La collection de référence donne la probabilité d'un stade sachant l'âge. Mais devant un squelette, on connaît le stade et on cherche l'âge : il faut retourner la probabilité conditionnelle. C'est le rôle de la formule de Bayes. Prenons un modèle très simple, avec deux classes d'âge adultes et un seul indicateur.

• $J$ : « la personne avait entre $20$ et $39$ ans » (jeune adulte) ; $V$ : « elle avait $40$ ans ou plus ».
• $S$ : « le bassin présente des signes de vieillissement ».
• D'après la collection de référence : $P_J(S) = 0{,}2$ et $P_V(S) = 0{,}7$.

Ces deux nombres sont des valeurs choisies pour l'exemple. Ce qu'on veut, c'est $P_S(J)$, la probabilité qu'un squelette qui présente le signe $S$ soit celui d'un jeune adulte. D'après la définition d'une probabilité conditionnelle et la formule des probabilités totales,

avec $P(J \cap S) = P(J)\,P_J(S)$ et

Cette formule contient $P(J)$, la proportion de jeunes adultes parmi les morts de la population étudiée. Or c'est justement ce que l'on cherche à connaître !

Premier calcul. Si l'on prend la proportion de la collection de référence, par exemple $P(J) = 0{,}8$ :

• $P(J \cap S) = 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}16$ ;
• $P(S) = 0{,}16 + 0{,}2 \times 0{,}7 = 0{,}30$ ;
• $P_S(J) = \dfrac{0{,}16}{0{,}30} \approx 0{,}53$.

Deuxième calcul. Si, dans la population étudiée, il y a en réalité $P(J) = 0{,}3$ :

• $P(J \cap S) = 0{,}3 \times 0{,}2 = 0{,}06$ ;
• $P(S) = 0{,}06 + 0{,}7 \times 0{,}7 = 0{,}55$ ;
• $P_S(J) = \dfrac{0{,}06}{0{,}55} \approx 0{,}11$.

Le même squelette, avec le même signe, est « plutôt jeune » dans le premier cas et « très probablement âgé » dans le second. Si l'on attribue à chaque squelette la classe la plus probable avec les proportions de la référence, on trouve même tous les squelettes jeunes : avec le signe $S$, $P_S(J) \approx 0{,}53 > 0{,}5$ ; sans le signe, $P_{\overline{S}}(J) = \dfrac{0{,}8 \times 0{,}8}{0{,}8 \times 0{,}8 + 0{,}2 \times 0{,}3} \approx 0{,}91$.

En 1982, les anthropologues français Jean-Pierre Bocquet-Appel et Claude Masset ont montré que les méthodes de l'époque avaient ce défaut : la répartition des âges estimés dans une nécropole imite celle de la collection de référence, et non celle de la population étudiée. Leur article s'intitulait, de façon provocante, « Adieu à la paléodémographie ».

Plutôt que d'estimer les âges un par un, on estime directement la répartition des âges de toute la nécropole. Supposons que $45\,\%$ des squelettes adultes présentent le signe $S$. Notons $p = P(J)$. La formule des probabilités totales donne

On résout $0{,}45 = 0{,}7 - 0{,}5\,p$, soit $p = \dfrac{0{,}25}{0{,}5} = 0{,}5$ : la moitié des adultes de cette nécropole sont morts entre $20$ et $39$ ans. La collection de référence ne sert plus qu'à fournir $P_J(S)$ et $P_V(S)$, qui ne dépendent pas de la population. Avec plusieurs classes et plusieurs stades, le même principe conduit aux méthodes statistiques utilisées aujourd'hui, mises au point dans les années 1990.

Imaginons une nécropole fouillée entièrement, qui a livré $200$ squelettes, répartis par classes d'âge au décès. (Ces effectifs sont inventés pour l'exemple, mais ils ont l'allure de ceux des populations anciennes.)

On note $x$ l'âge du début de la classe et $d_x$ le nombre de décès dans la classe. Les démographes travaillent alors comme si ces $200$ personnes étaient nées ensemble, et on les suit au fil des âges.

• Les survivants $l_x$. Le nombre de personnes encore en vie à l'âge $x$ est le nombre de celles qui sont mortes à l'âge $x$ ou plus tard : $l_0 = 200$, $l_5 = 200 - 60 = 140$, $l_{10} = 128$, $l_{20} = 118$, et ainsi de suite jusqu'à $l_{70} = 10$.
• Les quotients de mortalité $q_x$. C'est la proportion des personnes vivantes à l'âge $x$ qui meurent dans la classe : $q_x = \dfrac{d_x}{l_x}$. Par exemple $q_0 = \dfrac{60}{200} = 0{,}3$ et $q_{40} = \dfrac{26}{78} \approx 0{,}33$.

Le quotient $q_x$ s'interprète comme une probabilité conditionnelle : c'est la probabilité de mourir avant la fin de la classe, sachant qu'on a atteint l'âge $x$. Ici, près d'un enfant sur trois meurt avant $5$ ans, et une personne de $40$ ans a une chance sur trois de mourir avant $50$ ans.

Choisissons au hasard l'une des $200$ personnes et notons $X$ son âge au décès. L'espérance de vie à la naissance, notée $e_0$, est l'espérance de la variable aléatoire $X$. On ne connaît que la classe d'âge ; on fait l'hypothèse que, dans chaque classe, les décès sont répartis régulièrement, de sorte qu'une personne morte dans la classe $[x\,;x+w[$ a vécu en moyenne $x + \dfrac{w}{2}$ années. Par exemple, les morts de $0$ à $4$ ans comptent pour $2{,}5$ ans, ceux de $20$ à $29$ ans pour $25$ ans. Le total des années vécues par les $200$ personnes se calcule dans un tableau :

Le total est de $6\,020$ années, d'où

Une espérance de vie de $30$ ans ne veut pas dire qu'on mourait vers $30$ ans. La moyenne est tirée vers le bas par les nombreux décès d'enfants. Calculons l'espérance de vie à $20$ ans, c'est-à-dire la moyenne des années qui restent à vivre aux $118$ personnes qui ont atteint $20$ ans. Elles vivent en moyenne, après $20$ ans,

Le nombre $3\,270$ est le total des années vécues après $20$ ans : $5$ ans en moyenne pour les $18$ morts de $20$ à $29$ ans, $15$ ans pour les $22$ morts de $30$ à $39$ ans, et ainsi de suite, soit $90 + 330 + 650 + 840 + 810 + 550$. Une personne qui a atteint $20$ ans peut espérer vivre jusque vers $48$ ans : bien plus que $30$ ! C'est une espérance conditionnelle, sachant qu'on a survécu jusqu'à $20$ ans.

Le tableur ci-dessous refait ces calculs. Les effectifs de la colonne C peuvent être modifiés : tous les résultats se mettent à jour. La colonne D contient =SOMME(C2:C10), puis =SOMME(C3:C10), etc. ; la colonne E calcule =C2/D2 ; la colonne F calcule les années vécues, =C2*(A2+B2/2). On peut aussi changer la durée d'utilisation de la nécropole $T$, en cellule B15de la nécropole, en cellule B15, qui sert dans la partie suivante.

Une expérience. Les os des tout-petits sont fragiles et se conservent mal, et dans certaines sociétés, les bébés n'étaient pas enterrés au cimetière. Les fouilles en retrouvent souvent beaucoup moins qu'il n'en est mort. Remplacez $60$ par $20$ dans la cellule C2 : l'espérance de vie calculée passe à $\dfrac{5\,920}{160} = 37$ ans. Elle augmente de sept ans, seulement parce que des enfants manquent. C'est l'un des biais majeurs de la paléodémographie.

On a besoin d'un résultat sur les variables aléatoires à valeurs entières.

Plaçons-nous dans une population stationnaire : chaque année naissent $B$ enfants, et la mortalité selon l'âge ne change pas. Notons $X$ le nombre d'années entières vécues par un nouveau-né, et comptons les vivants à une date donnée, juste avant les naissances de l'année.

• Parmi les $B$ enfants nés il y a $k$ années, sont encore en vie ceux qui ont vécu au moins $k$ années : en moyenne $B \times P(X \geqslant k)$.
• En additionnant sur toutes les années de naissance, le nombre moyen de vivants est

Autrement dit, $P = B\,e_0$.

Dans une population stationnaire, il meurt chaque année autant de personnes qu'il en naît. Si la nécropole a servi pendant $T$ années et contient $D$ défunts, il est mort en moyenne $\dfrac{D}{T}$ personnes par an, donc $B = \dfrac{D}{T}$, et

C'est la formule proposée par les démographes hongrois György Acsádi et János Nemeskéri en 1970 (ils lui ajoutent une petite correction pour les défunts absents de la nécropole). On peut la lire autrement : $D \times e_0$ est le total des années vécues par tous les défunts, et $P \times T$ le total des années vécues par la population pendant $T$ ans. Les deux sont égaux.

Pour notre nécropole. Avec $D = 200$, $e_0 = 30{,}1$ et une durée d'utilisation de $T = 150$ ans, datée par l'archéologie (objets, monnaies, datation au carbone 14) :

Une quarantaine de personnes vivaient en même temps : un hameau de quelques familles.

Une remarque rassurante. Avec les enfants manquants de l'expérience du tableur ($160$ défunts et $e_0 = 37$), on trouve $\dfrac{160 \times 37}{150} \approx 39{,}5$ : presque le même résultat. En effet, $D \times e_0$ est le total des années vécues, et les tout-petits disparus n'avaient vécu que peu d'années. L'effectif de la population est beaucoup moins sensible à ce biais que l'espérance de vie.

Une population réelle n'est pas stationnaire. Supposons que le nombre de naissances augmente de $r$ (en proportion) par an. Alors les naissances d'il y a $a$ années sont moins nombreuses que celles d'aujourd'hui : elles valent $B \times (1 + r)^{-a}$, ou, en temps continu, $B\,\mathrm{e}^{-ra}$. Les personnes qui meurent aujourd'hui à l'âge $a$ appartiennent à cette génération moins nombreuse.

Le nombre de décès à l'âge $a$ dans la nécropole est donc proportionnel à $\mathrm{e}^{-ra} \times f(a)$, où $f(a)$ décrit la répartition des âges au décès d'une génération. Si $r > 0$, le facteur $\mathrm{e}^{-ra}$ est une fonction décroissante de $a$ : les décès jeunes pèsent plus lourd, les décès âgés moins lourd. L'âge moyen au décès dans la nécropole est plus bas que l'espérance de vie, même si la mortalité n'a pas changé. Une population qui croît vite remplit son cimetière d'enfants, parce qu'elle a beaucoup d'enfants.

La figure ci-dessous le montre. On choisit une mortalité (avec deux curseurs) et un taux de croissance $r$. La courbe bleue est la proportion de survivants selon l'âge ; les barres rouges sont la répartition, par classes de $5$ ans, des âges au décès que l'on trouverait dans la nécropole.

Le modèle de mortalité de la figure additionne trois termes : un risque qui décroît exponentiellement après la naissance, un risque constant (accidents, infections) et un risque qui croît exponentiellement avec l'âge (le vieillissement). Ce dernier terme est la loi décrite en 1825 par l'actuaire britannique Benjamin Gompertz.

Conséquence importante : l'âge moyen au décès dans une nécropole dépend à la fois de la mortalité et de la croissance, et on ne peut pas séparer les deux. Les démographes ont montré que la proportion de jeunes parmi les défunts renseigne surtout sur le nombre de naissances, donc sur la croissance, plutôt que sur la mortalité. Jean-Pierre Bocquet-Appel en a tiré un indicateur simple, noté $15P5$ : la proportion des squelettes de $5$ à $19$ ans parmi tous ceux de $5$ ans et plus. On laisse de côté les enfants de moins de $5$ ans, trop souvent absents des fouilles. Pour notre nécropole :

Le Néolithique est la période où les sociétés humaines passent de la chasse et de la cueillette à l'agriculture et à l'élevage, et se sédentarisent. Il commence il y a environ $11\,000$ ans au Proche-Orient et atteint l'Europe de l'Ouest quelques millénaires plus tard. En 2002, Jean-Pierre Bocquet-Appel a calculé l'indice $15P5$ pour plusieurs dizaines de nécropoles d'Europe et du Proche-Orient, datées avant et après l'arrivée de l'agriculture. Il observe que l'indice augmente nettement dans les siècles qui suivent l'arrivée de l'agriculture.

Son interprétation : la sédentarité et une alimentation à base de céréales ont permis de rapprocher les naissances. Une mère nomade, qui doit porter son enfant, espace ses grossesses ; une famille sédentaire peut avoir plus d'enfants. Le nombre de naissances augmente, la population croît. Il a appelé ce phénomène la transition démographique du Néolithique. La santé n'était pas forcément meilleure : les squelettes du Néolithique montrent souvent des carences, des caries et des maladies infectieuses favorisées par la vie en groupe et la proximité des animaux.

Les estimations de la population mondiale sont très incertaines, mais on retient souvent quelques millions d'humains vers $10\,000$ ans avant notre ère, et environ $200$ à $300$ millions au début de notre ère. Prenons $5$ millions et $250$ millions, soit une multiplication par $50$ en $10\,000$ ans. Quel taux de croissance annuel $r$ cela représente-t-il ?

• Une croissance de $r$ par an multiplie la population par $1 + r$ chaque année : c'est une suite géométrique. En $10\,000$ ans, elle est multipliée par $(1 + r)^{10\,000}$.
• On résout $(1 + r)^{10\,000} = 50$. En appliquant le logarithme : $10\,000 \ln(1 + r) = \ln 50$, donc $\ln(1 + r) = \dfrac{\ln 50}{10\,000} \approx 0{,}000\,39$.
• En appliquant l'exponentielle : $1 + r \approx \mathrm{e}^{0{,}000\,39} \approx 1{,}000\,39$, soit $r \approx 0{,}04\,\%$ par an.

La population double quand $(1 + r)^n = 2$, soit $n = \dfrac{\ln 2}{\ln(1 + r)} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}000\,39}$, environ $1\,800$ ans. À titre de comparaison, la population mondiale a crû d'environ $2\,\%$ par an dans les années 1960 : elle doublait alors en $\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}02} \approx 35$ ans.

Une croissance de $0{,}04\,\%$ par an est imperceptible à l'échelle d'une vie. Elle résulte d'un équilibre très fin entre un grand nombre de naissances et un grand nombre de décès : une légère augmentation des naissances, comme au Néolithique, suffit à faire basculer durablement la croissance. C'est ce qu'illustre le troisième curseur de la figure : même un taux de $1\,\%$ par an change beaucoup ce que l'on trouve dans une nécropole.