← Tous les textes du Grand Oral
MathsPCHGGSP
Pourquoi un arc-en-ciel est-il un arc, et pourquoi toujours le même ? Où que l'on soit, quelle que soit la taille des gouttes, l'arc principal est vu à environ $42°$ de la direction opposée au Soleil, avec le rouge à l'extérieur. Un second arc, plus pâle, apparaît parfois vers $51°$, avec les couleurs inversées, et entre les deux le ciel est plus sombre.
En 1637, René Descartes donne la première explication chiffrée de ces faits. Il suit, à la plume, le trajet de rayons de lumière dans une goutte d'eau, et constate que l'angle de sortie ne peut pas dépasser une certaine valeur : c'est là que la lumière s'accumule. Avec le cours de terminale, on peut aller plus loin que lui : ce maximum est le minimum d'une fonction, que l'on trouve par la dérivée.
Ce texte rassemble ces connaissances, avec les mathématiques de terminale : trigonométrie, dérivée d'une fonction composée, étude des variations, produit scalaire et géométrie dans l'espace, algorithmique. Il ne propose pas de Grand Oral tout fait : à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
- La réfraction et les lois de Snell-Descartes
- Le trajet d'un rayon dans une goutte
- Le minimum de déviation, par la dérivée
- Pourquoi un arc lumineux, et pourquoi à 42°
- Les couleurs
- L'arc secondaire et la bande d'Alexandre
- De Thierry de Freiberg à Newton
- Où chercher un arc-en-ciel
- Des directions pour construire sa question
Quand un rayon lumineux passe de l'air dans l'eau, il change de direction : c'est la réfraction (un bâton plongé dans l'eau paraît brisé). On mesure les angles par rapport à la normale, la droite perpendiculaire à la surface au point d'entrée. Si $i$ est l'angle d'incidence dans l'air et $r$ l'angle de réfraction dans l'eau, la loi de la réfraction s'écrit
$$\sin i = n \sin r,$$où $n$ est l'indice de réfraction de l'eau, environ $1{,}33$, que l'on prendra égal à $\frac{4}{3}$. Comme $n > 1$, on a $\sin r < \sin i$, donc $r < i$ : en entrant dans l'eau, le rayon se rapproche de la normale.
Exemple à la main. Pour $i = 60°$, $\sin r = \dfrac{\sin 60°}{4/3} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}650$, donc $r \approx 40{,}5°$. Le rayon a tourné de $i - r \approx 19{,}5°$.
À la surface, une partie de la lumière est aussi réfléchie, avec un angle de réflexion égal à l'angle d'incidence. Dans une goutte, c'est cette réflexion sur la face arrière qui renvoie la lumière vers l'observateur.
La loi porte en France le nom de Descartes, qui la publie en 1637 dans La Dioptrique ; le Néerlandais Willebrord Snell l'avait trouvée vers 1621 sans la publier, et le savant persan Ibn Sahl en avait donné une forme équivalente dès 984. On parle aujourd'hui des lois de Snell-Descartes.
Une petite goutte de pluie est presque sphérique. Dans une coupe passant par son centre $O$, c'est un disque, et un rayon venu du Soleil y subit trois événements :
- il entre en $A$, réfracté (angle d'incidence $i$, angle de réfraction $r$) ;
- il se réfléchit en $B$, sur le fond de la goutte ;
- il ressort en $C$, réfracté de nouveau.
L'angle d'incidence dépend de la hauteur $b$ à laquelle le rayon arrive, mesurée depuis l'axe passant par le centre, pour une goutte de rayon $1$ : en écrivant que la normale en $A$ passe par $O$, on trouve $\sin i = b$. Un rayon qui arrive au centre $(b = 0)$ entre sans être dévié ; un rayon qui frôle le bord $(b \approx 1)$ arrive presque rasant.
Étape 1 : les angles dans la goutte. Les points $A$ et $B$ sont sur le cercle, donc $OA = OB$ : le triangle $OAB$ est isocèle en $O$. Ses angles en $A$ et en $B$ sont égaux. L'angle en $A$ est l'angle de réfraction $r$, car $(OA)$ est la normale en $A$. Le rayon arrive donc en $B$ avec l'angle $r$ ; il repart avec le même angle $r$ (loi de la réflexion), et le triangle $OBC$ est isocèle de la même façon : il arrive en $C$ avec l'angle $r$. D'après la loi de la réfraction, il ressort avec l'angle $i$.
Étape 2 : on additionne les rotations. On suit la direction du rayon, qui tourne toujours dans le même sens.
- En $A$, il passe de l'angle $i$ à l'angle $r$ avec la normale : il tourne de $i - r$.
- En $B$, la réflexion le fait repartir en arrière : il tourne de $180° - 2r$.
- En $C$, il passe de $r$ à $i$ : il tourne encore de $i - r$.
Étape 3. La déviation totale est la somme :
$$D = (i - r) + (180° - 2r) + (i - r),$$soit
$$D = 180° + 2i - 4r.$$La lumière sort donc presque « en arrière » : elle fait avec la direction opposée au Soleil l'angle $\theta = 180° - D = 4r - 2i$. C'est cet angle $\theta$ que voit l'observateur, qui tourne le dos au Soleil.
La figure suit le rayon pour une hauteur $b$ réglable. En gris, des rayons régulièrement espacés ; en rouge pointillé, le rayon particulier qui sort avec le plus grand angle, que l'on appellera le rayon de Descartes.
Descartes n'avait pas la dérivée. Il a calculé, à la main, le trajet de rayons entrant à différentes hauteurs, et dressé un tableau. Avec $n = \frac{4}{3}$, on obtient $r$ par $\sin r = \frac{3}{4}\sin i$, puis $D$ :
| $i$ | $r$ | $D$ |
|---|---|---|
| $0°$ | $0°$ | $180°$ |
| $20°$ | $14{,}9°$ | $160{,}6°$ |
| $40°$ | $28{,}8°$ | $144{,}7°$ |
| $50°$ | $35{,}1°$ | $139{,}7°$ |
| $60°$ | $40{,}5°$ | $138{,}0°$ |
| $70°$ | $44{,}8°$ | $140{,}8°$ |
| $90°$ | $48{,}6°$ | $165{,}6°$ |
La déviation diminue, puis augmente : elle passe par un minimum autour de $60°$, où elle vaut environ $138°$. Il reste à le démontrer et à trouver exactement où il se trouve.
Pour dériver, on mesure les angles en radians : $D(i) = \pi + 2i - 4r(i)$ pour $i \in \left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$, où $r(i)$ est l'angle de $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin i = n \sin r(i)$. On admet que la fonction $r$ est dérivable (c'est une conséquence d'un théorème sur les fonctions réciproques, hors programme).
Étape 1 : la dérivée de $r$. Pour tout $i$, $\sin i = n \sin\big(r(i)\big)$. On dérive les deux membres ; à droite, c'est la dérivée d'une fonction composée $\big(\sin(u)\big)' = u' \cos u$ :
$$\cos i = n\,r'(i)\cos\big(r(i)\big),$$donc, comme $\cos r > 0$ (car $r < \frac{\pi}{2}$),
$$r'(i) = \frac{\cos i}{n \cos r}.$$Étape 2 : la dérivée de $D$.
$$D'(i) = 2 - 4\,r'(i) = 2 - \frac{4\cos i}{n\cos r},$$soit, au même dénominateur,
$$D'(i) = \frac{2\,(n\cos r - 2\cos i)}{n\cos r}.$$Le dénominateur est positif : $D'(i)$ a le signe de $n\cos r - 2\cos i$.
Étape 3 : on passe aux carrés. Les nombres $n\cos r$ et $2\cos i$ sont positifs, donc leur différence a le même signe que la différence de leurs carrés (car $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ avec $A + B > 0$). Or
$$\begin{aligned} n^2\cos^2 r &= n^2 - n^2\sin^2 r \\ &= n^2 - \sin^2 i, \end{aligned}$$en utilisant $n\sin r = \sin i$. Donc
$$\begin{aligned} &n^2\cos^2 r - 4\cos^2 i \\ &= n^2 - \sin^2 i - 4\cos^2 i, \end{aligned}$$et, en remplaçant $\sin^2 i$ par $1 - \cos^2 i$,
$$\begin{aligned} &n^2\cos^2 r - 4\cos^2 i \\ &= n^2 - 1 - 3\cos^2 i. \end{aligned}$$Étape 4 : le signe. Sur $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$, la fonction cosinus est positive et décroissante, donc $\cos^2 i$ décroît de $1$ à $0$, et $n^2 - 1 - 3\cos^2 i$ croît de $n^2 - 4$ à $n^2 - 1$. Pour $1 < n < 2$, le premier est négatif et le second positif : l'expression s'annule une seule fois, pour l'angle $i_0$ tel que
$$\cos^2 i_0 = \frac{n^2 - 1}{3}.$$Étape 5 : conclusion. $D'$ est négative sur $[0 ; i_0[$ et positive sur $\left]i_0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ : la déviation $D$ est décroissante puis croissante, et atteint son minimum en $i_0$.
Le calcul pour l'eau. Avec $n = \frac{4}{3}$, $n^2 - 1 = \frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9}$, donc $\cos^2 i_0 = \frac{7}{27}$ et $i_0 \approx 59{,}4°$. Alors $\sin^2 i_0 = \frac{20}{27}$, $\sin r_0 = \frac{3}{4}\sqrt{\frac{20}{27}} \approx 0{,}645$ et $r_0 \approx 40{,}2°$. Finalement
$$\begin{aligned} D_{\min} &= 180° + 2 \times 59{,}4° - 4 \times 40{,}2° \\ &\approx 138{,}0°, \end{aligned}$$et l'angle de sortie maximal est $\theta_{\max} = 180° - D_{\min} \approx 42{,}0°$. On retrouve l'angle de l'arc-en-ciel.
La figure trace $D$ en fonction de $i$ (en degrés). Le curseur fait varier l'indice $n$ : le minimum se déplace.
Le programme dresse le tableau de Descartes, cherche le minimum par balayage (comme on le ferait sans dérivée), puis le compare à la formule démontrée.
Une goutte reçoit des rayons à toutes les hauteurs $b$, et les renvoie dans toutes les directions entre $0°$ et $42°$. Pourquoi verrait-on alors une ligne lumineuse, et pas une tache uniforme ?
La réponse tient à la dérivée nulle. Près de $i_0$, on a $D'(i_0) = 0$ : la courbe de $D$ est presque horizontale, donc une large plage de rayons d'entrée ressort avec presque le même angle. Ailleurs, la courbe est pentue, et des rayons voisins sont envoyés dans des directions bien différentes : leur lumière est étalée. Les rayons s'accumulent donc au voisinage de $42°$ : c'est là que la goutte renvoie le plus de lumière.
L'histogramme ci-dessous le montre. On envoie, dans une coupe de la goutte, $4\,000$ rayons régulièrement espacés en hauteur, et l'on compte combien sortent dans chaque tranche de $1°$.
Toutes les gouttes renvoient leur maximum de lumière à $42°$ de la direction des rayons du Soleil. Pour un observateur placé en $O$, notons $\vec{u}$ le vecteur unitaire qui pointe à l'opposé du Soleil (vers l'ombre de sa tête). Une goutte située en $M$ lui paraît brillante si le rayon qui va de $M$ vers $O$ fait l'angle de $42°$ avec les rayons solaires, c'est-à-dire si
$$\vec{u} \cdot \frac{\overrightarrow{OM}}{OM} = \cos 42°.$$L'ensemble de ces points $M$ est un cône de révolution de sommet $O$, d'axe la droite passant par le Soleil et par l'observateur, et de demi-angle au sommet $42°$. Le ciel découpe ce cône selon un cercle centré sur le point opposé au Soleil : c'est l'arc-en-ciel. Il n'est pas « posé » quelque part : chaque observateur voit le sien, formé par d'autres gouttes, et il recule quand on avance. Deux yeux voient même deux arcs légèrement différents.
Le sol cache la partie inférieure du cercle. Si le Soleil est à la hauteur $h$ au-dessus de l'horizon, le point opposé est à $h$ sous l'horizon, et le sommet de l'arc est à la hauteur $42° - h$. D'un avion ou d'une montagne, avec des gouttes sous soi, on peut voir le cercle complet.
L'indice de réfraction de l'eau dépend un peu de la couleur de la lumière : il vaut environ $1{,}331$ pour le rouge et $1{,}343$ pour le violet. C'est la dispersion. La lumière du Soleil, blanche, est un mélange de toutes les couleurs ; chacune a son propre minimum de déviation. En appliquant la formule démontrée à chaque indice :
| couleur | indice $n$ | $i_0$ | angle de l'arc |
|---|---|---|---|
| rouge | $1{,}331$ | $59{,}5°$ | $42{,}4°$ |
| violet | $1{,}343$ | $58{,}8°$ | $40{,}6°$ |
Le rouge forme un cercle un peu plus grand que le violet : dans l'arc principal, le rouge est à l'extérieur, le violet à l'intérieur, et les autres couleurs entre les deux. L'arc a une largeur d'environ $2°$, soit quatre fois le diamètre apparent du Soleil (qui étale encore un peu chaque couleur). La figure de la section précédente le montre : en augmentant l'indice, l'angle de l'arc diminue.
Que la lumière blanche soit composée de couleurs inégalement réfractées, c'est Isaac Newton qui l'établit, avec ses expériences du prisme (lettre à la Royal Society en 1672, puis l'Opticks en 1704). Descartes avait vu que les couleurs venaient de la réfraction, et observé un prisme, mais son explication des couleurs reposait sur une rotation imaginaire des particules de lumière.
Certains rayons se réfléchissent deux fois dans la goutte avant de sortir (case « 2 réflexions » de la première figure). Le même raisonnement donne une rotation supplémentaire de $180° - 2r$, donc
$$\begin{aligned} D_2 &= 2(i - r) + 2(180° - 2r) \\ &= 360° + 2i - 6r. \end{aligned}$$Le rayon a tourné de plus d'un demi-tour : il revient vers l'observateur de l'autre côté, avec l'angle $\theta_2 = D_2 - 180°$ par rapport à la direction opposée au Soleil.
Étape 1. Avec la même dérivée $r'(i) = \frac{\cos i}{n\cos r}$, on obtient $D_2'(i) = 2 - 6\,r'(i)$, qui a le signe de $n\cos r - 3\cos i$.
Étape 2. Comme précédemment, on compare les carrés :
$$\begin{aligned} &n^2\cos^2 r - 9\cos^2 i \\ &= n^2 - 1 - 8\cos^2 i. \end{aligned}$$Étape 3. Cette expression croît de $n^2 - 9 < 0$ à $n^2 - 1 > 0$ : $D_2$ est minimale pour $\cos^2 i = \frac{n^2 - 1}{8}$. Avec $n = \frac{4}{3}$, on trouve $i \approx 71{,}8°$, $D_2 \approx 231°$ et $\theta_2 \approx 51°$.
Cette fois, les angles de sortie sont tous supérieurs à $51°$, et la lumière s'accumule à ce minimum. Pour le rouge, $\theta_2 \approx 50{,}4°$, pour le violet $\theta_2 \approx 53{,}5°$ : le rouge est à l'intérieur de l'arc secondaire, l'ordre des couleurs est inversé. L'arc secondaire est plus pâle, car à chaque réflexion une partie de la lumière ressort de la goutte et est perdue ; il est aussi plus large.
Entre les deux arcs, aucune goutte ne renvoie de lumière ayant subi une ou deux réflexions : les rayons d'une réflexion sortent sous $42°$, ceux de deux réflexions au-delà de $51°$. Cette zone est plus sombre que le reste du ciel : c'est la bande d'Alexandre, du nom d'Alexandre d'Aphrodise, qui la décrivit vers l'an 200. À l'inverse, l'intérieur de l'arc principal est plus clair que le ciel extérieur.
Aristote pensait que l'arc était un reflet du Soleil sur le nuage tout entier. Au début du XIVe siècle, vers 1304-1310, le moine dominicain Thierry de Freiberg change d'échelle : chaque goutte agit séparément. Pour le vérifier, il remplit d'eau des boules de verre, qui jouent le rôle de gouttes géantes, et suit la lumière qui en sort. Il comprend que l'arc principal vient de deux réfractions et d'une réflexion, et l'arc secondaire de deux réfractions et de deux réflexions. À la même époque, au Caire, Kamāl al-Dīn al-Fārisī arrive à la même explication, à partir de l'Optique d'Ibn al-Haytham.
Il manquait encore l'essentiel : pourquoi précisément $42°$ ? Sans loi quantitative de la réfraction, aucun calcul n'était possible.
Les Météores paraissent en 1637, avec La Dioptrique et La Géométrie, à la suite du Discours de la méthode : ces trois traités doivent montrer l'efficacité de la méthode. Le huitième discours des Météores est consacré à l'arc-en-ciel. Descartes observe une grosse boule de verre pleine d'eau, qu'il déplace devant ses yeux : elle s'illumine en rouge quand elle est à environ $42°$ de la direction opposée au Soleil, puis de nouveau vers $52°$.
Puis il calcule. Il prend pour l'eau le rapport de réfraction $\frac{250}{187}$ (environ $1{,}337$), découpe le rayon de la goutte en $10\,000$ parts, et suit des rayons entrant aux hauteurs $1\,000$, $2\,000$, etc. Il constate que les angles de sortie croissent puis décroissent, avec un maximum d'environ $41°30'$ pour l'arc principal, et un minimum d'environ $51°54'$ pour l'arc secondaire. Avec son indice, le calcul par la dérivée donne $41{,}5°$ et $51{,}9°$ : ses tables étaient justes. Il a compris aussi que ce sont les rayons voisins de l'extremum qui, en s'accumulant, font l'éclat de l'arc.
Newton explique les couleurs (1672, 1704) et calcule les angles de chaque couleur. Au début du XIXe siècle, Thomas Young montre que les petits arcs pâles parfois visibles sous l'arc principal, les arcs « surnuméraires », ne s'expliquent qu'en traitant la lumière comme une onde : les rayons ne suffisent plus. L'arc-en-ciel a ainsi servi trois fois de test aux théories de la lumière.
- Le Soleil dans le dos, et de la pluie (ou des gouttes) devant soi : l'arc est centré sur l'ombre de sa tête.
- Un Soleil bas : le sommet de l'arc est à $42° - h$ au-dessus de l'horizon. Si le Soleil est plus haut que $42°$, l'arc principal est entièrement sous l'horizon. À Paris, le Soleil monte jusqu'à environ $64°$ à midi en juin, et seulement $18°$ en décembre : en été, on voit les arcs-en-ciel le matin ou en fin d'après-midi, après une averse.
- Un tuyau d'arrosage : dos au Soleil, en arrosant en pluie fine, on fabrique son propre arc, et l'on peut vérifier l'angle.
- Regarder au-dessus de l'arc pour l'arc secondaire, et entre les deux pour la bande sombre.
- Le modèle des rayons ignore la nature ondulatoire de la lumière : il n'explique ni les arcs surnuméraires, ni les arcs presque blancs (« arcs de brouillard ») produits par de très petites gouttes.
- Les grosses gouttes de pluie ne sont pas sphériques : elles s'aplatissent en tombant, ce qui modifie un peu l'arc, surtout en haut.
- On a raisonné dans une coupe plane de la goutte ; en trois dimensions, la symétrie de la sphère autour de l'axe du rayon central donne le même angle.
- L'intensité de chaque rayon dépend aussi des proportions réfléchies et transmises à chaque surface, que le modèle ne prend pas en compte.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : l'étude de la déviation par la dérivée d'une fonction composée ; pourquoi une dérivée nulle fait s'accumuler la lumière ; le cône de révolution défini par un produit scalaire ; la recherche d'un minimum par balayage en Python.
- Physique-chimie : les lois de Snell-Descartes ; la dispersion et le prisme ; la nature de la lumière, des rayons aux ondes.
- HGGSP : la naissance de la science moderne, de Thierry de Freiberg et al-Fārisī à Descartes et Newton ; la place de l'expérience et du calcul dans le Discours de la méthode.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : les fonctions sinus et cosinus (valeurs remarquables, variations, $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$) ; la dérivation, en particulier la dérivée d'une fonction composée ; l'étude du signe de la dérivée et le tableau de variations ; le produit scalaire dans l'espace et les angles ; les boucles en Python.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Arc-en-ciel, lois de Snell-Descartes et Thierry de Freiberg (Wikipédia).
- Le texte de Descartes : Les Météores, discours huitième, disponible sur Wikisource.
- Sur ce site : La mesure du temps (cadrans et hauteur du Soleil), La géométrie sphérique et Les logarithmes en physique-chimie.