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Sur un piano, il y a douze touches par octave, toutes à égale distance. Ce choix, qui nous semble naturel, est le résultat d'un problème mathématique vieux de deux mille cinq cents ans : les intervalles que l'oreille trouve les plus beaux, l'octave et la quinte, ne peuvent pas s'accorder exactement entre eux. Aucune gamme ne peut contenir à la fois des octaves parfaites et des quintes parfaites. Il faut choisir, c'est-à-dire tempérer.
Comprendre pourquoi demande des mathématiques de terminale : suites géométriques, raisonnement par l'absurde et parité, fonction logarithme, limites et approximations. Ce texte rassemble ces connaissances. Il ne propose pas de Grand Oral tout fait : à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
- Un son, une fréquence
- Pythagore et les rapports simples
- Construire la gamme de Pythagore à la main
- Le cycle des quintes ne se referme jamais
- Le logarithme, mesure des intervalles
- Le tempérament égal : une suite géométrique
- Pourquoi douze notes ?
- Entendre la différence : les battements
- Bach et le « bien tempéré »
- Des directions pour construire sa question
Un son est une vibration de l'air. Une note tenue, comme celle d'une corde de guitare, est une vibration périodique ; le nombre de vibrations par seconde est sa fréquence, en hertz (Hz). Le La qui sert à accorder les orchestres vibre $440$ fois par seconde : $f = 440$ Hz. Plus la fréquence est grande, plus le son est aigu.
Une observation fondamentale : l'oreille ne juge pas les différences de fréquences, mais leurs rapports. Passer de $220$ Hz à $440$ Hz ou de $440$ Hz à $880$ Hz donne la même impression de montée : dans les deux cas, la fréquence est multipliée par $2$. Cet intervalle s'appelle l'octave. Deux notes à l'octave se ressemblent tant qu'on leur donne le même nom : le La $220$, le La $440$, le La $880$.
Pour une corde tendue, le physicien Marin Mersenne a établi en 1636 que la fréquence est inversement proportionnelle à la longueur de la partie qui vibre (à tension et corde égales). Si l'on pince la moitié de la corde, la fréquence double : on entend l'octave. Si l'on pince les deux tiers, la fréquence est multipliée par $\frac{3}{2}$ : c'est la quinte. Avec les trois quarts, elle est multipliée par $\frac{4}{3}$ : c'est la quarte.
Ces trois rapports, $\frac{2}{1}$, $\frac{3}{2}$ et $\frac{4}{3}$, sont les plus simples possibles avec les entiers $1$, $2$, $3$ et $4$. La physique explique pourquoi ils sonnent bien : une note réelle contient aussi des harmoniques, de fréquences $2f$, $3f$, $4f$… Deux notes dans un rapport simple ont beaucoup d'harmoniques en commun : pour un La $220$ Hz et un Mi $330$ Hz (rapport $\frac{3}{2}$), l'harmonique $3$ du La et l'harmonique $2$ du Mi tombent toutes les deux sur $660$ Hz.
La tradition attribue à Pythagore (VIe siècle avant notre ère) et à son école la découverte que les intervalles consonants correspondent à des rapports de petits entiers. Pour les pythagoriciens, c'était une preuve que « tout est nombre » : l'harmonie du son, et même celle du cosmos, s'expliqueraient par l'arithmétique. Nous ne connaissons ces idées que par des auteurs bien plus tardifs, comme Nicomaque de Gérase (IIe siècle) puis Boèce (VIe siècle), qui transmettra cette théorie au Moyen Âge.
Les nombres de la gravure ne sont pas choisis au hasard : $\frac{8}{4} = \frac{12}{6} = \frac{16}{8} = 2$ (octaves), $\frac{12}{8} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ (quintes), $\frac{12}{9} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$ (quartes), et $\frac{9}{8}$ est le ton, l'écart entre la quarte et la quinte :
$$\frac{3}{2} \div \frac{4}{3} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8}.$$La légende raconte que Pythagore aurait découvert ces rapports en entendant des marteaux de forgerons de masses $6$, $8$, $9$ et $12$. Elle est physiquement fausse, comme la case des cordes tendues par des poids : la fréquence d'une corde est proportionnelle à la racine carrée de sa tension, pas à la tension elle-même. Pour obtenir l'octave en changeant le poids, il faut le multiplier par $4$, pas par $2$. Le musicien Vincenzo Galilei, père de Galilée, l'aurait vérifié vers 1589. Seules les longueurs de cordes donnent les bons rapports.
Avec seulement l'octave et la quinte, on peut fabriquer toutes les notes. On part d'une note, disons Do, de rapport $1$, et l'on monte de quinte en quinte, c'est-à-dire qu'on multiplie par $\frac{3}{2}$. Comme deux notes à l'octave portent le même nom, on ramène chaque rapport entre $1$ et $2$ en le divisant par $2$ autant de fois que nécessaire.
- Do : $1$.
- Une quinte au-dessus, Sol : $\frac{3}{2} = 1{,}5$, déjà entre $1$ et $2$.
- Encore une quinte, Ré : $\frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{4} = 2{,}25$, trop grand ; on divise par $2$ : $\frac{9}{8} = 1{,}125$.
- La : $\frac{9}{8} \times \frac{3}{2} = \frac{27}{16} \approx 1{,}69$.
- Mi : $\frac{27}{16} \times \frac{3}{2} = \frac{81}{32} \approx 2{,}53$, ramené à $\frac{81}{64} \approx 1{,}27$.
- Si : $\frac{81}{64} \times \frac{3}{2} = \frac{243}{128} \approx 1{,}90$.
- Fa s'obtient en descendant d'une quinte depuis le Do aigu : $2 \div \frac{3}{2} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33$.
On range ces sept notes dans l'ordre croissant :
| note | Do | Ré | Mi | Fa | Sol | La | Si | Do |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| rapport | $1$ | $\frac{9}{8}$ | $\frac{81}{64}$ | $\frac{4}{3}$ | $\frac{3}{2}$ | $\frac{27}{16}$ | $\frac{243}{128}$ | $2$ |
En divisant chaque rapport par le précédent, on trouve seulement deux écarts : le ton $\frac{9}{8}$ (de Do à Ré, de Ré à Mi, de Fa à Sol, de Sol à La, de La à Si) et un petit intervalle, le limma, de Mi à Fa et de Si à Do :
$$\frac{4}{3} \div \frac{81}{64} = \frac{4 \times 64}{3 \times 81} = \frac{256}{243} \approx 1{,}0535.$$C'est la gamme de Pythagore : cinq tons et deux « demi-tons ». Mais ce demi-ton n'est pas la moitié d'un ton : deux limmas successifs donnent $\left(\frac{256}{243}\right)^2 = \frac{65\,536}{59\,049} \approx 1{,}1099$, un peu moins que $\frac{9}{8} = 1{,}125$. Premier signe que les quintes ne s'emboîtent pas parfaitement dans l'octave.
Après $n$ quintes, le rapport est $\left(\frac{3}{2}\right)^n$, et il faut le diviser par $2^k$ avec $k$ entier tel que
$$1 \leqslant \frac{(3/2)^n}{2^k} < 2.$$En appliquant la fonction $\log_2 = \dfrac{\ln}{\ln 2}$, strictement croissante, cette condition devient $0 \leqslant n \log_2\!\left(\frac{3}{2}\right) - k < 1$ : $k$ est la partie entière de $n \log_2\!\left(\frac{3}{2}\right)$. Par exemple, pour $n = 4$ : $4 \times 0{,}585 \approx 2{,}34$, donc $k = 2$, et Mi vaut bien $\frac{81}{16} \div 4 = \frac{81}{64}$. Le logarithme apparaît déjà : il compte les octaves.
Continuons à monter de quinte en quinte après le Si : Fa♯, Do♯, Sol♯, Ré♯, La♯, Mi♯, Si♯. Après douze quintes, on a parcouru les douze notes du clavier, et le Si♯ devrait être le Do de départ, sept octaves plus haut. Or
$$\left(\frac{3}{2}\right)^{12} = \frac{3^{12}}{2^{12}} = \frac{531\,441}{4\,096} \approx 129{,}75,$$alors que sept octaves donnent $2^7 = 128$. Le cycle ne se referme pas : il manque un petit écart, le comma pythagoricien,
$$\frac{(3/2)^{12}}{2^7} = \frac{3^{12}}{2^{19}} = \frac{531\,441}{524\,288} \approx 1{,}0136.$$C'est environ un quart de demi-ton : une oreille exercée l'entend très bien (on peut l'écouter plus bas).
Peut-être qu'avec plus de quintes, le cycle finirait par se refermer ? Non, et la preuve est très courte.
Étape 1. Raisonnons par l'absurde : supposons qu'il existe des entiers $p \geqslant 1$ et $q$ tels que $\left(\frac{3}{2}\right)^p = 2^q$.
Étape 2. En multipliant par $2^p$ : $3^p = 2^{p+q}$. Comme $3^p \geqslant 3 > 1$, on a $p + q \geqslant 1$ : le membre de droite est un entier pair.
Étape 3. Or $3^p$ est un produit de nombres impairs, donc il est impair. Un entier ne peut pas être à la fois pair et impair : c'est une contradiction. Donc aucun empilement de quintes ne retombe exactement sur une octave.
On peut dire la même chose avec le logarithme. Si $\left(\frac{3}{2}\right)^p = 2^q$, alors en prenant $\log_2$, $p \log_2\!\left(\frac{3}{2}\right) = q$, c'est-à-dire $\log_2\!\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{q}{p}$. Le résultat démontré équivaut donc à :
Le nombre $\log_2\!\left(\frac{3}{2}\right) = \dfrac{\ln 3}{\ln 2} - 1 \approx 0{,}58496$ est irrationnel. Une quinte est une fraction irrationnelle d'octave : aucun nombre entier de quintes ne fait un nombre entier d'octaves.
Au XIVe siècle, Nicole Oresme démontrait déjà que de tels rapports sont « incommensurables » (voir le texte Nicole Oresme, qui prouve que $\frac{\ln 3}{\ln 2}$ est irrationnel).
La figure représente l'octave par un cercle : faire un tour complet, c'est monter d'une octave, et la position d'une note sur le cercle est proportionnelle à son logarithme. Chaque quinte fait avancer d'environ $0{,}585$ tour. Le curseur règle le nombre de quintes empilées.
Enchaîner deux intervalles revient à multiplier leurs rapports : une quinte puis une quarte donnent $\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} = 2$, une octave. Or les musiciens pensent en additions : « une quinte plus une quarte font une octave ». La fonction qui transforme les produits en sommes est le logarithme : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.
On mesure un intervalle de rapport $r$ en octaves par
$$\log_2 r = \frac{\ln r}{\ln 2}.$$Ainsi l'octave mesure $\log_2 2 = 1$, et la quinte $\log_2 1{,}5 \approx 0{,}585$ octave. En multipliant par $12$, on compte en demi-tons du piano ; en multipliant par $1\,200$, en cents (un cent est un centième de demi-ton) :
$$\text{intervalle en cents} = 1\,200 \times \log_2 r.$$Notons $c(r) = 1\,200 \times \dfrac{\ln r}{\ln 2}$ pour $r > 0$. Pour deux rapports $r$ et $s$, la propriété fondamentale du logarithme donne $\ln(rs) = \ln r + \ln s$, donc
$$\begin{aligned} c(rs) &= \frac{1\,200}{\ln 2}\left(\ln r + \ln s\right) \\ &= c(r) + c(s). \end{aligned}$$De plus $c(2) = 1\,200$ : l'octave vaut $1\,200$ cents, et $k$ octaves valent $c(2^k) = 1\,200\,k$.
Quelques valeurs, calculées avec la calculatrice :
| intervalle | rapport | cents |
|---|---|---|
| octave | $2$ | $1\,200$ |
| quinte | $\frac{3}{2}$ | $701{,}96$ |
| quarte | $\frac{4}{3}$ | $498{,}04$ |
| ton | $\frac{9}{8}$ | $203{,}91$ |
| tierce juste | $\frac{5}{4}$ | $386{,}31$ |
| comma | $\frac{3^{12}}{2^{19}}$ | $23{,}46$ |
On vérifie l'additivité : quinte et quarte font $701{,}96 + 498{,}04 = 1\,200$ cents. Et le comma, en cents, est $12 \times 701{,}96 - 7 \times 1\,200 \approx 23{,}46$.
Pourquoi l'oreille entend-elle les rapports plutôt que les différences ? C'est un cas de la loi de Weber-Fechner : la sensation croît comme le logarithme de l'excitation. On retrouve la même idée pour l'intensité sonore en décibels et pour l'éclat des étoiles (voir Les logarithmes en physique-chimie et La magnitude apparente). Sur un clavier, les touches sont régulièrement espacées alors que les fréquences sont multipliées : le clavier est une échelle logarithmique.
Puisqu'on ne peut pas avoir à la fois des octaves et des quintes justes, la solution adoptée aujourd'hui garde les octaves parfaites et partage l'octave en douze demi-tons égaux. Égaux pour l'oreille, c'est-à-dire de même rapport $q$ : les fréquences successives forment une suite géométrique de raison $q$. Après douze demi-tons on doit trouver l'octave, donc
$$q^{12} = 2,$$soit
$$q = 2^{1/12} = \sqrt[12]{2} \approx 1{,}059\,463.$$Un demi-ton tempéré multiplie la fréquence par environ $1{,}0595$, soit une hausse d'environ $5{,}95\,\%$. Il mesure exactement $100$ cents, et la quinte tempérée, sept demi-tons, mesure $700$ cents au lieu de $701{,}96$ : l'écart, environ $2$ cents, est presque inaudible. C'est pour cela que le système fonctionne.
Numérotons les touches d'un piano de $1$ (le La le plus grave) à $88$ ; le La $440$ Hz est la touche $49$. La touche $n$ a pour fréquence
$$f_n = 440 \times 2^{\frac{n - 49}{12}}.$$La touche $1$ vibre à $440 \times 2^{-4} = 27{,}5$ Hz, la touche $88$ à environ $4\,186$ Hz, et le Do du milieu (touche $40$) à environ $261{,}63$ Hz. Réciproquement, pour retrouver le numéro de la touche à partir de la fréquence, on résout l'équation avec le logarithme :
$$n = 49 + 12 \log_2\!\left(\frac{f}{440}\right).$$Par exemple, un son de $1\,000$ Hz correspond à $n \approx 49 + 12 \times 1{,}184 \approx 63{,}2$ : il tombe entre deux touches, un peu au-dessus du Si de la touche $63$.
Le tableau calcule les treize notes du La $440$ au La $880$. La colonne « tempéré » est une suite géométrique : chaque cellule est
la précédente multipliée par la raison $B$2. La colonne « Pythagore » utilise les rapports obtenus par quintes depuis le La.
On peut changer le diapason en B1 (les orchestres baroques jouent souvent à $415$ Hz), ou abîmer la raison en B2 pour
voir l'octave se fausser. La cellule B3 calcule B2 à la puissance $12$.
Les écarts entre les deux systèmes dépassent souvent $2$ Hz sur une note de $500$ Hz : c'est audible pour un musicien. La tierce est le plus grand sacrifice du tempérament égal : $400$ cents au lieu des $386{,}31$ de la tierce juste $\frac{5}{4}$, soit près de $14$ cents trop haut.
L'idée semble être apparue presque en même temps en Chine et en Europe, à la fin du XVIe siècle. Le prince Zhu Zaiyu (1536-1611) publie un calcul de la racine douzième de $2$ avec une grande précision, en extrayant des racines carrées et cubiques successives ; l'ingénieur flamand Simon Stevin en expose le principe dans un manuscrit vers 1605, et Marin Mersenne le décrit en 1636 dans son Harmonie universelle. Il ne s'impose vraiment pour les claviers qu'au XIXe siècle.
Partager l'octave en $n$ parts égales, c'est accepter que la quinte soit remplacée par $k$ de ces parts. La quinte tempérée mesure alors $\frac{k}{n}$ octave au lieu de $\log_2\!\left(\frac{3}{2}\right) \approx 0{,}58496$. La question devient : quelles fractions $\frac{k}{n}$ approchent bien le nombre irrationnel $\log_2\!\left(\frac{3}{2}\right)$ ?
| notes par octave $n$ | quinte $k$ | $\frac{k}{n}$ | erreur sur la quinte |
|---|---|---|---|
| $2$ | $1$ | $0{,}5$ | $102$ cents |
| $5$ | $3$ | $0{,}6$ | $18$ cents |
| $12$ | $7$ | $0{,}5833$ | $1{,}96$ cent |
| $41$ | $24$ | $0{,}58537$ | $0{,}48$ cent |
| $53$ | $31$ | $0{,}58491$ | $0{,}07$ cent |
Avec $5$ notes, on obtient une gamme pentatonique, celle des touches noires du piano, qu'on retrouve dans des musiques du monde entier. Avec $12$ notes, l'erreur tombe à environ $2$ cents : c'est la première division de l'octave qui est à la fois petite et très précise. Il faut ensuite aller jusqu'à $41$ ou $53$ notes pour faire mieux, ce qui est impraticable sur un clavier.
Ces fractions ne sont pas trouvées au hasard. On les obtient par l'algorithme des fractions continues : on écrit le nombre comme sa partie entière plus un reste, on inverse le reste, et l'on recommence. Pour $\log_2(3/2)$, les parties entières successives sont $0$, $1$, $1$, $2$, $2$, $3$, $1$, $5$… et les fractions obtenues en s'arrêtant à chaque étape sont $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{24}{41}$, $\frac{31}{53}$, $\frac{179}{306}$… Ce sont les meilleures approximations possibles pour leur taille. Comme le nombre est irrationnel, la liste ne s'arrête jamais.
La division en $53$ parts a été étudiée par des théoriciens chinois (Jing Fang, Ier siècle avant notre ère, selon la tradition) et européens (Nicolas Mercator et William Holder, au XVIIe siècle). Le programme suivant retrouve tout cela.
La première partie montre que la treizième note, après douze quintes, n'est pas le Do mais un rapport de $\frac{531\,441}{524\,288}$ : le comma. La seconde affiche chaque nombre de notes qui fait mieux que tous les précédents : on y retrouve $5$ et $12$, puis $29$, $41$ et $53$.
Comment l'accordeur entend-il un écart de $2$ cents ? Grâce aux battements. Quand deux sons de fréquences très proches $f_1$ et $f_2$ sont joués ensemble, on entend un seul son dont l'intensité monte et descend régulièrement.
Étape 1. Des formules d'addition $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ et $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$, on tire en additionnant
$$\sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \sin a \cos b.$$Étape 2. Pour deux sons $\sin(2\pi f_1 t)$ et $\sin(2\pi f_2 t)$, on pose $a = \pi (f_1 + f_2) t$ et $b = \pi (f_1 - f_2) t$, de sorte que $a + b = 2\pi f_1 t$ et $a - b = 2\pi f_2 t$. Donc
$$\begin{aligned} &\sin(2\pi f_1 t) + \sin(2\pi f_2 t) \\ &= 2 \cos\big(\pi (f_1 - f_2) t\big) \\ &\quad \times \sin\big(\pi (f_1 + f_2) t\big). \end{aligned}$$Étape 3. Le facteur $\sin\big(\pi (f_1 + f_2) t\big)$ est une vibration rapide, à la fréquence moyenne $\frac{f_1 + f_2}{2}$ : c'est le son entendu. Le facteur $2\cos\big(\pi (f_1 - f_2) t\big)$ varie lentement et joue le rôle d'une amplitude. L'intensité est maximale chaque fois que ce cosinus vaut $1$ ou $-1$, c'est-à-dire $|f_1 - f_2|$ fois par seconde.
Pour une quinte La $440$ Hz – Mi, ce sont les harmoniques qui battent : l'harmonique $3$ du La est à $1\,320$ Hz, l'harmonique $2$ du Mi tempéré ($659{,}26$ Hz) à $1\,318{,}51$ Hz. On entend donc environ $1{,}5$ battement par seconde. Avec le Mi juste, $660$ Hz, les deux harmoniques coïncident et le battement disparaît : c'est ainsi qu'un accordeur règle une quinte, en comptant les battements.
Chaque bouton joue deux notes ensemble pendant quatre secondes (son de synthèse riche en harmoniques). Montez un peu le volume et comparez les deux versions de chaque intervalle.
Le clavier joue une octave, du La $440$ au La $880$, en tempérament égal ou en gamme de Pythagore construite depuis le La.
La quinte tempérée bat lentement (environ $1{,}5$ fois par seconde), la tierce tempérée bat vite (une dizaine de fois par seconde), et le comma donne environ $6$ battements par seconde : $446{,}0 - 440 = 6{,}0$. Dans la gamme de Pythagore construite depuis le La, le comma se cache entre Ré♯ et La♯ : cette quinte ne vaut que $\frac{262\,144}{177\,147} \approx 1{,}480$ au lieu de $1{,}5$, soit $678$ cents au lieu de $702$ : c'est la « quinte du loup » (dernier bouton).
Avec la gamme de Pythagore, ou avec les gammes « justes » de la Renaissance qui privilégient les tierces $\frac{5}{4}$, un clavier accordé pour Do majeur sonne faux dans des tonalités éloignées : le comma se concentre quelque part, et une quinte devient inutilisable (on l'appelait la « quinte du loup », parce qu'elle hurle). Au XVIIe siècle, des organistes comme Andreas Werckmeister (1691) proposent des tempéraments : on répartit le comma sur plusieurs quintes, pour que toutes les tonalités soient jouables, chacune avec sa couleur propre.
En 1722, Jean-Sébastien Bach réunit vingt-quatre préludes et fugues, un dans chacune des douze tonalités majeures et des douze mineures ; un second livre suit vers 1740-1742. Le titre, Das Wohltemperirte Clavier, montre qu'avec un bon tempérament, toutes les tonalités deviennent possibles. Attention à un contresens fréquent : « bien tempéré » ne veut pas forcément dire « tempérament égal ». Beaucoup de musicologues pensent que Bach utilisait un tempérament inégal, où chaque tonalité garde un caractère différent ; le tempérament exact qu'il employait reste discuté.
Le choix de la fréquence de référence a lui aussi une histoire. Le diapason a longtemps varié selon les villes et les époques ; la France
fixe le La à $435$ Hz par un décret de 1859, une conférence internationale réunie à Londres en 1939 adopte $440$ Hz, valeur reprise ensuite par
la norme internationale ISO 16. Changer de diapason multiplie toutes les fréquences par un même nombre, ce qui ne change aucun intervalle :
dans le tableur, changer B1 décale toute la colonne sans changer les rapports.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : la démonstration par la parité que le cycle des quintes ne se referme pas ; l'irrationalité de $\log_2(3/2)$ ; le logarithme qui transforme les produits en sommes ; la suite géométrique du tempérament égal ; l'approximation d'un irrationnel par des fractions et le choix de $12$ notes ; les battements et les formules de trigonométrie.
- Physique-chimie : fréquence, période et hauteur d'un son ; la corde vibrante et les lois de Mersenne ; les harmoniques et le timbre ; les battements ; la sensation logarithmique et les décibels.
- HLP : « tout est nombre » chez les pythagoriciens ; la musique comme science mathématique dans l'enseignement médiéval (le quadrivium) ; la beauté peut-elle se calculer ? ; le compromis entre perfection et usage dans le tempérament.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : la fonction logarithme népérien, ses propriétés algébriques et sa croissance ; la résolution d'équations du type $q^n = a$ et $a^x = b$ ; les suites géométriques ; le raisonnement par l'absurde et la parité ; les nombres rationnels et irrationnels ; la partie entière ; les fonctions trigonométriques ; les boucles en Python.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Gamme pythagoricienne, comma pythagoricien, gamme tempérée et Le Clavier bien tempéré (Wikipédia).
- Sur ce site : Nicole Oresme (rapports incommensurables), Les logarithmes en physique-chimie, La magnitude apparente et Comment est calculé un sinus ?