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Un cube de plastique de cinq centimètres et demi, six faces de couleur, et une question que tout le monde se pose en le tenant : combien de mélanges différents peut-on obtenir ? La réponse, $43\,252\,003\,274\,489\,856\,000$, se calcule avec le chapitre de dénombrement de terminale, à condition de bien comprendre ce que le mécanisme permet et ce qu'il interdit.
Le cube mène ensuite à d'autres questions : combien de mouvements faut-il, au pire, pour le résoudre ? Une suite géométrique et le logarithme donnent une première réponse, et des ordinateurs ont donné la réponse exacte en 2010. Pourquoi une même séquence de mouvements, répétée, finit-elle toujours par ramener le cube à son état de départ ? Un raisonnement par l'absurde suffit.
Ce texte rassemble ces connaissances. Il ne propose pas de Grand Oral tout fait : à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
- Un objet de 1974
- Manipuler le cube
- Les pièces : coins, arêtes, centres
- À la main : le cube 2×2
- Démonter et remonter le 3×3
- Les trois contraintes
- Un nombre difficile à imaginer
- Le nombre de Dieu
- Répéter une séquence : on revient toujours au départ
- Le calcul en Python
- Résoudre vite : méthodes et records
- Des directions pour construire sa question
Ernő Rubik, né en 1944 à Budapest, enseigne le design et l'architecture intérieure à l'Académie des arts appliqués de Budapest. En 1974, il cherche à faire comprendre à ses étudiants comment des objets peuvent bouger les uns par rapport aux autres sans que l'ensemble tombe en morceaux. Il fabrique un cube de bois découpé en $3 \times 3 \times 3$ petits cubes, dont chaque tranche peut tourner. Il colorie les faces, fait tourner quelques tranches… et met, raconte-t-il, plus d'un mois à retrouver l'état de départ.
Le cube est breveté en Hongrie en 1975, vendu dans les magasins hongrois en 1977 sous le nom de « cube magique », puis dans le monde entier à partir de 1980. C'est un succès considérable des années 1980, et le jouet le plus vendu de l'histoire selon ses fabricants : on parle de plusieurs centaines de millions d'exemplaires. Il est aussi, dès 1981, un sujet d'étude pour les mathématiciens, en particulier l'Anglais David Singmaster, qui invente les notations encore utilisées aujourd'hui.
On nomme les six faces par l'initiale de leur nom anglais : U (up, haut), D (down, bas), F (front, devant), B (back, derrière), R (right, droite) et L (left, gauche). La lettre seule désigne un quart de tour de cette face dans le sens des aiguilles d'une montre, quand on la regarde de face ; R' désigne le quart de tour en sens inverse et R2 le demi-tour. Il y a donc $6 \times 3 = 18$ mouvements élémentaires.
Le cube ci-dessous est représenté par son patron : la face U en haut, la face D en bas, et au milieu, de gauche à droite, les faces L, F, R et B. On peut jouer les $18$ mouvements, mélanger, et faire répéter une séquence jusqu'à ce que le cube revienne à son état de départ (section 9).
Dans la séquence, on sépare les mouvements par des espaces, par exemple R U R' U'. Le compteur indique combien de fois il faut répéter la séquence, à partir du cube résolu, pour le retrouver résolu.
Pour dénombrer, il faut d'abord regarder le cube non pas comme $54$ petits carrés de couleur, mais comme un assemblage de pièces. Le cube est formé de $26$ petits cubes visibles, de trois sortes :
- les $8$ coins, qui portent chacun trois couleurs ;
- les $12$ arêtes, qui portent chacune deux couleurs ;
- les $6$ centres, qui ne portent qu'une couleur et ne bougent pas les uns par rapport aux autres : ils sont fixés sur une croix intérieure, et tourner une face ne fait que faire pivoter son centre sur place.
On peut donc toujours tenir le cube avec, par exemple, le centre blanc en haut et le centre vert devant : les centres servent de repère. Un mouvement envoie un coin sur la place d'un coin et une arête sur la place d'une arête ; il ne transforme jamais un coin en arête. Une position du cube est donc entièrement décrite par :
- la place de chaque coin et la façon dont il est tourné sur sa place (son orientation, trois possibilités) ;
- la place de chaque arête et son orientation (deux possibilités : dans un sens ou retournée).
Commençons par le petit frère du Rubik's cube, le cube $2 \times 2 \times 2$. Il n'a que $8$ pièces, toutes des coins, et pas de centre. Faute de centre, on prend un coin comme repère : on décide que le coin en bas, derrière, à gauche ne bouge jamais. C'est possible, car tourner la face du bas revient à tourner celle du haut puis tout le cube : on peut tout faire en ne tournant que les faces U, R et F, qui ne touchent pas ce coin.
Imaginons qu'on démonte le cube et qu'on remonte les $7$ autres coins au hasard. On utilise le principe multiplicatif.
Les places. Le premier coin a $7$ places possibles, le deuxième $6$, et ainsi de suite jusqu'au dernier qui n'a plus qu'une place : $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 7! = 5\,040$ façons. C'est le nombre de permutations de $7$ objets.
Les orientations. Chaque coin peut être posé de $3$ façons sur sa place (on le fait tourner autour de la diagonale du cube qui passe par lui) : $3^7 = 2\,187$ façons pour les $7$ coins.
Au total, $7! \times 3^7 = 11\,022\,480$ remontages. Mais, en tournant les faces, on n'en atteint qu'un tiers. Voici pourquoi.
Chaque coin porte exactement un autocollant blanc ou jaune (les couleurs des faces U et D). Sur sa place, on lui attribue une torsion : $0$ si cet autocollant est sur la face du haut ou du bas, $1$ s'il est tourné d'un cran dans le sens des aiguilles d'une montre, $2$ s'il est tourné de deux crans. On note $T$ la somme des torsions des coins, et on ne garde que son reste dans la division par $3$.
Étape 1 : les faces U et D. Un quart de tour de U fait tourner les quatre coins du haut à l'intérieur de la face du haut : leur autocollant qui était sur la face du haut y reste, celui qui était sur une face latérale reste sur une face latérale, avec le même décalage. Les torsions ne changent pas, $T$ non plus. De même pour D.
Étape 2 : les autres faces. Un quart de tour de R, L, F ou B déplace quatre coins et fait basculer leur autocollant blanc ou jaune : on vérifie (avec le cube en main, ou dans la figure) que les quatre torsions augmentent respectivement de $1$, $2$, $1$ et $2$, à un multiple de $3$ près. La somme $T$ augmente donc de $1 + 2 + 1 + 2 = 6$, qui est un multiple de $3$ : le reste ne change pas.
Étape 3 : les demi-tours et les quarts de tour inverses. Un demi-tour est fait de deux quarts de tour, un quart de tour inverse de trois. Chacun laisse le reste inchangé, donc leur enchaînement aussi.
Conclusion. Au départ, toutes les torsions sont nulles, donc $T = 0$. Après n'importe quelle suite de mouvements, $T$ est encore un multiple de $3$.
Conséquence : si l'on connaît la torsion de $6$ des $7$ coins mobiles, celle du dernier est imposée (c'est la seule des trois valeurs qui rend $T$ multiple de $3$). Il n'y a donc que $3^6 = 729$ orientations possibles, et non $3^7$. Un coin tourné seul sur place est une position impossible : aucune suite de mouvements ne la produit.
On admet (c'est ce que montrent les méthodes de résolution) que toutes les positions qui respectent cette contrainte sont effectivement atteignables. Le nombre de positions du cube $2 \times 2 \times 2$ est donc
$$7! \times 3^6 = 5\,040 \times 729 = 3\,674\,160.$$Revenons au vrai cube. Les centres servent de repère ; on démonte les $8$ coins et les $12$ arêtes et on les remonte au hasard. Le principe multiplicatif donne, étape par étape :
| On choisit | Nombre de façons |
|---|---|
| la place des $8$ coins | $8! = 40\,320$ |
| l'orientation des $8$ coins | $3^8 = 6\,561$ |
| la place des $12$ arêtes | $12! = 479\,001\,600$ |
| l'orientation des $12$ arêtes | $2^{12} = 4\,096$ |
Ces quatre choix sont indépendants les uns des autres, donc le nombre de remontages est le produit
$$R = 8! \times 3^8 \times 12! \times 2^{12},$$soit $R \approx 5{,}19 \times 10^{20}$. Comme pour le petit cube, on n'atteint pas tous ces remontages en tournant les faces : trois contraintes les divisent par $12$.
La démonstration faite pour le cube 2×2 s'applique mot pour mot aux $8$ coins du 3×3 : la somme des torsions reste un multiple de $3$. L'orientation du huitième coin est imposée par celle des sept autres, ce qui remplace $3^8$ par $3^7$.
Chaque arête a un autocollant de référence : son autocollant blanc ou jaune si elle en a un, sinon son autocollant vert ou bleu (les couleurs de F et B). Chaque place d'arête a, elle aussi, une face de référence : la face U ou D si la place en touche une, sinon la face F ou B. Une arête est bien orientée si son autocollant de référence est sur la face de référence de sa place ; sinon, elle est retournée. On note $A$ le nombre d'arêtes retournées.
Étape 1 : U, D, R et L ne retournent aucune arête. Pour U et D, c'est clair : les arêtes restent dans la face du haut (ou du bas) et leur autocollant qui y était y reste. Pour R, suivons l'arête de la place UR : son autocollant posé sur U passe sur la face B de la place BR, dont la face de référence est justement B. On vérifie de même les trois autres arêtes de R : l'autocollant qui était sur la face de référence arrive sur la face de référence. Même chose pour L.
Étape 2 : un quart de tour de F ou de B retourne exactement quatre arêtes. Avec F, l'autocollant de l'arête UF qui était sur U passe sur la face R de la place RF, dont la face de référence est F : l'arête change d'état. Il en va de même pour les quatre arêtes de la face, et $A$ change de $\pm 1$ quatre fois : il garde la même parité.
Conclusion. Au départ $A = 0$ ; chaque quart de tour laisse la parité de $A$ inchangée, donc $A$ reste pair.
Conséquence : l'orientation de la douzième arête est imposée par celle des onze autres, et $2^{12}$ est remplacé par $2^{11}$. Une arête retournée seule, à sa place, est une position impossible.
Toute façon de ranger des objets peut s'obtenir à partir du rangement de départ par une suite d'échanges de deux objets (des transpositions). Par exemple, pour passer de l'ordre 1 2 3 à 2 3 1, on échange 1 et 2 (on obtient 2 1 3), puis 1 et 3 : deux échanges.
Le même rangement peut s'obtenir par des suites d'échanges différentes, mais on admet le résultat suivant : leur nombre a toujours la même parité. On parle de permutation paire ou impaire. (L'idée de la preuve : on compte les couples d'objets rangés « dans le désordre » ; on montre qu'un échange change ce nombre d'une quantité impaire.)
Étape 1. Un quart de tour fait tourner quatre coins en rond (le premier va à la place du deuxième, qui va à celle du troisième, etc.) et quatre arêtes en rond. Un tel cycle de quatre objets s'obtient avec trois échanges : pour faire tourner a b c d en d a b c, on échange d et c, puis d et b, puis d et a.
Étape 2. Chaque quart de tour change donc la parité de la permutation des coins (trois échanges, nombre impair) et celle des arêtes. Les deux parités changent ensemble à chaque quart de tour.
Conclusion. Au départ, les deux permutations sont paires (aucun échange). Elles ont donc toujours la même parité.
Conséquence : on ne peut pas échanger seulement deux arêtes (ou seulement deux coins) en laissant tout le reste en place. Parmi les remontages, seule une moitié a des parités égales : on divise encore par $2$.
Les trois contraintes divisent le nombre de remontages par $3 \times 2 \times 2 = 12$. On admet, là encore, que toutes les positions qui les respectent sont atteignables : c'est ce que garantissent les méthodes de résolution, qui savent ranger n'importe quelle position respectant les trois contraintes. Le nombre de positions du Rubik's cube est donc
$$N = \frac{8! \times 3^8 \times 12! \times 2^{12}}{12},$$c'est-à-dire
$$N = 43\,252\,003\,274\,489\,856\,000.$$Une conséquence amusante : si l'on démonte un cube et qu'on le remonte au hasard, on n'a qu'une chance sur $12$ de pouvoir encore le résoudre. Les cubes « impossibles » que l'on rencontre viennent souvent d'un coin tourné après une chute ou d'autocollants recollés.
Avec $\log_{10} N \approx 19{,}6$, le nombre $N$ a $20$ chiffres : environ $43$ milliards de milliards. Deux comparaisons permettent de le rendre concret.
Le temps. L'Univers a environ $13{,}8$ milliards d'années. Une année compte $365{,}25$ jours de $86\,400$ secondes, donc l'âge de l'Univers est d'environ
$$\begin{aligned} &13{,}8 \times 10^9 \times 3{,}156 \times 10^7\ \text{s} \\ \approx\ &4{,}35 \times 10^{17}\ \text{s}.\end{aligned}$$Quelqu'un qui aurait montré une position par seconde depuis le Big Bang n'en aurait vu qu'un centième : il faudrait environ cent fois l'âge de l'Univers pour les passer toutes en revue.
L'espace. Un cube a des faces de $5{,}7$ cm de côté, soit environ $3{,}25 \times 10^{-3}\ \text{m}^2$. Si l'on posait côte à côte un cube dans chaque position, ils couvriraient $1{,}4 \times 10^{17}\ \text{m}^2$, c'est-à-dire environ $275$ fois la surface de la Terre ($5{,}1 \times 10^{14}\ \text{m}^2$, océans compris) : une couche de cubes haute de plus de quinze mètres sur toute la planète.
On appelle nombre de Dieu le plus petit nombre de mouvements qui suffit pour résoudre n'importe quelle position, si l'on joue parfaitement (on compte ici un quart de tour ou un demi-tour comme un mouvement). L'expression, de David Singmaster, évoque un être qui connaîtrait toujours la solution la plus courte.
Combien de positions peut-on atteindre, au plus, en $k$ mouvements ? Il est inutile de tourner deux fois de suite la même face (deux mouvements de la même face se regroupent en un seul, ou s'annulent). Il y a donc $18$ choix pour le premier mouvement, puis, à chaque fois, $15$ choix (les $5$ autres faces, $3$ mouvements chacune). Le nombre de suites utiles de $k$ mouvements est au plus $18 \times 15^{k-1}$.
Étape 1 : une somme géométrique. Les positions atteignables en au plus $n$ mouvements sont au nombre d'au plus
$$S_n = 1 + 18 \sum_{k=1}^{n} 15^{k-1}.$$(Le $1$ compte la position de départ.) La somme des termes de la suite géométrique de raison $15$ donne
$$S_n = 1 + 18 \times \frac{15^n - 1}{14},$$donc $S_n < \dfrac{18}{14} \times 15^n = \dfrac{9}{7} \times 15^n$ (car $1 - \dfrac{18}{14} < 0$).
Étape 2 : par l'absurde. Supposons que toutes les positions soient atteignables en au plus $n$ mouvements. Alors $N \leqslant S_n$, donc $N < \dfrac{9}{7} \times 15^n$, soit $15^n > \dfrac{7N}{9}$.
Étape 3 : le logarithme. La fonction $\ln$ est strictement croissante, donc $n \ln 15 > \ln\left(\dfrac{7N}{9}\right)$, et comme $\ln 15 > 0$,
$$n > \frac{\ln(7N/9)}{\ln 15} \approx 16{,}6.$$Conclusion. L'entier $n$ vaut au moins $17$ : avec $16$ mouvements ou moins, on ne peut pas atteindre toutes les positions. Il existe donc des positions qui demandent au moins $17$ mouvements.
On peut affiner le comptage. Tourner U puis D donne le même résultat que tourner D puis U : ces deux faces opposées ne se gênent pas. Pour ne pas compter deux fois la même chose, on interdit par exemple D suivi de U (on garde U suivi de D), et de même pour les deux autres paires de faces opposées. Le comptage devient un peu plus délicat (un programme le fait, section 10), et la conclusion passe à au moins $18$ mouvements.
La borne inférieure dit qu'il faut au moins $18$ mouvements pour certaines positions, mais ne dit pas combien il en faut au pire. En 1995, l'Américain Michael Reid montre qu'une position particulière, le « superflip » (toutes les pièces à leur place, mais les douze arêtes retournées), demande exactement $20$ mouvements : le nombre de Dieu vaut donc au moins $20$.
Pour montrer que $20$ suffisent, il faut, d'une façon ou d'une autre, examiner toutes les positions. En juillet 2010, Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson et John Dethridge y parviennent : ils découpent les positions en environ $2{,}2$ milliards de paquets, exploitent les symétries du cube, et font tourner les calculs sur des ordinateurs prêtés par Google, l'équivalent d'environ $35$ ans de calcul pour un seul processeur. Résultat : le nombre de Dieu est $20$. Les premières bornes supérieures, dans les années 1980, étaient d'une cinquantaine de mouvements.
C'est un exemple de démonstration mathématique qui repose sur un calcul par ordinateur, comme celle du théorème des quatre couleurs en 1976. Elle pose la question de la confiance qu'on accorde à un programme : les auteurs ont publié leurs méthodes et vérifié leurs résultats de plusieurs façons.
Prenons le cube résolu et répétons la séquence R U (un quart de tour de R, puis un de U). Après quelques répétitions, le cube semble mélangé… mais au bout de $105$ répétitions, il est de nouveau résolu ! On peut le vérifier avec la figure de la section 2. Ce n'est pas un hasard.
Étape 1 : un nombre fini de positions. Notons $P_0$ la position de départ, $P_1$ la position après une application de la séquence, $P_2$ après deux, etc. Il n'y a que $N$ positions possibles. Parmi les $N + 1$ positions $P_0, P_1, \dots, P_N$, deux au moins sont donc égales (principe des tiroirs) : il existe $i < j$ avec $P_i = P_j$.
Étape 2 : on remonte le temps. Chaque mouvement peut être défait (R est défait par R'). Si on défait $i$ fois la séquence à partir de $P_i$, on revient à $P_0$ ; à partir de $P_j$, on arrive à $P_{j-i}$. Comme $P_i = P_j$, on obtient $P_{j-i} = P_0$.
Conclusion. Après $j - i \geqslant 1$ répétitions, le cube est revenu à sa position de départ.
Le plus petit nombre de répétitions qui ramène le cube s'appelle l'ordre de la séquence. Quelques exemples, que la figure et le programme Python permettent de vérifier :
| Séquence | Ordre |
|---|---|
| R | $4$ |
| R2 | $2$ |
| R U R' U' | $6$ |
| R U | $105$ |
| R U2 D' B D' | $1\,260$ |
Comment calculer l'ordre ? Une séquence déplace les autocollants en cycles : un autocollant va à la place d'un autre, qui va à la place d'un troisième, etc., jusqu'à revenir au premier. Pour R U, il y a un cycle de $15$ autocollants (cinq coins qui tournent en rond en se tordant), deux cycles de $7$ (sept arêtes) et un cycle de $3$ (un coin qui tourne sur place). Un cycle de longueur $L$ revient à son état de départ après $L$, $2L$, $3L$… répétitions, c'est-à-dire exactement quand le nombre de répétitions est un multiple de $L$. Le cube entier est donc revenu quand le nombre de répétitions est un multiple commun de $15$, $7$ et $3$ : le plus petit est leur plus petit commun multiple,
$$\mathrm{ppcm}(15\,;7\,;3) = 3 \times 5 \times 7 = 105.$$On a démontré, en mathématiques supérieures, que $1\,260$ est l'ordre le plus grand possible d'une séquence : pour R U2 D' B D', les cycles ont pour longueurs $15$, $14$, $9$, $4$ et $2$, et $\mathrm{ppcm} = 4 \times 9 \times 5 \times 7 = 1\,260$.
Le premier programme refait les dénombrements, puis cherche la borne inférieure du nombre de Dieu : il ajoute les termes de la somme
$S_n$ tant qu'elle reste plus petite que $N$. La seconde partie fait le comptage affiné, où l'on interdit en plus de jouer une face juste
après la face opposée « mal rangée » : la variable apres[f] compte les suites qui se terminent par la face
f.
Le second programme modélise le cube par ses $54$ autocollants : chacun est repéré par la position du petit cube qui le porte et par la direction vers laquelle il regarde, trois coordonnées entières entre $-1$ et $1$. Tourner une face, c'est faire pivoter d'un quart de tour les autocollants dont une coordonnée vaut $1$ ou $-1$. Le programme répète une séquence jusqu'au retour au départ.
Le dernier calcul fait plus de mille répétitions : il peut prendre quelques secondes dans le navigateur.
Les méthodes de résolution enseignées aux débutants procèdent couche par couche : la croix et les coins de la première face, puis la couche du milieu, puis la dernière face. Chaque étape utilise des algorithmes, au sens premier du terme : des séquences de mouvements apprises qui déplacent quelques pièces en laissant les autres en place. Ces séquences existent justement grâce aux contraintes de la section 6 : on sait par exemple échanger trois arêtes, mais jamais deux seulement.
Les compétiteurs, ou speedcubers, utilisent surtout la méthode CFOP, mise au point dans les années 1980 et 1990 et popularisée par la Tchèque Jessica Fridrich, qui demande d'apprendre près de $80$ séquences pour la dernière couche. La World Cube Association organise des compétitions depuis 2004. Le record du monde officiel d'une résolution est passé de $22{,}95$ secondes en 1982 à $3{,}13$ secondes en 2023 (Max Park), puis à $2{,}51$ secondes en 2026, par le Chinois Xuanyi Geng ; le record de la moyenne de cinq essais est de $3{,}51$ secondes (Yiheng Wang, 2026). Ces solutions comptent en général une cinquantaine de mouvements, bien plus que les $20$ d'une solution optimale : un humain ne cherche pas le plus court chemin, mais un chemin qu'il sait parcourir très vite.
Les programmes, eux, trouvent des solutions de moins de $20$ mouvements en une fraction de seconde, avec l'algorithme de Kociemba, qui résout le cube en deux étapes en explorant un graphe de positions.
Quelques pistes, parmi d'autres, à transformer en une question personnelle :
- Mathématiques : le dénombrement par le principe multiplicatif et les permutations ; les invariants (torsion, retournement, parité) qui rendent des positions impossibles ; une borne obtenue par un dénombrement, une suite géométrique et le logarithme ; le principe des tiroirs et l'ordre d'une séquence.
- NSI : modéliser le cube dans un programme ; le cube comme un graphe dont les sommets sont les positions et la recherche d'un plus court chemin ; le calcul du nombre de Dieu et les démonstrations assistées par ordinateur.
- Histoire et société : un jouet inventé en Hongrie pendant la guerre froide et vendu dans le monde entier ; les compétitions de speedcubing.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : le principe multiplicatif ; les permutations et la factorielle ; les $k$-uplets et les arrangements ; les suites géométriques et la somme de leurs termes ; la fonction logarithme népérien et la résolution d'inéquations du type $15^n > A$ ; le raisonnement par l'absurde ; les boucles et les listes en Python.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Rubik's Cube et nombre de Dieu (Wikipédia) ; cube20.org, le site du calcul de 2010 (en anglais).
- Sur ce site : Les tours de Hanoï (un autre casse-tête et sa suite), Le jeu du tic-tac-toe (dénombrer les parties), Les solides de Platon (symétries) et Emmy Noether (la notion de structure et de groupe).