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Une balle qui rebondit de moins en moins haut, une boule de billard qui frappe une bande, un galet qui ricoche sur l'eau : les rebonds sont partout, au sport comme en physique. Derrière eux se cachent des mathématiques de terminale : suites géométriques et sommes, primitives, symétries et droites, cercle et trigonométrie, logarithme.
Ce texte présente trois familles de rebonds, en partant chaque fois d'un exemple calculé à la main. Il rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
On lâche une balle sans vitesse d'une hauteur $h$. En négligeant l'air, son accélération vaut $-g$ (avec $g \approx 9{,}81$ m/s²), l'axe des hauteurs étant orienté vers le haut.
- La vitesse est une primitive de l'accélération, nulle au départ : $v(t) = -gt$.
- La hauteur est une primitive de la vitesse, égale à $h$ au départ : $z(t) = h - \dfrac{1}{2}gt^2$.
- La balle touche le sol quand $z(t) = 0$, c'est-à-dire $t^2 = \dfrac{2h}{g}$, soit $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$. Sa vitesse est alors, en valeur absolue, $g\,t = \sqrt{2gh}$.
À la main. Pour $h = 1$ m : $t = \sqrt{\dfrac{2}{9{,}81}} \approx 0{,}45$ s et la vitesse au sol vaut $\sqrt{2 \times 9{,}81} \approx 4{,}4$ m/s. Le calcul se fait aussi dans l'autre sens : une balle lancée vers le haut à la vitesse $v$ monte jusqu'à la hauteur $\dfrac{v^2}{2g}$, et met le même temps pour monter que pour redescendre.
À chaque choc, la balle perd une partie de sa vitesse : elle repart avec une vitesse égale à $e$ fois sa vitesse d'arrivée, où $e$ est un nombre compris entre $0$ et $1$, appelé coefficient de restitution. On le suppose constant.
- Elle arrive au sol à la vitesse $\sqrt{2gh}$ ; elle repart à la vitesse $e\sqrt{2gh}$.
- Elle remonte donc jusqu'à $\dfrac{\left(e\sqrt{2gh}\right)^2}{2g} = \dfrac{e^2 \times 2gh}{2g} = e^2 h$.
À chaque rebond, la hauteur est multipliée par $e^2$ : les hauteurs successives $h_0$, $h_1$, $h_2$… forment une suite géométrique de raison $e^2$, et $h_n = h_0\,e^{2n}$.
À la main, avec $e = 0{,}8$ et $h_0 = 1$ m. La raison vaut $0{,}8^2 = 0{,}64$ : $h_1 = 0{,}64$ m, $h_2 = 0{,}409\,6$ m, $h_3 \approx 0{,}262$ m.
Mesurer $e$. Inversement, on obtient $e$ en mesurant deux hauteurs : $e = \sqrt{\dfrac{h_1}{h_0}}$. C'est ainsi qu'on contrôle les balles de tennis : d'après le règlement de la Fédération internationale, une balle lâchée de $254$ cm sur une surface dure doit remonter entre $135$ et $147$ cm. Cela correspond à $e = \sqrt{\dfrac{135}{254}} \approx 0{,}73$ et $e = \sqrt{\dfrac{147}{254}} \approx 0{,}76$.
Combien de rebonds visibles ? Cherchons à partir de quand la balle remonte de moins d'un millimètre :
- il faut $0{,}64^{\,n} < 0{,}001$ ;
- la fonction $\ln$ étant strictement croissante, $n \ln 0{,}64 < \ln 0{,}001$ ;
- comme $\ln 0{,}64 < 0$, $n > \dfrac{\ln 0{,}001}{\ln 0{,}64} \approx 15{,}5$.
Après $16$ rebonds, la balle ne remonte plus que de moins d'un millimètre.
Notons $t_0 = \sqrt{\dfrac{2h_0}{g}}$ la durée de la première chute. Le $n$-ième rebond monte à la hauteur $h_n = h_0\,e^{2n}$ : il dure, en montée et en descente,
$$2\sqrt{\frac{2h_n}{g}} = 2\sqrt{\frac{2h_0\,e^{2n}}{g}} = 2\,t_0\,e^{n}.$$Les durées des rebonds forment donc une suite géométrique de raison $e$.
Étape 1. La durée jusqu'à la fin du $n$-ième rebond est
$$T_n = t_0 + 2t_0\,(e + e^2 + \cdots + e^n).$$Étape 2. La somme des termes d'une suite géométrique donne $e + e^2 + \cdots + e^n = e\,\dfrac{1 - e^n}{1 - e}$.
Étape 3. Comme $0 < e < 1$, $e^n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$, donc $T_n$ tend vers
$$T = t_0 + \frac{2\,t_0\,e}{1 - e} = t_0\,\frac{(1 - e) + 2e}{1 - e},$$soit $T = t_0\,\dfrac{1 + e}{1 - e}$.
À la main. Avec $h_0 = 1$ m et $e = 0{,}8$ : $T \approx 0{,}45 \times \dfrac{1{,}8}{0{,}2} = 0{,}45 \times 9$, soit environ $4{,}1$ secondes. De même, la distance totale parcourue par la balle vaut $h_0 + 2(h_1 + h_2 + \cdots)$, qui tend vers $h_0\,\dfrac{1 + e^2}{1 - e^2}$, soit $\dfrac{1{,}64}{0{,}36} \approx 4{,}6$ m.
Dans ce modèle, la balle rebondit une infinité de fois, et pourtant tous ces rebonds tiennent dans un temps fini. Après environ $4{,}1$ secondes, la balle est immobile. C'est exactement la situation d'Achille et de la tortue : une infinité d'étapes, de plus en plus courtes, dont la durée totale est finie (voir le texte Aristote et l'infini, les paradoxes de Zénon).
En réalité, le modèle cesse d'être valable pour les tout petits rebonds : le coefficient $e$ n'est pas vraiment constant, la balle se déforme, vibre et finit par rouler. Mais l'oreille entend bien l'accélération des rebonds, de plus en plus rapprochés, puis le silence.
Quand une boule de billard frappe une bande, ou qu'un rayon de lumière frappe un miroir, on observe que l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence : la trajectoire repart de façon symétrique par rapport à la perpendiculaire à la bande. (Pour une vraie boule, c'est une approximation : l'effet donné à la boule et le frottement modifient un peu le rebond.)
Un joueur veut envoyer la boule $A$ sur la boule $B$ en passant par la bande. Où viser ? L'astuce consiste à remplacer $B$ par son symétrique $B'$ par rapport à la bande, et à viser $B'$ en ligne droite.
À la main. Plaçons la bande sur l'axe des abscisses, la boule $A$ en $(1\,;2)$ et la boule $B$ en $(4\,;1)$. Le symétrique de $B$ par rapport à l'axe des abscisses est $B'(4\,;-1)$.
- La droite $(AB')$ a pour coefficient directeur $\dfrac{-1 - 2}{4 - 1} = -1$ ; elle passe par $A(1\,;2)$, donc son équation est $y = -x + 3$.
- Elle coupe la bande $(y = 0)$ au point $P(3\,;0)$ : c'est là qu'il faut viser.
- Vérification : de $A$ à $P$, la boule se déplace selon le vecteur $(2\,;-2)$ ; de $P$ à $B$, selon le vecteur $(1\,;1)$. Les deux font un angle de $45°$ avec la bande, de part et d'autre de la perpendiculaire : la loi de la réflexion est respectée.
Au Ier siècle, Héron d'Alexandrie remarque que la lumière qui se réfléchit sur un miroir suit le plus court chemin entre deux points qui touche le miroir. La symétrie le démontre.
Étape 1. La symétrie par rapport à la bande conserve les longueurs, et $M$ est sur la bande, donc il est son propre symétrique : $MB = MB'$.
Étape 2. La longueur du chemin vaut donc $AM + MB = AM + MB'$. D'après l'inégalité triangulaire, $AM + MB' \geqslant AB'$, avec égalité seulement si $M$ est sur le segment $[AB']$, c'est-à-dire si $M = P$.
Étape 3. Avec les coordonnées de l'exemple, le chemin le plus court mesure $AB' = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24$.
Deux rebonds sur deux bandes perpendiculaires s'obtiennent en appliquant deux symétries successives. Les joueurs de billard « déplient » ainsi la table dans leur tête pour viser.
Imaginons maintenant une table ronde, de centre $O$ et de rayon $1$. En un point $P$ du bord, la perpendiculaire à la bande est le rayon $[OP]$. Une boule part du bord en suivant une corde $[P_0P_1]$, qui intercepte un angle au centre $\widehat{P_0OP_1} = \varphi$.
- Le triangle $OP_0P_1$ est isocèle en $O$, car $OP_0 = OP_1 = 1$. Ses angles à la base sont égaux : la corde fait le même angle avec les rayons $[OP_0]$ et $[OP_1]$.
- Par la loi de la réflexion, la boule repart de $P_1$ en faisant le même angle avec le rayon $[OP_1]$, de l'autre côté : la nouvelle corde $[P_1P_2]$ intercepte elle aussi un angle au centre égal à $\varphi$.
À chaque rebond, le point d'impact tourne donc de $\varphi$ autour du centre : si $P_0$ est repéré par l'angle $0$, le point $P_k$ est repéré par l'angle $k\varphi$, et a pour coordonnées $(\cos(k\varphi)\,;\sin(k\varphi))$.
Des grandeurs constantes. Toutes les cordes ont la même longueur $2\sin\dfrac{\varphi}{2}$ (en coupant le triangle isocèle en deux triangles rectangles), et elles sont toutes à la même distance $\cos\dfrac{\varphi}{2}$ du centre. Elles sont donc toutes tangentes au cercle de centre $O$ et de rayon $\cos\dfrac{\varphi}{2}$ : la boule ne pénètre jamais à l'intérieur de ce cercle.
La boule revient à son point de départ après $q$ rebonds si $q\varphi$ est un multiple de $360°$ : $q\varphi = p \times 360°$ pour un entier $p$.
- Avec $\varphi = 120°$ : $3 \times 120° = 360°$, la trajectoire est un triangle équilatéral, fermé après $3$ rebonds.
- Avec $\varphi = 144°$ : $5 \times 144° = 720° = 2 \times 360°$, la trajectoire est une étoile à cinq branches.
- Avec $\varphi = 100°$ : il faut $q \times 100$ multiple de $360$, soit $q$ multiple de $18$ : la trajectoire se referme après $18$ rebonds.
Si le rapport $\dfrac{\varphi}{360°}$ est un nombre irrationnel, la boule ne revient jamais exactement à son point de départ, et l'on admet que ses points d'impact finissent par passer aussi près qu'on veut de n'importe quel point du bord.
Un galet plat lancé presque à l'horizontale rebondit sur l'eau. Le physicien français Lydéric Bocquet et ses collègues l'ont étudié au début des années 2000, en lançant des disques avec une machine au-dessus d'un bassin et en filmant les chocs. Leurs expériences indiquent qu'un angle d'environ $20°$ entre le galet et la surface de l'eau donne les meilleurs ricochets ; le galet doit aussi tourner sur lui-même pour rester stable, comme un frisbee. Le record homologué dépasse $80$ ricochets.
Un modèle simple. Supposons qu'à chaque contact le galet perde une proportion fixe de sa vitesse horizontale : elle est multipliée par un nombre $k$ compris entre $0$ et $1$, et le galet coule dès qu'elle passe sous une vitesse minimale $v_{\min}$. Après $n$ contacts, la vitesse vaut $v_0\,k^n$, et le galet ricoche tant que $v_0\,k^n \geqslant v_{\min}$, soit
$$n \leqslant \frac{\ln(v_{\min} / v_0)}{\ln k}.$$Par exemple, avec $k = 0{,}9$, une vitesse de départ de $10$ m/s et une vitesse minimale de $1$ m/s, on trouve $n \leqslant \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}9} \approx 21{,}9$ : $21$ ricochets. Doubler la vitesse de départ n'en ajoute que $\dfrac{\ln 2}{-\ln 0{,}9} \approx 6{,}6$. Ces nombres sont choisis pour illustrer le calcul : le vrai mécanisme du choc avec l'eau est plus compliqué, et la perte de vitesse dépend de l'angle et de la vitesse.
- Le coefficient de restitution n'est pas vraiment constant : il dépend de la vitesse du choc, de la température de la balle, du sol.
- On a négligé la résistance de l'air, qui ralentit surtout les balles légères ou rapides (voir le texte en préparation sur la mécanique newtonienne).
- Une boule de billard réelle tourne sur elle-même : l'effet modifie l'angle de sortie, ce que les joueurs utilisent.
- Une infinité de rebonds n'a pas de sens physique : à très petite échelle, la balle ne rebondit plus.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : la suite géométrique des hauteurs et la durée totale finie ; le logarithme pour compter les rebonds ; la symétrie et le plus court chemin ; le billard circulaire, la trigonométrie et les trajectoires périodiques.
- Physique-chimie : la chute libre et les primitives ; l'énergie perdue au choc ; la réflexion de la lumière ; la physique des ricochets.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : les suites géométriques, la somme de leurs termes et leur limite ; la fonction logarithme et la résolution d'inéquations $q^n < a$ ; les primitives ; les droites du plan, les vecteurs et la symétrie ; le cercle trigonométrique, le cosinus et le sinus.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Coefficient de restitution, billard mathématique et ricochet (Wikipédia).
- Sur ce site : Aristote et l'infini, les paradoxes de Zénon, La mécanique newtonienne et Une propriété de la parabole (une autre histoire de réflexion).