Au XIX^e siècle, calculer coûte cher. Un ingénieur qui construit une route ou une voie ferrée doit refaire des centaines de fois le même calcul (un volume de terre à déplacer, une pente, une résistance), avec des nombres qui changent à chaque fois. Les tables numériques sont longues à consulter. D'où l'idée de dessiner une fois pour toutes la relation entre les grandeurs, puis de lire les résultats sur le dessin.

Le mot abaque désigne d'abord la tablette à calcul des Anciens. Au XIX^e siècle, il désigne un graphique tout fait qui remplace un calcul. Le mot nomogramme (du grec nomos, la loi) a été forgé à la fin du siècle pour une famille particulière d'abaques, ceux où l'on lit le résultat en alignant des points.

L'« abaque ou compteur universel » de Léon Lalanne, ingénieur des ponts et chaussées, approuvé par l'Académie des sciences en 1843. Les graduations sont de plus en plus serrées : ce sont des échelles logarithmiques, et les courbes deviennent des droites. Léon Lalanne, 1843, Wikimedia Commons, domaine public.

Pour lire un produit $xy$ sur un graphique, on peut tracer, dans un repère ordinaire, les courbes $xy = c$ pour plusieurs valeurs de $c$ : ce sont des hyperboles, longues à tracer avec précision. L'idée de Lalanne, qu'il appelle anamorphose, est de déformer les axes pour que ces courbes deviennent des droites.

C'est exactement ce qu'on voit sur la planche de Lalanne : des obliques parallèles sur un quadrillage logarithmique. Le même principe sert encore pour reconnaître une loi de puissance sur un graphique (voir le texte Les logarithmes en physique-chimie).

Le nomogramme le plus simple comporte trois échelles verticales et parallèles, la troisième exactement au milieu des deux autres. On place une règle sur le nombre $a$ de l'échelle de gauche et sur le nombre $b$ de l'échelle de droite : la règle coupe l'échelle du milieu sur la graduation $a + b$.

À la main. Prenons un repère où l'échelle de gauche est la droite $x = -1$, celle de droite la droite $x = 1$, celle du milieu l'axe des ordonnées. Le nombre $a = 3$ est placé au point $A(-1\,;3)$, le nombre $b = 5$ au point $C(1\,;5)$.

• La droite $(AC)$ a pour coefficient directeur $\dfrac{5 - 3}{1 - (-1)} = 1$ ; son équation est $y = x + 4$.
• Elle coupe l'axe des ordonnées au point $M(0\,;4)$.
• Or $\dfrac{3 + 5}{2} = 4$ : la hauteur de $M$ est la moitié de $a + b = 8$. Si l'on écrit « 8 » à la hauteur $4$ sur l'échelle du milieu, la règle donne directement la somme.

Conséquence. On gradue les échelles de gauche et de droite normalement, et l'échelle du milieu avec une unité deux fois plus petite : le nombre $s$ y est écrit à la hauteur $\dfrac{s}{2}$. La règle posée sur $a$ et $b$ montre alors la graduation $a + b$. C'est le théorème de Thalès qui est caché derrière : la droite du milieu est à égale distance des deux autres.

Si l'échelle du milieu n'est pas au milieu, on obtient une somme pondérée. Plaçons l'échelle de gauche sur la droite $x = -p$ et celle de droite sur la droite $x = q$, avec $p$ et $q$ strictement positifs. La droite passant par $A(-p\,;a)$ et $C(q\,;b)$ a pour coefficient directeur $\dfrac{b - a}{p + q}$ ; en partant de $A$ et en avançant de $p$ vers la droite, on arrive sur l'axe des ordonnées à la hauteur

En choisissant les distances $p$ et $q$ et les unités des échelles, on peut donc faire calculer à la règle n'importe quelle expression de la forme $\alpha u + \beta v$. C'est ce qui permettra de traiter des formules de médecine plus loin.

Pour multiplier, il suffit de combiner le nomogramme d'addition avec la propriété fondamentale du logarithme : pour $a$ et $b$ strictement positifs, $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. On place donc chaque nombre $a$ de l'échelle de gauche à la hauteur $\ln a$, chaque nombre $b$ de l'échelle de droite à la hauteur $\ln b$, et chaque nombre $p$ de l'échelle du milieu à la hauteur $\dfrac{\ln p}{2}$.

À la main. Avec $a = 2$ et $b = 3$ :

• le point de gauche est à la hauteur $\ln 2 \approx 0{,}693$, celui de droite à la hauteur $\ln 3 \approx 1{,}099$ ;
• d'après la démonstration précédente, la règle coupe l'échelle du milieu à la hauteur $\dfrac{0{,}693 + 1{,}099}{2} = 0{,}896$ ;
• or la graduation « 6 » de l'échelle du milieu est à la hauteur $\dfrac{\ln 6}{2} \approx \dfrac{1{,}792}{2} = 0{,}896$. On lit bien $2 \times 3 = 6$.

Les graduations ne sont plus régulières : elles se resserrent quand les nombres grandissent, comme sur une règle à calcul. Une différence importante : la règle à calcul fait glisser deux échelles l'une contre l'autre, alors que le nomogramme est imprimé une fois pour toutes et qu'on n'y pose qu'une règle droite (voir la règle à calcul interactive du texte Les logarithmes en physique-chimie).

Certains médicaments, en particulier en chimiothérapie, sont dosés en fonction de la surface du corps du patient, en mètres carrés, plutôt qu'en fonction de son poids. Personne ne mesure cette surface directement : on l'estime à partir de la taille et de la masse par une formule. La plus ancienne, celle des médecins américains Delafield et Eugene Du Bois (1916), s'écrit, avec la masse $m$ en kilogrammes et la taille $t$ en centimètres :

Impossible à calculer de tête ! Mais en prenant le logarithme,

où $c = \ln 0{,}007184 \approx -4{,}94$.

C'est une somme pondérée de $\ln m$ et de $\ln t$, à une constante près : exactement ce que calcule un nomogramme à trois échelles logarithmiques, avec une échelle du milieu placée à la bonne distance. Pendant des décennies, ces nomogrammes ont été imprimés dans les manuels de pédiatrie et affichés dans les services.

À la main, avec une formule plus simple. En 1987, le médecin Mosteller propose une formule plus facile : $S \approx \sqrt{\dfrac{m \times t}{3\,600}} = \dfrac{\sqrt{mt}}{60}$. Pour une personne de $70$ kg et $175$ cm :

La formule de Du Bois donne environ $1{,}85$ m² : les deux sont très proches pour un adulte. Et la formule de Mosteller est, à la constante près, la moyenne des logarithmes : $\ln S = \dfrac{\ln m + \ln t}{2} - \ln 60$. C'est donc exactement le nomogramme de multiplication de la figure précédente, avec l'échelle du milieu au milieu, simplement décalée.

Un patient passe un test de dépistage, et le test est positif. Quelle est la probabilité qu'il soit malade ? La réponse dépend de la fréquence de la maladie avant le test, et de la qualité du test. Notons $M$ l'événement « le patient est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ». Les médecins raisonnent avec la cote d'un événement, c'est-à-dire le quotient $\dfrac{P(M)}{P(\overline{M})}$, et avec le rapport de vraisemblance du test, $RV = \dfrac{P_M(T)}{P_{\overline{M}}(T)}$ : combien de fois un test positif est plus fréquent chez un malade que chez une personne saine.

C'est encore un produit, et le logarithme le change en somme. En notant $C_0$ la cote avant le test et $C_1$ la cote après :

En 1975, le médecin Terrence Fagan publie un nomogramme qui fait ce calcul avec une règle : on pose la règle sur la probabilité avant le test (à gauche) et sur le rapport de vraisemblance (au milieu), et on lit la probabilité après le test sur l'échelle de droite. C'est le nomogramme d'addition utilisé « à l'envers » : on connaît un point extrême et le milieu, et on cherche l'autre extrémité.

Le nomogramme de Fagan : probabilité avant le test à gauche (en %), rapport de vraisemblance au milieu, probabilité après le test à droite. Schéma : HB, Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 4.0.

À la main. Une maladie touche $1\,\%$ de la population. Un test détecte $90\,\%$ des malades, mais il est aussi positif chez $9\,\%$ des personnes saines. Son rapport de vraisemblance vaut $RV = \dfrac{0{,}9}{0{,}09} = 10$.

• Cote avant le test : $\dfrac{0{,}01}{0{,}99} = \dfrac{1}{99}$.
• Cote après un test positif : $\dfrac{1}{99} \times 10 = \dfrac{10}{99}$.
• Une cote de $\dfrac{10}{99}$ signifie « $10$ chances contre $99$ » : la probabilité d'être malade vaut $\dfrac{10}{10 + 99} = \dfrac{10}{109} \approx 9{,}2\,\%$.

Malgré un test positif, le patient a donc plus de neuf chances sur dix d'être en bonne santé : c'est le paradoxe des faux positifs, que le nomogramme montre d'un coup de règle (voir aussi le texte en préparation Prendre des décisions).

En physique, une force se représente par un vecteur. Un objet immobile est en équilibre : la somme des vecteurs forces qui s'exercent sur lui est le vecteur nul. Si l'on dessine ces vecteurs bout à bout, on revient donc au point de départ : les forces forment un polygone fermé, le polygone des forces. Avec trois forces, c'est un triangle.

À la main. Une lampe de poids $P = 100$ N est suspendue par deux câbles. Le câble de gauche fait un angle de $30°$ avec l'horizontale, celui de droite un angle de $45°$. On cherche les tensions $T_1$ et $T_2$ des câbles. Dans un repère orthonormé (l'axe des abscisses horizontal, l'axe des ordonnées vers le haut), les trois forces ont pour coordonnées

L'équilibre $\vec P + \vec T_1 + \vec T_2 = \vec 0$ donne un système de deux équations :

En soustrayant la première équation de la seconde : $T_1\,\dfrac{1 + \sqrt 3}{2} = 100$, donc

puis, avec la première équation, $T_2 = T_1\,\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 2} \approx 89{,}7$ N. Les deux câbles portent ensemble plus que le poids de la lampe : une partie de leurs tensions se compense horizontalement.

La statique graphique fait le même calcul sans équation : on dessine à l'échelle le vecteur $\vec P$ vertical, puis, à ses extrémités, deux droites parallèles aux câbles. Elles se coupent et ferment le triangle ; on mesure les deux côtés avec une règle.

En résolvant le système avec des angles quelconques $\alpha$ (à gauche) et $\beta$ (à droite), on trouve $T_1 = \dfrac{P\cos\beta}{\sin(\alpha + \beta)}$ et $T_2 = \dfrac{P\cos\alpha}{\sin(\alpha + \beta)}$. Quand les deux angles tendent vers $0$, $\sin(\alpha + \beta)$ tend vers $0$ et les tensions tendent vers $+\infty$ : on ne peut pas tendre un fil parfaitement horizontal sous une charge, ce que savent tous ceux qui ont accroché un hamac ou une ligne électrique.

Au milieu du XIX^e siècle, on construit des ponts métalliques et des charpentes en treillis, faites de barres assemblées en triangles. Pour chaque barre, il faut connaître la force qu'elle supporte. Le calcul se fait nœud par nœud : en chaque nœud, les forces sont en équilibre, donc leur polygone se ferme. L'ingénieur allemand Karl Culmann, professeur à l'École polytechnique de Zurich, rassemble ces méthodes dans Die graphische Statik (1864-1866) ; l'Italien Luigi Cremona montre en 1872 comment réunir tous les polygones d'un treillis en une seule figure, le diagramme de Cremona. Pendant des décennies, les bureaux d'études dessinent ainsi les ponts au crayon, au rapporteur et à la règle.

On raconte aussi que Culmann, visitant en 1866 le laboratoire de l'anatomiste Hermann von Meyer, aurait reconnu dans les fibres osseuses de la tête du fémur les lignes de forces qu'il dessinait pour une grue. L'anecdote est célèbre en biomécanique, mais ses détails sont rapportés de façon variable.

La tour Eiffel en construction, le 14 octobre 1888. Photo : Théophile Féau, Wikimedia Commons, domaine public.

L'ingénieur Maurice Koechlin, qui dessine en 1884 avec Émile Nouguier le premier projet de la tour, a été l'élève de Culmann à Zurich. Dans l'entreprise d'Eiffel, les efforts dans les barres des ponts et de la tour sont calculés en grande partie par ces méthodes graphiques. La forme courbe des piliers de la tour est pensée pour résister au vent, la force principale qui s'exerce sur une structure aussi haute et aussi légère.

Accrochons à une chaîne légère, en des points régulièrement espacés horizontalement d'une distance $d$, des poids identiques $P$. Les deux extrémités sont fixées. La chaîne prend la forme d'une ligne brisée, que les ingénieurs appellent le polygone funiculaire (du latin funis, la corde). Numérotons les segments $0, 1, 2, \dots$ de gauche à droite et notons $s_k$ la pente (le coefficient directeur) du segment numéro $k$.

Plaçons le premier point d'attache à l'origine. Le nœud numéro $n$ a pour abscisse $x_n = nd$ et pour ordonnée la somme des dénivelés des segments précédents :

C'est la somme de $n$ termes consécutifs d'une suite arithmétique : avec $r = \dfrac{P}{H}$,

C'est un polynôme du second degré en $n$, donc en $x_n = nd$ : tous les nœuds sont sur une même parabole.

À la main. Quatre poids de $10$ N, espacés de $1$ m, avec $H = 20$ N, donc $r = 0{,}5$. Par symétrie, la chaîne a cinq segments de pentes $-1$ ; $-0{,}5$ ; $0$ ; $0{,}5$ ; $1$. Les ordonnées des nœuds sont $0$ ; $-1$ ; $-1{,}5$ ; $-1{,}5$ ; $-1$ ; $0$, et la formule donne $y_n = \dfrac{n^2 - 5n}{4}$ : on vérifie par exemple $y_2 = \dfrac{4 - 10}{4} = -1{,}5$. Chaque point d'attache porte la moitié des $40$ N, soit $20$ N verticalement, et le premier segment, de pente $-1$, a bien une composante verticale $H \times 1 = 20$ N.

Le programme suivant calcule les nœuds pas à pas, avec les seules lois de l'équilibre, et affiche les différences secondes des ordonnées : elles sont constantes, signe d'un polynôme du second degré.

Une chaîne ne travaille qu'en traction. Si l'on retourne la figure, chaque segment travaille en compression, avec les mêmes forces : un arc qui a la forme d'un funiculaire renversé tient debout sans se plier. C'est le principe énoncé par Robert Hooke au XVII^e siècle et utilisé par l'architecte Antoni Gaudí, qui réglait ses voûtes avec des maquettes de ficelles lestées de petits sacs.

Le funiculaire dépend de la répartition des charges :

• avec une charge répartie uniformément à l'horizontale (comme le tablier d'un pont suspendu accroché aux câbles), on obtient une parabole, comme ci-dessus ;
• avec une charge répartie uniformément le long de la chaîne (une chaîne pesante seule), on obtient une autre courbe, la chaînette, étudiée avec la fonction exponentielle dans le texte Construction d'un dôme : la chaînette.

L'abaque de Smith. Image : Wdwd, Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 3.0.

En 1939, l'ingénieur Phillip Smith, des laboratoires Bell, publie un abaque pour les lignes de transmission (câbles d'antenne, circuits à haute fréquence). Il sert encore : les appareils de mesure des électroniciens affichent leurs résultats sur cet abaque. Son idée centrale est une fonction qui fait tenir une demi-droite infinie dans un segment.

Le cas réel. Une résistance $r$ (rapportée à une valeur de référence) peut prendre toutes les valeurs de $[0\,;+\infty[$. L'abaque utilise la fonction

• Sa dérivée vaut $f'(r) = \dfrac{(r + 1) - (r - 1)}{(r + 1)^2}$, soit $f'(r) = \dfrac{2}{(r + 1)^2}$, strictement positive : $f$ est strictement croissante.
• $f(0) = -1$, $f(1) = 0$, et, en divisant par $r$, $f(r) = \dfrac{1 - 1/r}{1 + 1/r}$ tend vers $1$ quand $r$ tend vers $+\infty$.
• Toutes les résistances possibles tiennent donc dans l'intervalle $[-1\,;1[$ : c'est le diamètre horizontal de l'abaque. La valeur de référence $r = 1$ est au centre, une résistance infinie (un circuit ouvert) est au bord droit.

Pour les électroniciens, $r$ est en réalité un nombre complexe (l'impédance). En maths expertes, on montre que la même formule envoie tout le demi-plan des nombres complexes de partie réelle positive à l'intérieur du disque de rayon $1$, et que les droites deviennent les cercles qu'on voit sur l'abaque.

Un calculateur de navigation E6B. Photo : Wikimedia Commons, domaine public.

Conçu aux États-Unis dans les années 1930, le calculateur E6B est encore utilisé dans la formation des pilotes, et souvent accepté aux examens où les calculatrices programmables sont interdites. Il a deux faces, qui reprennent les deux grandes idées de ce texte :

• Une règle à calcul circulaire, à échelles logarithmiques : consommation de carburant, durée d'un trajet, conversions d'unités, toutes des multiplications et des divisions.
• Un triangle des vitesses, qui est une addition de vecteurs, comme le triangle des forces : la vitesse de l'avion par rapport au sol est la somme de sa vitesse par rapport à l'air et de la vitesse du vent.

À la main. Un avion vole cap au nord à $200$ km/h par rapport à l'air ; un vent d'ouest souffle à $40$ km/h vers l'est. Dans un repère orthonormé (est, nord), sa vitesse par rapport au sol est $\begin{pmatrix}0\\200\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}40\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}40\\200\end{pmatrix}$, de norme $\sqrt{40^2 + 200^2} \approx 204$ km/h. L'avion dérive vers l'est d'un angle $\theta$ tel que $\tan\theta = \dfrac{40}{200} = 0{,}2$, soit environ $11°$. Le pilote utilise l'E6B pour le problème inverse : quel cap prendre pour arriver là où il veut aller.