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Une solution d'acide chlorhydrique et l'eau pure ont des concentrations en ions oxonium qui diffèrent d'un facteur cent mille. Le bruit d'un avion au décollage transporte mille milliards de fois plus d'énergie par seconde et par mètre carré que le plus faible son audible. Un grand séisme libère des milliards de fois plus d'énergie qu'une petite secousse. Pour décrire des grandeurs qui varient sur autant d'ordres de grandeur, les physiciens et les chimistes utilisent le logarithme.
L'histoire de l'invention des logarithmes, de Napier à Brouncker, est racontée dans le texte Le logarithme, de Napier à Brouncker. Ce texte-ci regarde ce que le logarithme fait en physique-chimie, avec les outils de terminale : propriétés algébriques, dérivation, équations de droites. Il rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
La propriété fondamentale de la fonction logarithme népérien est : pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$,
$$\ln(ab) = \ln a + \ln b.$$À la calculatrice. $\ln 2 \approx 0{,}6931$ et $\ln 3 \approx 1{,}0986$ : leur somme vaut $1{,}7917$, et l'on trouve bien $\ln 6 \approx 1{,}7918$ (l'écart vient des arrondis).
En physique-chimie, on utilise surtout le logarithme décimal, défini par $\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}$. Il a la même propriété, et en plus $\log 10 = 1$, donc $\log 10^n = n$ : le logarithme décimal d'un nombre dit combien de chiffres il a, à peu près. Par exemple, $\log 2 \approx 0{,}301$ et $\log 3 \approx 0{,}477$, donc $\log 6 \approx 0{,}778$.
Pourquoi le logarithme apparaît-il partout ? Parce qu'il est, à un coefficient près, la seule fonction dérivable qui transforme les produits en sommes.
Étape 1 : la valeur en $1$. Avec $x = y = 1$ : $f(1) = f(1) + f(1)$, donc $f(1) = 0$.
Étape 2 : dériver par rapport à $x$. Fixons $y > 0$ et dérivons les deux membres de $f(xy) = f(x) + f(y)$ comme des fonctions de $x$. À gauche, la dérivée de $x \mapsto f(xy)$ est $y\,f'(xy)$ (dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine). À droite, $f(y)$ est une constante, de dérivée nulle. Donc, pour tout $x > 0$ :
$$y\,f'(xy) = f'(x).$$Étape 3 : prendre $x = 1$. On obtient $y\,f'(y) = f'(1)$, c'est-à-dire, en notant $k = f'(1)$ : $f'(y) = \dfrac{k}{y}$ pour tout $y > 0$.
Étape 4 : conclure. La fonction $g = f - k \ln$ a pour dérivée $\dfrac{k}{y} - \dfrac{k}{y} = 0$ : elle est constante sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$. Comme $g(1) = f(1) - k \ln 1 = 0$, elle est nulle, et $f = k \ln$.
Le logarithme décimal correspond à $k = \dfrac{1}{\ln 10}$. Toute échelle qui transforme un rapport en écart, comme le pH, les décibels ou la magnitude, est donc forcément logarithmique.
Vers 1620, l'Anglais Edmund Gunter grave sur une règle une échelle où le nombre $x$ est placé à une distance de l'origine proportionnelle à $\log x$. Quelques années plus tard, son compatriote William Oughtred fait glisser deux règles de ce type l'une contre l'autre : la règle à calcul est née. Elle sera l'outil de calcul des ingénieurs et des scientifiques jusqu'à l'arrivée des calculatrices électroniques, dans les années 1970.
Le principe. Sur chaque règle, le nombre $x$ (entre $1$ et $10$) est à la distance $L \log x$ de la graduation $1$, où $L$ est la longueur de la règle. Pour multiplier $a$ par $b$ :
À la main. Pour $2 \times 3$ : les longueurs $0{,}301\,L$ et $0{,}477\,L$ mises bout à bout donnent $0{,}778\,L$, la position de $6$. Une division se fait en retranchant des longueurs. La règle ne donne ni la virgule ni la puissance de dix : on lit $6$, et c'est à l'utilisateur de savoir s'il s'agit de $6$, de $60$ ou de $0{,}6$. Sa précision est d'environ trois chiffres significatifs, ce qui suffit pour la plupart des calculs d'ingénieur.
En 1909, le chimiste danois Søren Sørensen propose de mesurer l'acidité d'une solution aqueuse par son pH, défini (pour des solutions assez diluées) par
$$\mathrm{pH} = -\log\big[\mathrm{H_3O^+}\big],$$où $[\mathrm{H_3O^+}]$ est la concentration en ions oxonium, exprimée en mol/L, et prise sans son unité. Inversement, $[\mathrm{H_3O^+}] = 10^{-\mathrm{pH}}$ mol/L.
Diluer dix fois. Diluons dix fois une solution d'acide fort : la concentration est divisée par $10$. Le nouveau pH vaut
$$-\log\frac{[\mathrm{H_3O^+}]}{10} = -\log[\mathrm{H_3O^+}] + \log 10,$$c'est-à-dire $\mathrm{pH} + 1$.
Le pH augmente de $1$. Plus généralement, une division de la concentration par $10^n$ fait augmenter le pH de $n$. (Ce raisonnement suppose que l'ion oxonium vient presque entièrement de l'acide : il ne vaut plus quand on s'approche de $\mathrm{pH} = 7$.)
La précision d'une mesure. Un pH-mètre donne souvent le pH à $0{,}1$ près. Une erreur de $0{,}1$ sur le pH correspond à un facteur $10^{0{,}1} \approx 1{,}26$ sur la concentration : une erreur d'environ $26\,\%$. Une petite incertitude sur le logarithme est une grande incertitude relative sur la grandeur elle-même.
L'intensité sonore $I$, en watts par mètre carré, mesure l'énergie qui traverse chaque seconde un mètre carré. L'oreille humaine perçoit des intensités qui vont d'environ $I_0 = 10^{-12}$ W/m² (le seuil d'audition) à environ $1$ W/m² (le seuil de la douleur), soit un rapport de mille milliards. On utilise le niveau d'intensité sonore, en décibels (dB) :
$$L = 10 \log \frac{I}{I_0}.$$Le seuil d'audition correspond à $0$ dB, le seuil de la douleur à environ $120$ dB. Une conversation se situe autour de $60$ dB.
Deux sources identiques. Deux machines identiques font chacune un niveau $L$, donc une intensité $I$. Ensemble, les intensités s'ajoutent : $2I$. Le nouveau niveau vaut
$$10 \log \frac{2I}{I_0} = 10 \log 2 + 10 \log \frac{I}{I_0},$$c'est-à-dire $L + 10 \log 2$.
Comme $10 \log 2 \approx 3{,}0$, deux sources identiques ne font que $3$ dB de plus que l'une d'elles, et non le double. Avec $n$ sources identiques, on ajoute $10 \log n$ : il faut dix machines pour gagner $10$ dB.
S'éloigner d'une source. Pour une source ponctuelle qui émet dans toutes les directions, l'énergie se répartit sur une sphère de surface $4\pi d^2$ : l'intensité est proportionnelle à $\dfrac{1}{d^2}$. Si l'on double la distance, l'intensité est divisée par $4$, et le niveau baisse de
$$10 \log 4 = 20 \log 2 \approx 6{,}0 \text{ dB}.$$Notre perception de l'intensité d'un son suit à peu près une échelle logarithmique : c'est l'une des raisons du succès des décibels. La même idée explique l'échelle des magnitudes des étoiles, présentée dans le texte La magnitude apparente.
En 1935, le sismologue américain Charles Richter définit la magnitude d'un séisme à partir du logarithme décimal de l'amplitude du mouvement du sol enregistrée par un sismographe, à une distance de référence. Augmenter la magnitude de $1$, c'est multiplier cette amplitude par $10$. Aujourd'hui, les sismologues utilisent surtout la magnitude de moment, introduite en 1977, plus fiable pour les grands séismes ; elle a été construite pour rester proche de l'échelle de Richter.
L'énergie libérée. Une relation empirique, due à Beno Gutenberg et Charles Richter, relie la magnitude $M$ et l'énergie $E$ libérée, en joules :
$$\log E \approx 1{,}5\,M + 4{,}8.$$L'échelle n'a pas de maximum théorique : les plus grands séismes enregistrés ont une magnitude d'environ $9$ à $9{,}5$. Elle n'a pas non plus de minimum : les très petites secousses ont des magnitudes négatives. Il ne faut pas confondre la magnitude, qui mesure l'énergie à la source, avec l'intensité, qui décrit les dégâts observés en un lieu.
En physique-chimie, on dispose souvent de mesures et l'on cherche la loi qui les relie. Une droite se reconnaît à l'œil, une exponentielle ou une puissance beaucoup moins. Le logarithme permet de transformer ces courbes en droites.
Si $y = C\,\mathrm{e}^{kx}$ avec $C > 0$, alors
$$\ln y = \ln C + kx.$$Les points de coordonnées $(x\,;\ln y)$ sont alignés, sur une droite de coefficient directeur $k$ et d'ordonnée à l'origine $\ln C$. On dit qu'on trace $y$ dans un repère semi-logarithmique.
Un exemple à la main : la décharge d'un condensateur. On mesure la tension $u$ aux bornes d'un condensateur qui se décharge dans une résistance. (Les valeurs ci-dessous ont été construites pour l'exemple et arrondies.)
| $t$ (s) | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $u$ (V) | $10{,}0$ | $6{,}1$ | $3{,}7$ | $2{,}2$ | $1{,}35$ |
| $\ln u$ | $2{,}30$ | $1{,}81$ | $1{,}31$ | $0{,}79$ | $0{,}30$ |
D'une seconde à la suivante, $\ln u$ diminue chaque fois d'environ $0{,}5$ : les points $(t\,;\ln u)$ sont alignés, sur une droite de coefficient directeur environ $-0{,}5$ et d'ordonnée à l'origine $\ln 10 \approx 2{,}30$. Donc $\ln u \approx \ln 10 - 0{,}5\,t$, soit
$$u(t) \approx 10\,\mathrm{e}^{-0{,}5\,t}.$$C'est la solution de l'équation différentielle $u' = -\dfrac{1}{\tau}\,u$ avec $\tau = 2$ s, la constante de temps du circuit, égale au produit de la résistance par la capacité. La même méthode s'applique à la radioactivité, à la cinétique chimique d'ordre $1$ ou au refroidissement d'un objet.
Si $y = C\,x^a$ avec $x > 0$ et $C > 0$, alors
$$\ln y = \ln C + a \ln x.$$Les points de coordonnées $(\ln x\,;\ln y)$ sont alignés, sur une droite de coefficient directeur $a$ : c'est le repère log-log. L'exposant se lit directement comme une pente.
Un exemple avec de vraies données : les planètes. Pour chaque planète, $a$ est le demi-grand axe de son orbite (en unités astronomiques, la distance moyenne Terre-Soleil valant $1$) et $T$ sa période de révolution (en années).
| planète | $a$ (UA) | $T$ (ans) | $\ln a$ | $\ln T$ |
|---|---|---|---|---|
| Mercure | $0{,}387$ | $0{,}241$ | $-0{,}949$ | $-1{,}423$ |
| Vénus | $0{,}723$ | $0{,}615$ | $-0{,}324$ | $-0{,}486$ |
| Terre | $1$ | $1$ | $0$ | $0$ |
| Mars | $1{,}524$ | $1{,}881$ | $0{,}421$ | $0{,}632$ |
| Jupiter | $5{,}203$ | $11{,}86$ | $1{,}649$ | $2{,}473$ |
| Saturne | $9{,}537$ | $29{,}46$ | $2{,}255$ | $3{,}383$ |
Calculons le coefficient directeur entre les points de la Terre, $(0\,;0)$, et de Jupiter :
$$\frac{2{,}473 - 0}{1{,}649 - 0} \approx 1{,}50.$$Les six points sont alignés sur la droite $\ln T = 1{,}5 \ln a$, donc $T = a^{1{,}5}$, soit $T^2 = a^3$ : c'est la troisième loi de Kepler, que Kepler a trouvée en 1618 en cherchant longuement dans les tables. Avec le repère log-log, elle saute aux yeux.
Devant des mesures, on peut tracer les trois nuages : $(x\,;y)$, $(x\,;\ln y)$ et $(\ln x\,;\ln y)$. Si le premier est aligné, la loi est affine ; si c'est le deuxième, elle est exponentielle ; si c'est le troisième, c'est une loi de puissance. Les logiciels de traitement des mesures et les tableurs proposent directement des axes « logarithmiques », gradués $1$, $10$, $100$… à intervalles réguliers. Le papier millimétré semi-logarithmique et log-log a longtemps servi à cela dans les laboratoires.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : la fonction logarithme népérien, ses propriétés algébriques, sa dérivée et ses limites ; la fonction exponentielle et l'équation $y' = ay$ ; la dérivation d'une fonction composée avec une fonction affine ; une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante ; les équations de droites et le coefficient directeur.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.