Au Monopoly, on avance du total de deux dés équilibrés. Les deux dés donnent $6 \times 6 = 36$ couples équiprobables. Le tableau suivant écrit la somme pour chaque couple : la diagonale qui part du coin donne la somme $7$, qui revient six fois.

En comptant les cases, on obtient la loi de la somme $S$ :

Autrement dit $P(S = s) = \dfrac{6 - |s - 7|}{36}$ pour $s$ entre $2$ et $12$. La somme $7$ est la plus probable ($\tfrac{1}{6}$), les sommes $6$ et $8$ suivent ($\tfrac{5}{36}$). L'espérance vaut $7$, ce qu'on retrouve sans calcul par la linéarité : chaque dé a pour espérance $3{,}5$. Un tour du plateau de quarante cases demande donc en moyenne un peu moins de six lancers.

Deux autres probabilités servent plus loin : faire un double (les deux dés égaux) a pour probabilité $\tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6}$, et trois doubles de suite, qui envoient en prison, ont pour probabilité $\left(\tfrac{1}{6}\right)^3 = \tfrac{1}{216}$ (les lancers sont indépendants).

Pour voir le mécanisme en entier, inventons un plateau miniature de six cases numérotées de $0$ à $5$, parcouru en boucle. On lance une pièce : pile, on avance d'une case ; face, de deux. La case $2$ est la prison et la case $5$ dit « Allez en prison » : un pion qui y arrive est aussitôt envoyé en case $2$. On ne termine donc jamais un coup sur la case $5$ : les états possibles sont les cases $0, 1, 2, 3, 4$.

Les transitions. Depuis la case $0$, on va en $1$ ou en $2$ avec probabilité $\tfrac{1}{2}$ chacune. Depuis la case $3$, on va en $4$ ou en $5$, c'est-à-dire en prison. Depuis la case $4$, on va en $5$ (donc en prison) ou en $6 \equiv 0$ modulo $6$. On range ces probabilités dans la matrice de transition $P$, dont le coefficient ligne $i$, colonne $j$ est la probabilité d'aller de la case $i$ à la case $j$ en un coup :

Chaque ligne a une somme égale à $1$ : partant d'une case, on arrive forcément quelque part.

L'état probabiliste. Après $n$ coups, on note $\pi_n$ la matrice ligne des probabilités d'être sur chacune des cases $0$ à $4$. La formule des probabilités totales donne, pour chaque case $j$, $\pi_{n+1}(j) = \sum_i \pi_n(i)\,P(i,j)$, c'est exactement le produit d'une matrice ligne par une matrice :

Deux coups à la main. Le pion part de la case $0$ : $\pi_0 = (1\;\;0\;\;0\;\;0\;\;0)$. Le produit $\pi_0 P$ recopie la première ligne de $P$ :

Pour $\pi_2$, on pondère la ligne $1$ et la ligne $2$ de $P$ par $\tfrac12$ : la case $2$ reçoit $\tfrac12 \times \tfrac12 = \tfrac14$ (depuis la case $1$), la case $3$ reçoit $\tfrac12 \times \tfrac12 + \tfrac12 \times \tfrac12 = \tfrac12$, la case $4$ reçoit $\tfrac12 \times \tfrac12 = \tfrac14$. D'où

En continuant de la même façon (ou avec le tableur ci-dessous), on trouve $\pi_3 = \left(\tfrac18\;\;0\;\;\tfrac38\;\;\tfrac18\;\;\tfrac38\right)$ puis $\pi_4 = \left(\tfrac{3}{16}\;\;\tfrac{1}{16}\;\;\tfrac{5}{16}\;\;\tfrac{3}{16}\;\;\tfrac14\right)$. La prison prend vite le dessus.

Le tableur suit $10\,000$ pions partis ensemble de la case $0$ : chaque ligne donne le nombre moyen de pions sur chaque case après $n$ coups, et il suffit de diviser par $10\,000$ pour lire $\pi_n$. Chaque ligne se déduit de la précédente par les formules lues dans les colonnes de $P$ : par exemple la case $0$ ne reçoit que la moitié de la case $4$, la prison reçoit la moitié de toutes les autres. Modifiez la ligne de départ (en gardant un total de $10\,000$) et regardez les dernières lignes.

Dans le tableur, les lignes finissent par ne plus bouger. Un état qui ne change plus vérifie $\pi = \pi P$ : on l'appelle état stable. Cherchons-le en écrivant $\pi = (a_0\;\;a_1\;\;a_2\;\;a_3\;\;a_4)$ et en lisant les colonnes de $P$.

Ce que dit le résultat. Sur six cases, une case « au hasard » aurait la probabilité $\tfrac16$. Sans la case « Allez en prison », c'est d'ailleurs ce qu'on trouverait : chaque case recevrait alors autant qu'elle donne et l'état stable serait uniforme. Avec elle, la prison accueille un tiers des coups, deux fois plus que la moyenne, et la case $1$ qui la précède n'en reçoit qu'un quinzième.

La convergence. Le tableur montre que $\pi_n$ se rapproche de $\pi^*$ et que l'écart est à peu près divisé par deux à chaque coup. Le programme de maths expertes admet le résultat général suivant : si une puissance de la matrice de transition n'a que des coefficients strictement positifs, alors $\pi_n$ converge vers l'unique état stable, quel que soit l'état de départ. Ici, $P^4$ n'a que des coefficients strictement positifs (on peut le vérifier à la calculatrice) : au bout de quelques dizaines de coups, le plateau a « oublié » la case de départ.

Le plateau réel compte quarante cases, numérotées ici de $0$ (Départ) à $39$. La prison est la case $10$, la case « Allez en prison » la case $30$. Trois mécanismes déforment le hasard des dés :

• La case « Allez en prison », qui renvoie en case $10$, comme dans le petit plateau.
• Les cartes. Dans l'édition américaine classique, sur les seize cartes Chance, dix déplacent le pion (vers le Départ, vers trois rues précises, vers la gare ou la compagnie la plus proche, trois cases en arrière, en prison). Sur les seize cartes Caisse de communauté, deux le déplacent (Départ et prison). Les éditions françaises diffèrent un peu par le texte des cartes.
• Les doubles. Un double fait rejouer, trois doubles de suite envoient en prison.

Le pion n'a plus de mémoire au-delà de sa case (et du nombre de doubles déjà faits dans le tour) : c'est encore une chaîne de Markov. Mais la matrice exacte a plus d'une centaine d'états, car il faut retenir le nombre de doubles, et sa résolution à la main est hors de portée. On procède alors comme les statisticiens : on simule un très grand nombre de tours et on compte. D'après la loi des grands nombres, plus le nombre de tours est grand, plus il est probable que la fréquence observée de chaque case soit proche de sa probabilité dans l'état stable.

Le programme suivant joue $10\,000$ tours avec ces règles, en comptant chaque case où le pion s'arrête (un double fait s'arrêter deux fois dans le même tour). Le joueur envoyé en prison est supposé payer pour en sortir au tour suivant.

Avec deux millions de tours simulés pour ce texte, les résultats se stabilisent ainsi (valeurs arrondies, en pourcentage des arrêts) :

Une case quelconque aurait $\tfrac{1}{40} = 2{,}5\,\%$. La prison en reçoit près de deux fois et demie plus, parce que trois chemins y mènent : la case $30$, les cartes et les trois doubles. Si le joueur choisit au contraire de rester en prison le plus longtemps possible (ce que permettent les règles, en attendant un double), la prison monte à environ $11{,}5\,\%$ des arrêts. Les cases Chance, elles, sont parmi les moins fréquentées (moins de $1\,\%$ pour deux d'entre elles) : dix fois sur seize, la carte fait repartir le pion ailleurs.

Pourquoi l'orange et le rouge ? En sortant de prison, le pion part de la case $10$ avec une somme $S$ dont la loi a été calculée plus haut. Les rues orange sont aux cases $16$, $18$ et $19$, c'est-à-dire à $6$, $8$ et $9$ cases de la prison : elles correspondent aux sommes de probabilités $\tfrac{5}{36}$, $\tfrac{5}{36}$ et $\tfrac{4}{36}$, parmi les plus fortes. Le rouge (cases $21$, $23$ et $24$) est à $11$, $13$ et $14$ cases de la prison, soit environ deux lancers (deux lancers font en moyenne $14$ cases) ; la case $24$ profite en plus d'une carte Chance qui y envoie directement.

Le propriétaire d'une rue touche un loyer chaque fois qu'un adversaire s'y arrête. Pour isoler l'effet des probabilités, supposons que toutes les rues d'un groupe aient le même loyer $L$ (dans le jeu réel, les loyers et les prix diffèrent selon les groupes).

Nombre d'arrêts par tour. Un tour comprend un arrêt, plus un deuxième si le premier lancer est un double, plus un troisième si le deuxième l'est aussi. En négligeant la prison, l'espérance du nombre d'arrêts par tour vaut donc

et la simulation donne $1{,}19$ aussi (un peu moins, car la prison interrompt certains tours).

Espérance du loyer. Si $f$ est la part des arrêts qui tombent sur un groupe, un adversaire s'y arrête en moyenne environ $1{,}19 \times f$ fois par tour. L'espérance du loyer touché à chaque tour d'un adversaire est donc environ $1{,}19\,f\,L$.

À loyer égal, un groupe orange rapporte presque deux fois plus qu'un groupe bleu foncé : environ une fois tous les dix tours, chaque adversaire paie. Dans le vrai jeu, le bleu foncé compense en partie par des loyers plus élevés, mais il coûte aussi plus cher à acheter et à construire : comparer les groupes demande de rapporter l'espérance du loyer au prix payé, ce qui est un vrai calcul de rentabilité. Avec trois adversaires, on multiplie par trois.

Andreï Andreïevitch Markov (1856-1922), professeur à l'université de Saint-Pétersbourg. Photographie d'un auteur inconnu, Wikimedia Commons, domaine public.

Au début du XX^e siècle, on démontrait la loi des grands nombres pour des épreuves indépendantes. Markov voulait montrer qu'elle reste vraie quand chaque épreuve dépend de la précédente. Pour prouver que ces « épreuves en chaîne » existent ailleurs que sur le papier, il présente en 1913 à l'Académie des sciences une étude des $20\,000$ premières lettres du roman en vers Eugène Onéguine de Pouchkine. D'après les chiffres repris par Brian Hayes, il y compte $8\,638$ voyelles, soit $43{,}2\,\%$, mais seulement $1\,104$ couples « voyelle suivie d'une voyelle » : une lettre dépend de celle qui la précède.

On en tire la matrice de transition entre les deux états V (voyelle) et C (consonne) : après une voyelle, la lettre suivante est une voyelle avec probabilité $a \approx 0{,}128$ ; après une consonne, avec probabilité $b \approx 0{,}663$.

On retrouve les $43{,}2\,\%$ de voyelles comptées par Markov : c'est l'état stable de la chaîne, ligne $(\ell\;\;1-\ell)$ telle que $\pi M = \pi$. Cette idée, prédire la lettre suivante d'après les précédentes, est l'ancêtre lointain des modèles de langue ; le texte La linguistique quantitative la prolonge avec Shannon et l'entropie.

Remplaçons les cases par des pages web et le lancer de dés par un clic au hasard sur un lien de la page. Un internaute imaginaire qui clique sans fin suit une chaîne de Markov ; la part du temps qu'il passe sur chaque page dans l'état stable mesure son importance. C'est l'idée de PageRank, publiée en 1998 par Sergey Brin et Larry Page, les fondateurs de Google. Pour que la convergence soit garantie (une puissance de la matrice à coefficients tous strictement positifs), l'internaute saute de temps en temps vers une page tirée au hasard, avec une probabilité de l'ordre de $15\,\%$ dans l'article d'origine.

Les mêmes calculs servent pour les files d'attente, la génétique des populations, la météo à court terme ou la fiabilité des machines. Le texte Calculer un trajet en métro traite PageRank sur un graphe et la marche aléatoire sur un réseau.

Le dessin du brevet américain n° 748 626, « Game Board », accordé à Lizzie J. Magie le 5 janvier 1904. On y voit déjà le tour du plateau, les compagnies de chemin de fer et un coin « Go to jail ». Archives nationales des États-Unis, Wikimedia Commons, domaine public.

Le jeu a une ancêtre. Elizabeth « Lizzie » Magie (1866-1948), sténographe et militante de Washington, dépose en 1903 le brevet du Landlord's Game (« le jeu du propriétaire »), accordé en janvier 1904. Inspirée par l'économiste Henry George, qui voulait taxer la rente foncière, elle conçoit le jeu pour montrer comment l'accumulation des terrains enrichit quelques-uns et ruine les autres. Selon l'histoire racontée par la journaliste Mary Pilon, le jeu circule ensuite de façon artisanale pendant des années, notamment dans des universités et chez des quakers d'Atlantic City, qui donnent aux rues les noms de leur ville.

Elizabeth Magie, dans un journal de Washington en octobre 1906. Photographe inconnu, Wikimedia Commons, domaine public.

Au milieu des années 1930, Charles Darrow vend une version de ce jeu à l'éditeur Parker Brothers, qui le commercialise sous le nom de Monopoly en 1935 et rachète aussi le brevet de Lizzie Magie. Pendant des décennies, Darrow passera pour l'unique inventeur. L'ironie est souvent relevée : un jeu imaginé pour critiquer les monopoles est devenu le symbole du plaisir d'en construire un. Les détails de cette histoire (sommes versées, rôle de chacun) varient selon les sources et sont à lire avec prudence.

Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :

• Mathématiques : la loi de la somme de deux dés ; la matrice de transition et le calcul de $\pi_0 P^n$ ; la résolution de $\pi = \pi P$ ; la convergence vers l'état stable ; la chaîne à deux états et la suite arithmético-géométrique ; l'espérance du nombre d'arrêts et du loyer.
• NSI : simuler un jeu de plateau ; comparer simulation et calcul matriciel ; le principe de PageRank et des moteurs de recherche ; prédire la lettre suivante d'un texte.
• SES : rente foncière et concentration des richesses chez Henry George et Lizzie Magie ; rentabilité d'un investissement en espérance ; ce qu'un jeu dit (ou ne dit pas) de l'économie réelle.

• Chaîne de Markov, PageRank et The Landlord's Game (Wikipédia).
• Brian Hayes, « First Links in the Markov Chain », American Scientist, 2013 (en anglais) : l'étude de Markov sur Pouchkine.
• Sur ce site : Calculer un trajet en métro (graphes, matrices, PageRank), La marche de l'ivrogne (marches aléatoires), La linguistique quantitative (Markov et Shannon) et Le jeu du tic-tac-toe (un autre jeu mis en équations).