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Un polyèdre régulier convexe a toutes ses faces identiques, des polygones réguliers, et le même nombre de faces autour de chaque sommet. Il n'en existe que cinq : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre. Platon en a fait les briques de l'univers, Kepler a cru y lire le plan du système solaire, et on les retrouve aujourd'hui dans les molécules, les cristaux et les virus. Pour la spécialité mathématiques, ils sont un terrain d'exercice idéal pour la géométrie dans l'espace : on peut calculer les coordonnées de leurs sommets, et le nombre d'or y apparaît. Ce texte rassemble ces connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
- Cinq solides, et pas un de plus
- Compter : la relation d'Euler et la dualité
- Les coordonnées des sommets
- Platon : les éléments sont des solides
- Kepler : du plan divin du système solaire à ses trois lois
- L'esprit scientifique
- Dans la matière et dans le vivant
- Des directions pour construire sa question
Le tétraèdre a $4$ faces triangulaires, le cube $6$ faces carrées, l'octaèdre $8$ faces triangulaires, le dodécaèdre $12$ faces pentagonales et l'icosaèdre $20$ faces triangulaires. Les noms viennent du grec hedra, « siège, face », et du nombre de faces. La figure permet de les faire tourner.
Pourquoi seulement cinq ? La démonstration est l'une des plus anciennes de l'histoire : c'est la dernière proposition des Éléments d'Euclide, vers 300 avant notre ère. Elle tient en une idée. Autour d'un sommet d'un polyèdre convexe, il y a au moins trois faces, et la somme de leurs angles est strictement inférieure à $360^\circ$ : si elle valait exactement $360^\circ$, les faces seraient à plat, et au-delà elles se chevaucheraient. Un polygone régulier à $n$ côtés a des angles de $\dfrac{180^\circ(n-2)}{n}$ : $60^\circ$ pour le triangle, $90^\circ$ pour le carré, $108^\circ$ pour le pentagone, $120^\circ$ pour l'hexagone. On essaie toutes les possibilités.
- Triangles : $3 \times 60^\circ = 180^\circ$ (tétraèdre), $4 \times 60^\circ = 240^\circ$ (octaèdre), $5 \times 60^\circ = 300^\circ$ (icosaèdre). Avec $6$ triangles, on obtient $360^\circ$ : c'est un pavage plat.
- Carrés : $3 \times 90^\circ = 270^\circ$ (cube) ; avec $4$, on obtient $360^\circ$.
- Pentagones : $3 \times 108^\circ = 324^\circ$ (dodécaèdre) ; avec $4$, on dépasse.
- Hexagones : $3 \times 120^\circ = 360^\circ$ est déjà plat, et les polygones suivants ont des angles encore plus grands.
Il reste exactement cinq cas possibles, et chacun correspond à un solide qui existe bien. La figure ci-dessous montre les faces posées à plat autour d'un sommet : l'espace qui manque, en rouge, est ce qui permet de les replier en un sommet de polyèdre.
Cet espace qui manque s'appelle le défaut du sommet : $360^\circ$ moins la somme des angles. Vers 1630, René Descartes remarque que la somme des défauts de tous les sommets d'un polyèdre convexe vaut toujours $720^\circ$. On le vérifie sur le cube : $8$ sommets de défaut $90^\circ$, soit $720^\circ$ ; sur l'icosaèdre : $12$ sommets de défaut $60^\circ$, soit encore $720^\circ$.
Les patrons. On peut fabriquer chaque solide en découpant et en pliant un patron. La figure en donne un pour chacun.
Notons $S$ le nombre de sommets, $A$ le nombre d'arêtes et $F$ le nombre de faces.
| solide | faces par sommet | $S$ | $A$ | $F$ | $S - A + F$ |
|---|---|---|---|---|---|
| tétraèdre | $3$ | $4$ | $6$ | $4$ | $2$ |
| cube | $3$ | $8$ | $12$ | $6$ | $2$ |
| octaèdre | $4$ | $6$ | $12$ | $8$ | $2$ |
| dodécaèdre | $3$ | $20$ | $30$ | $12$ | $2$ |
| icosaèdre | $5$ | $12$ | $30$ | $20$ | $2$ |
La dernière colonne vaut toujours $2$ : c'est la relation d'Euler, $S - A + F = 2$, énoncée par Leonhard Euler en 1750 pour tous les polyèdres convexes. Elle fait partie des débuts de la topologie, la branche des mathématiques qui étudie les formes sans tenir compte des longueurs.
Dénombrer sans dessiner. Les nombres du tableau se retrouvent par un raisonnement de dénombrement. Supposons que chaque face ait $n$ côtés et que $p$ faces se rencontrent en chaque sommet. Si l'on compte les côtés de toutes les faces, on obtient $nF$, mais chaque arête a été comptée deux fois, car elle borde deux faces : $nF = 2A$. De même, chaque arête a deux extrémités : $pS = 2A$. En remplaçant $S = \dfrac{2A}{p}$ et $F = \dfrac{2A}{n}$ dans la relation d'Euler et en divisant par $2A$, on obtient
$$\frac{1}{p} + \frac{1}{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{A}.$$Comme $\dfrac{1}{A} > 0$, il faut $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{n} > \dfrac{1}{2}$, avec $n \geqslant 3$ et $p \geqslant 3$. On ne trouve que cinq couples : $(3,3)$, $(4,3)$, $(3,4)$, $(5,3)$ et $(3,5)$ : c'est une deuxième démonstration qu'il n'y a que cinq solides. Pour le couple $(n, p) = (5, 3)$, on trouve $\dfrac{1}{A} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{30}$, donc $A = 30$, $F = 12$ et $S = 20$ : c'est le dodécaèdre.
La dualité. Plaçons un point au centre de chaque face d'un cube et relions les centres des faces voisines : on obtient un octaèdre. Inversement, les centres des faces d'un octaèdre forment un cube. On dit que le cube et l'octaèdre sont duaux : les sommets de l'un correspondent aux faces de l'autre, et le tableau échange $S$ et $F$. De même, le dodécaèdre et l'icosaèdre sont duaux, et le tétraèdre est son propre dual. Le bouton « dual » de la première figure le montre.
Des dés équitables. Les cinq solides donnent les dés à $4$, $6$, $8$, $12$ et $20$ faces des jeux de rôle. Ils sont équitables parce qu'une rotation du solide peut amener n'importe quelle face à la place de n'importe quelle autre : toutes les faces jouent le même rôle, et la loi du résultat est la loi uniforme. Le nombre de ces rotations est $12$ pour le tétraèdre, $24$ pour le cube et l'octaèdre, $60$ pour le dodécaèdre et l'icosaèdre.
C'est la partie la plus technique, mais aussi la plus proche du programme de spécialité. On se place dans un repère orthonormé de l'espace d'origine $O$, et l'on cherche des coordonnées simples pour les sommets de chaque solide, avec $O$ au centre. L'outil principal est la distance entre deux points $A$ et $B$ : si l'on note $a = x_B - x_A$, $b = y_B - y_A$ et $c = z_B - z_A$ les différences de leurs coordonnées,
$$AB = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.$$Les $8$ points dont les trois coordonnées valent $1$ ou $-1$, comme $(1\,;1\,;1)$ ou $(1\,;-1\,;1)$, sont les sommets d'un cube d'arête $2$ : deux sommets voisins ne diffèrent que par une coordonnée, et leur distance est $\sqrt{2^2} = 2$. Il y a $2^3 = 8$ sommets, et chaque sommet a $3$ voisins (on change l'une des trois coordonnées), d'où $A = \dfrac{8 \times 3}{2} = 12$. La distance de $O$ à chaque sommet est $\sqrt{3}$ : le cube est inscrit dans la sphère de centre $O$ et de rayon $\sqrt{3}$.
Choisissons un sommet du cube sur deux : $A(1\,;1\,;1)$, $B(1\,;-1\,;-1)$, $C(-1\,;1\,;-1)$ et $D(-1\,;-1\,;1)$. Chaque coordonnée change de signe deux fois entre deux de ces points, donc toutes les distances sont égales :
$$AB = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2},$$et de même pour $AC$, $AD$, $BC$, $BD$ et $CD$. Les quatre faces sont des triangles équilatéraux : c'est un tétraèdre régulier, dont les arêtes sont les diagonales des faces du cube.
L'angle du méthane. Dans la molécule de méthane $\mathrm{CH_4}$, l'atome de carbone est au centre d'un tétraèdre régulier dont les atomes d'hydrogène occupent les sommets. L'angle entre deux liaisons est l'angle $\widehat{AOB}$, que donne le produit scalaire :
$$\cos\widehat{AOB} = \frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{OA \times OB}.$$Le produit scalaire se calcule avec les coordonnées, en multipliant terme à terme ($1 \times 1$, $1 \times (-1)$ et $1 \times (-1)$) :
$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = 1 - 1 - 1 = -1,$$et $OA = OB = \sqrt{3}$, donc $\cos\widehat{AOB} = -\dfrac{1}{3}$, d'où $\widehat{AOB} \approx 109{,}5^\circ$, la valeur mesurée par les chimistes.
Les $6$ points $(\pm 1\,;0\,;0)$, $(0\,;\pm 1\,;0)$ et $(0\,;0\,;\pm 1)$ sont les sommets d'un octaèdre régulier d'arête $\sqrt{2}$ : deux sommets qui ne sont pas opposés, comme $(1\,;0\,;0)$ et $(0\,;1\,;0)$, sont à la distance $\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$, et chaque sommet a $4$ voisins. Ces points sont, à un facteur près, les centres des faces du cube : c'est la dualité. Le plan d'équation $x + y + z = 1$ contient la face formée par les trois sommets de coordonnées positives.
Pour l'icosaèdre, on cherche les $12$ sommets sous la forme
$$\begin{gathered} (0\,;\pm 1\,;\pm a), \quad (\pm 1\,;\pm a\,;0), \\ (\pm a\,;0\,;\pm 1), \end{gathered}$$avec un nombre $a > 1$ à déterminer : ce sont les sommets de trois rectangles perpendiculaires deux à deux, de côtés $2$ et $2a$. Les points $(0\,;1\,;a)$ et $(0\,;-1\,;a)$ sont à la distance $2$. Pour que toutes les arêtes aient la même longueur, il faut que $(0\,;1\,;a)$ et $(1\,;a\,;0)$ soient aussi à la distance $2$ :
$$1^2 + (a-1)^2 + a^2 = 4.$$En développant, on obtient $2a^2 - 2a - 2 = 0$, c'est-à-dire
$$a^2 - a - 1 = 0.$$Cette équation du second degré a pour discriminant $\Delta = 5$, et sa racine positive est
$$a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \varphi \approx 1{,}618,$$le nombre d'or. Il vérifie $\varphi^2 = \varphi + 1$, ce qui simplifie tous les calculs. On vérifie de la même façon que chaque sommet a exactement $5$ voisins à la distance $2$, et que les $20$ faces sont des triangles équilatéraux. Les trois rectangles de côtés $2$ et $2\varphi$ sont des rectangles d'or : le rapport de leurs côtés est le nombre d'or.
Les $20$ sommets du dodécaèdre sont les $8$ sommets du cube $(\pm 1\,;\pm 1\,;\pm 1)$, auxquels on ajoute les $12$ points
$$\begin{gathered} \left(0\,;\pm\tfrac{1}{\varphi}\,;\pm\varphi\right), \quad \left(\pm\tfrac{1}{\varphi}\,;\pm\varphi\,;0\right), \\ \left(\pm\varphi\,;0\,;\pm\tfrac{1}{\varphi}\right). \end{gathered}$$Un cube est donc caché dans le dodécaèdre : ses arêtes sont des diagonales des faces pentagonales. Vérifions deux arêtes. Les points $\left(0\,;\frac{1}{\varphi}\,;\varphi\right)$ et $\left(0\,;-\frac{1}{\varphi}\,;\varphi\right)$ sont à la distance $\dfrac{2}{\varphi}$. Pour le point $(1\,;1\,;1)$ et le point $\left(0\,;\frac{1}{\varphi}\,;\varphi\right)$, on utilise $\dfrac{1}{\varphi} = \varphi - 1$, qui découle de $\varphi^2 = \varphi + 1$ :
en développant et en remplaçant $\varphi^2$ par $\varphi + 1$. D'autre part,
$$\begin{aligned} \left(\frac{2}{\varphi}\right)^2 &= 4(\varphi - 1)^2 \\ &= 4(2 - \varphi) = 8 - 4\varphi. \end{aligned}$$Les deux arêtes ont bien la même longueur, $\dfrac{2}{\varphi} \approx 1{,}236$.
Ces calculs sont longs, mais ils n'utilisent que la distance dans un repère orthonormé, le second degré et l'identité $\varphi^2 = \varphi + 1$. Le programme Python ci-dessous les fait tous d'un coup : il calcule toutes les distances entre sommets et compte les arêtes.
Chaque solide a une sphère circonscrite, qui passe par tous ses sommets, et une sphère inscrite, tangente à toutes ses faces. Pour le cube, la sphère circonscrite a pour rayon $R = \sqrt{3}$, et la sphère inscrite touche la face d'équation $x = 1$ : son rayon est $r = 1$. Pour l'octaèdre, $R = 1$, et le rayon inscrit est la distance de $O$ au plan $x + y + z = 1$, c'est-à-dire la distance de $O$ à son projeté orthogonal $H\left(\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\right)$, soit $r = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Le rapport $\dfrac{r}{R}$ vaut donc $\dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$ pour les deux. Pour le tétraèdre, il vaut $\dfrac{1}{3}$ ; pour le dodécaèdre et l'icosaèdre, environ $0{,}795$. Ces rapports sont au cœur du modèle de Kepler.
Vers 360 avant notre ère, dans le dialogue intitulé le Timée, Platon fait raconter par le personnage de Timée la formation du monde. Il reprend les quatre éléments d'Empédocle, la terre, l'eau, l'air et le feu, et leur attribue une forme :
- le feu est fait de tétraèdres, le solide le plus pointu et le plus léger, qui brûle et pénètre ;
- l'air est fait d'octaèdres ;
- l'eau est faite d'icosaèdres, presque ronds, qui roulent et s'écoulent ;
- la terre est faite de cubes, le solide le plus stable, qui tient sur ses faces carrées.
Le cinquième solide, le dodécaèdre, est réservé à l'ensemble de l'univers : le dieu s'en serait servi, écrit Platon, « pour le Tout ». Aristote ajoutera plus tard un cinquième élément, l'éther, dont seraient faits les astres ; c'est la « quintessence » des alchimistes du Moyen Âge.
Des éléments qui se transforment. Platon va plus loin : il décompose les faces en triangles. Un triangle équilatéral se découpe en $6$ demi-triangles équilatéraux (d'angles $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$), un carré en $4$ triangles rectangles isocèles. Le feu, l'air et l'eau, dont les faces sont des triangles équilatéraux, sont faits des mêmes briques : ils peuvent donc se transformer les uns en les autres, en se brisant et en se recombinant. La terre, faite de carrés, ne le peut pas. Platon donne des exemples qui sont de vrais calculs : un corpuscule d'eau ($20$ faces triangulaires) peut se briser en un corpuscule de feu ($4$ faces) et deux d'air ($2 \times 8 = 16$ faces), puisque $4 + 16 = 20$ ; deux corpuscules de feu ($8$ faces) peuvent former un corpuscule d'air.
C'est une véritable chimie mathématique, plus de deux mille ans avant la chimie moderne : la matière est faite de particules invisibles, de formes définies, qui se décomposent et se recombinent en conservant leurs briques élémentaires. L'idée de conservation est juste ; le reste est imaginaire, et aucune expérience ne vient le soutenir.
Le Mystère cosmographique (1596). En 1595, Johannes Kepler, jeune professeur de mathématiques à Graz, partisan du système de Copernic, se demande pourquoi il y a six planètes (Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter et Saturne, les seules connues alors) et pourquoi elles sont à ces distances du Soleil. Il croit trouver la réponse dans les cinq solides : entre six sphères, il y a cinq intervalles, un par solide. Il emboîte les sphères des orbites et les solides, chacun inscrit dans une sphère et circonscrit à la suivante : la sphère de Saturne contient un cube, qui contient la sphère de Jupiter, qui contient un tétraèdre, puis la sphère de Mars, un dodécaèdre, la sphère de la Terre, un icosaèdre, la sphère de Vénus, un octaèdre et enfin la sphère de Mercure. Il publie cette idée en 1596 dans le Mysterium cosmographicum : Dieu aurait construit le monde selon ces formes parfaites.
Le modèle à l'épreuve des nombres. Si une sphère est circonscrite à un solide et la suivante inscrite dans ce même solide, le rapport de leurs rayons est le rapport $\dfrac{r}{R}$ calculé plus haut. On peut le comparer au rapport des distances moyennes des planètes au Soleil, mesurées aujourd'hui (en unités astronomiques : Mercure $0{,}387$, Vénus $0{,}723$, Terre $1$, Mars $1{,}524$, Jupiter $5{,}203$, Saturne $9{,}537$).
| planètes | solide | rapport $\frac{r}{R}$ | rapport réel |
|---|---|---|---|
| Jupiter / Saturne | cube | $0{,}577$ | $0{,}546$ |
| Mars / Jupiter | tétraèdre | $0{,}333$ | $0{,}293$ |
| Terre / Mars | dodécaèdre | $0{,}795$ | $0{,}656$ |
| Vénus / Terre | icosaèdre | $0{,}795$ | $0{,}723$ |
| Mercure / Vénus | octaèdre | $0{,}577$ | $0{,}535$ |
L'accord est frappant pour une idée aussi audacieuse, mais il n'est pas exact : l'écart atteint $20\,\%$ entre la Terre et Mars. Kepler attribue ces différences à l'épaisseur des sphères (les orbites ne sont pas des cercles parfaits) et à l'imprécision des observations de son temps. Il a besoin de meilleures données, et elles existent : celles de l'astronome danois Tycho Brahe, le plus précis observateur de l'époque, qui mesure les positions des planètes à une ou deux minutes d'angle près.
Les huit minutes. En 1600, Kepler rejoint Tycho Brahe à Prague ; Tycho meurt l'année suivante, et Kepler hérite de ses observations. Il s'attaque à l'orbite de Mars. Après des années de calculs, il obtient un modèle à base de cercles qui reproduit les observations à huit minutes d'angle près (environ un quart du diamètre apparent de la Lune). Un astronome d'avant aurait jugé l'accord excellent. Kepler, lui, sait que Tycho ne se trompe pas de huit minutes : il abandonne son modèle. Il écrit dans l'Astronomia nova que ces huit minutes, à elles seules, ont ouvert la voie à la réforme de toute l'astronomie.
Les trois lois de Kepler. Il finit par trouver ce que personne n'avait imaginé :
- les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer (1609) ;
- le segment qui joint le Soleil à une planète balaie des aires égales en des durées égales : la planète va plus vite près du Soleil (1609) ;
- le carré de la période de révolution $T$ est proportionnel au cube du demi-grand axe $a$ de l'orbite : $\dfrac{T^2}{a^3}$ est le même pour toutes les planètes (1619).
La troisième loi se vérifie avec une précision remarquable. Avec $T$ en années et $a$ en unités astronomiques :
| planète | $a$ | $T$ | $\frac{T^2}{a^3}$ |
|---|---|---|---|
| Mercure | $0{,}387$ | $0{,}241$ | $1{,}00$ |
| Vénus | $0{,}723$ | $0{,}615$ | $1{,}00$ |
| Terre | $1$ | $1$ | $1$ |
| Mars | $1{,}524$ | $1{,}881$ | $1{,}00$ |
| Jupiter | $5{,}203$ | $11{,}86$ | $1{,}00$ |
| Saturne | $9{,}537$ | $29{,}46$ | $1{,}00$ |
En 1687, Isaac Newton montre que ces trois lois découlent de sa loi de la gravitation universelle : c'est le programme de physique de terminale sur le mouvement des planètes et des satellites. Le modèle des solides, lui, ne survit pas : en 1781, William Herschel découvre Uranus, une septième planète, et il n'y a pas de sixième solide régulier pour la loger. Kepler, pourtant, n'a jamais renoncé à son idée de jeunesse : il réédite le Mysterium en 1621, en y ajoutant des notes.
Platon et le jeune Kepler procèdent de la même façon : ils partent d'une idée de perfection, la beauté des cinq solides, et affirment que le monde est construit ainsi parce qu'il doit l'être. C'est une conjecture, au sens le plus fort : « je pense que l'univers est ainsi ». Elle est cohérente, élégante, et même mathématiquement juste (il y a bien cinq solides), mais rien ne la confronte au réel. Pendant des siècles, une grande partie de la connaissance de la nature s'est construite de cette manière : à partir de principes jugés évidents, d'autorités respectées (Aristote, Ptolémée) et de raisonnements, plus que de mesures.
Il faut nuancer : les Anciens observaient et mesuraient aussi. Ératosthène a mesuré la circonférence de la Terre vers 240 avant notre ère, Hipparque et Ptolémée ont dressé des catalogues d'étoiles précis, Archimède a énoncé des lois de la flottaison. Mais l'observation venait le plus souvent confirmer un système, rarement le renverser.
Ce qui change aux XVIe et XVIIe siècles, avec Galilée, Kepler et Newton, c'est que la mesure devient juge. Une hypothèse, si belle soit-elle, doit faire des prédictions chiffrées ; si les mesures les contredisent, au-delà de leur précision, on l'abandonne. L'histoire des huit minutes de Kepler en est l'exemple parfait : un écart minuscule, mais plus grand que l'incertitude des mesures de Tycho, suffit à rejeter un modèle. C'est aussi la notion d'incertitude de mesure du programme de physique-chimie : pour décider si un écart compte, il faut savoir quelle est la précision de la mesure.
Les philosophes ont décrit ce changement. En 1623, Galilée écrit que le livre de la nature est écrit en langue mathématique ; il faut le lire, et non l'inventer. En 1934, Karl Popper propose de distinguer une théorie scientifique par sa réfutabilité : elle doit pouvoir être contredite par une expérience. En 1938, dans La Formation de l'esprit scientifique, Gaston Bachelard décrit les « obstacles épistémologiques » qui empêchent de penser juste : l'attachement à une image séduisante, à l'harmonie, à une première intuition. Le modèle des solides de Kepler en est un bel exemple, et la manière dont Kepler l'a dépassé, sans jamais cesser de l'aimer, montre comment se forme l'esprit scientifique.
Enfin, l'idée de Platon n'était pas entièrement fausse dans son principe : la matière est bien faite de briques élémentaires, et les formes géométriques y jouent un rôle. Mais ce sont l'expérience et la mesure, et non la contemplation des solides, qui ont permis de le découvrir, comme le montre la dernière partie.
Des molécules. La géométrie des molécules s'explique par la répulsion entre les doublets d'électrons autour d'un atome central : ils s'écartent le plus possible les uns des autres. Avec quatre doublets, ils pointent vers les sommets d'un tétraèdre (méthane, ammoniac, eau, avec des angles proches de $109{,}5^\circ$) ; avec six, vers les sommets d'un octaèdre, comme dans l'hexafluorure de soufre $\mathrm{SF_6}$. Les chimistes ont même synthétisé des molécules en forme de solides de Platon : le cubane $\mathrm{C_8H_8}$ en 1964, avec ses huit atomes de carbone aux sommets d'un cube, et le dodécaédrane $\mathrm{C_{20}H_{20}}$ en 1982. Le bore forme des assemblages de douze atomes aux sommets d'un icosaèdre. Le fullerène $\mathrm{C_{60}}$, découvert en 1985 (prix Nobel de chimie 1996), a la forme d'un icosaèdre dont on a coupé les sommets : c'est la forme d'un ballon de football.
Des cristaux. Dans un cristal, les atomes sont rangés selon un motif qui se répète régulièrement dans les trois directions. Le sel de cuisine cristallise en cubes, la pyrite (l'« or des fous ») aussi, et certains minéraux en octaèdres. Mais un cristal ordinaire ne peut jamais avoir de symétrie d'ordre $5$ : on ne peut pas paver le plan avec des pentagones réguliers, et pour la même raison un motif périodique ne peut pas avoir la symétrie du dodécaèdre ou de l'icosaèdre. C'est un théorème de cristallographie.
Pourtant, en 1982, le chimiste israélien Dan Shechtman observe un alliage dont les rayons X révèlent une symétrie icosaédrique, « impossible ». Pendant des années, beaucoup de ses collègues refusent de le croire ; le grand chimiste Linus Pauling s'y oppose jusqu'à sa mort. Mais les expériences se répètent : Shechtman a découvert les quasicristaux, ordonnés mais non périodiques. Il reçoit le prix Nobel de chimie en 2011. C'est un autre bel exemple d'esprit scientifique : l'expérience a eu raison contre l'autorité et contre un théorème qu'on croyait universel, parce que ce théorème supposait la périodicité.
Des virus. L'enveloppe protéique de nombreux virus, la capside, a la forme d'un icosaèdre : c'est le cas des adénovirus, du virus de l'herpès ou du poliovirus. En 1962, Donald Caspar et Aaron Klug en ont donné la raison. Le matériel génétique d'un virus est très petit : il ne peut coder que quelques protéines différentes. La capside est donc construite avec de nombreuses copies d'une même protéine, qui s'assemblent toutes seules de la même façon. Or une coque fermée faite de briques identiques, toutes placées exactement de la même façon, compte au plus $60$ briques, autant que de rotations de l'icosaèdre : c'est la symétrie icosaédrique qui permet la plus grande coque. Pour les virus plus gros, Caspar et Klug ont montré que des briques placées de façon presque identique permettent des capsides de $60$, $180$, $240$… protéines, toujours de symétrie icosaédrique. Ils ont ainsi relié la biologie à la géométrie des symétries.
Des radiolaires. Les radiolaires sont des êtres vivants unicellulaires du plancton marin, qui fabriquent un squelette de silice d'une extraordinaire régularité. Le biologiste allemand Ernst Haeckel en a dessiné des centaines à la fin du XIXe siècle, à partir des échantillons rapportés par l'expédition océanographique du Challenger ; certains ont la forme d'un icosaèdre ou d'un octaèdre presque parfaits. L'une de ces espèces porte le nom de Circogonia icosahedra.
Un mystère archéologique. On a retrouvé plus d'une centaine de dodécaèdres romains, de petits objets creux en bronze, percés de trous et ornés de boules à chaque sommet, datant des IIe-IVe siècles et découverts surtout en Gaule et en Germanie. Personne ne sait à quoi ils servaient : instrument de mesure, objet religieux, outil pour tricoter des gants ? Aucun texte ancien ne les mentionne. Pour l'historien, c'est un rappel de prudence : une hypothèse séduisante n'est pas une preuve.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : pourquoi il n'y a que cinq solides, la relation d'Euler, les coordonnées des sommets et le nombre d'or, les sphères inscrite et circonscrite.
- Physique-chimie : le modèle de Kepler et ses trois lois, la gravitation de Newton, la géométrie des molécules, les cristaux et les quasicristaux, les incertitudes de mesure.
- HLP : le Timée de Platon, la conjecture et l'expérience, Bachelard et les obstacles épistémologiques, la réfutabilité selon Popper.
- SVT : les capsides des virus, les radiolaires, la forme des molécules du vivant.
- HGGSP : la révolution scientifique de Copernic à Newton, Kepler entre Graz et Prague, les dodécaèdres romains.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : la géométrie dans l'espace (repère orthonormé, coordonnées, distance entre deux points, vecteurs, produit scalaire et orthogonalité, équations cartésiennes de plans, projeté orthogonal) ; les équations du second degré et le discriminant ; le dénombrement ; la loi uniforme.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Solide de Platon et Mysterium cosmographicum (Wikipédia).
- Platon, Timée, 53c-57d (la formation des éléments).
- Euclide, Éléments, livre XIII.
- G. Bachelard, La Formation de l'esprit scientifique, Vrin, 1938.
- D. Caspar et A. Klug, « Physical principles in the construction of regular viruses », Cold Spring Harbor Symposia, 1962.
- Sur ce site : l'animation Les solides de Platon et le texte La parabole et son foyer (les coniques et les orbites).