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Par une nuit claire, loin des villes, on distingue à l'œil nu quelques milliers d'étoiles, des plus brillantes aux plus faibles. Depuis plus de deux mille ans, les astronomes classent leur éclat avec une échelle étrange : la magnitude. Plus une étoile est brillante, plus sa magnitude est petite, et elle peut même être négative. Derrière cette échelle se cache une fonction de terminale : le logarithme.
Ce texte explique d'où vient cette échelle, pourquoi elle est logarithmique, et comment elle permet de mesurer la distance des étoiles et des galaxies. Il rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
Au IIe siècle avant notre ère, l'astronome grec Hipparque dresse un catalogue d'étoiles, qui nous est parvenu par l'Almageste de Ptolémée. Il range les étoiles en six « grandeurs » : les plus brillantes sont de première grandeur, les plus faibles visibles à l'œil nu de sixième grandeur. Le mot « magnitude » vient du latin magnitudo, « grandeur » : on pensait alors que les étoiles brillantes étaient plus grosses.
Cette échelle est faite à l'œil, donc subjective. Au XIXe siècle, les astronomes mesurent l'éclat des étoiles avec des instruments, c'est-à-dire la quantité de lumière reçue par seconde et par mètre carré, appelée flux (ou éclairement) et notée $F$. Ils constatent qu'une étoile de première grandeur envoie environ $100$ fois plus de lumière qu'une étoile de sixième grandeur. En 1856, l'astronome anglais Norman Pogson propose de rendre ce rapport exact : une différence de $5$ magnitudes correspond exactement à un rapport de flux de $100$.
Hipparque passait d'une grandeur à la suivante par « sauts » égaux à l'œil. L'idée de Pogson : chaque magnitude en moins multiplie le flux par un même nombre $r$. Cinq magnitudes multiplient donc le flux par $r^5$, et l'on veut $r^5 = 100$.
- Comme $100 = 10^2$, on cherche $r$ tel que $r^5 = 10^2$ : $r = 10^{2/5} = 10^{0{,}4}$.
- À la calculatrice, $r \approx 2{,}512$.
Une étoile de magnitude $1$ est donc environ $2{,}5$ fois plus brillante qu'une étoile de magnitude $2$, environ $2{,}512^2 \approx 6{,}3$ fois plus brillante qu'une étoile de magnitude $3$, et ainsi de suite : les flux forment une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{r}$ quand la magnitude augmente de $1$ en $1$.
Considérons deux étoiles de magnitudes $m_1$ et $m_2$ et de flux $F_1$ et $F_2$. D'après ce qui précède,
$$\frac{F_1}{F_2} = 10^{0{,}4\,(m_2 - m_1)}.$$Étape 1 : le logarithme décimal. On note $\log_{10} x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}$ pour $x > 0$. Il a les mêmes propriétés que $\ln$, et en plus $\log_{10}\left(10^a\right) = \dfrac{a \ln 10}{\ln 10} = a$.
Étape 2. On applique $\log_{10}$ aux deux membres de l'égalité ci-dessus :
$$\log_{10}\frac{F_1}{F_2} = 0{,}4\,(m_2 - m_1).$$Étape 3. On divise par $0{,}4$, soit on multiplie par $\dfrac{1}{0{,}4} = 2{,}5$ : $m_2 - m_1 = 2{,}5\,\log_{10}\dfrac{F_1}{F_2}$, d'où la formule annoncée.
On fixe le zéro de l'échelle avec une étoile de référence, historiquement Véga, de flux $F_0$ : la magnitude d'une étoile de flux $F$ est
$$m = -2{,}5\,\log_{10}\frac{F}{F_0}.$$Le signe « moins » explique l'étrangeté de l'échelle : comme $\log_{10}$ est croissante, plus le flux est grand, plus la magnitude est petite. Et si $F > F_0$, le logarithme est positif et la magnitude négative.
Voici des magnitudes apparentes mesurées (dans la lumière visible), arrondies :
| objet | magnitude apparente |
|---|---|
| Soleil | $-26{,}74$ |
| pleine Lune | environ $-12{,}7$ |
| Sirius, l'étoile la plus brillante du ciel nocturne | $-1{,}46$ |
| Véga | $0{,}03$ |
| étoile Polaire (légèrement variable) | environ $1{,}98$ |
| limite de l'œil nu, ciel très noir | environ $6$ |
Un exemple à la main : Sirius et Véga. La différence de magnitude est $0{,}03 - (-1{,}46) = 1{,}49$. D'après la formule, le rapport des flux est
$$\frac{F_{\text{Sirius}}}{F_{\text{Véga}}} = 10^{0{,}4 \times 1{,}49} = 10^{0{,}596} \approx 3{,}9.$$Sirius nous envoie environ quatre fois plus de lumière que Véga.
- Sirius et la Polaire. $1{,}98 - (-1{,}46) = 3{,}44$, donc un rapport de $10^{0{,}4 \times 3{,}44} \approx 24$. La Polaire, souvent crue très brillante, est en réalité une étoile assez modeste.
- Le Soleil et la pleine Lune. Environ $14$ magnitudes d'écart, donc un rapport de $10^{0{,}4 \times 14} = 10^{5{,}6} \approx 400\,000$.
- Sirius et l'étoile la plus faible visible à l'œil nu. $6 - (-1{,}46) = 7{,}46$, donc un rapport d'environ $10^{2{,}98} \approx 960$. Notre œil perçoit à la fois des lumières près de mille fois plus faibles que d'autres.
Avec un grand télescope spatial, on observe des galaxies de magnitude voisine de $30$, soit des flux environ $10^{0{,}4 \times 24} \approx 4 \times 10^9$ fois plus faibles que les étoiles les plus faibles visibles à l'œil nu. Sans logarithme, il faudrait manipuler des nombres immenses ; avec lui, une échelle de quelques dizaines d'unités suffit.
Hipparque a construit sans le savoir une échelle logarithmique, parce que notre perception l'est à peu près. Au XIXe siècle, le physiologiste allemand Ernst Weber observe que la plus petite augmentation d'un stimulus que l'on perçoit (un poids, une lumière, un son) est à peu près proportionnelle au stimulus lui-même : on distingue $100$ g de $102$ g, mais pas $1\,000$ g de $1\,002$ g. Le physicien Gustav Fechner en tire en 1860 une loi.
Étape 1 : la modélisation. Notons $S(I)$ la sensation produite par un stimulus d'intensité $I > 0$. D'après Weber, une petite variation $h$ de l'intensité produit une variation de sensation proportionnelle à $\dfrac{h}{I}$ : $S(I + h) - S(I) \approx k\,\dfrac{h}{I}$, avec $k$ une constante positive.
Étape 2 : la dérivée. En divisant par $h$ et en faisant tendre $h$ vers $0$, on obtient $S'(I) = \dfrac{k}{I}$.
Étape 3 : une primitive. Les primitives de $\dfrac{k}{I}$ sur $]0\,;+\infty[$ sont les fonctions $k \ln I + C$. Si l'on choisit l'intensité $I_0$ du seuil de perception comme zéro de la sensation, alors $C = -k \ln I_0$ et
$$S(I) = k \ln\frac{I}{I_0}.$$La magnitude est exactement de cette forme, au signe près, avec le logarithme décimal : c'est une mesure de la sensation lumineuse. La même idée est à l'origine des décibels pour le son (voir le texte Les logarithmes en physique-chimie). Cette loi n'est qu'une approximation : elle marche bien pour des intensités moyennes, moins bien aux extrêmes, et d'autres modèles ont été proposés.
Une étoile peut paraître brillante parce qu'elle est puissante, ou parce qu'elle est proche. Notons $L$ la puissance lumineuse totale émise par l'étoile. À la distance $d$, cette lumière se répartit sur une sphère de rayon $d$ et d'aire $4\pi d^2$ :
$$F = \frac{L}{4\pi d^2}.$$Si la distance double, le flux est divisé par $4$. Pour comparer les étoiles entre elles, on définit leur magnitude absolue $M$ : c'est la magnitude qu'aurait l'étoile si elle était placée à la distance de référence de $10$ parsecs. (Un parsec vaut environ $3{,}26$ années-lumière, soit environ $3{,}1 \times 10^{13}$ km.)
Étape 1. On applique la formule de Pogson à la même étoile vue à la distance $d$ (magnitude $m$, flux $F_d$) et à la distance $10$ (magnitude $M$, flux $F_{10}$) :
$$m - M = -2{,}5\,\log_{10}\frac{F_d}{F_{10}}.$$Étape 2. D'après la loi en inverse du carré, la puissance $L$ se simplifie :
$$\frac{F_d}{F_{10}} = \frac{L}{4\pi d^2} \times \frac{4\pi \times 10^2}{L} = \left(\frac{10}{d}\right)^2.$$Étape 3. Avec $\log_{10}(a^2) = 2\log_{10} a$ : $m - M = -5\,\log_{10}\dfrac{10}{d} = 5\,\log_{10}\dfrac{d}{10}$, car $\log_{10}\dfrac{1}{x} = -\log_{10} x$.
On résout cette égalité pour obtenir la distance :
$$d = 10 \times 10^{(m - M)/5}.$$Exemple : Sirius. Sa magnitude absolue est d'environ $1{,}42$. Alors $m - M = -1{,}46 - 1{,}42 = -2{,}88$ et $d = 10 \times 10^{-0{,}576} \approx 2{,}65$ parsecs, environ $8{,}6$ années-lumière : c'est bien la distance mesurée de Sirius, l'une des étoiles les plus proches.
Exemple : le Soleil. Il est à $1$ unité astronomique, soit environ $\dfrac{1}{206\,265}$ parsec. Alors $m - M = 5\,\log_{10}\dfrac{1}{2\,062\,650} \approx -31{,}57$, donc $M \approx -26{,}74 + 31{,}57 = 4{,}83$. Placé à $10$ parsecs, notre Soleil serait une étoile pâle, à peine visible à l'œil nu ; Sirius est en réalité une vingtaine de fois plus lumineuse que lui.
Toute la difficulté est de connaître $M$ : si l'on sait combien une étoile est lumineuse en réalité, sa magnitude apparente donne sa distance. Les astronomes appellent « chandelles standard » les astres dont on connaît la luminosité. Les premières ont été découvertes par une femme.
À la fin du XIXe siècle, l'observatoire de l'université Harvard, dirigé par Edward Pickering, emploie des dizaines de femmes pour mesurer et cataloguer les étoiles sur des milliers de plaques photographiques. On les appelle les « calculatrices » de Harvard. Elles sont moins payées que les hommes et n'ont généralement pas accès aux télescopes. Parmi elles, Henrietta Leavitt étudie les étoiles variables des Nuages de Magellan, deux petites galaxies visibles depuis l'hémisphère Sud.
Elle s'intéresse aux céphéides, des étoiles dont l'éclat varie régulièrement, avec une période de quelques jours à quelques semaines. En 1908 puis en 1912, elle remarque que les céphéides les plus brillantes ont les périodes les plus longues. Or toutes les étoiles d'un même Nuage de Magellan sont à peu près à la même distance de nous : leurs différences de magnitude apparente reflètent donc de vraies différences de luminosité. Elle obtient ainsi une relation entre la période et la magnitude : en mesurant la période d'une céphéide, on connaît sa luminosité, donc sa magnitude absolue.
Un exemple de raisonnement. Deux céphéides ont la même période, donc la même magnitude absolue. La première a une magnitude apparente de $12$, la seconde de $17$. D'après le module de distance, $m_2 - m_1 = 5\,\log_{10}\dfrac{d_2}{d_1}$, donc $\log_{10}\dfrac{d_2}{d_1} = 1$ : la seconde est dix fois plus loin. Une fois la relation étalonnée sur quelques céphéides de distance connue, on mesure les distances bien au-delà de notre galaxie.
Dans les années 1920, Edwin Hubble utilise des céphéides de la nébuleuse d'Andromède pour montrer qu'elle est bien plus lointaine que les étoiles de notre galaxie : c'est une autre galaxie. Il établit ensuite que les galaxies s'éloignent d'autant plus vite qu'elles sont loin, ce qui a conduit à l'idée d'un Univers en expansion. Leavitt, morte en 1921, n'a pas vu ces conséquences de sa découverte.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : la formule de Pogson et le logarithme décimal ; les flux en suite géométrique ; la loi de Weber-Fechner obtenue par une primitive ; le module de distance et la loi en inverse du carré.
- Physique-chimie : le flux lumineux, la mesure des distances en astronomie, les échelles logarithmiques.
- HGGSP : les femmes calculatrices de Harvard et la reconnaissance du travail scientifique des femmes ; la découverte des autres galaxies.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : la fonction logarithme népérien, ses propriétés algébriques et ses variations ; la fonction exponentielle ; la résolution d'équations du type $q^x = a$ ; les suites géométriques ; la dérivation et les primitives.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Magnitude apparente, magnitude absolue, céphéide et Henrietta Swan Leavitt (Wikipédia).
- Sur ce site : Les logarithmes en physique-chimie, Le logarithme, de Napier à Brouncker et La linguistique quantitative (des droites grâce au logarithme).