← Tous les textes du Grand Oral
MathsPCSIHGGSP
Une prise électrique française délivre « 230 volts ». Pourtant, si l'on branche un oscilloscope, on voit une tension qui oscille $50$ fois par seconde entre environ $-325$ V et $+325$ V, et dont la moyenne est nulle. Que signifie alors ce nombre de $230$ ? Ni la moyenne, ni le maximum : c'est la valeur efficace, une moyenne d'un genre particulier, qui se calcule avec une intégrale.
Derrière cette question se cachent un chapitre du programme, la valeur moyenne d'une fonction, et une page d'histoire : la « guerre des courants » qui opposa à la fin du XIXe siècle Thomas Edison, partisan du courant continu, à George Westinghouse et Nikola Tesla, partisans du courant alternatif.
Ce texte rassemble ces connaissances, avec les mathématiques de terminale : intégrales et primitives, valeur moyenne, trigonométrie, fonctions composées, algorithmique. Il ne propose pas de Grand Oral tout fait : à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
- La valeur moyenne d'une fonction
- La tension du secteur a une moyenne nulle
- La tension efficace : $U_{\max}/\sqrt{2}$
- Le calcul approché : tableur et Python
- D'autres signaux : carré et triangle
- La guerre des courants
- Pourquoi l'alternatif a gagné : les pertes en ligne
- Le triphasé et les 400 volts
- Des directions pour construire sa question
La moyenne de $n$ nombres est leur somme divisée par $n$. Pour une grandeur qui varie continûment avec le temps, comme une température sur une journée, on ne peut pas additionner une infinité de valeurs ; on les remplace par une intégrale. Le programme de terminale donne la définition suivante.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a ; b]$ avec $a < b$. La valeur moyenne de $f$ sur $[a ; b]$ est le nombre
$$\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t.$$Interprétation géométrique. Si $f$ est positive, l'intégrale est l'aire sous la courbe. L'égalité $\mu \times (b - a) = \displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ dit que le rectangle de base $[a ; b]$ et de hauteur $\mu$ a la même aire que le domaine sous la courbe. La valeur moyenne est la hauteur à laquelle il faudrait « niveler » la courbe, comme on aplanit un tas de sable.
Exemple à la main. Une voiture accélère : sa vitesse est $v(t) = 3t$ (en m/s) pendant $10$ s. Sa vitesse moyenne est
$$\begin{aligned} \mu &= \frac{1}{10}\int_0^{10} 3t\,\mathrm{d}t = \frac{1}{10}\left[\frac{3t^2}{2}\right]_0^{10} \\ &= \frac{1}{10} \times 150 = 15 \text{ m/s}. \end{aligned}$$On retrouve la distance parcourue, $150$ m, divisée par la durée : la valeur moyenne d'une vitesse est bien la vitesse moyenne au sens habituel.
Imaginons un générateur très simple qui fournit $+10$ V pendant une seconde, puis $-10$ V pendant la seconde suivante, et ainsi de suite. Sur une période de $2$ s, la moyenne vaut
$$\mu = \frac{1}{2}\left(10 \times 1 + (-10) \times 1\right) = 0.$$La tension moyenne est nulle. Pourtant, une ampoule branchée sur ce générateur brille exactement comme sous une tension constante de $10$ V : le filament chauffe quel que soit le sens du courant. La moyenne n'est donc pas la bonne mesure de l'« efficacité » d'une tension alternative. C'est tout l'enjeu de ce texte.
La tension d'une prise est modélisée par
$$u(t) = U_{\max}\sin(\omega t), \qquad \omega = 2\pi f,$$avec une fréquence $f = 50$ Hz en Europe. La période est $T = \dfrac{1}{f} = 0{,}02$ s, soit $20$ ms, et $\omega T = 2\pi$.
Étape 1 : une primitive. La fonction $t \mapsto \sin(\omega t)$ est de la forme $t \mapsto \sin(at + b)$ ; une primitive est $t \mapsto -\dfrac{\cos(\omega t)}{\omega}$. On le vérifie en dérivant : la dérivée de $\cos(\omega t)$ est $-\omega\sin(\omega t)$.
Étape 2 : l'intégrale.
$$\begin{aligned} I &= \int_0^T U_{\max}\sin(\omega t)\,\mathrm{d}t \\ &= U_{\max}\left[-\frac{\cos(\omega t)}{\omega}\right]_0^T \\ &= \frac{U_{\max}}{\omega}\left(\cos 0 - \cos(\omega T)\right). \end{aligned}$$Étape 3 : conclusion. Comme $\omega T = 2\pi$, on a $\cos(\omega T) = \cos 0 = 1$, donc l'intégrale est nulle, et la valeur moyenne $\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T u(t)\,\mathrm{d}t$ aussi.
Géométriquement, l'aire de l'arche positive (première demi-période) compense exactement celle de l'arche négative. La figure le montre ; le curseur règle l'amplitude $U_{\max}$.
Un voltmètre réglé en mode « continu » (DC), qui affiche une moyenne, indique d'ailleurs $0$ V sur une prise. Réglé en mode « alternatif » (AC), il affiche $230$ V : il mesure autre chose.
Dans un radiateur ou une bouilloire, une résistance $R$ transforme l'énergie électrique en chaleur. La loi d'Ohm donne $i = \dfrac{u}{R}$, et la puissance reçue à l'instant $t$ est
$$p(t) = u(t) \times i(t) = \frac{u(t)^2}{R}.$$Elle fait intervenir le carré de la tension : elle est toujours positive, quel que soit le sens du courant. C'est pourquoi l'ampoule du générateur « $+10$ V, $-10$ V » brille comme sous $10$ V constants : $(+10)^2 = (-10)^2 = 100$.
La tension efficace $U_{\mathrm{eff}}$ d'une tension variable de période $T$ est la tension constante qui fournirait à une résistance la même puissance moyenne. Comme la puissance moyenne vaut $\dfrac{1}{R} \times \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T u(t)^2\,\mathrm{d}t$ et qu'une tension constante $U$ fournit $\dfrac{U^2}{R}$, on obtient
$$U_{\mathrm{eff}}^2 = \frac{1}{T}\int_0^T u(t)^2\,\mathrm{d}t.$$Le carré de la tension efficace est la valeur moyenne du carré de la tension. En anglais, on parle de valeur RMS, root mean square : la racine de la moyenne du carré.
Prenons quatre instants régulièrement répartis sur une période : $t = 0$, $\frac{T}{4}$, $\frac{T}{2}$ et $\frac{3T}{4}$. Les valeurs de $\sin(\omega t)$ sont $0$, $1$, $0$ et $-1$, et leurs carrés $0$, $1$, $0$ et $1$. La moyenne de ces carrés est $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$. On devine que la moyenne de $\sin^2$ sur une période vaut $\dfrac{1}{2}$ : démontrons-le.
Étape 1 : transformer le carré. La formule de duplication $\cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a)$ donne $\sin^2(a) = \dfrac{1 - \cos(2a)}{2}$. Avec $a = \omega t$ :
$$\begin{aligned} u(t)^2 &= U_{\max}^2\sin^2(\omega t) \\ &= \frac{U_{\max}^2}{2}\left(1 - \cos(2\omega t)\right). \end{aligned}$$Étape 2 : intégrer. Une primitive de $t \mapsto \cos(2\omega t)$ est $t \mapsto \dfrac{\sin(2\omega t)}{2\omega}$. Donc
$$\begin{aligned} J &= \int_0^T u(t)^2\,\mathrm{d}t \\ &= \frac{U_{\max}^2}{2}\left[t - \frac{\sin(2\omega t)}{2\omega}\right]_0^T \\ &= \frac{U_{\max}^2}{2}\left(T - \frac{\sin(2\omega T)}{2\omega}\right). \end{aligned}$$Étape 3 : simplifier. Comme $\omega T = 2\pi$, on a $\sin(2\omega T) = \sin(4\pi) = 0$. L'intégrale vaut $\dfrac{U_{\max}^2}{2} \times T$.
Étape 4 : la valeur moyenne. En divisant par $T$ :
$$U_{\mathrm{eff}}^2 = \frac{1}{T}\int_0^T u(t)^2\,\mathrm{d}t = \frac{U_{\max}^2}{2}.$$Étape 5 : conclusion. La tension efficace est positive, donc $U_{\mathrm{eff}} = \dfrac{U_{\max}}{\sqrt{2}}$.
Pour le secteur, $U_{\mathrm{eff}} = 230$ V, donc
$$U_{\max} = 230\sqrt{2} \approx 325 \text{ V}.$$La tension passe de $-325$ V à $+325$ V : un écart de $650$ V entre ses deux extrêmes, cent fois par seconde. C'est ce qui rend une prise dangereuse bien au-delà de ce que suggère le nombre $230$.
La figure trace la puissance reçue par une résistance de $529\ \Omega$, choisie pour qu'une tension constante de $230$ V lui fournisse exactement $100$ W. La puissance oscille entre $0$ et $200$ W ; sa moyenne, en pointillés, est la hauteur du rectangle de même aire. Le premier curseur change la forme du signal (sinusoïde, carré, triangle, étudiés plus loin).
Un voltmètre numérique ne calcule pas d'intégrale exacte : il mesure la tension à intervalles réguliers et fait la moyenne des carrés. C'est la méthode des rectangles. Le tableur ci-dessous découpe une période en $20$ instants : la colonne B contient $\sin\left(\frac{2\pi k}{20}\right)$ (valeurs arrondies), la colonne C la tension, la colonne D son carré. On peut modifier l'amplitude en B1.
La moyenne des tensions est nulle et la moyenne des carrés vaut $\dfrac{U_{\max}^2}{2}$ aux arrondis près : ici, la méthode des rectangles donne même le résultat exact, car la somme des $\cos\left(\frac{4\pi k}{20}\right)$ sur une période complète est nulle. Le programme Python suivant fait le même calcul pour un nombre de points quelconque, et pour les trois formes de signal.
Le facteur $\sqrt{2}$ est propre à la sinusoïde. Les onduleurs bon marché, les alimentations de secours ou certains instruments produisent d'autres formes de tension, de même amplitude $U_{\max}$, mais pas de même valeur efficace.
Il vaut $+U_{\max}$ pendant une demi-période et $-U_{\max}$ pendant l'autre. Son carré vaut $U_{\max}^2$ à chaque instant, donc sa moyenne aussi : $U_{\mathrm{eff}} = U_{\max}$. C'est le générateur « $+10$ V, $-10$ V » du début.
Il monte en ligne droite de $0$ à $U_{\max}$ pendant le premier quart de période, puis redescend, etc. Par symétrie, le carré de la tension a la même moyenne sur chaque quart de période ; il suffit de calculer sur $\left[0 ; \frac{T}{4}\right]$, où $u(t) = \dfrac{4U_{\max}}{T}\,t$.
Étape 1. Sur $\left[0 ; \frac{T}{4}\right]$, $u(t)^2 = \dfrac{16\,U_{\max}^2}{T^2}\,t^2$, dont une primitive est $t \mapsto \dfrac{16\,U_{\max}^2}{T^2} \times \dfrac{t^3}{3}$.
Étape 2. L'intégrale vaut
$$\begin{aligned} \int_0^{T/4} u(t)^2\,\mathrm{d}t &= \frac{16\,U_{\max}^2}{3\,T^2} \times \frac{T^3}{64} \\ &= \frac{U_{\max}^2\,T}{12}. \end{aligned}$$Étape 3. On divise par la longueur de l'intervalle, $\frac{T}{4}$ :
$$U_{\mathrm{eff}}^2 = \frac{4}{T} \times \frac{U_{\max}^2\,T}{12} = \frac{U_{\max}^2}{3},$$donc $U_{\mathrm{eff}} = \dfrac{U_{\max}}{\sqrt{3}}$.
Le tableau résume les trois cas, pour une même amplitude de $325$ V.
| Signal | $U_{\mathrm{eff}}$ | Pour $U_{\max} = 325$ V |
|---|---|---|
| carré | $U_{\max}$ | $325$ V |
| sinusoïde | $\dfrac{U_{\max}}{\sqrt{2}}$ | $230$ V |
| triangle | $\dfrac{U_{\max}}{\sqrt{3}}$ | $188$ V |
Conséquence pratique : un voltmètre bas de gamme mesure souvent la moyenne de $|u|$ et la multiplie par un coefficient calculé pour une sinusoïde. Sur un signal carré ou triangle, il se trompe. Les appareils marqués « TRMS » (true RMS) calculent réellement la moyenne des carrés.
En 1882, Thomas Edison met en service à New York, dans Pearl Street, l'une des premières centrales électriques. Elle distribue du courant continu sous une tension d'environ $110$ V, pour l'éclairage des immeubles voisins. Le continu a un défaut majeur : on ne sait pas, à l'époque, changer facilement sa tension, et à basse tension les pertes dans les câbles sont énormes. Les clients doivent habiter à moins de quelques kilomètres de la centrale ; il faudrait une centrale par quartier.
Nikola Tesla, ingénieur d'origine serbe passé chez Edison puis parti fonder ses propres entreprises, dépose en 1888 des brevets sur un moteur à courant alternatif. George Westinghouse, industriel et inventeur du frein ferroviaire à air comprimé, les achète et développe des réseaux alternatifs, où des transformateurs élèvent la tension pour le transport puis l'abaissent pour l'usage.
La rivalité devient une campagne publique. Le camp du continu insiste sur le danger de l'alternatif à haute tension : des démonstrations d'électrocution d'animaux sont organisées, et la première chaise électrique, utilisée dans l'État de New York en 1890, fonctionne au courant alternatif. Les historiens discutent encore de la part personnelle d'Edison dans ces actions ; les récits populaires l'ont sans doute exagérée. Westinghouse l'emporte pourtant : il éclaire l'Exposition universelle de Chicago en 1893, puis équipe la centrale des chutes du Niagara, qui alimente Buffalo, à une trentaine de kilomètres, à partir de 1896.
Il reste de cette époque des choix qui n'ont plus jamais changé, faute de pouvoir remplacer tous les appareils : $60$ Hz en Amérique du Nord, $50$ Hz en Europe, fixés par les premiers constructeurs de chaque côté de l'Atlantique. En France, la tension domestique a longtemps été de $110$ V, puis de $220$ V. La norme internationale CEI 60038, publiée en 1983, a harmonisé l'Europe autour de $230$ V, avec une longue période de transition : le passage s'est fait progressivement, sans que les abonnés le remarquent, car les tolérances autorisées couvrent les deux valeurs.
Une ligne électrique a une résistance $r$ : quand elle transporte un courant d'intensité efficace $I$, elle chauffe et perd la puissance $r\,I^2$. Pour livrer une puissance $P = U \times I$ (en valeurs efficaces), on peut choisir une grande tension et une petite intensité, ou l'inverse. Les pertes valent
$$P_{\text{pertes}} = r\,I^2 = r\left(\frac{P}{U}\right)^2 = \frac{r\,P^2}{U^2}.$$Elles sont inversement proportionnelles au carré de la tension : multiplier la tension par $20$ divise les pertes par $400$.
Exemple chiffré (illustration : une ligne de résistance $r = 5\ \Omega$ livre $10$ MW) :
| Tension | Intensité | Pertes $r I^2$ | Part perdue |
|---|---|---|---|
| $20$ kV | $500$ A | $1{,}25$ MW | $12{,}5\,\%$ |
| $400$ kV | $25$ A | $3\,125$ W | $0{,}03\,\%$ |
Un transformateur est formé de deux bobines enroulées sur un même noyau de fer. Un courant variable dans la première crée un champ magnétique variable, qui induit une tension dans la seconde ; le rapport des tensions est celui des nombres de spires. Avec un courant continu, le champ ne varie pas et rien n'est induit. Voilà pourquoi l'alternatif s'est imposé : on produit l'électricité à une vingtaine de kilovolts, on l'élève à $400$ kV pour le transport, puis on l'abaisse par étapes jusqu'aux $230$ V de la prise.
L'histoire a un épilogue : grâce à l'électronique de puissance, on sait aujourd'hui convertir efficacement le continu en alternatif et inversement. Pour les très longues distances et les câbles sous-marins, comme les liaisons entre la France et l'Angleterre, le courant continu à haute tension est revenu, car il évite d'autres pertes propres à l'alternatif.
Les centrales produisent trois tensions sinusoïdales de même amplitude, décalées d'un tiers de période :
$$\begin{aligned} u_1(t) &= U_{\max}\sin(\omega t), \\ u_2(t) &= U_{\max}\sin\left(\omega t - \tfrac{2\pi}{3}\right), \\ u_3(t) &= U_{\max}\sin\left(\omega t + \tfrac{2\pi}{3}\right). \end{aligned}$$La somme des trois est nulle à chaque instant (on le vérifie avec la formule $\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$, sachant que $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$) : un seul fil de retour suffit, et il ne transporte presque rien. Les usines et les maisons équipées en triphasé disposent de deux tensions, $230$ V entre une phase et le neutre, et $400$ V entre deux phases. D'où vient ce nombre ?
Étape 1. Avec la formule d'addition et les valeurs $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, $\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, en posant $a = \omega t$ :
$$u_2 = U_{\max}\left(-\tfrac{1}{2}\sin a - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos a\right),$$donc
$$u_1 - u_2 = U_{\max}\left(\tfrac{3}{2}\sin a + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos a\right).$$Étape 2. On factorise par $\sqrt{3}$ : $\tfrac{3}{2} = \sqrt{3} \times \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\cos\tfrac{\pi}{6}$ et $\tfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \times \tfrac{1}{2} = \sqrt{3}\sin\tfrac{\pi}{6}$. Avec la formule d'addition lue à l'envers,
$$u_1 - u_2 = \sqrt{3}\,U_{\max}\sin\left(a + \tfrac{\pi}{6}\right).$$Étape 3. C'est une sinusoïde d'amplitude $\sqrt{3}\,U_{\max}$, donc de valeur efficace $\sqrt{3}$ fois plus grande : $230\sqrt{3} \approx 398$ V, arrondi à $400$ V.
- La tension réelle n'est pas une sinusoïde parfaite : les appareils électroniques (chargeurs, alimentations) déforment l'onde, et le réseau tolère des écarts de l'ordre de $10\,\%$ autour de $230$ V.
- La fréquence n'est pas exactement $50$ Hz : elle varie légèrement selon l'équilibre entre production et consommation, et les gestionnaires du réseau la surveillent en permanence.
- Le calcul de puissance $u^2/R$ ne vaut que pour une résistance. Pour un moteur, l'intensité est décalée par rapport à la tension, et la puissance moyenne fait intervenir un facteur supplémentaire, le « facteur de puissance ».
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : la valeur moyenne d'une fonction et son interprétation géométrique ; la moyenne de $\sin^2$ et la formule de duplication ; la méthode des rectangles ; les formules d'addition et le facteur $\sqrt{3}$ du triphasé.
- Physique-chimie et SI : la puissance dans une résistance, l'effet Joule et les pertes en ligne ; la mesure des valeurs efficaces et les appareils « TRMS » ; le transformateur et l'induction.
- HGGSP : la guerre des courants comme rivalité industrielle et bataille d'opinion ; les normes techniques (50 et 60 Hz, 230 V) et leur poids dans l'histoire ; les réseaux électriques, enjeu de puissance et d'interconnexion européenne.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : la définition de l'intégrale et le calcul par primitives ; les primitives de $\sin(ax + b)$ et $\cos(ax + b)$ ; la valeur moyenne d'une fonction ; la linéarité de l'intégrale ; les fonctions trigonométriques, leurs dérivées et la formule $\cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a$ ; les formules d'addition ; les boucles en Python.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Valeur efficace, guerre des courants et courant triphasé (Wikipédia).
- Sur ce site : l'animation sur la valeur moyenne d'une fonction, et les textes Le dôme et la chaînette (la forme des câbles), Comment est calculé un sinus ? et Les indivisibles (l'aire avant l'intégrale).