Archimède définit la spirale par un mouvement : une demi-droite tourne d'un mouvement uniforme autour de son origine $O$, et un point part de $O$ et parcourt cette demi-droite, lui aussi d'un mouvement uniforme. Le chemin du point est la spirale.

Notons $r$ la distance du point à $O$ et $\theta$ l'angle (en radians) dont la demi-droite a tourné. Les deux mouvements étant uniformes, $r$ et $\theta$ sont tous les deux proportionnels au temps, donc proportionnels entre eux : il existe un nombre $a$ tel que

C'est l'équation de la spirale en coordonnées polaires. Dans un repère orthonormé d'origine $O$, le point de paramètre $\theta$ a pour coordonnées

À la main. Prenons $a = 1$ cm par radian. Quand la demi-droite a fait un quart de tour, $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ et le point est à $r \approx 1{,}57$ cm de $O$ ; après un demi-tour, $r = \pi \approx 3{,}14$ cm ; après un tour complet, $r = 2\pi \approx 6{,}28$ cm. À chaque tour, la distance augmente de la même quantité $2\pi a$ : les spires sont également espacées. Les distances au centre, mesurées le long d'une même demi-droite, forment une suite arithmétique de raison $2\pi a$.

Dans toute la suite, on appelle première spire la partie tracée pendant le premier tour, et premier cercle le cercle de centre $O$ de rayon $R = 2\pi a$, qui passe par l'extrémité de la première spire. Archimède montre que la région limitée par la première spire et le segment qui la ferme a pour aire le tiers de celle du premier cercle.

Archimède vivait à Syracuse, en Sicile, mais correspondait avec les savants d'Alexandrie. Des spirales commence par une lettre à Dosithée, un astronome alexandrin. Archimède y regrette la mort de son ami Conon de Samos, à qui il envoyait ses énoncés ; il raconte aussi qu'il avait glissé dans un envoi précédent deux énoncés faux, pour confondre ceux qui prétendraient avoir tout trouvé sans jamais donner de démonstration. On voit déjà l'idée qu'un résultat ne vaut rien sans sa preuve.

Comme ses autres traités, Des spirales nous est parvenu par des copies byzantines, des traductions en arabe puis en latin (Guillaume de Moerbeke au XIIIe siècle), avant la première édition imprimée, à Bâle, en 1544. Sa vie et ses autres travaux sont présentés dans le texte Archimède.

On ne sait pas calculer directement l'aire d'une région limitée par une courbe. Archimède l'encadre entre deux figures dont il connaît l'aire : des secteurs de cercle, c'est-à-dire des « parts de tarte ».

L'aire d'un secteur. Un disque de rayon $r$ a pour aire $\pi r^2$. Un secteur d'angle $\alpha$ (en radians) en est la fraction $\dfrac{\alpha}{2\pi}$, donc son aire vaut $\dfrac{\alpha}{2\pi} \times \pi r^2 = \dfrac{1}{2}\,\alpha\, r^2$.

Le découpage. On partage le tour complet en $n$ angles égaux, chacun de mesure $\dfrac{2\pi}{n}$. Dans le $k$-ième angle, l'angle $\theta$ va de $\dfrac{2\pi(k-1)}{n}$ à $\dfrac{2\pi k}{n}$, donc la distance $r = a\theta$ va de $\dfrac{(k-1)R}{n}$ à $\dfrac{kR}{n}$ (rappel : $R = 2\pi a$). Comme $r$ augmente avec $\theta$, la portion de spirale est

• contenue dans le secteur de rayon $\dfrac{kR}{n}$ (secteur extérieur) ;
• et elle contient le secteur de rayon $\dfrac{(k-1)R}{n}$ (secteur intérieur).

Le secteur extérieur numéro $k$ a pour aire $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2\pi}{n} \times \dfrac{k^2R^2}{n^2} = \dfrac{\pi R^2}{n^3}\,k^2$. En additionnant, l'aire $\mathcal{A}$ de la spirale vérifie

Pour $n = 4$ :

• secteurs extérieurs : $1 + 4 + 9 + 16 = 30$, d'où une aire de $\dfrac{30}{64}\,\pi R^2 \approx 0{,}469\,\pi R^2$ ;
• secteurs intérieurs : $0 + 1 + 4 + 9 = 14$, d'où une aire de $\dfrac{14}{64}\,\pi R^2 \approx 0{,}219\,\pi R^2$.

L'aire de la spirale est donc comprise entre $22\,\%$ et $47\,\%$ de celle du premier cercle. C'est grossier, mais l'écart entre les deux encadrements vaut exactement $\dfrac{16}{64}\,\pi R^2 = \dfrac{\pi R^2}{4}$ : en général, il vaut $\dfrac{n^2}{n^3}\,\pi R^2 = \dfrac{\pi R^2}{n}$ (seul le dernier carré $n^2$ diffère entre les deux sommes), et il tend vers $0$ quand $n$ augmente. Avec $n = 10$ : $\dfrac{285}{1\,000} = 0{,}285$ et $\dfrac{385}{1\,000} = 0{,}385$.

Pour aller plus loin, il faut une formule pour la somme $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2$. Archimède l'établit dans son traité, sous une forme géométrique. En terminale, on la démontre par récurrence.

On vérifie avec l'exemple : pour $n = 4$, $\dfrac{4 \times 5 \times 9}{6} = 30$ ; pour $n = 10$, $\dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$. La somme qui s'arrête à $n-1$ s'obtient en remplaçant $n$ par $n - 1$ : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$.

En remplaçant les sommes, l'encadrement devient, pour tout $n \geqslant 1$,

et

Archimède ne parle pas de limite : il raisonne par l'absurde, deux fois. Si l'aire était plus grande que le tiers du cercle, un découpage assez fin donnerait des secteurs intérieurs déjà plus grands que ce tiers, ce que les calculs interdisent ; si elle était plus petite, ce sont les secteurs extérieurs qui conduiraient à une contradiction. On appelle cette méthode la méthode d'exhaustion. Elle est rigoureuse, mais il faut connaître le résultat à l'avance. Le texte sur la méthode des indivisibles raconte comment, au XVIIe siècle, on a cherché un moyen de trouver ces résultats plus directement.

Le programme suivant calcule les deux encadrements pour des valeurs de $n$ de plus en plus grandes (en fraction de l'aire du cercle).

Revenons à la définition d'Archimède. Une fourmi marche à la vitesse constante $v$ le long d'une règle posée sur un plateau qui tourne à la vitesse angulaire constante $\omega$ (en radians par seconde). Partie du centre à l'instant $t = 0$, elle est à la distance $r = vt$ du centre, et la règle a tourné de $\theta = \omega t$. Vue d'en haut, dans un repère fixe, elle décrit la spirale $r = \dfrac{v}{\omega}\,\theta$, avec

Les coordonnées du vecteur vitesse sont les dérivées de $x$ et de $y$. On dérive des produits, avec $\big(\cos(\omega t)\big)' = -\omega\sin(\omega t)$ et $\big(\sin(\omega t)\big)' = \omega\cos(\omega t)$ :

Introduisons deux vecteurs unitaires : $\vec{u} = \big(\cos(\omega t)\,;\sin(\omega t)\big)$, dirigé du centre vers la fourmi, et $\vec{w} = \big(-\sin(\omega t)\,;\cos(\omega t)\big)$, qui lui est orthogonal. Les formules précédentes s'écrivent

La vitesse est la somme d'une vitesse radiale $v$ (la marche sur la règle) et d'une vitesse orthoradiale $r\omega$ (celle d'un point fixe de la règle, à la distance $r$ du centre). Ces deux vecteurs étant orthogonaux, le théorème de Pythagore donne la norme :

À la main. Le plateau d'un tourne-disque tourne à $33\tfrac{1}{3}$ tours par minute, soit $\omega = \dfrac{2\pi \times 33{,}33}{60} \approx 3{,}49$ rad/s. Une fourmi qui avance à $1$ cm/s est, au bout de $10$ secondes, à $10$ cm du centre ; sa vitesse vaut alors $0{,}01\sqrt{1 + 34{,}9^2} \approx 0{,}35$ m/s, trente-cinq fois sa vitesse de marche. Presque toute sa vitesse vient du plateau.

En dérivant une seconde fois, on obtient

c'est-à-dire

Le premier terme, dirigé vers le centre, est l'accélération centripète du mouvement circulaire uniforme ($r\omega^2$). Le second, perpendiculaire à la règle, existe parce que la fourmi s'éloigne du centre : à chaque instant, elle doit acquérir la vitesse orthoradiale plus grande des points plus éloignés. C'est la règle qui pousse la fourmi sur le côté. Dans notre exemple, $r\omega^2 \approx 1{,}22$ m/s² et $2v\omega \approx 0{,}07$ m/s² : une fourmi bien accrochée ! Dans le référentiel du plateau, qui tourne, ce terme apparaît comme une force « de Coriolis », la même qui fait tourner les dépressions météorologiques.

Le vecteur vitesse est dirigé selon la tangente à la spirale. Notons $\alpha$ l'angle entre la droite $(OM)$ et cette tangente. Dans le triangle rectangle formé par les deux composantes de la vitesse,

La tangente fait avec le rayon un angle dont la tangente trigonométrique est exactement l'angle parcouru. Après un tour, $\tan\alpha = 2\pi$, soit $\alpha \approx 81°$ : la spirale ressemble déjà beaucoup à un cercle.

La construction d'Archimède. Traçons, en $O$, la perpendiculaire à $(OM)$ ; elle coupe la tangente en un point $T$. Le triangle $OMT$ est rectangle en $O$, et son angle en $M$ vaut $\alpha$, donc

Or $r\theta$ est la longueur de l'arc du cercle de centre $O$ et de rayon $r$ qui intercepte l'angle $\theta$. Après un tour complet, $OT = 2\pi r$ : le segment $[OT]$ a exactement la longueur du cercle de rayon $OM$. C'est le résultat qu'Archimède démontre dans Des spirales, par un raisonnement géométrique bien plus long.

Le début de La mesure du cercle dans la première édition imprimée des œuvres d'Archimède (Bâle, 1544) : un cercle a la même aire que le triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont le rayon et la circonférence (le grand triangle à droite). Image : Wikimedia Commons, domaine public.

Dans un autre traité, La mesure du cercle, Archimède démontre qu'un disque de rayon $r$ a la même aire qu'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $r$ et $2\pi r$ : en effet $\dfrac{1}{2} \times r \times 2\pi r = \pi r^2$. Grâce à la tangente de la spirale, on sait construire un segment de longueur $2\pi r$, donc ce triangle, puis un carré de même aire. La spirale permet ainsi de « carrer » le cercle.

Ce n'est pas la quadrature du cercle « à la règle et au compas » que cherchaient les Grecs : la spirale ne se trace pas avec ces instruments, il faut un mouvement. En 1882, le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann a démontré que $\pi$ n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers, ce qui rend la quadrature à la règle et au compas impossible. Les Grecs le soupçonnaient sans doute, puisqu'ils ont inventé plusieurs courbes (la spirale, la quadratrice) pour contourner l'obstacle.

Couper un angle en deux à la règle et au compas est un exercice de collège (la bissectrice). Le couper en trois, c'est la trisection de l'angle, l'un des trois grands problèmes de l'Antiquité avec la quadrature du cercle et la duplication du cube.

La spirale le résout, parce que la distance au centre est proportionnelle à l'angle. Soit un angle de sommet $O$, dont un côté est la demi-droite de départ de la spirale. L'autre côté coupe la spirale en un point $P$, avec $OP = a\theta$.

1. On partage le segment $[OP]$ en trois parties égales, ce qui se fait à la règle et au compas (théorème de Thalès) : on obtient $Q$ tel que $OQ = \dfrac{OP}{3} = a\,\dfrac{\theta}{3}$.
2. Le cercle de centre $O$ et de rayon $OQ$ coupe la spirale en un point $Q'$. Comme $OQ' = a\theta'$, on a $a\theta' = a\,\dfrac{\theta}{3}$, donc $\theta' = \dfrac{\theta}{3}$.
3. La demi-droite $[OQ')$ fait avec le côté de départ un angle égal au tiers de l'angle donné.

La même construction partage un angle en n'importe quel nombre de parts égales, et même dans n'importe quel rapport.

Pourquoi ne pas faire sans la spirale ? Parce que c'est impossible en général. Prenons un angle de $60°$ : le couper en trois, c'est construire un angle de $20°$, donc la longueur $\cos 20°$.

Avec $x = 20°$, $\cos(3x) = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$. En notant $c = \cos 20°$, on obtient $4c^3 - 3c = \dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire

On peut vérifier à la main que cette équation n'a aucune solution rationnelle (les seules candidates seraient $\pm 1$, $\pm \tfrac{1}{2}$, $\pm \tfrac{1}{4}$, $\pm \tfrac{1}{8}$, et aucune ne convient). En 1837, Pierre-Laurent Wantzel, polytechnicien de 23 ans, démontre qu'une longueur constructible à la règle et au compas est toujours solution d'une suite d'équations du second degré, et qu'une équation du troisième degré sans solution rationnelle comme celle-ci ne peut pas en provenir (résultat admis ici). Conclusion : l'angle de $60°$ ne peut pas être partagé en trois à la règle et au compas. Il a fallu plus de deux mille ans pour le prouver ; Archimède, lui, contournait l'obstacle avec sa spirale.

Les sillons d'un disque 33 tours, vus de très près. Les lignes sombres séparent les morceaux ; chaque bande est faite de centaines de tours du même sillon. Photo : Evan-Amos, Wikimedia Commons, domaine public.

Un disque vinyle porte, sur chaque face, un seul sillon qui part du bord et s'enroule vers le centre. Le disque tourne à vitesse constante, et la pointe de gravure se déplace vers le centre à vitesse à peu près constante : c'est exactement le mouvement d'Archimède, et le sillon est, en première approximation, une spirale d'Archimède.

À la main. Sur un disque de $30$ cm qui tourne à $33\tfrac{1}{3}$ tours par minute, la musique occupe environ la couronne comprise entre $6$ cm et $14{,}6$ cm du centre. Une face de $20$ minutes fait

• $33{,}33 \times 20 \approx 667$ tours ;
• donc un écart entre deux tours (le pas) de $\dfrac{14{,}6 - 6}{667} \approx 0{,}013$ cm, soit environ $0{,}13$ mm, à peine plus qu'un cheveu.

La longueur du sillon. Chaque tour est presque un cercle, de rayon $r_k = 6 + kp$ (en cm, où $p$ est le pas) : ces rayons forment une suite arithmétique. La longueur totale est donc environ

par la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique (nombre de termes fois moyenne du premier et du dernier). Avec $N = 667$ et un rayon moyen d'environ $10{,}3$ cm, on trouve $L \approx 2\pi \times 667 \times 10{,}3 \approx 43\,000$ cm, soit environ $430$ mètres de sillon sur une seule face.

Une conséquence qu'on entend. La pointe de lecture parcourt le sillon à la vitesse $r\omega$, avec $\omega = \dfrac{2\pi \times 33{,}33}{60} \approx 3{,}49$ rad/s. Au bord, $0{,}146 \times 3{,}49 \approx 0{,}51$ m/s ; près du centre, $0{,}06 \times 3{,}49 \approx 0{,}21$ m/s. Le même son doit être gravé sur une longueur deux fois et demie plus courte à la fin de la face : les aigus y sont moins bien rendus. C'est pourquoi les morceaux les plus calmes étaient souvent placés en fin de face. En réalité, la gravure moderne fait varier le pas selon la musique (plus serré dans les passages doux), si bien que le sillon n'est pas une spirale d'Archimède parfaite.

Un CD contient lui aussi une seule piste en spirale, mais lue du centre vers le bord, avec un pas constant de $1{,}6$ µm (micromètre), entre environ $25$ mm et $58$ mm du centre. Le nombre de tours est $\dfrac{58 - 25}{0{,}0016} \approx 20\,600$, et, avec le même calcul que pour le vinyle, la longueur de la piste vaut environ $2\pi \times 20\,600 \times 41{,}5$ mm, soit plus de $5$ kilomètres.

Contrairement au tourne-disque, le lecteur de CD lit la piste à vitesse linéaire constante, environ $1{,}2$ m/s : le disque doit donc tourner de plus en plus lentement, puisque $\omega = \dfrac{v}{r}$. On trouve environ $460$ tours par minute au début et $200$ à la fin. Vérification : $74$ minutes de musique à $1{,}2$ m/s font $74 \times 60 \times 1{,}2 \approx 5\,300$ m, en accord avec la longueur de la spirale.

Le programme suivant additionne les tours un par un, et compare avec la formule de la section suivante.

Une feuille d'épaisseur $e$ enroulée sur un mandrin de rayon $r$ forme une spirale d'Archimède de pas $e$. Quelle longueur contient un rouleau de rayon extérieur $R$ ? Deux raisonnements donnent la même réponse.

• Par les aires. Vue de côté, la feuille enroulée occupe la couronne d'aire $\pi(R^2 - r^2)$. Déroulée, elle forme une bande d'épaisseur $e$ et de longueur $L$, d'aire $L \times e$. D'où $L = \dfrac{\pi\left(R^2 - r^2\right)}{e}$.
• Par une suite. Il y a $N = \dfrac{R - r}{e}$ tours, de rayons en progression arithmétique de $r$ à environ $R$ : $L \approx 2\pi N\,\dfrac{r + R}{2}$, soit $L \approx \pi\,\dfrac{(R - r)(R + r)}{e}$, c'est-à-dire $L \approx \dfrac{\pi\left(R^2 - r^2\right)}{e}$.

À la main. Un rouleau de ticket de caisse de $8$ cm de diamètre ($R = 4$ cm), sur un mandrin de rayon $0{,}6$ cm, avec un papier de $0{,}055$ mm d'épaisseur : $L = \dfrac{\pi(16 - 0{,}36)}{0{,}005\,5} \approx 8\,900$ cm, soit près de $90$ mètres. La formule montre que la longueur restante n'est pas proportionnelle au rayon, mais à la différence des carrés : quand le rayon a diminué de moitié, il reste bien moins de la moitié du papier.

Le compteur des cassettes. Dans une cassette audio, la bande défile à vitesse constante, $4{,}76$ cm/s, mais le compteur comptait les tours d'une bobine. La bobine qui reçoit la bande grossit : après un temps $t$, son rayon vérifie $\pi\left(R(t)^2 - r^2\right) = e \times 4{,}76\,t$, donc $R(t) = \sqrt{r^2 + \dfrac{4{,}76\,e\,t}{\pi}}$. Le nombre de tours, proportionnel à $R(t) - r$, croît comme une racine carrée : de plus en plus lentement. Les chiffres du compteur ne correspondaient donc pas à des minutes, et une même avance du compteur représentait plus de musique en fin de bande qu'au début.

Le balancier d'une montre mécanique et son ressort spiral, à côté d'un cheveu humain (le fil fin qui traverse l'image en diagonale). Photo : Sandbachfizzy, Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 4.0.

Le cœur d'une montre mécanique est un petit volant, le balancier, ramené vers sa position d'équilibre par un ressort enroulé en spirale. L'idée est attribuée à Christiaan Huygens en 1675 (Robert Hooke en revendiquait la priorité). Le ressort est une spirale d'Archimède : ses spires doivent être également espacées pour ne pas se toucher quand il se serre et se desserre.

Un tel ressort exerce un couple de rappel proportionnel à l'angle dont on a tourné le balancier, comme un ressort ordinaire exerce une force proportionnelle à son allongement. L'angle $\varphi$ obéit alors à une équation de la forme $\varphi'' = -k\,\varphi$, dont les solutions $\varphi(t) = \varphi_0\cos\!\big(\sqrt{k}\,t\big)$ ont une période $\dfrac{2\pi}{\sqrt{k}}$ qui ne dépend pas de l'amplitude $\varphi_0$ : la montre bat la même seconde, qu'elle soit secouée ou au repos. On peut le vérifier en dérivant deux fois. En pratique, la spirale se déforme un peu de travers en se serrant, et les horlogers ont corrigé ce défaut, par exemple avec la « courbe terminale » de Breguet. Le texte sur la mesure du temps raconte la suite de cette histoire.

Une came est une pièce qui tourne et pousse une tige, le poussoir : elle transforme une rotation en un va-et-vient. La forme de la came décide du mouvement du poussoir. Si l'on veut que le poussoir monte puis descende à vitesse constante, il faut que la distance au centre varie proportionnellement à l'angle : on assemble deux morceaux de spirale d'Archimède,

La came obtenue a la forme d'un cœur. Si elle tourne à la vitesse angulaire constante $\omega$, la hauteur du poussoir est une fonction affine du temps sur chaque demi-tour, de coefficient directeur $a\omega$ puis $-a\omega$ : le poussoir monte et descend à vitesse constante. On trouve ce mécanisme dans des dispositifs qui doivent répartir un fil régulièrement sur une bobine, comme le guide-fil de certaines machines à coudre.