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Tenez une chaînette de collier par ses deux bouts : elle prend une forme en creux, toujours la même quelle que soit la chaîne. Retournez cette forme : vous obtenez l'arc idéal pour une voûte en pierre, celui qui tient debout sans se déformer. Cette courbe s'appelle la chaînette. Galilée l'a confondue avec une parabole ; il a fallu attendre 1691 et les débuts du calcul différentiel pour trouver son équation, qui s'écrit avec la fonction exponentielle.
Ce texte étudie la chaînette avec les outils de terminale (fonction exponentielle, dérivée, convexité, intégrale), puis la suit dans l'architecture : arcs, coupoles, maquettes de Gaudí, Gateway Arch, et jusqu'à l'arche qui recouvre le réacteur de Tchernobyl. Il rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
En 1638, dans ses Discours concernant deux sciences nouvelles, Galilée remarque qu'une chaîne suspendue prend une forme très proche d'une parabole, la courbe qu'il vient de découvrir pour la trajectoire d'un boulet. Il propose même de s'en servir pour tracer des paraboles. Il ne dit pas que c'est exactement une parabole, mais beaucoup de ses lecteurs l'ont compris ainsi.
En 1669, un livre posthume du savant allemand Joachim Jungius montre, par des mesures et un raisonnement, que la courbe n'est pas une parabole. Mais quelle est-elle ? En 1690, Jacques Bernoulli lance publiquement le défi de la trouver. En juin 1691, trois solutions paraissent dans la revue savante Acta Eruditorum : celles de Leibniz, de Christiaan Huygens et de Jean Bernoulli, le jeune frère de Jacques, qui, lui, n'avait pas trouvé. Huygens lui donne son nom latin, catenaria, de catena, « chaîne ». Leibniz et Jean Bernoulli utilisent le tout nouveau calcul différentiel : la chaînette est l'un de ses premiers grands succès.
Pour tout réel $x$, on pose
$$\operatorname{ch} x = \frac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2}$$et
$$\operatorname{sh} x = \frac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{2}.$$On lit « cosinus hyperbolique » et « sinus hyperbolique ». Ces fonctions ne sont pas au programme, mais tout ce qui suit se démontre avec la fonction exponentielle. Quelques valeurs à la calculatrice :
| $x$ | $0$ | $0{,}5$ | $1$ | $1{,}5$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\operatorname{ch} x$ | $1$ | $1{,}128$ | $1{,}543$ | $2{,}352$ | $3{,}762$ |
Par exemple, $\operatorname{ch} 0 = \dfrac{1 + 1}{2} = 1$ et $\operatorname{ch} 1 = \dfrac{\mathrm{e} + \mathrm{e}^{-1}}{2}$, soit environ $\dfrac{2{,}718 + 0{,}368}{2} \approx 1{,}543$.
Parité. Pour tout réel $x$, $\operatorname{ch}(-x) = \dfrac{\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{x}}{2} = \operatorname{ch} x$ : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, comme une chaîne tenue à deux points de même hauteur.
Dérivée. La dérivée de $x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ est $x \mapsto -\mathrm{e}^{-x}$. Donc
$$\operatorname{ch}' x = \frac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{2} = \operatorname{sh} x.$$De même, $\operatorname{sh}' x = \dfrac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2} = \operatorname{ch} x$.
Signe de la dérivée. $\operatorname{sh} x > 0$ équivaut à $\mathrm{e}^{x} > \mathrm{e}^{-x}$, c'est-à-dire, la fonction exponentielle étant strictement croissante, à $x > -x$, soit $x > 0$. Donc $\operatorname{ch}$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$, et son minimum est $\operatorname{ch} 0 = 1$.
Convexité. La dérivée seconde est $\operatorname{ch}'' x = \operatorname{sh}' x = \operatorname{ch} x$, qui est une somme de deux nombres strictement positifs divisée par $2$ : elle est strictement positive. La fonction $\operatorname{ch}$ est donc convexe sur $\mathbb{R}$.
On développe avec $\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{0} = 1$ :
$$\operatorname{ch}^2 x = \frac{\mathrm{e}^{2x} + 2 + \mathrm{e}^{-2x}}{4}$$et
$$\operatorname{sh}^2 x = \frac{\mathrm{e}^{2x} - 2 + \mathrm{e}^{-2x}}{4}.$$En soustrayant, les termes $\mathrm{e}^{2x}$ et $\mathrm{e}^{-2x}$ disparaissent, et il reste $\dfrac{2 - (-2)}{4} = 1$.
C'est l'analogue de $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, avec un signe moins : d'où le nom de cosinus « hyperbolique » (le point de coordonnées $(\operatorname{ch} t\,;\operatorname{sh} t)$ décrit une hyperbole d'équation $X^2 - Y^2 = 1$, comme $(\cos t\,;\sin t)$ décrit le cercle d'équation $X^2 + Y^2 = 1$).
Une chaîne homogène, suspendue par ses deux extrémités et soumise à son seul poids, prend la forme de la courbe d'équation
$$y = a \operatorname{ch}\!\left(\frac{x}{a}\right),$$dans un repère bien choisi (l'axe des ordonnées passe par le point le plus bas). Le nombre $a > 0$ dépend de la chaîne et de l'écartement des points d'attache : plus la chaîne est tendue, plus $a$ est grand et plus la courbe est plate.
D'où vient cette équation ? La physique de l'équilibre d'un petit morceau de chaîne (son poids, et les tensions exercées par les morceaux voisins) conduit à une équation qui relie la dérivée seconde de la courbe à sa dérivée première. Cette mise en équation sort du programme ; on l'admet :
$$y'' = \frac{1}{a}\sqrt{1 + (y')^2}.$$Dérivée première. La dérivée de $x \mapsto \operatorname{ch}(kx)$ est $x \mapsto k \operatorname{sh}(kx)$. Avec $k = \dfrac{1}{a}$ : $f'(x) = a \times \dfrac{1}{a} \operatorname{sh}\!\left(\dfrac{x}{a}\right) = \operatorname{sh}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)$.
Dérivée seconde. De même, $f''(x) = \dfrac{1}{a} \operatorname{ch}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)$.
Second membre. D'après l'identité $\operatorname{ch}^2 - \operatorname{sh}^2 = 1$, $1 + (f'(x))^2 = 1 + \operatorname{sh}^2\!\left(\dfrac{x}{a}\right)$, c'est-à-dire $1 + (f'(x))^2 = \operatorname{ch}^2\!\left(\dfrac{x}{a}\right)$. Comme $\operatorname{ch}$ est positive, $\sqrt{1 + (f'(x))^2} = \operatorname{ch}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)$, et on retrouve bien $f''(x) = \dfrac{1}{a}\sqrt{1 + (f'(x))^2}$.
Prenons $a = 1$ : une chaîne d'équation $y = \operatorname{ch} x$, accrochée aux points d'abscisses $-1$ et $1$, à la hauteur $\operatorname{ch} 1 \approx 1{,}543$. Cherchons la parabole qui passe par les mêmes points d'attache et par le même point le plus bas $(0\,;1)$. Elle est symétrique, donc de la forme $y = 1 + cx^2$, et elle passe par $(1\,;\operatorname{ch} 1)$, donc $c = \operatorname{ch} 1 - 1 \approx 0{,}543$.
- En $x = 0{,}5$, la chaînette passe à $\operatorname{ch} 0{,}5 \approx 1{,}128$ ;
- la parabole passe à $1 + 0{,}543 \times 0{,}25 \approx 1{,}136$.
L'écart est inférieur à un centième, pour une chaîne d'environ deux unités de large : à l'œil, c'est indiscernable. On comprend que Galilée s'y soit laissé prendre. Mais plus la chaîne pend, plus l'écart grandit, comme le montre la figure.
Près du point le plus bas, la chaînette $y = \operatorname{ch} x$ ressemble beaucoup à la parabole $y = 1 + \dfrac{x^2}{2}$ (même point, même tangente horizontale, même dérivée seconde $1$ en $0$). Mais elle ne la croise jamais.
Posons $g(x) = \operatorname{ch} x - 1 - \dfrac{x^2}{2}$. On a $g'(x) = \operatorname{sh} x - x$ et $g''(x) = \operatorname{ch} x - 1$.
Étape 1. Comme $\operatorname{ch} x \geqslant 1$ (minimum $1$), $g''(x) \geqslant 0$ : $g'$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
Étape 2. Or $g'(0) = 0$. Donc $g'(x) \geqslant 0$ pour $x \geqslant 0$ : $g$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$, et comme $g(0) = 0$, $g(x) \geqslant 0$ pour $x \geqslant 0$.
Étape 3. La fonction $g$ est paire (somme de fonctions paires), donc $g(x) \geqslant 0$ aussi pour $x \leqslant 0$.
La chaînette « remonte » plus vite qu'une parabole. Et plus loin du centre, l'écart devient énorme : en $x = 4$, $\operatorname{ch} 4 \approx 27{,}3$ alors que $1 + \dfrac{16}{2} = 9$ : la croissance exponentielle l'emporte sur la croissance d'un polynôme.
La longueur d'une courbe d'équation $y = f(x)$ entre les abscisses $\alpha$ et $\beta$ vaut
$$L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,\mathrm{d}x.$$Cette formule est expliquée dans le texte Longueur d'un arc de courbe : on approche la courbe par une ligne brisée, et chaque petit segment a pour longueur $\sqrt{1 + (f')^2}$ fois sa largeur. Pour la plupart des courbes, cette intégrale est impossible à calculer exactement. Pour la chaînette, c'est très simple.
Étape 1. On a vu que $\sqrt{1 + (f'(x))^2} = \operatorname{ch}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)$.
Étape 2. Une primitive de $x \mapsto \operatorname{ch}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)$ est $x \mapsto a\operatorname{sh}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)$ (on le vérifie en dérivant).
Étape 3. Donc
$$L = a\operatorname{sh}\!\left(\frac{b}{a}\right) - a\operatorname{sh}\!\left(\frac{-b}{a}\right).$$Or $\operatorname{sh}$ est impaire : $\operatorname{sh}(-u) = -\operatorname{sh} u$. Donc $L = 2a\operatorname{sh}\!\left(\dfrac{b}{a}\right)$.
Pour l'exemple à la main ($a = 1$, $b = 1$), la chaîne mesure $2\operatorname{sh} 1 \approx 2{,}350$ unités, pour un écartement de $2$ unités.
Un câble électrique entre deux pylônes est une chaînette. Les ingénieurs doivent calculer la flèche, c'est-à-dire la différence de hauteur entre les points d'attache et le point le plus bas, pour garder une distance suffisante avec le sol, les arbres ou les routes.
Un exemple. Deux pylônes sont distants de $300$ m (donc $b = 150$), et le câble est assez tendu pour que $a = 1\,000$ m.
- La flèche vaut $a\operatorname{ch}\!\left(\dfrac{b}{a}\right) - a$, soit $1\,000\,(\operatorname{ch} 0{,}15 - 1) \approx 11{,}3$ m.
- La longueur du câble vaut $2a\operatorname{sh}\!\left(\dfrac{b}{a}\right) = 2\,000 \operatorname{sh} 0{,}15 \approx 301{,}1$ m.
Un câble à peine plus long que l'écartement (un peu plus d'un mètre de plus) pend déjà de plus de $11$ m. Inversement, un faible allongement du câble augmente beaucoup la flèche. C'est ce qui se passe en été : le métal chauffé (par le soleil et par le courant) se dilate, et les câbles pendent davantage. Les distances de sécurité sont calculées pour les jours les plus chauds.
Une chaîne suspendue ne travaille qu'en traction : chaque maillon tire sur ses voisins dans la direction de la courbe, sans se plier. Si l'on retourne cette forme, on obtient un arc où chaque pierre pousse sur ses voisines dans la direction de l'arc, sans chercher à le faire basculer. Un arc de cette forme est le plus stable possible pour porter son propre poids.
Le savant anglais Robert Hooke a énoncé ce principe en 1675, mais il l'a d'abord publié sous la forme d'une anagramme latine, pour garder la priorité sans dévoiler son idée. Déchiffrée, elle signifie : « comme pend le fil souple, ainsi se tiendra, inversé, l'arc rigide ». À la même époque, son ami Christopher Wren reconstruit la cathédrale Saint-Paul de Londres, et l'on pense que ces idées ont guidé la conception de sa coupole.
Au XVIIIe siècle, des fissures inquiétantes apparaissent dans la coupole de Saint-Pierre de Rome, construite d'après les plans de Michel-Ange. Le pape fait appel au savant italien Giovanni Poleni. En 1748, Poleni découpe la coupole en tranches, suspend une chaîne lestée de poids proportionnels au poids de chaque tranche, et retourne la courbe obtenue : elle reste entièrement à l'intérieur de l'épaisseur de la maçonnerie. Il en conclut que la coupole est stable, et que les fissures ne la menacent pas, à condition de la ceinturer de cercles de fer, ce qui est fait. Une chaîne lestée de poids inégaux ne donne plus exactement une chaînette, mais le principe de Hooke reste le même.
L'architecte catalan Antoni Gaudí (1852-1926) a poussé l'idée de Hooke jusqu'au bout. Pour concevoir l'église de la Colonie Güell, près de Barcelone, il a construit pendant des années une grande maquette faite de fils suspendus, lestés de petits sacs de grenaille dont le poids représentait celui des parties de l'édifice. Il photographiait la maquette et retournait l'image : il obtenait la forme de piliers et de voûtes qui ne travaillent qu'en compression. On retrouve ces arcs proches de la chaînette dans plusieurs de ses bâtiments et à la Sagrada Família.
Achevée en 1965 à Saint-Louis, la Gateway Arch mesure environ $192$ m de haut et autant de large. Sa forme est une chaînette « pondérée » : comme l'arc est plus épais en bas qu'en haut, son poids n'est pas réparti uniformément, et la courbe est un peu plus élancée qu'une chaînette simple. Son équation, affichée sur place, est de la forme $y = A - B\operatorname{ch}(Cx)$.
Le 26 avril 1986, le réacteur numéro 4 de la centrale de Tchernobyl, en Ukraine (alors en URSS), explose. C'est la plus grave catastrophe de l'histoire du nucléaire civil. Dans les mois qui suivent, un premier abri de béton et d'acier, le « sarcophage », est construit à la hâte au-dessus des ruines, dans des conditions de radioactivité extrême. Il n'était prévu que pour une vingtaine ou une trentaine d'années.
Pour le remplacer, un programme international, financé par une quarantaine de pays, construit une gigantesque arche d'acier, le « nouveau confinement sûr ». Pour protéger les ouvriers, elle est assemblée à quelques centaines de mètres du réacteur, puis glissée sur des rails jusqu'au-dessus de lui en novembre 2016. Les chiffres publiés donnent environ $108$ m de haut, $257$ m de portée et plus de $30\,000$ tonnes : c'est l'une des plus grandes structures mobiles jamais construites. Elle est conçue pour durer une centaine d'années, le temps de démanteler l'intérieur.
Pourquoi une arche ? Pour franchir une très grande portée sans pilier intérieur (il faut pouvoir manœuvrer des grues au-dessus des ruines), une forme d'arc est la plus efficace, pour les raisons vues plus haut : elle reporte son poids vers les appuis. La forme exacte d'une telle structure en treillis d'acier résulte de calculs d'ingénieurs qui tiennent compte de bien d'autres charges (vent, neige, ponts roulants suspendus) que son seul poids : ce n'est pas une chaînette pure, mais elle relève de la même famille d'idées. La radioactivité et la décroissance des éléments qui imposent une telle durée sont présentées dans le texte La radioactivité.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : l'étude de la fonction $\operatorname{ch}$ avec l'exponentielle ; la comparaison avec la parabole et l'inégalité $\operatorname{ch} x \geqslant 1 + \dfrac{x^2}{2}$ ; la longueur d'une chaîne par une intégrale ; la flèche d'un câble.
- Physique-chimie : l'équilibre d'une chaîne, traction et compression, la dilatation des câbles, la mécanique des arcs.
- HGGSP : la querelle de 1691 et la naissance du calcul différentiel ; les grandes coupoles ; la catastrophe de Tchernobyl et la coopération internationale pour en limiter les conséquences.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : la fonction exponentielle et ses propriétés algébriques ; la dérivation des fonctions composées du type $x \mapsto f(ax + b)$ ; le lien entre signe de la dérivée et variations ; la convexité et la dérivée seconde ; la parité ; les primitives et le calcul d'intégrales ; les limites et les croissances comparées.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Chaînette, cosinus hyperbolique et nouveau confinement sûr de Tchernobyl (Wikipédia).
- Sur ce site : Longueur d'un arc de courbe, Une propriété de la parabole et La radioactivité.