \mapsto \dfrac{x^2}{4f}$ a pour dérivée $x \mapsto \dfrac{x}{2f}$, donc la tangente en $M$ a pour équation

Elle coupe l'axe de la parabole (l'axe des ordonnées) au point $T$ d'abscisse $0$ : $y = -\dfrac{a^2}{2f} + \dfrac{a^2}{4f} = -\dfrac{a^2}{4f}$, donc $T\left(0\,;-\dfrac{a^2}{4f}\right)$. Comparons maintenant deux longueurs.

• $F$ et $T$ sont sur l'axe, donc $FT = f + \dfrac{a^2}{4f}$.
• D'après la définition géométrique, $MF$ est égal à la distance de $M$ à la directrice, c'est-à-dire $\dfrac{a^2}{4f} + f$.

Ainsi $FT = FM$ : le triangle $FMT$ est isocèle en $F$, et ses angles en $M$ et en $T$ sont égaux. Or le rayon incident arrive verticalement, parallèlement à l'axe $(TF)$. L'angle qu'il fait avec la tangente est donc égal à l'angle en $T$ (ce sont des angles correspondants), donc à l'angle en $M$ entre la tangente et la droite $(MF)$. Le rayon qui repart vers $F$ fait avec la tangente le même angle que le rayon incident : c'est exactement la loi de la réflexion. Le rayon réfléchi passe donc par $F$, quel que soit le point $M$.

Et les rayons qui ne sont pas parallèles à l'axe ? La propriété ne vaut que pour eux. Si le faisceau arrive de biais, les rayons ne se croisent plus en un seul point : l'image devient floue. C'est pourquoi une antenne doit être pointée exactement vers le satellite, et un four solaire face au Soleil. La figure ci-dessous permet aussi de comparer avec un miroir en arc de cercle : près de l'axe, le cercle de rayon $2f$ ressemble beaucoup à la parabole (c'est son cercle osculateur au sommet), mais les rayons qui frappent le bord du miroir se croisent trop près du sommet. Cette aberration de sphéricité est le défaut des miroirs sphériques, plus faciles à fabriquer.

Les Grecs n'obtenaient pas la parabole comme courbe d'une fonction, mais en coupant un cône par un plan. Selon l'inclinaison du plan, on obtient un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole : ce sont les coniques. Le calcul se fait avec la géométrie dans l'espace de terminale.

Plaçons-nous dans un repère orthonormé de l'espace. Le cône de sommet $O$ et d'axe $(Oz)$ dont les génératrices font un angle de $45^\circ$ avec l'axe est l'ensemble des points $M(x\,;y\,;z)$ tels que

En effet, la distance de $M$ à l'axe $(Oz)$ est $\sqrt{x^2 + y^2}$, et sur ce cône elle est égale à la hauteur $|z|$. La droite d'équations $x = 0$ et $z = y$ est une génératrice : elle est contenue dans le cône. Coupons maintenant le cône par le plan $P$ d'équation $z = ky + c$, avec $c > 0$ : le nombre $k$ règle son inclinaison. Un point de $P$ est sur le cône si et seulement si

c'est-à-dire, en développant,

Tout se joue sur le coefficient $1 - k^2$.

• Si $k = 0$, le plan est horizontal : $x^2 + y^2 = c^2$, c'est un cercle.
• Si $0 < k < 1$, le plan est moins incliné que les génératrices : les coefficients de $x^2$ et $y^2$ sont positifs, la courbe est fermée, c'est une ellipse.
• Si $k = 1$, le plan est parallèle à la génératrice $z = y$ : le terme en $y^2$ disparaît et il reste $x^2 = 2cy + c^2$, soit $y = \dfrac{x^2}{2c} - \dfrac{c}{2}$ : c'est une parabole.
• Si $k > 1$, le plan est plus incliné que les génératrices et coupe les deux nappes du cône : c'est une hyperbole, en deux morceaux.

Un détail de rigueur : l'équation obtenue relie l'abscisse $x$ et l'ordonnée $y$ des points de la section, c'est-à-dire l'équation de sa projection sur le plan $(xOy)$. Dans le plan $P$ lui-même, la distance parcourue quand $y$ augmente de $1$ est $\sqrt{1 + k^2}$ : la vraie courbe est étirée dans une direction par ce facteur. Un tel étirement transforme une parabole en parabole, une ellipse en ellipse et une hyperbole en hyperbole, donc la conclusion ne change pas.

Les noms viennent d'Apollonius de Perge (vers 200 avant notre ère), qui les a choisis d'après la façon dont une aire se compare à une autre dans sa construction : parabolê, « mise à côté, égalité », elleipsis, « manque », et hyperbolê, « excès ». On retrouve les mêmes mots dans la parabole d'un récit, l'ellipse d'une phrase et l'hyperbole d'une exagération.

Les coniques apparaissent vers 350 avant notre ère chez le Grec Ménechme, qui s'en sert pour résoudre le problème de la duplication du cube. Apollonius leur consacre ensuite les huit livres de ses Coniques. La propriété du foyer de la parabole est démontrée par Dioclès, vers 200 avant notre ère, dans un traité intitulé Sur les miroirs ardents, qui cherche quelle forme donner à un miroir pour enflammer un objet avec la lumière du Soleil. L'original grec est perdu ; le texte nous est parvenu par une traduction arabe, retrouvée et publiée au XX^e siècle.

Les savants de langue arabe reprennent la question. En 984, à Bagdad, Ibn Sahl écrit lui aussi un traité Sur les miroirs et les lentilles ardents, où il étudie les miroirs paraboliques et ellipsoïdaux et énonce la loi de la réfraction de la lumière, plus de six siècles avant Snell et Descartes. Au XI^e siècle, Ibn al-Haytham (Alhazen), au Caire, étudie à son tour les miroirs paraboliques dans ses travaux d'optique, traduits en latin et lus dans toute l'Europe.

Une légende tenace raconte qu'Archimède aurait incendié la flotte romaine qui assiégeait Syracuse, en 212 avant notre ère, à l'aide de miroirs. Les historiens de l'époque n'en disent rien ; le récit n'apparaît que plusieurs siècles plus tard. En 1747, le naturaliste Buffon enflamme du bois à plusieurs dizaines de mètres avec un grand assemblage de miroirs plans, et des expériences modernes ont montré qu'on peut enflammer une maquette de bateau dans des conditions idéales : Soleil fort, cible immobile, longue exposition. Face à des navires en mouvement, l'exploit reste très peu crédible.

Le mot « foyer » lui-même a une histoire. C'est Johannes Kepler qui, en 1604, appelle focus (en latin, « le foyer, l'âtre où brûle le feu ») le point où un miroir concentre la lumière du Soleil, et donc la chaleur. Quelques années plus tard, en 1609, il découvre que les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer : le mot passe de l'optique à l'astronomie. En 1638, Galilée montre que la trajectoire d'un projectile est une parabole.

Par temps clair, le Soleil apporte au sol une puissance d'environ $1\,000$ watts par mètre carré, que l'on appelle l'éclairement. C'est beaucoup sur une grande surface, mais trop dilué pour atteindre de hautes températures. Un miroir parabolique tourné vers le Soleil rassemble au foyer toute la puissance reçue par son ouverture. Si l'ouverture est un disque de rayon $R$, la puissance collectée est au plus

Un cuiseur solaire de $1{,}4$ m de diamètre collecte ainsi au plus $1\,000 \times \pi \times 0{,}7^2 \approx 1\,540$ W, la puissance d'une plaque de cuisson. Ces cuiseurs sont utilisés dans des régions ensoleillées où le bois de chauffe se raréfie : ils limitent la déforestation et la fumée respirée dans les cuisines.

Le four solaire d'Odeillo. À Font-Romeu-Odeillo-Via, dans les Pyrénées-Orientales, le CNRS met en service en 1970 le plus grand four solaire du monde, conçu par l'équipe du chimiste Félix Trombe, qui avait construit en 1949 un premier four à Mont-Louis, tout près. Son miroir parabolique, haut d'une cinquantaine de mètres, est formé de près de dix mille petits miroirs. Mais une parabole aussi grande ne peut pas suivre le Soleil. Les ingénieurs ont donc inversé le problème : sur la pente en face, $63$ héliostats, des miroirs plans orientables, suivent le Soleil et renvoient ses rayons vers la parabole, toujours parallèlement à son axe. C'est la propriété du foyer qui impose ce montage : elle ne fonctionne que pour des rayons parallèles à l'axe. Au foyer, la lumière est concentrée environ dix mille fois ; la température dépasse $3\,000$ °C, et la puissance atteint un mégawatt. Le four sert à étudier des matériaux soumis à des températures extrêmes, par exemple pour les boucliers thermiques des engins spatiaux.

Le miroir parabolique du four solaire d'Odeillo. Le foyer se trouve dans la tour placée devant lui. Photo : Jose Blanco, Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 3.0.

Vue d'ensemble : à droite, les héliostats en terrasses renvoient la lumière du Soleil vers la parabole, parallèlement à son axe. Photo : H. Zell, Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 3.0.

Les centrales solaires thermiques. Pour produire de l'électricité, on utilise souvent des miroirs cylindro-paraboliques : de longues gouttières dont la section est une parabole. Ils ne concentrent pas la lumière en un point, mais sur une ligne, la ligne focale, le long de laquelle court un tube où circule un fluide (une huile ou des sels fondus). Chauffé à près de $400$ °C, ce fluide produit de la vapeur qui fait tourner une turbine, comme dans une centrale classique. Ces gouttières n'ont besoin de pivoter que selon un seul axe pour suivre le Soleil. De grandes centrales de ce type fonctionnent dans le désert de Californie depuis les années 1980, et en Espagne, en Andalousie, où les sels fondus stockent la chaleur pour produire encore de l'électricité après le coucher du Soleil. Une autre technique, la centrale à tour, utilise un champ d'héliostats qui visent le sommet d'une tour ; la centrale Thémis, construite en 1983 à Targassonne, à quelques kilomètres d'Odeillo, en est un exemple.

Miroirs cylindro-paraboliques d'une centrale solaire près de Harper Lake, en Californie. Le tube qui court le long de la ligne focale reçoit la lumière concentrée. Photo : Z22, Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 3.0.

Des fleurs qui sont des fours solaires. Le vivant a aussi « découvert » la concentration du rayonnement. Dans l'Arctique, certaines fleurs, comme le pavot arctique ou la dryade, ont une corolle en forme de coupe et suivent le Soleil au cours de la journée (c'est l'héliotropisme). Le biologiste Peter Kevan a montré en 1975 que le centre de ces fleurs est plus chaud de plusieurs degrés que l'air ambiant. Les insectes viennent s'y réchauffer, et les pollinisent au passage ; la chaleur favorise aussi le développement des graines. La fleur joue à la fois le rôle de la parabole et celui de l'héliostat. Elle n'est évidemment pas une parabole exacte, mais le principe est le même : une surface concave orientée vers le Soleil concentre l'énergie.

Calculer avec la parabole. L'aire et le volume d'un miroir parabolique se calculent avec des intégrales. Coupons la parabole $y = \dfrac{x^2}{4f}$ par la droite horizontale $y = h$ : les points d'intersection ont pour abscisses $\pm R$ avec $R^2 = 4fh$. L'aire du segment de parabole, entre la droite et la courbe, vaut

Comme $\dfrac{R^3}{6f} = \dfrac{R \times 4fh}{6f} = \dfrac{2}{3}Rh$, on obtient $\mathcal{A} = \dfrac{4}{3}Rh$. Le triangle inscrit, de base $2R$ et de hauteur $h$, a pour aire $Rh$ : le segment de parabole vaut les quatre tiers du triangle. C'est la célèbre quadrature de la parabole d'Archimède, qui l'avait obtenue vers 250 avant notre ère, sans intégrale, par une somme de triangles de plus en plus petits.

La relation $R^2 = 4fh$ donne aussi la profondeur d'un miroir : $h = \dfrac{R^2}{4f}$. Une antenne de $60$ cm de diamètre et de $35$ cm de distance focale n'a que $\dfrac{0{,}3^2}{4 \times 0{,}35} \approx 0{,}064$ m de profondeur : environ $6$ cm.

Les antennes de télévision par satellite. Les satellites de télévision sont géostationnaires : placés à environ $35\,800$ km d'altitude au-dessus de l'équateur, ils font le tour de la Terre en un jour et paraissent immobiles dans le ciel. L'idée avait été proposée en 1945 par l'écrivain et ingénieur Arthur C. Clarke ; en 1964, le satellite Syncom 3 retransmet aux États-Unis les Jeux olympiques de Tokyo. Une source aussi lointaine envoie des ondes qui arrivent pratiquement parallèles : l'antenne parabolique, pointée vers le satellite, les concentre sur la « tête » placée au foyer. Les ondes de télévision ont une fréquence d'environ $11$ GHz, donc une longueur d'onde $\lambda = \dfrac{c}{f} \approx \dfrac{3\times10^8}{1{,}1\times10^{10}} \approx 2{,}7$ cm ; une surface métallique lisse à quelques millimètres près suffit pour les réfléchir correctement.

La plupart des antennes domestiques sont décentrées (on dit offset) : ce sont des morceaux d'une parabole plus grande, découpés à côté de son axe. La tête, placée au foyer, ne fait alors pas d'ombre sur le miroir. C'est pourquoi ces antennes semblent pointer vers le sol alors qu'elles visent un satellite situé assez haut dans le ciel : l'axe de la parabole ne passe pas par le centre de l'antenne.

Une antenne décentrée : la tête, au foyer, est portée par un bras en dessous du miroir. Photo : JePe, Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 3.0.

Les radiotélescopes. Les astres émettent aussi des ondes radio, très faibles. Pour les capter, on construit d'immenses paraboles : plus l'ouverture est grande, plus elle recueille d'énergie (proportionnellement à $\pi R^2$), et plus elle distingue de détails. Le radiotélescope d'Effelsberg, en Allemagne, mis en service en 1972, mesure $100$ mètres de diamètre et peut s'orienter vers n'importe quel point du ciel. En Chine, le radiotélescope FAST, achevé en 2016, est installé dans une cuvette naturelle : son réflecteur de $500$ mètres est formé de milliers de panneaux qui se déplacent pour dessiner, à chaque observation, une parabole de $300$ mètres dirigée vers l'astre visé.

Le radiotélescope d'Effelsberg (Allemagne), $100$ m de diamètre. Le récepteur principal est placé au foyer, au sommet des quatre bras. Photo : Raimond Spekking, Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 4.0.

Les télescopes. Une lunette concentre la lumière avec des lentilles, un télescope avec un miroir. En 1668, Isaac Newton construit le premier télescope à miroir qui fonctionne ; il sait que la forme idéale serait une parabole, mais ne parvient à tailler qu'un miroir sphérique. Il faut attendre 1721 pour que John Hadley réussisse un bon miroir parabolique. Aujourd'hui, tous les grands télescopes sont à miroirs, souvent associés à un second miroir en forme d'hyperbole (montage imaginé par le Français Laurent Cassegrain en 1672). La forme doit être exacte à une fraction de la longueur d'onde de la lumière, soit quelques dizaines de nanomètres. Le télescope spatial Hubble l'a appris à ses dépens : lancé en 1990, il donnait des images floues, car le bord de son miroir principal était trop plat d'environ deux micromètres, environ un trentième de l'épaisseur d'un cheveu. Une mission de réparation a installé en 1993 des optiques correctrices, comme des lunettes.

Un miroir liquide. La physique offre une façon étonnante d'obtenir une parabole parfaite. Quand on fait tourner un récipient rempli de liquide autour d'un axe vertical, à vitesse angulaire constante $\omega$ (en radians par seconde), la surface se creuse. On démontre avec les lois de Newton qu'elle prend exactement la forme d'un paraboloïde d'équation $z = \dfrac{\omega^2}{2g}\,r^2$, où $r$ est la distance à l'axe et $g \approx 9{,}81$ m/s². En comparant avec $z = \dfrac{r^2}{4f}$, la distance focale vaut

Un bassin qui fait un tour en $8$ secondes tourne à $\omega = \dfrac{2\pi}{8} \approx 0{,}785$ rad/s et a une distance focale $f \approx \dfrac{9{,}81}{2 \times 0{,}617} \approx 7{,}9$ m. Des astronomes ont construit des télescopes dont le miroir est une cuve de mercure en rotation : c'est bien moins cher qu'un miroir taillé, mais il ne peut viser que le zénith, la verticale du lieu. Le même principe sert à fabriquer les grands miroirs de verre : on fond le verre dans un four tournant, et il se fige en forme de paraboloïde.

Phares et projecteurs. Un chemin de lumière peut toujours être parcouru dans l'autre sens. Une lampe placée au foyer d'un miroir parabolique envoie donc tous ses rayons parallèlement à l'axe : au lieu de s'étaler dans toutes les directions, la lumière forme un faisceau qui porte loin. C'est le principe des projecteurs, des lampes de poche et des anciens phares de voiture. Les phares modernes utilisent des surfaces plus complexes, calculées par ordinateur, pour éclairer la route sans éblouir les conducteurs d'en face.

Micros paraboliques. Le son se réfléchit lui aussi. Un micro placé au foyer d'une parabole de quelques dizaines de centimètres capte les sons venus d'une direction précise et ignore les autres : on en voit au bord des terrains de sport, pour enregistrer les bruits du jeu, et les ornithologues s'en servent pour enregistrer le chant d'un oiseau éloigné.

L'ellipse et ses deux foyers. Une ellipse est l'ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes, ses foyers $F_1$ et $F_2$, est constante. Sa propriété optique est la suivante : tout rayon issu d'un foyer se réfléchit en passant par l'autre. Mieux : tous ces chemins ont la même longueur, puisque $MF_1 + MF_2$ est constant. Une onde émise en $F_1$ arrive donc en $F_2$ au même instant par tous les chemins, et toute son énergie s'y concentre d'un coup.

La médecine exploite cette propriété depuis 1980 dans la lithotripsie extracorporelle, qui détruit les calculs rénaux sans opération : une onde de choc est produite au foyer d'un réflecteur en forme d'ellipsoïde, et le patient est placé de façon que le calcul se trouve à l'autre foyer. L'onde traverse les tissus sans les abîmer, car elle y est dispersée, et ne devient assez forte pour briser le calcul qu'au point où elle se concentre. Le même phénomène explique les « salles des murmures » à voûte elliptique, où une personne placée à un foyer entend une autre qui chuchote à l'autre foyer, à plusieurs mètres.

L'hyperbole. Une hyperbole est l'ensemble des points dont la différence des distances à deux foyers est constante. Un rayon qui se dirige vers l'un de ses foyers est renvoyé vers l'autre. C'est pourquoi le second miroir des télescopes de type Cassegrain est hyperbolique : il intercepte la lumière qui converge vers le foyer du miroir principal et la renvoie, à travers un trou percé au centre de ce miroir, vers un foyer situé derrière lui, où l'on place la caméra. Le télescope devient ainsi beaucoup plus court.

Les trois coniques et le cercle forment une seule famille, celle des sections d'un cône. Leur propriété commune la plus profonde est celle qui sert de définition à la parabole : pour chacune, le rapport entre la distance à un foyer et la distance à une directrice est constant. Ce rapport, l'excentricité, vaut $0$ pour le cercle (cas limite, sans directrice), est compris entre $0$ et $1$ pour l'ellipse, vaut exactement $1$ pour la parabole et dépasse $1$ pour l'hyperbole.

Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :

• Mathématiques : la démonstration de la propriété du foyer avec la tangente, les sections d'un cône par un plan, la quadrature de la parabole par le calcul intégral.
• Physique-chimie : la loi de la réflexion, les ondes et leur longueur d'onde, l'énergie solaire concentrée, les télescopes, le miroir liquide, la lithotripsie.
• SVT : l'énergie solaire reçue par le sol, les fleurs arctiques qui suivent le Soleil, les cuiseurs solaires et la déforestation.
• HGGSP : la circulation des savoirs de la Grèce au monde arabe et à l'Europe, la légende des miroirs d'Archimède, les satellites de télécommunication et la maîtrise de l'espace.

• Parabole, conique et four solaire d'Odeillo (Wikipédia).
• G. J. Toomer, Diocles, On Burning Mirrors, Springer, 1976 (le texte de Dioclès, traduit de l'arabe).
• R. Rashed, « A pioneer in anaclastics: Ibn Sahl on burning mirrors and lenses », Isis, 1990.
• P. G. Kevan, « Sun-tracking solar furnaces in high arctic flowers », Science, 1975.
• Sur ce site : l'animation Une propriété de la parabole et le texte Longueur d'un arc de courbe (la parabole d'un projectile).