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Une élection désigne-t-elle toujours le candidat que la majorité préfère ? Un vote à la majorité a-t-il plus de chances de prendre la bonne décision qu'une seule personne ? À la fin du XVIIIe siècle, le marquis de Condorcet, mathématicien et homme politique de la Révolution, pose ces questions et y répond avec le calcul des probabilités. Il appelle ce projet la mathématique sociale : appliquer aux décisions collectives la rigueur qui a si bien réussi aux sciences physiques.
Ce texte présente ses deux résultats les plus célèbres, avec les outils de terminale : dénombrement, loi binomiale, étude de fonction, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Il rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet, naît en 1743 à Ribemont, en Picardie. Contre l'avis de sa famille, qui le destinait à l'armée, il choisit les mathématiques. À $22$ ans, il publie un mémoire sur le calcul intégral salué par d'Alembert. Il entre à l'Académie des sciences en 1769, en devient le secrétaire perpétuel, rédige des articles de mathématiques pour le Supplément de l'Encyclopédie, et se lie avec d'Alembert, Voltaire et le ministre Turgot, qui le nomme inspecteur des monnaies en 1775.
En 1785 paraît son œuvre mathématique majeure, l'Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix. Pendant la Révolution, il est élu député en 1791. Il présente en 1792 un grand plan d'instruction publique, gratuite et ouverte à tous. Il défend les droits des protestants, des juifs, l'abolition de l'esclavage, et, chose rare, l'égalité des droits des femmes : dans un texte de 1790, il réclame pour elles le droit de cité. Proche des Girondins, il est proscrit sous la Terreur en 1793. Caché à Paris, il écrit l'Esquisse d'un tableau historique des progrès de l'esprit humain, un livre plein de confiance dans le progrès par l'instruction. Arrêté en mars 1794, il est retrouvé mort dans sa cellule à Bourg-la-Reine deux jours plus tard, sans que l'on sache exactement de quoi il est mort.
Dans son Essai, Condorcet considère une élection entre trois candidats A, B et C, avec $60$ votants. Chacun vote pour son candidat préféré : A obtient $23$ voix, B en obtient $19$ et C $18$. Avec le scrutin habituel, A est élu.
Mais Condorcet regarde les préférences complètes des électeurs, c'est-à-dire l'ordre dans lequel ils classent les trois candidats :
| nombre de votants | $23$ | $19$ | $16$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|
| 1er choix | A | B | C | C |
| 2e choix | C | C | B | A |
| 3e choix | B | A | A | B |
Organisons des « duels » entre les candidats deux à deux, et comptons dans chaque colonne qui préfère qui.
- A contre B. Préfèrent B à A : les $19$ électeurs de B et les $16$ de la troisième colonne, soit $19 + 16 = 35$. Les $25$ autres préfèrent A. B bat A, $35$ à $25$.
- A contre C. Préfèrent C à A : les $19$ électeurs de B, qui mettent C devant A, et les $18$ électeurs de C, soit $19 + 18 = 37$. C bat A, $37$ à $23$.
- B contre C. Préfèrent C à B : les $23$ électeurs de A et les $18$ électeurs de C, soit $23 + 18 = 41$. C bat B, $41$ à $19$.
Conclusion surprenante : C bat chacun des deux autres en duel, alors qu'il est arrivé dernier au premier tour, et A, le vainqueur du scrutin habituel, perd tous ses duels. Un candidat qui bat tous les autres en duel est appelé aujourd'hui un vainqueur de Condorcet. Condorcet en conclut que le scrutin où l'on ne vote que pour son candidat préféré peut trahir la volonté de la majorité.
Faut-il alors élire le vainqueur de Condorcet ? Le problème est qu'il n'existe pas toujours. Prenons trois électeurs :
- le premier préfère A à B et B à C : on note A > B > C ;
- le deuxième : B > C > A ;
- le troisième : C > A > B.
Comptons les duels. A bat B (électeurs $1$ et $3$), B bat C (électeurs $1$ et $2$), et C bat A (électeurs $2$ et $3$), chaque fois par $2$ voix contre $1$. La majorité préfère A à B, B à C, et pourtant C à A : les préférences collectives tournent en rond, comme au jeu pierre-feuille-ciseaux. Chaque électeur est cohérent, mais la majorité ne l'est pas. C'est le paradoxe de Condorcet.
Supposons que chacun des trois électeurs choisisse son classement des trois candidats au hasard, de façon équiprobable et indépendante.
- Un électeur peut classer A, B, C de $3! = 6$ façons.
- Les trois électeurs ensemble ont $6^3 = 216$ combinaisons possibles, toutes équiprobables.
- Il y a un cycle seulement si les trois électeurs ont trois classements « tournants » comme dans l'exemple. Pour le sens A > B > C > A, ce sont les classements ABC, BCA et CAB ; on peut les attribuer aux trois électeurs de $3! = 6$ façons. Il en va de même pour l'autre sens (ACB, CBA, BAC). Cela fait $2 \times 6 = 12$ combinaisons. (Le programme Python plus bas vérifie, en essayant les $216$ cas, qu'il n'y en a pas d'autres.)
La probabilité d'un cycle est donc $\dfrac{12}{216} = \dfrac{1}{18} \approx 0{,}056$. Avec un grand nombre d'électeurs aux préférences tirées au hasard, on peut montrer qu'elle s'approche d'environ $8{,}8\,\%$ ; elle augmente beaucoup avec le nombre de candidats. Dans les vraies élections, les préférences ne sont pas tirées au hasard, et les cycles semblent plus rares, mais ils existent.
Condorcet s'intéresse aussi à une assemblée, ou à un tribunal, qui doit choisir entre deux réponses, dont une seule est juste : la loi est-elle bonne ou mauvaise, l'accusé est-il coupable ou innocent ? Il fait des hypothèses simplificatrices :
- chaque votant a la même probabilité $v$ de voter pour la bonne réponse (Condorcet parle de votants d'« égale justesse d'esprit ») ;
- les votants se décident indépendamment les uns des autres ;
- le nombre de votants est impair, pour éviter les égalités, et la décision est prise à la majorité.
Une assemblée vaut-elle mieux qu'une seule personne ?
Avec trois votants, notons $X$ le nombre de votes justes. Chaque vote est une épreuve de Bernoulli de paramètre $v$, et les trois sont indépendantes : $X$ suit la loi binomiale de paramètres $3$ et $v$. L'assemblée décide juste si au moins deux votes sont justes :
$$f(v) = P(X = 2) + P(X = 3),$$c'est-à-dire
$$f(v) = 3v^2(1 - v) + v^3.$$En développant, $f(v) = 3v^2 - 3v^3 + v^3 = 3v^2 - 2v^3$. Par exemple, avec $v = 0{,}6$ : $f(0{,}6) = 3 \times 0{,}36 - 2 \times 0{,}216 = 0{,}648$. L'assemblée de trois personnes se trompe moins souvent qu'une seule personne ($0{,}648$ contre $0{,}6$).
Étape 1 : factoriser. On calcule $f(v) - v = -2v^3 + 3v^2 - v$, et on met $-v$ en facteur :
$$f(v) - v = -v\,(2v^2 - 3v + 1).$$Étape 2 : le trinôme. Le trinôme $2v^2 - 3v + 1$ a pour discriminant $9 - 8 = 1$ et pour racines $\dfrac{3 - 1}{4} = \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{3 + 1}{4} = 1$, donc $2v^2 - 3v + 1 = (2v - 1)(v - 1)$. Ainsi
$$f(v) - v = v\,(2v - 1)(1 - v).$$Étape 3 : le signe. Pour $0 < v < 1$, les facteurs $v$ et $1 - v$ sont strictement positifs : $f(v) - v$ a le signe de $2v - 1$. Il est strictement positif si et seulement si $v > \dfrac{1}{2}$.
Si chaque votant a plus d'une chance sur deux d'avoir raison, l'assemblée de trois fait mieux qu'un seul votant. Mais si $v < \dfrac{1}{2}$, elle fait moins bien : la majorité amplifie l'erreur. Et si $v = \dfrac{1}{2}$, le vote est un pile ou face, et l'assemblée aussi.
Avec $n = 2q + 1$ votants, le nombre $X$ de votes justes suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $v$. L'assemblée décide juste si $X \geqslant q + 1$, c'est-à-dire si $X$ dépasse la moitié de $n$ :
$$P(X \geqslant q + 1) = \sum_{k=q+1}^{n} P(X = k),$$avec $P(X = k) = \dbinom{n}{k} v^k (1 - v)^{n-k}$.
Cette somme se calcule avec une calculatrice ou un programme. Avec $v = 0{,}6$ :
| nombre de votants $n$ | $1$ | $3$ | $11$ | $101$ |
|---|---|---|---|---|
| probabilité de décider juste | $0{,}6$ | $0{,}648$ | $0{,}754$ | $0{,}979$ |
Plus l'assemblée est nombreuse, plus elle a de chances de décider juste. Condorcet affirme que cette probabilité tend vers $1$ quand le nombre de votants augmente, si $v > \dfrac{1}{2}$. Démontrons-le avec un outil de terminale.
Étape 1 : espérance et variance. Pour la loi binomiale, $E(X) = nv$ et $V(X) = nv(1 - v)$. Notons $\delta = v - \dfrac{1}{2} > 0$.
Étape 2 : traduire l'erreur. L'assemblée se trompe si $X < \dfrac{n}{2}$. Dans ce cas,
$$X - nv < \frac{n}{2} - nv = -n\delta,$$donc $|X - E(X)| > n\delta$. L'événement « l'assemblée se trompe » est inclus dans l'événement $|X - E(X)| \geqslant n\delta$, et sa probabilité est plus petite.
Étape 3 : l'inégalité. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,
$$P\big(|X - E(X)| \geqslant n\delta\big) \leqslant \frac{V(X)}{(n\delta)^2},$$et $\dfrac{V(X)}{(n\delta)^2} = \dfrac{nv(1 - v)}{n^2\delta^2} = \dfrac{v(1 - v)}{n\,\delta^2}$.
Étape 4 : la limite. Notons $p_n$ la probabilité que l'assemblée décide juste. D'après ce qui précède,
$$1 - \frac{v(1 - v)}{n\,\delta^2} \leqslant p_n \leqslant 1.$$Comme $\dfrac{v(1 - v)}{n\,\delta^2}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$, le théorème des gendarmes donne $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n = 1$.
L'inégalité est prudente : avec $v = 0{,}6$ et $n = 101$, elle garantit seulement $p_n \geqslant 1 - \dfrac{0{,}24}{101 \times 0{,}01} \approx 0{,}76$, alors que la vraie valeur est $0{,}979$. Mais elle suffit pour la limite. Si au contraire $v < \dfrac{1}{2}$, le même raisonnement montre que la probabilité de décider juste tend vers $0$ : une grande assemblée mal informée se trompe presque à coup sûr.
Le résultat est puissant, mais il repose sur des hypothèses fortes. Les votants ne sont pas indépendants : ils lisent les mêmes journaux, écoutent les mêmes orateurs, suivent un chef de parti. Ils n'ont pas tous la même compétence. Et une question politique n'a pas toujours une « bonne réponse ». Condorcet en était conscient : c'est une raison pour laquelle il tenait tant à l'instruction publique, qui devait rendre chaque citoyen plus éclairé, c'est-à-dire, dans son modèle, augmenter $v$.
Le programme suivant calcule la probabilité qu'une assemblée décide juste pour plusieurs tailles, en calculant les termes de la loi binomiale de proche en proche. Il vérifie ensuite qu'il y a $12$ cycles parmi les $216$ combinaisons de trois électeurs, puis simule $2\,000$ élections avec $101$ électeurs aux classements tirés au hasard et compte celles où il n'y a pas de vainqueur de Condorcet. Plus le nombre d'élections simulées est grand, plus il est probable que la fréquence obtenue soit proche de la vraie probabilité.
- Borda contre Condorcet. À la même époque, Jean-Charles de Borda propose de donner des points selon le rang (par exemple $2$ points au premier, $1$ au deuxième, $0$ au dernier). Sur l'exemple des $60$ votants, A obtient $46 + 2 = 48$ points, B obtient $38 + 16 = 54$ points et C $23 + 19 + 32 + 4 = 78$ points : C l'emporte aussi. Mais les deux méthodes ne donnent pas toujours le même résultat.
- Le théorème d'Arrow. En 1951, l'économiste américain Kenneth Arrow démontre qu'aucune méthode de vote entre au moins trois candidats ne peut respecter à la fois quelques exigences très naturelles. Ce résultat, qui prolonge le paradoxe de Condorcet, a contribué à son prix Nobel d'économie en 1972.
- De nouveaux scrutins. Des chercheurs proposent d'autres méthodes, comme le jugement majoritaire (où l'on donne une mention à chaque candidat), étudié en France par Michel Balinski et Rida Laraki. Certaines associations ou certains partis les utilisent pour des élections internes. Le scrutin à deux tours de l'élection présidentielle française, lui, peut éliminer dès le premier tour un vainqueur de Condorcet, comme C dans l'exemple des $60$ votants.
- La sagesse des foules. Le théorème du jury est cité pour expliquer pourquoi la moyenne de nombreux avis indépendants est souvent juste, et pourquoi elle peut échouer quand les avis ne sont plus indépendants (effets de mode, réseaux sociaux).
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : le décompte des duels sur l'exemple des $60$ votants ; le dénombrement des cycles ; l'étude de $3v^2 - 2v^3$ ; la loi binomiale et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev dans le théorème du jury.
- SES : les modes de scrutin et leurs effets ; la démocratie représentative et la décision collective ; l'information des citoyens ; la sagesse et les erreurs des foules.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : le dénombrement (permutations, produit cartésien) ; la loi de Bernoulli et la loi binomiale, leur espérance et leur variance ; l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la loi des grands nombres ; le second degré et l'étude du signe d'un produit ; les limites de suites et le théorème des gendarmes.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Nicolas de Condorcet, paradoxe de Condorcet et théorème du jury (Wikipédia).
- E. et R. Badinter, Condorcet, un intellectuel en politique, Fayard, 1988.
- Sur ce site : L'équilibre de Nash, La planche de Galton (loi binomiale) et Nicole Oresme.