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Pourquoi une pierre lancée décrit-elle une parabole ? Pourquoi la Lune ne tombe-t-elle pas sur la Terre ? À quelle altitude faut-il placer un satellite pour qu'il reste toujours au-dessus du même point ? Ces trois questions ont la même réponse : la mécanique d'Isaac Newton, publiée en 1687. Elle repose sur une idée simple, l'accélération d'un objet est déterminée par les forces qui s'exercent sur lui, et sur un outil nouveau, le calcul des dérivées et des primitives.
Ce texte refait les grands calculs de la mécanique newtonienne avec les outils de terminale : dérivées, primitives, équations différentielles $y' = ay + b$, exponentielle et trigonométrie. Il rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
Isaac Newton naît en 1642 (selon le calendrier alors en usage en Angleterre) dans le Lincolnshire. Étudiant à Cambridge, il doit rentrer chez sa mère en 1665-1666, car la peste ferme l'université. Pendant ces deux années, il pose les bases de trois grands travaux : le calcul des « fluxions » (nos dérivées), la décomposition de la lumière blanche, et les premières idées sur la gravitation.
La pomme. Selon un récit rapporté par son ami William Stukeley, qui le tient d'une conversation de 1726, Newton aurait vu tomber une pomme dans son jardin et se serait demandé si la force qui fait tomber la pomme ne s'étend pas jusqu'à la Lune. Voltaire a popularisé l'histoire. Il est impossible de savoir ce qu'il y a de vrai dans ce souvenir raconté soixante ans plus tard ; l'idée qu'une pomme serait tombée sur la tête de Newton est, elle, une invention plus tardive. Ce qui est sûr, c'est la question : la même loi gouverne-t-elle la chute des corps sur Terre et le mouvement des astres ? On verra plus loin que Newton l'a vérifiée par un calcul.
En 1687 paraissent les Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (« Principes mathématiques de la philosophie naturelle »). Newton y énonce les trois lois du mouvement et la loi de la gravitation universelle, et en déduit les mouvements des planètes, des comètes, de la Lune et les marées. Curieusement, le livre est presque entièrement rédigé dans le langage de la géométrie grecque : Newton n'y utilise guère son calcul des fluxions, peut-être pour que ses démonstrations soient acceptées par les savants de son temps.
La loi centrale, que l'on appelle aujourd'hui la deuxième loi de Newton, s'écrit pour un objet de masse $m$ :
$$m\,\vec{a} = \sum \vec{F},$$où $\vec{a}$ est l'accélération, c'est-à-dire la dérivée du vecteur vitesse, elle-même dérivée du vecteur position. Connaître les forces, c'est connaître l'accélération ; pour retrouver la vitesse puis la position, il faut remonter les dérivées : c'est le calcul de primitives.
Lâchons une bille sans vitesse, d'une hauteur de $20$ m, en négligeant l'air. La seule force est son poids $m\vec{g}$, donc $\vec{a} = \vec{g}$ : l'accélération est verticale, vers le bas, de valeur $g \approx 9{,}8$ m/s². Plaçons un axe vertical orienté vers le bas, d'origine le point de départ, et notons $z(t)$ la distance parcourue au temps $t$ (en secondes).
- L'accélération est $z''(t) = g$.
- La vitesse $z'$ est une primitive de la fonction constante $g$ : $z'(t) = gt + C_1$. Au départ, la vitesse est nulle : $z'(0) = C_1 = 0$. Donc $z'(t) = gt$.
- La position $z$ est une primitive de $gt$ : $z(t) = \dfrac{1}{2}gt^2 + C_2$, et $z(0) = 0$ donne $C_2 = 0$. Donc $z(t) = \dfrac{1}{2}gt^2$.
À la main. La bille touche le sol quand $\dfrac{1}{2} \times 9{,}8 \times t^2 = 20$, soit $t^2 = \dfrac{40}{9{,}8} \approx 4{,}08$ et $t \approx 2{,}02$ s. Sa vitesse est alors $9{,}8 \times 2{,}02 \approx 19{,}8$ m/s, environ $71$ km/h.
La distance est proportionnelle au carré du temps : en $1$ s la bille parcourt $4{,}9$ m, en $2$ s, $19{,}6$ m, quatre fois plus. C'est la loi que Galilée avait établie par l'expérience en 1638, avec des billes sur des plans inclinés. Chez Newton, elle devient une conséquence du calcul.
Lançons maintenant un ballon depuis le sol avec une vitesse $v_0$ faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale. Dans un repère d'origine le point de lancement, l'axe des abscisses horizontal et l'axe des ordonnées vertical vers le haut, l'accélération a pour coordonnées $(0\,;-g)$. On fait le même travail sur chaque coordonnée.
- Horizontalement, l'accélération est nulle : la vitesse reste égale à sa valeur initiale $v_0 \cos\alpha$, et $x(t) = v_0 \cos\alpha \; t$.
- Verticalement, la vitesse est $v_y(t) = -gt + v_0 \sin\alpha$, et en prenant une primitive nulle en $0$ :
Éliminons le temps. De la première équation, $t = \dfrac{x}{v_0 \cos\alpha}$ (avec $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$). En remplaçant dans $y(t)$ :
$$y = -\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha}\,x^2 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\,x.$$C'est l'équation d'une parabole tournée vers le bas : $y$ est une fonction du second degré de $x$.
Le ballon retombe quand $y(t) = 0$, c'est-à-dire $t\left(v_0 \sin\alpha - \dfrac{1}{2}gt\right) = 0$. En dehors de $t = 0$, on trouve $t = \dfrac{2 v_0 \sin\alpha}{g}$. La distance horizontale parcourue, la portée, vaut alors
$$P(\alpha) = v_0 \cos\alpha \times \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g},$$c'est-à-dire
$$P(\alpha) = \frac{2 v_0^2}{g}\,\sin\alpha \cos\alpha.$$À la main. Avec $v_0 = 20$ m/s et $\alpha = 45°$ : $\sin 45° = \cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc $\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$ et $P = \dfrac{400}{9{,}8} \approx 40{,}8$ m. Avec $\alpha = 30°$ : $\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}433$ et $P \approx 35{,}3$ m.
Étape 1 : la dérivée. Posons $f(\alpha) = \sin\alpha \cos\alpha$ sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$. On dérive le produit $uv$ avec $u = \sin$ et $v = \cos$, donc $u' = \cos$ et $v' = -\sin$. On a $u'v = \cos^2\alpha$ et $uv' = -\sin^2\alpha$, d'où
$$f'(\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha.$$Étape 2 : le signe. Sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, le sinus et le cosinus sont positifs. Donc $f'(\alpha) > 0$ équivaut à $\cos\alpha > \sin\alpha$. Le cosinus décroît de $1$ à $0$ et le sinus croît de $0$ à $1$ sur cet intervalle, et ils sont égaux pour $\alpha = \dfrac{\pi}{4}$. Donc $f'$ est positive avant $\dfrac{\pi}{4}$ et négative après.
Étape 3 : conclusion. $f$ est croissante sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{4}\right]$ et décroissante sur $\left[\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ : son maximum est atteint en $\dfrac{\pi}{4}$, c'est-à-dire $45°$, et vaut $\dfrac{1}{2}$. La portée maximale est $\dfrac{v_0^2}{g}$.
On remarque aussi que $f\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha \sin\alpha = f(\alpha)$ : deux angles complémentaires, comme $30°$ et $60°$, donnent la même portée, avec une trajectoire plus ou moins haute. La figure le montre.
En réalité, l'air freine le ballon et l'angle optimal est un peu inférieur à $45°$ ; pour un lancer de poids, la main est de plus au-dessus du sol, ce qui abaisse encore l'angle idéal. Le modèle sans frottement est une première approximation.
Un parachutiste qui saute d'un avion ne tombe pas de plus en plus vite indéfiniment : l'air le freine, d'autant plus qu'il va vite. Le modèle le plus simple suppose une force de frottement proportionnelle à la vitesse. En divisant la deuxième loi de Newton par la masse, la vitesse $v$ (orientée vers le bas) vérifie alors
$$v'(t) = g - k\,v(t),$$où $k$ est un nombre positif (en s−1). C'est une équation différentielle de la forme $y' = ay + b$, avec $a = -k$ et $b = g$. (Pour un parachutiste, un frottement proportionnel au carré de la vitesse est plus réaliste, mais le comportement est semblable.)
Étape 1 : la solution constante. Une fonction constante $v = c$ est solution si $0 = g - kc$, soit $c = \dfrac{g}{k}$. On la note $v_\ell$.
Étape 2 : toutes les solutions. D'après le cours, les solutions de $y' = -ky + g$ sont les fonctions $t \mapsto C\,\mathrm{e}^{-kt} + \dfrac{g}{k}$, où $C$ est une constante réelle.
Étape 3 : la condition initiale. $v(0) = C + \dfrac{g}{k} = 0$ donne $C = -\dfrac{g}{k}$, d'où le résultat.
Étape 4 : la limite. Comme $k > 0$, $\mathrm{e}^{-kt}$ tend vers $0$ quand $t$ tend vers $+\infty$ : $v(t)$ tend vers $v_\ell = \dfrac{g}{k}$, la vitesse limite.
À la main. Avec $k = 0{,}2$ s−1, la vitesse limite vaut $\dfrac{9{,}8}{0{,}2} = 49$ m/s, environ $176$ km/h, l'ordre de grandeur observé pour un parachutiste en chute libre à plat. Au bout de $t = \dfrac{1}{k} = 5$ s, $v = 49\left(1 - \mathrm{e}^{-1}\right) \approx 31$ m/s ; au bout de $15$ s, $v = 49\left(1 - \mathrm{e}^{-3}\right) \approx 46{,}6$ m/s, soit $95\,\%$ de la vitesse limite. La vitesse n'atteint jamais exactement la vitesse limite, mais s'en approche très vite. Quand le parachute s'ouvre, $k$ devient beaucoup plus grand et la vitesse limite tombe à quelques mètres par seconde.
Newton énonce la loi de la gravitation universelle : deux corps de masses $m$ et $M$, dont les centres sont à la distance $r$, s'attirent avec une force de valeur
$$F = \frac{G\,m\,M}{r^2},$$où $G \approx 6{,}67 \times 10^{-11}$ (en unités du système international) est la constante de gravitation. Ce nombre n'a été mesuré qu'en 1798, par Henry Cavendish ; Newton ne le connaissait pas. Mais il pouvait déjà tester sa loi grâce au facteur $\dfrac{1}{r^2}$.
Le test de la Lune. À la surface de la Terre, à environ $6\,400$ km du centre, un objet tombe avec l'accélération $g \approx 9{,}8$ m/s². La Lune est environ $60$ fois plus loin du centre de la Terre. Si l'attraction varie comme $\dfrac{1}{r^2}$, l'accélération de la Lune vers la Terre doit être $60^2 = 3\,600$ fois plus petite :
$$\frac{9{,}8}{3\,600} \approx 2{,}72 \times 10^{-3} \text{ m/s}^2.$$Or la Lune décrit (à peu près) un cercle de rayon $r \approx 384\,400$ km en $T \approx 27{,}3$ jours, soit environ $2{,}36 \times 10^6$ s. Pour un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est dirigée vers le centre et vaut $\dfrac{v^2}{r}$, avec $v = \dfrac{2\pi r}{T}$, c'est-à-dire
$$a = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \approx \frac{4\pi^2 \times 3{,}844 \times 10^8}{(2{,}36 \times 10^6)^2}.$$On trouve $a \approx 2{,}72 \times 10^{-3}$ m/s² : les deux valeurs coïncident. La Lune « tombe » vers la Terre en permanence, comme la pomme ; mais elle va si vite sur le côté qu'elle ne s'en rapproche jamais. Newton fait un calcul de ce type dans les Principia, avec les mesures moins précises de son époque. C'est l'acte de naissance de l'idée qu'une même physique régit le ciel et la Terre.
Au début du XVIIe siècle, Johannes Kepler avait découvert, à partir des observations de Tycho Brahe, trois lois empiriques du mouvement des planètes. La troisième dit que le carré de la période de révolution est proportionnel au cube de la taille de l'orbite. Newton la démontre. Faisons-le dans le cas d'une orbite circulaire.
Étape 1 : la vitesse. Le satellite, de masse $m$, n'est soumis qu'à l'attraction de l'astre, dirigée vers le centre. La deuxième loi de Newton, avec une accélération centrale de valeur $\dfrac{v^2}{r}$, donne
$$m\,\frac{v^2}{r} = \frac{G\,m\,M}{r^2}, \quad \text{donc} \quad v^2 = \frac{GM}{r}.$$La masse du satellite a disparu : tous les objets placés sur la même orbite vont à la même vitesse.
Étape 2 : la période. Un tour mesure $2\pi r$, donc $T = \dfrac{2\pi r}{v}$ et $T^2 = \dfrac{4\pi^2 r^2}{v^2}$. En remplaçant $v^2$ :
$$T^2 = \frac{4\pi^2 r^2 \times r}{GM} = \frac{4\pi^2}{GM}\,r^3.$$Le rapport $\dfrac{T^2}{r^3}$ est le même pour toutes les planètes du Système solaire, car il ne dépend que de la masse du Soleil. Par exemple, Jupiter est environ $5{,}2$ fois plus loin du Soleil que la Terre ; sa période vaut donc environ $\sqrt{5{,}2^3} \approx 11{,}9$ ans, ce qui correspond à la période observée. Inversement, en mesurant la période et la distance d'une lune autour d'une planète, on obtient la masse de la planète.
Un satellite de télévision doit rester toujours au-dessus du même point de l'équateur : il doit faire un tour en exactement le temps que met la Terre à tourner sur elle-même par rapport aux étoiles, le jour sidéral, $T \approx 86\,164$ s (un peu moins de $24$ h). D'après la troisième loi de Kepler,
$$r^3 = \frac{GM\,T^2}{4\pi^2}.$$Avec la masse de la Terre $M \approx 5{,}97 \times 10^{24}$ kg :
- avec $G \approx 6{,}674 \times 10^{-11}$, le produit vaut $GM \approx 3{,}98 \times 10^{14}$ ;
- $r^3 \approx \dfrac{3{,}98 \times 10^{14} \times 86\,164^2}{4\pi^2}$, soit $r^3 \approx 7{,}49 \times 10^{22}$ ;
- $r \approx 4{,}22 \times 10^7$ m, soit environ $42\,200$ km du centre de la Terre.
En retirant le rayon de la Terre, environ $6\,400$ km, on trouve une altitude d'environ $35\,800$ km. C'est bien là que tournent les satellites géostationnaires. L'écrivain Arthur C. Clarke en avait popularisé l'idée en 1945, bien avant le premier lancement d'un tel satellite.
Pour s'échapper complètement de l'attraction de la Terre, comme les missions vers la Lune, il faut une vitesse encore plus grande, la vitesse de libération : elle est calculée avec une intégrale dans le texte Les mathématiques des missions Apollo. Et dès qu'il y a trois corps, le calcul exact devient impossible : voir Le problème des trois corps.
Newton a mis au point son calcul des fluxions dès 1665-1666, mais il ne l'a publié que bien plus tard. Pendant ce temps, l'Allemand Gottfried Wilhelm Leibniz invente de son côté un calcul équivalent, qu'il publie en 1684. C'est à Leibniz que nous devons les notations $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ et $\displaystyle\int$, encore utilisées aujourd'hui ; Newton notait la dérivée par un point au-dessus de la lettre, notation que les physiciens emploient toujours pour les dérivées par rapport au temps.
Au début du XVIIIe siècle, les partisans de Newton accusent Leibniz de plagiat. En 1712, la Royal Society de Londres, que préside Newton, publie un rapport qui lui donne raison ; on sait aujourd'hui que Newton en a rédigé lui-même une grande partie. Les historiens considèrent maintenant que les deux hommes ont inventé le calcul de façon indépendante. La querelle a eu une conséquence durable : pendant une grande partie du XVIIIe siècle, les mathématiciens anglais, fidèles aux notations de Newton, se sont coupés des progrès du continent, où les Bernoulli, Euler et d'autres développaient le calcul avec les notations de Leibniz.
Newton meurt en 1727 et il est enterré à l'abbaye de Westminster. Sa mécanique restera la théorie de référence pendant plus de deux siècles, jusqu'à la relativité d'Einstein, qui la corrige pour les très grandes vitesses et les champs de gravitation intenses ; elle reste parfaitement suffisante pour envoyer des sondes dans le Système solaire.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : les primitives successives de l'accélération ; l'angle de tir optimal par la dérivée ; l'équation $y' = ay + b$ et la vitesse limite ; la troisième loi de Kepler et l'altitude d'un satellite ; l'histoire du calcul différentiel.
- Physique-chimie : la deuxième loi de Newton ; le mouvement dans un champ de pesanteur uniforme ; les frottements ; le mouvement des satellites et des planètes.
- HGGSP : la révolution scientifique du XVIIe siècle ; les sociétés savantes et la querelle de priorité ; l'espace, enjeu de puissance (satellites de télécommunication).
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : les primitives et leur calcul ; les équations différentielles $y' = ay$ et $y' = ay + b$ ; la fonction exponentielle et ses limites ; la dérivation d'un produit et l'étude des variations ; les fonctions sinus et cosinus, leurs dérivées et leurs valeurs remarquables ; les fonctions du second degré.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Principia, lois de Kepler, orbite géostationnaire et controverse du calcul infinitésimal (Wikipédia).
- Sur ce site : Les mathématiques des missions Apollo, Le problème des trois corps, Le pendule de Foucault et Nicole Oresme (la loi des vitesses au XIVe siècle).