← Tous les textes du Grand Oral
MathsPCSVT
Dans une molécule de méthane, l'atome de carbone est relié à quatre atomes d'hydrogène. Les manuels de chimie indiquent que deux de ces liaisons font toujours entre elles un angle d'environ $109{,}5^\circ$. D'où vient ce nombre étrange, qui n'est ni $90^\circ$ ni $120^\circ$ ? La réponse est géométrique : les quatre hydrogènes occupent les sommets d'un tétraèdre régulier, et l'angle se calcule exactement avec le produit scalaire : son cosinus vaut $-\dfrac{1}{3}$.
Le même angle se retrouve dans le diamant, dans la glace, dans les molécules du vivant, et jusque dans les blocs de béton qui protègent les ports. Il a aussi permis de comprendre, en 1874, pourquoi certaines molécules existent en deux versions qui sont l'image l'une de l'autre dans un miroir.
Ce texte rassemble ces connaissances, avec les mathématiques de terminale : repérage dans l'espace, vecteurs, produit scalaire, équation de plan et projeté orthogonal, volume d'une pyramide, et un peu de Python. Il ne propose pas de Grand Oral tout fait : à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
- La molécule de méthane
- Un tétraèdre dans un cube
- L'angle calculé par le produit scalaire
- Hauteur, centre et volume
- Pourquoi cette forme : les électrons se repoussent
- Diamant, graphite et glace
- Le Bel, van 't Hoff et les molécules miroir
- Le même angle ailleurs
- Ce que le modèle ne dit pas
- Des directions pour construire sa question
Le méthane, de formule CH4, est le principal constituant du gaz naturel et un puissant gaz à effet de serre. Son atome de carbone possède quatre électrons de valence : il forme quatre liaisons, une avec chaque atome d'hydrogène. Les mesures (par diffraction d'électrons ou par spectroscopie) donnent une longueur de liaison C-H d'environ $109$ pm (un picomètre vaut $10^{-12}$ m) et un angle H-C-H d'environ $109{,}5^\circ$, le même pour les six paires de liaisons.
Une représentation plane, avec les quatre hydrogènes en croix autour du carbone, donnerait des angles de $90^\circ$. Elle est fausse : la molécule n'est pas plate. Les quatre hydrogènes forment un tétraèdre régulier (une pyramide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux), et le carbone est en son centre.
Pour calculer, il faut des coordonnées. L'astuce consiste à placer le tétraèdre dans un cube. On munit l'espace d'un repère orthonormé $(O ; \vec\imath, \vec\jmath, \vec k)$ et l'on considère le cube de centre $O$ dont les huit sommets ont pour coordonnées $(\pm 1 ; \pm 1 ; \pm 1)$. Son arête mesure $2$. On choisit un sommet sur deux, de façon que deux sommets choisis ne soient jamais reliés par une arête du cube :
$A(1 ; 1 ; 1)$, $B(1 ; -1 ; -1)$, $C(-1 ; 1 ; -1)$, $D(-1 ; -1 ; 1)$.
Le carbone est placé en $O(0 ; 0 ; 0)$, les quatre hydrogènes en $A$, $B$, $C$ et $D$.
Étape 1 : un exemple à la main. $\overrightarrow{AB} = (1 - 1 ; -1 - 1 ; -1 - 1)$ $= (0 ; -2 ; -2)$, donc
$$\begin{aligned} AB &= \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-2)^2} \\ &= \sqrt{8} = 2\sqrt{2}. \end{aligned}$$Étape 2 : les six arêtes. Deux sommets choisis ont exactement une coordonnée commune et diffèrent de $2$ en valeur absolue sur les deux autres (vérifiez-le sur $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$). Les six distances valent donc toutes $2\sqrt{2}$ : les quatre faces sont des triangles équilatéraux et le tétraèdre est régulier. Géométriquement, chaque arête du tétraèdre est une diagonale d'une face du cube.
Étape 3 : le centre. Chaque sommet est à la distance $\sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$ de $O$ : le point $O$ est équidistant des quatre sommets. C'est aussi l'isobarycentre, puisque
$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \vec 0,$$la somme des abscisses $1 + 1 - 1 - 1$ étant nulle, et de même pour les ordonnées et les cotes.
On cherche l'angle $\theta = \widehat{AOB}$ entre deux liaisons. Le cours donne deux expressions du produit scalaire : dans un repère orthonormé, $\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz'$, et, géométriquement, $\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \cos \theta$. On les égale.
Étape 1 : les coordonnées. $\overrightarrow{OA} = (1 ; 1 ; 1)$ et $\overrightarrow{OB} = (1 ; -1 ; -1)$.
Étape 2 : le produit scalaire en coordonnées. On multiplie les coordonnées deux à deux : $1 \times 1 = 1$, $1 \times (-1) = -1$ et $1 \times (-1) = -1$, puis on ajoute :
$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 1 - 1 - 1 = -1.$$Étape 3 : les normes. $OA = OB = \sqrt{3}$.
Étape 4 : conclure. On a donc $\sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \cos\theta = -1$, soit
$$\cos \theta = -\frac{1}{3}.$$À la calculatrice, en degrés, $\theta = \arccos\!\left(-\tfrac{1}{3}\right) \approx 109{,}47^\circ$ (touche « cos−1 » ou « Acs »). Le cosinus est négatif, ce qui confirme que l'angle est obtus.
Le même calcul pour les cinq autres paires donne toujours $-1$ comme produit scalaire : les six angles entre liaisons sont égaux. Par exemple, $\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OD}$ $= (-1)(-1) + 1 \times (-1) + (-1) \times 1$ $= -1$.
Le cube est une aide commode, mais le résultat ne dépend que de la symétrie. Notons $\vec u_1$, $\vec u_2$, $\vec u_3$, $\vec u_4$ les vecteurs unitaires dirigés du carbone vers les quatre hydrogènes.
Étape 1. Par symétrie, le carbone est à l'isobarycentre des hydrogènes, donc $\vec u_1 + \vec u_2 + \vec u_3 + \vec u_4 = \vec 0$.
Étape 2. On fait le produit scalaire de cette égalité avec $\vec u_1$ :
$$\sum_{k=1}^{4} \vec u_1 \cdot \vec u_k = 0.$$Étape 3. Dans cette somme, le terme pour $k = 1$ vaut $\|\vec u_1\|^2 = 1$, et les trois autres valent $\cos\theta$, puisque tous les angles sont égaux. D'où $1 + 3\cos\theta = 0$, et $\cos\theta = -\tfrac{1}{3}$.
Ce raisonnement se généralise. Si $n$ directions unitaires de somme nulle font toutes entre elles le même angle, alors $1 + (n - 1)\cos\theta = 0$, soit $\cos\theta = -\dfrac{1}{n - 1}$ :
| $n$ | $\cos\theta$ | $\theta$ | forme | exemple |
|---|---|---|---|---|
| $2$ | $-1$ | $180^\circ$ | linéaire | CO2 |
| $3$ | $-\tfrac12$ | $120^\circ$ | triangle plan | BF3, graphite |
| $4$ | $-\tfrac13$ | $109{,}47^\circ$ | tétraèdre | CH4, diamant |
Pour $n = 5$, on obtiendrait $\cos\theta = -\tfrac14$, mais c'est impossible dans l'espace : on ne peut pas placer cinq directions faisant deux à deux le même angle. Le tétraèdre est la dernière figure de ce type en dimension trois.
La face $BCD$ est le « pied » du tétraèdre quand on le pose sur une table, sommet $A$ en haut. Cherchons son équation.
Étape 1 : un vecteur normal. Le vecteur $\vec n = \overrightarrow{OA} = (1 ; 1 ; 1)$ est orthogonal à $\overrightarrow{BC} = (-2 ; 2 ; 0)$ et à $\overrightarrow{BD} = (-2 ; 0 ; 2)$, car
$$\begin{aligned} \vec n \cdot \overrightarrow{BC} &= -2 + 2 + 0 = 0, \\ \vec n \cdot \overrightarrow{BD} &= -2 + 0 + 2 = 0. \end{aligned}$$Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc $\vec n$ est normal au plan $(BCD)$.
Étape 2 : l'équation. Le plan a une équation de la forme $x + y + z + d = 0$. Il passe par $B(1 ; -1 ; -1)$, donc $1 - 1 - 1 + d = 0$, soit $d = 1$. On vérifie que $C$ et $D$ conviennent aussi.
La droite passant par $A$ et dirigée par $\vec n$ a pour représentation paramétrique $x = y = z = 1 + t$. Elle coupe le plan quand $3(1 + t) = -1$, soit $t = -\tfrac43$. Le projeté orthogonal de $A$ sur le plan est donc
$$H\left(-\tfrac13 ; -\tfrac13 ; -\tfrac13\right),$$qui est aussi le centre de gravité du triangle $BCD$ (la moyenne des coordonnées de $B$, $C$, $D$). La hauteur du tétraèdre vaut
$$AH = \sqrt{3 \times \left(\tfrac43\right)^2} = \frac{4}{\sqrt3}.$$Et le carbone ? $OH = \sqrt{3 \times \tfrac19} = \tfrac{1}{\sqrt3}$, donc $OH = \tfrac14 AH$ : le centre du tétraèdre est situé au quart de la hauteur en partant de la base, comme le centre de gravité d'un triangle est situé au tiers de chaque médiane.
Par la formule de la pyramide. L'aire d'un triangle équilatéral de côté $a$ vaut $\tfrac{\sqrt3}{4} a^2$. Avec $a = 2\sqrt2$, l'aire de $BCD$ vaut $\tfrac{\sqrt3}{4} \times 8 = 2\sqrt3$, et
$$V = \frac{1}{3} \times 2\sqrt3 \times \frac{4}{\sqrt3} = \frac{8}{3}.$$Par le cube. Le cube de côté $2$ a pour volume $8$. Pour obtenir le tétraèdre, on lui retire quatre coins. Chaque coin est une pyramide dont la base est un demi-carré d'aire $\tfrac{2 \times 2}{2} = 2$ et dont la hauteur vaut $2$, soit un volume de $\tfrac13 \times 2 \times 2 = \tfrac43$. On retrouve $8 - 4 \times \tfrac43 = \tfrac83$ : le tétraèdre occupe exactement le tiers du cube.
Dans notre cube, la distance centre-sommet vaut $\sqrt3$ et l'arête $2\sqrt2$ : le rapport arête / distance au centre vaut $\tfrac{2\sqrt2}{\sqrt3} = \sqrt{\tfrac83} \approx 1{,}633$. Ce rapport ne dépend pas de la taille. Dans le méthane, la liaison C-H mesure environ $109$ pm, donc deux hydrogènes sont distants d'environ
$$109 \times 1{,}633 \approx 178 \text{ pm}.$$C'est ainsi que les chimistes passent des angles et des longueurs de liaison aux distances entre atomes non liés, utiles pour comprendre l'encombrement des molécules.
Le programme suivant reprend les calculs à partir des coordonnées : les six arêtes, les six angles et le volume.
Une liaison chimique est faite d'une paire d'électrons partagée entre deux atomes. Les électrons étant tous de charge négative, les paires se repoussent. Le modèle appelé VSEPR (de l'anglais valence shell electron pair repulsion), proposé par Ronald Gillespie et Ronald Nyholm en 1957, affirme simplement que les paires d'électrons autour d'un atome central se placent le plus loin possible les unes des autres.
Pour quatre paires, la disposition qui les éloigne le plus est celle des sommets d'un tétraèdre régulier. On peut le constater par une expérience numérique : placer au hasard des points sur une sphère et les laisser se repousser. Quel que soit le départ, quatre points finissent toujours en tétraèdre, avec des angles de $109{,}5^\circ$.
Le même calcul en Python, pour quatre puis six paires, affiche les angles entre toutes les directions à la fin de la simulation.
Pour quatre paires, les six angles valent tous $109{,}5^\circ$. Pour six paires, on obtient douze angles de $90^\circ$ et trois de $180^\circ$ : les sommets d'un octaèdre.
L'atome d'oxygène de l'eau H2O est entouré de quatre paires d'électrons, comme le carbone du méthane : deux paires forment les liaisons avec les hydrogènes, et deux paires, dites « non liantes », restent sur l'oxygène. Les quatre paires pointent donc à peu près vers les sommets d'un tétraèdre. Mais les paires non liantes, plus proches du noyau et plus « étalées », repoussent davantage les autres : elles referment l'angle entre les deux liaisons O-H, qui vaut environ $104{,}5^\circ$.
Dans l'ammoniac NH3, l'azote a trois liaisons et une seule paire non liante : l'angle H-N-H, environ $107^\circ$, est intermédiaire. On obtient ainsi une progression :
| molécule | paires liantes | paires non liantes | angle |
|---|---|---|---|
| CH4 | $4$ | $0$ | $109{,}5^\circ$ |
| NH3 | $3$ | $1$ | $\approx 107^\circ$ |
| H2O | $2$ | $2$ | $\approx 104{,}5^\circ$ |
Cette forme coudée de l'eau a des conséquences considérables : elle rend la molécule polaire, ce qui explique que l'eau dissolve le sel et le sucre, qu'elle reste liquide sur une large plage de températures, et donc une bonne part de la chimie du vivant.
Le diamant. Chaque atome de carbone y est lié à quatre autres atomes de carbone, placés aux sommets d'un tétraèdre régulier, à environ $154$ pm. Les tétraèdres s'emboîtent dans les trois directions de l'espace et forment un réseau rigide, sans direction faible : c'est l'une des raisons de la dureté exceptionnelle du diamant. Fait remarquable, ce réseau se construit à partir d'un cube, exactement comme notre tétraèdre : les cristallographes décrivent le diamant dans une « maille » cubique.
Le graphite. Les mêmes atomes de carbone peuvent aussi se lier à trois voisins seulement. D'après le tableau de la section précédente, trois directions symétriques font entre elles $120^\circ$ : les atomes forment des feuillets plans d'hexagones, empilés et faiblement liés entre eux. Les feuillets glissent les uns sur les autres : c'est la mine du crayon. Un seul feuillet isolé est le graphène. Le diamant et le graphite sont faits du même élément ; seule la géométrie diffère.
La glace. Dans la glace ordinaire, chaque molécule d'eau est entourée de quatre voisines, disposées en tétraèdre et reliées par des liaisons hydrogène. Ce réseau ouvert laisse beaucoup de vide : la glace est moins dense que l'eau liquide (environ $0{,}92$ g/cm3), et elle flotte. Les lacs gèlent donc par la surface, et la vie peut continuer dessous. Les cristaux de neige à six branches viennent eux aussi de cette géométrie.
Au milieu du XIXe siècle, les chimistes dessinent les molécules à plat. En 1848, Louis Pasteur observe au microscope les cristaux d'un sel de l'acide tartrique, un produit du vin. Il constate qu'il en existe deux sortes, images l'une de l'autre dans un miroir, et les sépare à la pince. Dissoutes dans l'eau, les deux sortes font tourner la lumière polarisée en sens contraires. Pasteur en conclut que les molécules elles-mêmes doivent être « dissymétriques », sans pouvoir dire comment.
En 1874, à quelques mois d'intervalle et de façon indépendante, le Néerlandais Jacobus van 't Hoff, âgé de 22 ans, et le Français Joseph Achille Le Bel proposent la réponse : les quatre liaisons du carbone pointent vers les sommets d'un tétraèdre. L'idée est accueillie avec scepticisme, voire avec moquerie par certains chimistes établis, avant de s'imposer. Van 't Hoff reçoit en 1901 le premier prix Nobel de chimie, pour d'autres travaux.
Supposons que le carbone porte quatre groupes d'atomes tous différents, notés 1, 2, 3, 4 (un tel carbone est dit asymétrique). Plaçons ces groupes aux sommets $A$, $B$, $C$, $D$ de notre tétraèdre, puis échangeons seulement les groupes 1 et 2.
- Si la molécule était plane, avec les quatre groupes aux sommets d'un carré, elle serait sa propre image dans le miroir formé par son propre plan : elle ne pourrait pas exister en deux formes miroir distinctes. De plus, une molécule comme le dichlorométhane CH2Cl2 devrait exister en deux versions (les deux chlores voisins ou opposés sur le carré) ; on n'en a jamais trouvé qu'une. Ce sont deux des arguments de van 't Hoff.
- Avec un tétraèdre, il y a exactement deux dispositions, et elles sont images l'une de l'autre par la symétrie par rapport au plan médiateur de $[AB]$. Aucune rotation de l'espace ne transforme l'une en l'autre : comme une main droite et une main gauche, elles ne sont pas superposables.
Dans notre repère, le plan médiateur de $[AB]$ est le plan d'équation $y + z = 0$ : il contient $O$, $C$ et $D$ (vérifiez-le), et la symétrie par rapport à ce plan échange $A$ et $B$ sans bouger $C$ ni $D$. C'est exactement l'échange des groupes 1 et 2.
Ces molécules « miroir » sont dites chirales (du grec kheir, la main). Le vivant ne les traite pas de la même façon : nos protéines sont faites d'acides aminés presque tous de la même « main », et deux formes miroir d'une même molécule peuvent avoir des odeurs ou des effets différents. Le cas tragique de la thalidomide, un médicament des années 1950-1960 associé à des malformations de nouveau-nés, est souvent cité ; il est plus compliqué qu'on ne le dit, car les deux formes de cette molécule se transforment l'une en l'autre dans l'organisme.
Les tétrapodes des digues. Le long de nombreux ports, les digues sont protégées par des blocs de béton à quatre branches, les tétrapodes, dont les axes partent du centre dans les quatre directions d'un tétraèdre régulier, à $109{,}5^\circ$ les unes des autres. Ils ont été brevetés en 1950 par des ingénieurs du Laboratoire dauphinois d'hydraulique, à Grenoble. Quelle que soit la façon dont un tétrapode tombe, trois branches reposent au sol et la quatrième pointe vers le haut. Empilés, ils s'enchevêtrent et laissent des vides qui dissipent l'énergie des vagues au lieu de la renvoyer.
La chausse-trape. Le même principe était utilisé dès l'Antiquité dans une arme défensive : quatre pointes de fer orientées comme les liaisons du méthane, jetées sur le passage des chevaux. Comme le tétrapode, elle retombe toujours avec une pointe vers le haut.
Les jeux vidéo et la 3D. Le calcul d'un angle entre deux directions par le produit scalaire est aussi celui qu'effectuent des millions de fois par seconde les cartes graphiques, pour savoir comment une surface est éclairée. Le texte La 3D des jeux vidéo développe ce point.
Un piège. On lit parfois que le ballon de football serait lié au tétraèdre : ce n'est pas le cas. Le ballon classique à pentagones et hexagones est un icosaèdre tronqué, un tout autre polyèdre (voir Les solides de Platon).
- Le modèle VSEPR est un modèle : il prévoit des formes et des tendances, pas des valeurs exactes. L'angle de $104{,}5^\circ$ de l'eau se mesure, il ne se démontre pas avec la seule géométrie du lycée. Pour le calculer, il faut la mécanique quantique.
- Les atomes ne sont pas des boules et les liaisons ne sont pas des bâtons : une molécule vibre en permanence, et l'angle de $109{,}5^\circ$ est une position moyenne.
- Le calcul de $\cos\theta = -\tfrac13$ est exact si les quatre liaisons sont identiques. Dès que les quatre groupes diffèrent, comme dans les molécules chirales, les angles s'écartent un peu de cette valeur.
- Le résultat « les points se repoussent et se répartissent au mieux sur une sphère » est simple pour 2, 3, 4 et 6 points. Pour un nombre quelconque de points, c'est un problème difficile, posé par le physicien J. J. Thomson en 1904 et toujours étudié.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : le repérage dans l'espace et l'astuce du cube ; les deux expressions du produit scalaire et le calcul d'un angle ; la démonstration par symétrie et la formule $\cos\theta = -\tfrac{1}{n-1}$ ; l'équation d'un plan, le projeté orthogonal et la distance d'un point à un plan ; le volume d'une pyramide ; la symétrie par rapport à un plan.
- Physique-chimie : la géométrie des molécules et le modèle VSEPR ; la polarité de l'eau ; le diamant et le graphite, deux formes d'un même élément ; la glace qui flotte ; la chiralité et la lumière polarisée.
- SVT : l'eau, solvant du vivant ; les acides aminés et les sucres tous de la même « main » ; la chiralité des médicaments et ses conséquences.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : le repérage dans l'espace et les coordonnées de vecteurs ; le produit scalaire dans l'espace, ses deux expressions et l'orthogonalité ; le vecteur normal et l'équation cartésienne d'un plan ; la représentation paramétrique d'une droite ; le projeté orthogonal d'un point sur un plan et la distance d'un point à un plan ; le volume d'une pyramide ; les fonctions trigonométriques et la fonction réciproque utilisée à la calculatrice ; les boucles en Python.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Géométrie moléculaire, théorie VSEPR et chiralité (Wikipédia).
- Tétrapode (génie civil) (Wikipédia).
- Sur ce site : Les solides de Platon, La 3D des jeux vidéo, La géométrie sphérique et l'animation Géométrie dans l'espace.