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Un noyau d'atome radioactif finit par se transformer en émettant un rayonnement. Quand ? Personne ne peut le dire : c'est le hasard. Pourtant, un morceau de matière radioactive perd sa radioactivité selon une loi parfaitement régulière, si régulière qu'elle sert d'horloge pour dater un os, une roche ou la Terre elle-même. Comment un phénomène imprévisible à l'échelle d'un atome devient-il prévisible à l'échelle d'un objet ?
Ce texte répond à cette question avec les outils de terminale : suites géométriques, loi binomiale et loi géométrique, probabilités conditionnelles, fonction exponentielle et équation $y' = ay$, logarithme. Il rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
1896, Henri Becquerel. Le physicien français étudie des sels d'uranium. Il pense qu'ils émettent des rayons seulement après avoir été éclairés par le Soleil. Un jour sans soleil de février, il range ses sels sur des plaques photographiques enveloppées de papier noir. En développant les plaques quelques jours plus tard, il les trouve impressionnées : l'uranium émet de lui-même un rayonnement invisible, qui traverse le papier.
1898, Pierre et Marie Curie. Marie Curie, née Skłodowska à Varsovie, choisit ce phénomène pour sa thèse et invente le mot radioactivité. Avec son mari Pierre, elle traite des tonnes de minerai (la pechblende) et découvre deux nouveaux éléments, bien plus radioactifs que l'uranium : le polonium, nommé d'après la Pologne, et le radium. Becquerel et les Curie reçoivent le prix Nobel de physique en 1903 ; Marie Curie obtient en 1911 le prix Nobel de chimie. Elle est encore aujourd'hui l'une des rares personnes à avoir reçu deux prix Nobel scientifiques.
1899-1911, Ernest Rutherford. Le physicien néo-zélandais distingue plusieurs rayonnements, qu'il appelle alpha et bêta. Avec Frederick Soddy, il comprend en 1902 qu'un atome radioactif se transforme en un atome d'un autre élément, et que la quantité de matière radioactive diminue de façon exponentielle. En 1911, il montre que l'atome a un noyau minuscule. La radioactivité est un phénomène du noyau.
Prenons $1\,000$ dés, qui jouent le rôle de $1\,000$ noyaux. On les lance tous. Ceux qui tombent sur $6$ sont « désintégrés » : on les retire. On relance les dés restants, on retire les $6$, et ainsi de suite. Chaque lancer représente une unité de temps.
À la main. À chaque lancer, un dé échappe à la désintégration avec la probabilité $q = \dfrac{5}{6}$. En moyenne, après le premier lancer, il reste $1\,000 \times \dfrac{5}{6} \approx 833$ dés ; après le deuxième, $833 \times \dfrac{5}{6} \approx 694$ ; après le troisième, environ $579$. Le nombre moyen de dés restants après $n$ lancers est la suite géométrique
$$u_n = 1\,000 \times \left(\frac{5}{6}\right)^n.$$Après $10$ lancers, il en reste en moyenne environ $162$. On ne sait pas quels dés vont disparaître, mais on sait très bien combien, en moyenne.
Fixons $n$ et suivons un dé. Il est encore là après $n$ lancers s'il a échappé au $6$ à chacun des $n$ lancers, qui sont indépendants : cela arrive avec la probabilité $q^n$. Les $1\,000$ dés sont indépendants les uns des autres : le nombre $X_n$ de dés restants suit la loi binomiale de paramètres $N_0 = 1\,000$ et $q^n$. Son espérance est $E(X_n) = N_0\,q^n$ : on retrouve la suite géométrique.
La proportion de dés restants, $\dfrac{X_n}{N_0}$, a pour espérance $q^n$ et pour variance $\dfrac{q^n(1-q^n)}{N_0}$. D'après la loi des grands nombres, plus le nombre de dés est grand, plus il est probable que la proportion de dés restants soit proche de $q^n$. Avec $1\,000$ dés, on observe encore des écarts ; avec les quelque $10^{20}$ noyaux d'un petit échantillon de matière, la variance est si petite que la proportion restante suit exactement la courbe théorique, à l'échelle de nos mesures. C'est ainsi que le hasard individuel devient une loi collective.
Notons $T$ le rang du lancer où un dé donné tombe pour la première fois sur $6$. C'est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p = \dfrac{1}{6}$ : $T$ suit la loi géométrique de paramètre $p$, et $P(T > n) = q^n$ (le dé a échappé aux $n$ premiers lancers).
Étape 1. L'événement $(T > n + k)$ est contenu dans $(T > n)$ : un dé qui a survécu à $n + k$ lancers a survécu aux $n$ premiers. Donc l'événement $(T > n + k) \cap (T > n)$ est égal à $(T > n + k)$.
Étape 2. Par définition d'une probabilité conditionnelle,
$$P_{(T > n)}(T > n + k) = \frac{P(T > n + k)}{P(T > n)},$$c'est-à-dire $\dfrac{q^{n+k}}{q^n} = q^k$.
Étape 3. Or $q^k = P(T > k)$, d'où le résultat.
Un dé qui a déjà survécu à $10$ lancers a exactement les mêmes chances de survivre aux $3$ suivants qu'un dé neuf. On dit que la loi géométrique est sans mémoire. C'est ce que l'on observe pour les noyaux radioactifs : un noyau d'uranium formé il y a des milliards d'années n'est pas « plus près de la fin » qu'un autre. Un noyau ne vieillit pas, contrairement à un être vivant.
Pour de vrais noyaux, le temps n'avance pas par lancers, mais de façon continue. Notons $N(t)$ le nombre de noyaux non désintégrés à l'instant $t$. Pendant une très courte durée $\Delta t$, chaque noyau se désintègre avec une probabilité proportionnelle à cette durée, $\lambda\,\Delta t$, où $\lambda$ est la constante radioactive, propre à chaque espèce de noyau. Le nombre moyen de désintégrations est donc $\lambda\,N(t)\,\Delta t$, et
$$\frac{N(t + \Delta t) - N(t)}{\Delta t} = -\lambda\,N(t).$$Quand $\Delta t$ tend vers $0$, le membre de gauche tend vers la dérivée : $N'(t) = -\lambda\,N(t)$. C'est une équation du type $y' = ay$, avec $a = -\lambda$. D'après le cours, ses solutions sont les fonctions $t \mapsto C\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$. Avec $N(0) = N_0$, on obtient $C = N_0$ :
$$N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}.$$On retrouve le modèle des dés : $\mathrm{e}^{-\lambda t} = \left(\mathrm{e}^{-\lambda}\right)^t$, et $\mathrm{e}^{-\lambda}$ joue le rôle de la probabilité $q$ de survivre pendant une unité de temps. Pour les dés, $\mathrm{e}^{-\lambda} = \dfrac{5}{6}$, soit $\lambda = \ln\dfrac{6}{5} \approx 0{,}18$ par lancer.
La demi-vie (ou période) est la durée $T$ au bout de laquelle la moitié des noyaux présents se sont désintégrés.
On cherche $T$ tel que $N(t + T) = \dfrac{N(t)}{2}$.
- Cela s'écrit $N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\,\mathrm{e}^{-\lambda T} = \dfrac{1}{2}\,N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$.
- En divisant par $N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t} > 0$ : $\mathrm{e}^{-\lambda T} = \dfrac{1}{2}$.
- En appliquant le logarithme : $-\lambda T = \ln\dfrac{1}{2} = -\ln 2$, donc $T = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.
Le résultat ne dépend ni de $t$ ni de $N_0$.
Après une demi-vie, il reste la moitié des noyaux ; après deux, le quart ; après trois, le huitième ; après $n$ demi-vies, $\dfrac{1}{2^n}$. Après $10$ demi-vies, il reste $\dfrac{1}{1\,024}$, moins d'un millième. Pour les dés, la demi-vie vaut $\dfrac{\ln 2}{\ln(6/5)} \approx 3{,}8$ lancers.
| noyau | demi-vie | usage |
|---|---|---|
| technétium 99m | $6$ heures | imagerie médicale |
| iode 131 | $8$ jours | médecine, accidents |
| carbone 14 | $5\,730$ ans | datation |
| potassium 40 | $1{,}25$ milliard d'années | datation des roches |
| uranium 238 | $4{,}47$ milliards d'années | âge de la Terre |
L'activité d'un échantillon est le nombre de désintégrations par seconde, $A(t) = \lambda\,N(t)$ ; elle se mesure en becquerels (Bq) et décroît avec la même demi-vie.
Le carbone 14 est fabriqué en permanence dans la haute atmosphère par les rayons cosmiques. Les êtres vivants l'absorbent (par la respiration, la photosynthèse, l'alimentation), si bien que la proportion de carbone 14 dans leur carbone reste à peu près celle de l'atmosphère. À la mort, les échanges s'arrêtent, et le carbone 14 n'est plus renouvelé : il décroît avec une demi-vie de $5\,730$ ans. Le chimiste américain Willard Libby met au point cette méthode à la fin des années 1940 (prix Nobel de chimie en 1960).
Un exemple à la main. Un os ne contient plus que $25\,\%$ du carbone 14 d'un être vivant. Or $25\,\% = \dfrac{1}{4} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2$ : deux demi-vies se sont écoulées, soit environ $11\,460$ ans.
Le cas général. On mesure la proportion $r = \dfrac{N(t)}{N_0}$ restante.
- $\mathrm{e}^{-\lambda t} = r$, donc $-\lambda t = \ln r$, soit $t = -\dfrac{\ln r}{\lambda}$.
- Comme $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T}$ : $t = T \times \dfrac{\ln(1/r)}{\ln 2}$.
- Avec $r = 0{,}6$ : $t = 5\,730 \times \dfrac{\ln(1/0{,}6)}{\ln 2} \approx 4\,220$ ans.
Les limites. Au-delà d'environ $50\,000$ ans, soit près de neuf demi-vies, il reste moins de $\dfrac{1}{500}$ du carbone 14 de départ, trop peu pour une mesure fiable. De plus, la proportion de carbone 14 dans l'atmosphère a varié au cours du temps : on corrige les dates (on dit qu'on les « calibre ») grâce à des objets d'âge connu, comme les cernes des troncs d'arbres. Enfin, les essais nucléaires des années 1950-1960 ont fortement augmenté le carbone 14 de l'atmosphère, ce qui sert aujourd'hui à dater des objets très récents.
Pour dater des roches volcaniques de plusieurs millions d'années, le carbone 14 est inutilisable. On utilise le potassium 40, de demi-vie $1{,}25$ milliard d'années, qui se transforme notamment en argon 40, un gaz. Quand la lave est liquide, l'argon s'échappe ; quand elle se solidifie, l'argon produit reste piégé dans la roche. Il s'accumule comme le sable d'un sablier.
Un modèle simplifié. Supposons que chaque potassium 40 qui disparaît donne un argon 40 (en réalité, c'est le cas pour environ $11\,\%$ d'entre eux, et l'on corrige la formule en conséquence). Notons $K$ et $A$ les quantités de potassium 40 et d'argon 40 mesurées aujourd'hui, $K_0$ la quantité de potassium au moment de la solidification.
- L'argon est fait des potassiums disparus : $A = K_0 - K$.
- Comme $K = K_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$, on a $K_0 = K\,\mathrm{e}^{\lambda t}$, donc $A = K\left(\mathrm{e}^{\lambda t} - 1\right)$.
- D'où $\mathrm{e}^{\lambda t} = 1 + \dfrac{A}{K}$, et $t = \dfrac{1}{\lambda}\ln\left(1 + \dfrac{A}{K}\right)$.
Ce qui est remarquable : on n'a pas besoin de connaître $K_0$, seulement le rapport $\dfrac{A}{K}$ mesuré aujourd'hui. C'est ce type de méthode qui permet de dater les couches de cendres volcaniques qui encadrent des fossiles d'hominidés en Afrique de l'Est.
Au XVIIIe siècle, Buffon estimait l'âge de la Terre à quelques dizaines de milliers d'années, en observant le refroidissement de boulets chauffés. Au XIXe siècle, Lord Kelvin, par un calcul de refroidissement, arrivait à quelques dizaines de millions d'années, trop peu pour les géologues et pour Darwin. La radioactivité a changé la réponse de deux façons : elle fournit une source de chaleur interne que Kelvin ignorait, et elle donne des horloges.
En 1956, le géochimiste américain Clair Patterson utilise la transformation de l'uranium en plomb, mesurée dans des météorites formées en même temps que la Terre. Il obtient environ $4{,}55$ milliards d'années, valeur toujours admise aujourd'hui. Le principe est le même que pour le potassium-argon : un élément « père » qui disparaît exponentiellement, un élément « fils » qui s'accumule. Pour mesurer précisément le plomb, Patterson a dû traquer la pollution au plomb de l'air de son laboratoire ; il deviendra ensuite l'un des acteurs de l'interdiction de l'essence au plomb.
Le programme suivant reproduit l'expérience des dés. À chaque lancer, il compte les dés restants et les compare à la valeur moyenne $N_0 \left(\dfrac{5}{6}\right)^n$. Il cherche aussi après combien de lancers il reste moins de la moitié des dés. On peut changer le nombre de dés : avec $100$ dés, les écarts sont visibles ; plus le nombre de dés est grand, plus il est probable que la proportion de dés restants soit proche de $\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$.
La demi-vie théorique, $3{,}8$ lancers, signifie qu'en moyenne la moitié des dés est atteinte entre le $3$e et le $4$e lancer : le programme affiche le plus souvent $4$.
- En médecine, on injecte des noyaux de demi-vie courte pour faire des images d'organes (scintigraphie, technétium 99m de demi-vie $6$ heures) : une demi-vie courte limite la dose reçue. La radiothérapie détruit des cellules cancéreuses par des rayonnements. Marie Curie a organisé pendant la Première Guerre mondiale des voitures de radiologie pour les blessés.
- L'énergie nucléaire repose sur la fission de noyaux lourds, découverte en 1938-1939 : un noyau d'uranium se casse en libérant de l'énergie et des neutrons, qui peuvent casser d'autres noyaux. Cette réaction en chaîne est une suite géométrique : voir le texte sur les mathématiques de la Seconde Guerre mondiale.
- Les accidents de Tchernobyl (1986) et de Fukushima (2011) ont dispersé des noyaux radioactifs. L'iode 131 (demi-vie $8$ jours) est dangereux pendant quelques semaines ; le césium 137 (demi-vie d'environ $30$ ans) contamine des sols pendant des siècles : il faut une dizaine de demi-vies, environ $300$ ans, pour que sa quantité soit divisée par mille. Le réacteur de Tchernobyl est aujourd'hui recouvert d'une immense arche (voir le texte sur la construction d'un dôme).
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : du hasard individuel à la loi collective (loi binomiale, loi des grands nombres) ; la loi géométrique sans mémoire ; l'équation $y' = ay$ et la demi-vie ; la datation par le logarithme.
- Physique-chimie : la décroissance radioactive, l'activité, la datation, la fission.
- HGGSP : Marie Curie et la place des femmes dans la science, la datation en archéologie et en paléontologie, le nucléaire civil et militaire, les accidents et leurs conséquences.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : les suites géométriques et leur limite ; les probabilités conditionnelles et l'indépendance ; la loi binomiale et la loi géométrique, leur espérance ; la loi des grands nombres ; la fonction exponentielle et l'équation différentielle $y' = ay$ ; la fonction logarithme et la résolution d'équations du type $\mathrm{e}^{x} = k$.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Radioactivité, datation par le carbone 14 et Marie Curie (Wikipédia).
- Sur ce site : Les mutations et leurs probabilités (horloge moléculaire), La modélisation des épidémies (croissance exponentielle) et La paléodémographie (datation des nécropoles).