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Prenez la population de toutes les communes de France et regardez seulement le premier chiffre de chaque nombre : Caen compte $108\,398$ habitants (premier chiffre $1$), Quimper $64\,530$ (premier chiffre $6$), Lisieux $19\,540$ (premier chiffre $1$)… On s'attendrait à ce que chaque chiffre de $1$ à $9$ apparaisse à peu près une fois sur neuf, soit environ $11\,\%$ du temps. Il n'en est rien : le chiffre $1$ apparaît dans environ $30\,\%$ des cas, le chiffre $9$ dans moins de $5\,\%$.
Cette régularité, la loi de Benford, se retrouve dans les surfaces des lacs, les cours de la Bourse, les montants des factures, les constantes physiques… Elle s'explique avec le logarithme et sert aujourd'hui à repérer des chiffres truqués. Ce texte la présente avec les outils de terminale : logarithme et exponentielle, suites géométriques, probabilités et inégalité de Bienaymé-Tchebychev, et un programme Python sur de vraies données de l'Insee. Il rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
Avant les calculatrices, on calculait avec des tables de logarithmes : de gros livres où l'on cherchait les logarithmes des nombres, classés du plus petit au plus grand. En 1881, l'astronome américain Simon Newcomb remarque que les premières pages de ces tables, celles des nombres qui commencent par $1$, sont beaucoup plus usées que les dernières. Il en conclut que les nombres qu'on manipule commencent plus souvent par $1$ que par $9$, et il propose la formule qui porte aujourd'hui un autre nom. Sa note passe presque inaperçue.
En 1938, le physicien américain Frank Benford fait la même observation et la vérifie sur plus de $20\,000$ nombres de sources très variées : surfaces de rivières, populations, constantes physiques, adresses, numéros d'articles de journaux. La loi prend son nom, ce qui illustre une règle ironique de l'histoire des sciences : une découverte porte rarement le nom de celui qui l'a faite en premier.
Imaginons une ville de $1\,000$ habitants dont la population augmente de $10\,\%$ par an. Combien de temps sa population commence-t-elle par le chiffre $1$, c'est-à-dire reste-t-elle entre $1\,000$ et $1\,999$ ?
Pour passer de $1\,000$ à $2\,000$, la population doit doubler : c'est long. Pour passer de $9\,000$ à $10\,000$, il suffit d'augmenter de $11\,\%$ : c'est rapide. La ville passe donc $\dfrac{7{,}3}{24{,}2} \approx 30\,\%$ de son temps avec un premier chiffre égal à $1$.
Remplaçons $1{,}1$ par n'importe quel coefficient multiplicateur $q > 1$. La population commence par le chiffre $d$ (avec $1 \leqslant d \leqslant 9$) pendant qu'elle passe de $d \times 1\,000$ à $(d + 1) \times 1\,000$, c'est-à-dire pendant $\dfrac{\ln(d+1) - \ln d}{\ln q}$ années. Rapportée à la durée d'un cycle complet, $\dfrac{\ln 10}{\ln q}$, la part du temps passée avec le premier chiffre $d$ vaut
$$\frac{\ln(d+1) - \ln d}{\ln 10}.$$Le taux de croissance a disparu du résultat ! Que la ville croisse de $1\,\%$ ou de $30\,\%$ par an, elle passe la même part de son temps avec chaque premier chiffre. Une collection de quantités qui ont grandi de façon exponentielle, depuis des débuts et à des rythmes différents, a donc toutes les chances de suivre cette répartition.
On note $\log_{10} x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}$ le logarithme décimal : c'est la fonction telle que $\log_{10} 10^k = k$. La loi de Benford dit que la probabilité que le premier chiffre soit $d$ vaut
$$P(d) = \log_{10}(d+1) - \log_{10} d,$$c'est-à-dire $P(d) = \log_{10}\left(1 + \dfrac{1}{d}\right)$.
| $d$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(d)$ en % | $30{,}1$ | $17{,}6$ | $12{,}5$ | $9{,}7$ | $7{,}9$ | $6{,}7$ | $5{,}8$ | $5{,}1$ | $4{,}6$ |
Par exemple, $P(1) = \log_{10} 2 = \dfrac{\ln 2}{\ln 10}$, soit environ $\dfrac{0{,}693}{2{,}303} \approx 0{,}301$.
On écrit chaque terme comme une différence :
En additionnant, chaque $\log_{10} k$ pour $k$ de $2$ à $9$ apparaît une fois avec le signe $+$ et une fois avec le signe $-$ : ils s'annulent deux à deux (on parle de somme télescopique). Il reste
$$\log_{10} 10 - \log_{10} 1 = 1 - 0 = 1.$$Le même calcul, arrêté au rang $d$, montre que la probabilité que le premier chiffre soit inférieur ou égal à $d$ vaut $\log_{10}(d+1)$. Ainsi, un nombre commence par $1$, $2$ ou $3$ avec la probabilité $\log_{10} 4 \approx 0{,}60$ : plus d'une fois sur deux, alors que ces trois chiffres ne représentent qu'un tiers des chiffres possibles.
Un nombre $x$ strictement positif s'écrit $x = m \times 10^k$ avec $k$ entier et $1 \leqslant m < 10$ (c'est l'écriture scientifique). Son premier chiffre est $d$ si et seulement si $d \leqslant m < d + 1$. Comme $\log_{10}$ est strictement croissante, cela équivaut à
$$\log_{10} d \leqslant \log_{10} m < \log_{10}(d+1).$$Or $\log_{10} x = k + \log_{10} m$, avec $0 \leqslant \log_{10} m < 1$ : le nombre $\log_{10} m$ est la partie décimale de $\log_{10} x$. Par exemple, $\log_{10} 108\,398 \approx 5{,}035$, de partie décimale $0{,}035$, comprise entre $\log_{10} 1 = 0$ et $\log_{10} 2 \approx 0{,}301$ : le premier chiffre est bien $1$.
La loi de Benford revient donc à dire que la partie décimale de $\log_{10} x$ est répartie uniformément entre $0$ et $1$ : la probabilité qu'elle tombe dans un intervalle est égale à la longueur de cet intervalle, ici $\log_{10}(d+1) - \log_{10} d$. C'est ce qui arrive quand les nombres s'étalent sur plusieurs puissances de $10$ : les communes françaises vont de quelques habitants à plusieurs centaines de milliers.
Si une loi universelle des premiers chiffres existe pour les prix, elle ne doit pas dépendre de la monnaie : les mêmes prix exprimés en euros ou en dollars doivent suivre la même loi. Pour les longueurs, elle ne doit pas dépendre du choix entre mètres et pieds. Autrement dit, la loi doit être invariante par changement d'unité : multiplier tous les nombres par une même constante $c$ ne doit pas la modifier.
La loi de Benford a cette propriété. Multiplier $x$ par $c$ ajoute $\log_{10} c$ à son logarithme : $\log_{10}(cx) = \log_{10} c + \log_{10} x$. Les parties décimales sont toutes décalées de la même quantité, en « faisant le tour » quand elles dépassent $1$, comme les aiguilles d'une montre. Une répartition uniforme sur un cercle reste uniforme quand on la fait tourner : la loi de Benford est conservée.
Réciproquement, en 1961, le mathématicien américain Roger Pinkham a montré que c'est la seule loi des premiers chiffres invariante par changement d'unité (on l'admet). Plus tard, en 1995, Theodore Hill a expliqué pourquoi des données qui mélangent beaucoup de sources différentes tendent vers cette loi.
Voici les dix premières puissances de $2$ :
$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128,\ 256,\ 512.$$Leurs premiers chiffres sont
$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 1,\ 3,\ 6,\ 1,\ 2,\ 5\,;$$Le chiffre $1$ apparaît $3$ fois sur $10$, déjà proche de $30\,\%$. Sur les $1\,000$ premières puissances de $2$ (de $2^0$ à $2^{999}$), on compte exactement :
| $d$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| effectif | $301$ | $176$ | $125$ | $97$ | $79$ | $69$ | $56$ | $52$ | $45$ |
C'est presque exactement la loi de Benford, multipliée par $1\,000$.
Le premier chiffre de $2^n$ est donné par la partie décimale de $\log_{10} 2^n = n \log_{10} 2$. Notons $\alpha = \log_{10} 2 \approx 0{,}301$. Les nombres $n\alpha$ forment une suite arithmétique de raison $\alpha$ : leur partie décimale avance de $0{,}301$ à chaque étape et fait le tour de l'intervalle $[0\,;1[$ en à peu près trois pas et un tiers.
Raisonnons par l'absurde. Supposons $\log_{10} 2 = \dfrac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers strictement positifs (il est positif car $2 > 1$). Alors $q \log_{10} 2 = p$, soit $\log_{10} 2^q = \log_{10} 10^p$, et comme $\log_{10}$ est strictement croissante, $2^q = 10^p = 2^p \times 5^p$. Le nombre $5^p$ divise donc $2^q$ : c'est impossible, car $5^p$ est impair et supérieur à $1$, alors que les seuls diviseurs de $2^q$ sont des puissances de $2$.
Comme $\alpha$ est irrationnel, la partie décimale de $n\alpha$ ne revient jamais exactement à la même valeur. Un théorème démontré vers 1909-1910 par plusieurs mathématiciens (Bohl, Sierpiński, Weyl), que l'on admet, affirme même qu'elle se répartit uniformément dans $[0\,;1[$ : la proportion des $n$ inférieurs à $N$ pour lesquels elle tombe dans un intervalle tend, quand $N$ tend vers $+\infty$, vers la longueur de cet intervalle. D'après la partie précédente, les premiers chiffres de $2^n$ suivent donc exactement la loi de Benford à la limite. C'est vrai pour toute suite géométrique $a \times q^n$ dont la raison $q$ n'est pas une puissance rationnelle de $10$.
L'Insee publie chaque année la population légale de chaque commune. Dans le fichier des populations légales 2022 (en vigueur au 1er janvier 2025), on trouve $34\,960$ communes (Paris, Lyon et Marseille y sont découpées en arrondissements, et Mayotte n'y figure pas). Six d'entre elles ont une population nulle : ce sont des villages de la Meuse détruits pendant la bataille de Verdun, en 1916, jamais reconstruits mais conservés comme communes en souvenir. Il reste $34\,954$ communes habitées.
| premier chiffre | communes | en % | Benford en % |
|---|---|---|---|
| $1$ | $10\,622$ | $30{,}4$ | $30{,}1$ |
| $2$ | $6\,326$ | $18{,}1$ | $17{,}6$ |
| $3$ | $4\,398$ | $12{,}6$ | $12{,}5$ |
| $4$ | $3\,191$ | $9{,}1$ | $9{,}7$ |
| $5$ | $2\,793$ | $8{,}0$ | $7{,}9$ |
| $6$ | $2\,394$ | $6{,}8$ | $6{,}7$ |
| $7$ | $1\,954$ | $5{,}6$ | $5{,}8$ |
| $8$ | $1\,771$ | $5{,}1$ | $5{,}1$ |
| $9$ | $1\,505$ | $4{,}3$ | $4{,}6$ |
L'écart est-il normal ? Modélisons : chaque commune a un premier chiffre égal à $1$ avec la probabilité $p = \log_{10} 2 \approx 0{,}301$, indépendamment des autres. Le nombre $X$ de communes dont la population commence par $1$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 34\,954$ et $p$, et la fréquence $F = \dfrac{X}{n}$ a pour espérance $p$ et pour variance $\dfrac{p(1-p)}{n}$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne, pour tout $\delta > 0$,
$$P\big(|F - p| \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{p(1-p)}{n\,\delta^2}.$$Avec $\delta = 0{,}01$ : $\dfrac{0{,}301 \times 0{,}699}{34\,954 \times 0{,}000\,1} \approx 0{,}06$. Si le modèle est juste, la fréquence observée a au moins $94\,\%$ de chances d'être à moins de $0{,}01$ de $0{,}301$. On observe $\dfrac{10\,622}{34\,954} \approx 0{,}304$ : un écart de $0{,}003$ seulement, tout à fait compatible avec la loi. Plus le nombre de communes est grand, plus il est probable que la fréquence observée soit proche de $\log_{10} 2$, si la loi est vraie.
Les montants des factures, des notes de frais ou des déclarations comptables d'une entreprise suivent souvent la loi de Benford : ils s'étalent sur plusieurs puissances de $10$ et résultent de multiplications (quantité × prix unitaire, taux, intérêts). Mais quand quelqu'un invente des montants, il a tendance à répartir les premiers chiffres à peu près également, à éviter les répétitions, ou à rester juste sous un seuil de contrôle (par exemple beaucoup de montants qui commencent par $4$ sous une limite de $5\,000$ euros). Dans les années 1990, l'universitaire sud-africain Mark Nigrini a montré comment utiliser cet écart pour orienter les contrôles en audit comptable. La méthode est aujourd'hui enseignée aux auditeurs et utilisée par certaines administrations fiscales.
Un contrôleur examine $200$ factures. Seules $22$ commencent par $1$, soit une fréquence de $0{,}11$, à peu près $\dfrac{1}{9}$ : c'est la fréquence que donneraient des premiers chiffres choisis au hasard de façon équiprobable. Si les montants suivaient la loi de Benford, avec $\delta = 0{,}15$ :
$$P\big(|F - 0{,}301| \geqslant 0{,}15\big) \leqslant \frac{0{,}301 \times 0{,}699}{200 \times 0{,}15^2},$$et ce quotient vaut environ $0{,}047$.
Des factures honnêtes donneraient donc, avec une probabilité d'au moins $95\,\%$, une fréquence de $1$ comprise entre $0{,}151$ et $0{,}451$. La fréquence observée, $0{,}11$, est en dehors : cela ne prouve pas une fraude, mais justifie un contrôle plus approfondi.
En 2011, une équipe d'économistes allemands a comparé à la loi de Benford les statistiques économiques que les pays de l'Union européenne transmettaient à Bruxelles ; ce sont les données de la Grèce, dont on savait déjà qu'elles avaient été maquillées pendant des années, qui s'en écartaient le plus. La méthode a aussi été appliquée aux résultats d'élections, par exemple lors de l'élection présidentielle iranienne de 2009. Ces usages sont très discutés : des chercheurs ont montré que des résultats électoraux honnêtes ne suivent pas forcément la loi de Benford, parce que les bureaux de vote ont souvent des tailles voisines.
Le programme ci-dessous contient les populations municipales des $1\,206$ communes de la région Bretagne (Côtes-d'Armor, Finistère, Ille-et-Vilaine, Morbihan), tirées du même fichier de l'Insee. Il compte leurs premiers chiffres, puis ceux des $1\,000$ premières puissances de $2$, et compare à la loi de Benford. On peut remplacer la liste par d'autres données.
Pour les communes bretonnes, on obtient $31{,}2\,\%$ de populations qui commencent par $1$ : un écart d'environ $0{,}011$ avec la loi, alors que la borne de Bienaymé-Tchebychev indique qu'un écart d'au moins $0{,}03$ a une probabilité au plus d'environ $0{,}19$. Avec seulement $1\,206$ communes, les fréquences des autres chiffres s'écartent un peu plus de la loi que pour la France entière : c'est l'effet de la taille de l'échantillon.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : la fonction logarithme et ses propriétés algébriques ; la fonction exponentielle ; les suites géométriques et arithmétiques ; la résolution d'équations du type $q^n = a$ ; le raisonnement par l'absurde ; les variables aléatoires, la loi binomiale, son espérance et sa variance ; l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la loi des grands nombres.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.