Plaçons le cercle dans un repère orthonormé de centre $O$, avec $A(1 ; 0)$, et repérons l'autre extrémité par l'angle $\theta \in [0 ; 2\pi[$ : $M(\cos\theta ; \sin\theta)$. Tirer $M$ au hasard sur le cercle, avec la même chance pour deux arcs de même longueur, revient à tirer $\theta$ au hasard dans $[0 ; 2\pi[$ de façon uniforme : c'est ce que fait l'instruction random()*2*pi en Python.

La longueur de la corde est alors

En développant, puis en utilisant $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ :

La corde est plus longue que le côté du triangle quand

Sur le cercle trigonométrique, $\cos\theta < -\frac{1}{2}$ pour $\theta \in \left]\dfrac{2\pi}{3} ; \dfrac{4\pi}{3}\right[$, un intervalle de longueur $\dfrac{2\pi}{3}$, le tiers de $2\pi$. On retrouve $p_1 = \dfrac{1}{3}$.

Pour une méthode donnée, notons $p$ la probabilité qu'une corde soit plus longue que $\sqrt{3}$, et $S$ le nombre de telles cordes parmi $n$ tirages indépendants. $S$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$, et la fréquence $F = \dfrac{S}{n}$ a pour espérance $p$ et pour variance $\dfrac{p(1-p)}{n}$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne, pour tout $\delta > 0$,

Comme $p(1 - p) \leqslant \dfrac{1}{4}$ pour tout $p$, avec $n = 10\,000$ et $\delta = 0{,}02$ :

Il y a donc au moins $93{,}75\,\%$ de chances que chaque fréquence affichée soit à moins de $0{,}02$ de la probabilité théorique. Plus $n$ est grand, plus il est probable que la fréquence soit proche de $p$ : les simulations permettent de distinguer nettement $0{,}25$, $0{,}333$ et $0{,}5$. Les trois réponses sont donc toutes « vraies », chacune pour son expérience.

Les trois raisonnements précédents sont ceux de Joseph Bertrand. On en trouve souvent un quatrième : une corde a une longueur comprise entre $0$ et $2$ ; si l'on suppose les longueurs réparties uniformément dans $[0 ; 2]$, la probabilité qu'une longueur soit inférieure à $\sqrt{3}$ est $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, et celle de l'événement contraire est

Ce calcul n'est pas faux en lui-même, mais l'hypothèse de départ ne correspond à aucune des trois constructions : dans aucune d'elles les longueurs ne sont réparties uniformément. Étudions-le dans le cas de la méthode n°1.

On a vu qu'avec $A(1 ; 0)$ et $M(\cos\theta ; \sin\theta)$, la longueur de la corde est $\ell(\theta) = \sqrt{2 - 2\cos\theta}$. Étudions cette fonction sur $[0 ; \pi]$.

Avec la formule $\cos\theta = 1 - 2\sin^2\frac{\theta}{2}$, on obtient aussi $\ell(\theta) = 2\sin\dfrac{\theta}{2}$ sur $[0 ; 2\pi]$ : la longueur d'une corde est le double du sinus de la moitié de l'angle au centre, la relation qu'utilisaient déjà les astronomes grecs dans leurs tables de cordes.

La courbe est très plate près de son maximum : un grand intervalle d'angles autour de $\pi$ donne des longueurs proches de $2$. C'est pourquoi les longueurs ne sont pas réparties uniformément : les grandes cordes sont favorisées.

Notons $X$ la longueur d'une corde tirée par la méthode n°1. Par symétrie, on peut se limiter à un angle $\theta$ uniforme dans $[0 ; \pi]$. Pour une longueur $x$ de $[0 ; 2]$, comme $\ell$ est croissante, $X \leqslant x$ équivaut à $\theta \leqslant \theta_x$, où $\theta_x$ est l'unique angle de $[0 ; \pi]$ tel que $\ell(\theta_x) = x$, c'est-à-dire

L'angle de $[0 ; \pi]$ dont le cosinus vaut $c$ se note $\arccos(c)$ (la fonction « arc cosinus », réciproque de la fonction cosinus sur $[0 ; \pi]$, n'est pas au programme mais toutes les calculatrices la donnent). Comme $\theta$ est uniforme sur $[0 ; \pi]$,

Par exemple, pour $x = \sqrt{3}$, $\cos\theta_x = 1 - \dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2}$, donc $\theta_x = \dfrac{2\pi}{3}$ et $F_1(\sqrt{3}) = \dfrac{2}{3}$ : on retrouve $P(X > \sqrt{3}) = \dfrac{1}{3}$. De même $F_1(1) = \dfrac{1}{\pi} \times \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{3}$, donc $P(1 \leqslant X \leqslant 2) = \dfrac{2}{3}$ : il est deux fois plus probable qu'une corde mesure plus de $1$ que moins de $1$. Et, à la calculatrice,

Un cinquième des cordes mesure plus de $1{,}9$, alors que l'intervalle $[1{,}9 ; 2]$ ne représente qu'un vingtième de $[0 ; 2]$.

Pour les deux autres méthodes, le calcul est plus simple, car on tire directement la distance $d$ de la corde au centre, et $X = 2\sqrt{1 - d^2}$ : $X \leqslant x$ équivaut à $d \geqslant d_x$ avec $d_x = \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}$.

• Méthode n°2 : $d$ est uniforme sur $[0 ; 1]$, donc $F_2(x) = P(d \geqslant d_x) = 1 - \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}$.
• Méthode n°3 : $d \geqslant d_x$ signifie que le milieu est hors du disque de rayon $d_x$, donc $F_3(x) = 1 - \dfrac{\pi d_x^2}{\pi} = \dfrac{x^2}{4}$.

On retrouve $1 - F_2(\sqrt{3}) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ et $1 - F_3(\sqrt{3}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

La dérivée de la fonction de répartition indique où les longueurs se concentrent (c'est la densité de la loi). Pour la méthode n°1, avec la dérivée de la fonction arc cosinus, $\left(\arccos u\right)' = -\dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$ (admise ici), et $u(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2}$, $u'(x) = -x$ :

Or $1 - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)^2 = x^2 - \frac{x^4}{4} = \frac{x^2(4 - x^2)}{4}$, dont la racine carrée vaut $\frac{x\sqrt{4 - x^2}}{2}$ pour $x \in \,]0 ; 2[$. Après simplification par $x$ :

Cette fonction est croissante et tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $2$ : les longueurs s'accumulent près du diamètre. C'est ce que montrent les diagrammes en bâtons des simulations, et c'est exactement l'inverse de l'hypothèse « longueurs uniformes » du quatrième raisonnement, dont la densité serait constante, égale à $\dfrac{1}{2}$.

Trois coffrets ont chacun deux tiroirs. Le premier contient deux pièces d'or, le deuxième deux pièces d'argent, le troisième une pièce d'or et une pièce d'argent. On choisit un coffret au hasard, on ouvre un tiroir au hasard : il contient une pièce d'or. Quelle est la probabilité que l'autre tiroir contienne aussi une pièce d'or ?

On est tenté de répondre $\dfrac{1}{2}$ : il reste deux coffrets possibles. Mais un arbre pondéré, avec $C_1$ (or-or), $C_2$ (argent-argent), $C_3$ (or-argent) et $O$ « le tiroir ouvert contient de l'or », donne

puis, par définition d'une probabilité conditionnelle,

Le coffret or-or a deux fois plus de chances de montrer de l'or que le coffret mixte : ce paradoxe est l'ancêtre de nombreux problèmes de probabilités conditionnelles, dont celui des trois portes (Monty Hall). Le texte Prendre des décisions développe ces raisonnements.

Dans le même livre, Bertrand se montre très critique envers ceux qui, comme Condorcet puis Poisson, ont voulu calculer la probabilité qu'un tribunal se trompe. Selon lui, ces calculs reposent sur des hypothèses invérifiables (des juges indépendants, d'égale compétence) et donnent une fausse impression de rigueur. La même prudence traverse son problème de la corde : un calcul exact sur un modèle mal choisi ne dit rien du monde. Voir le texte La mathématique sociale de Condorcet.

Dans son Essai philosophique sur les probabilités (1814), Pierre-Simon de Laplace donne la définition que l'on apprend encore au collège : la probabilité d'un événement est le rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles, à condition que tous les cas soient « également possibles ». Pour un dé ou une pièce, la symétrie de l'objet justifie cette hypothèse.

La définition a un défaut, que les philosophes ont vite relevé : « également possibles » veut dire... également probables. Elle utilise ce qu'elle veut définir. En pratique, on s'en sort par un principe, appelé plus tard principe d'indifférence (l'économiste John Maynard Keynes lui donne ce nom en 1921) : quand on n'a aucune raison de préférer un cas à un autre, on leur donne la même probabilité.

Le paradoxe de Bertrand met ce principe en défaut. Pour les cordes, il y a une infinité de cas, et l'on ne peut plus les compter : il faut mesurer des longueurs d'arcs, de segments ou des aires. Or appliquer le principe d'indifférence à l'angle, à la distance au centre ou à la position du milieu donne trois lois différentes. « Aucune des trois n'est fausse, aucune n'est exacte, la question est mal posée », conclut Bertrand.

Henri Poincaré, qui enseigne le calcul des probabilités à la Sorbonne et commente le problème de la corde, y voit une leçon générale : en probabilités, le choix de ce qui est « également probable » est une convention, qu'il faut énoncer et justifier, et non une évidence. En 1933, le Russe Andreï Kolmogorov fonde les probabilités modernes sur des axiomes : une probabilité est toujours définie sur un modèle, un ensemble d'issues muni d'une loi, et c'est au modélisateur de choisir ce modèle. C'est exactement la démarche du programme de terminale : on définit d'abord une loi de probabilité, puis on calcule.

En 1973, le physicien américain Edwin Jaynes propose une autre lecture. Imaginons que l'on lance de loin, sans viser, des pailles sur un cercle tracé au sol, et que l'on regarde les cordes qu'elles découpent. Le résultat ne devrait pas dépendre de l'endroit exact où l'on a dessiné le cercle, ni de son orientation, ni de sa taille. Jaynes montre que ces trois exigences d'invariance ne laissent qu'une seule loi possible : celle du raisonnement n°2, avec la réponse $\dfrac{1}{2}$. Il rapporte que des lancers réels de pailles donnent bien une fréquence voisine de $\dfrac{1}{2}$.

Le problème n'est donc pas insoluble : il le devient quand on oublie de dire quelle expérience on fait. Une fois l'expérience décrite (tirer deux points, lancer des pailles, choisir un milieu), la réponse est unique et vérifiable par la simulation.

En Python, random() renvoie un nombre « au hasard » dans $[0 ; 1[$, de sorte que deux intervalles de même longueur aient la même probabilité de le contenir : on dit qu'il suit la loi uniforme. Toutes les simulations de ce texte partent de cet unique outil. La différence entre les trois méthodes tient seulement à ce que l'on transforme ce nombre : en angle (méthode n°1), en distance (méthode n°2) ou en point du disque (méthode n°3). Une fonction appliquée à un nombre uniforme ne donne pas, en général, un nombre uniforme : c'est tout le paradoxe, et c'est la raison pour laquelle les longueurs ne sont jamais uniformes.