Les peintres du Moyen Âge ne cherchaient pas à reproduire ce que voit un œil immobile : la taille d'un personnage dépendait souvent de son importance, et les bâtiments étaient montrés sous plusieurs angles à la fois. Certains, comme Giotto ou les frères Lorenzetti au XIVe siècle, suggèrent déjà la profondeur, mais leurs lignes fuyantes ne se rejoignent pas en un même point. La théorie de la vision, elle, progresse ailleurs : le savant arabe Ibn al-Haytham (vers 965-1040) explique dans son Livre de l'optique que la lumière va des objets à l'œil en ligne droite, idée reprise en Europe dans les traductions latines.

Selon son biographe Antonio Manetti, l'architecte Filippo Brunelleschi (1377-1446), celui de la coupole de la cathédrale de Florence, aurait réalisé vers 1415 (la date varie selon les auteurs) une petite peinture du baptistère vu depuis le portail de la cathédrale. Il avait percé un trou dans le panneau, à l'endroit du point de fuite. Le spectateur regardait par ce trou, depuis le dos du tableau, un miroir tenu devant la peinture : en écartant le miroir, il voyait le vrai baptistère, et l'image coïncidait avec la réalité. L'expérience montrait qu'une construction géométrique pouvait tromper l'œil, à condition de le placer en un point précis.

En 1435, l'humaniste Leon Battista Alberti publie De pictura, premier traité qui expose la méthode. Il y définit le tableau comme « une fenêtre ouverte » par laquelle on regarde la scène, et donne une construction du pavement que l'on retrouvera plus bas. Piero della Francesca (vers 1415-1492), peintre et auteur de traités de mathématiques, rédige ensuite De prospectiva pingendi (vers 1470-1480), où la perspective devient une suite de constructions démontrées, à la manière d'Euclide.

Albrecht Dürer, Homme dessinant un luth, gravure de l'Instruction pour la mesure (1525). Le fil joue le rôle du rayon visuel, le clou au mur celui de l'œil, le cadre celui du tableau. Image : Wikimedia Commons, domaine public.

Le graveur Albrecht Dürer (1471-1528) voyage en Italie et rapporte la méthode en Allemagne. Dans son Instruction pour la mesure à la règle et au compas (1525), il montre des machines qui construisent une perspective sans calcul. Sur la gravure ci-dessus, un fil tendu par un poids part d'un clou planté dans le mur (l'œil) et va toucher un point du luth. Un aide repère où le fil traverse le cadre, à l'aide de deux fils croisés, puis reporte ce point sur le papier. Point après point, le luth apparaît en perspective. C'est, très exactement, la construction mathématique de la section suivante.

On se place dans un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ de l'espace, où $O$ est l'œil du peintre :

• l'axe $(Oy)$ est la direction du regard, horizontale ;
• l'axe $(Ox)$ est horizontal, vers la droite ;
• l'axe $(Oz)$ est vertical, vers le haut ;
• le tableau est le plan vertical $\mathcal T$ d'équation $y = d$, où $d > 0$ est la distance de l'œil au tableau.

L'image d'un point $M$ de la scène, situé devant l'œil (c'est-à-dire $y_M > 0$), est le point $M'$ où la droite $(OM)$ coupe le plan $\mathcal T$. On dit que $M'$ est le projeté central de $M$ sur $\mathcal T$, de centre $O$.

Prenons $d = 1$ et le point $M(2\,;4\,;-1{,}5)$, situé à $4$ m devant l'œil, $2$ m à droite et $1{,}5$ m plus bas (sur le sol, si l'œil est à $1{,}5$ m de hauteur).

• Le vecteur $\overrightarrow{OM}$ a pour coordonnées $(2\,;4\,;-1{,}5)$, donc la droite $(OM)$ est l'ensemble des points $P(2t\,;4t\,;-1{,}5t)$, pour $t$ réel.
• Ce point est dans le tableau si $4t = 1$, soit $t = 0{,}25$.
• On obtient $M'(0{,}5\,;1\,;-0{,}375)$.

Sur la toile, le point est donc dessiné à $0{,}5$ m à droite et $0{,}375$ m en dessous du point situé juste en face de l'œil. Un point deux fois plus loin, $M_2(2\,;8\,;-1{,}5)$, donnerait $t = 0{,}125$ et $M_2'(0{,}25\,;1\,;-0{,}1875)$ : deux fois plus près du centre. Les objets éloignés rapetissent.

Sur la toile, on repère $M'$ par deux coordonnées : $X = \dfrac{d\,x}{y}$ (horizontale) et $Z = \dfrac{d\,z}{y}$ (verticale), mesurées à partir du point principal $C(0\,;d\,;0)$, le pied de la perpendiculaire menée de l'œil au tableau.

La formule dit tout de suite l'essentiel : les dimensions sont divisées par la profondeur $y$. Un objet deux fois plus loin paraît deux fois plus petit. C'est aussi ce que donne le théorème de Thalès dans les triangles formés par l'œil, le tableau et l'objet.

Soit $\mathcal D$ une droite de la scène qui ne passe pas par l'œil. Les rayons qui vont de l'œil aux points de $\mathcal D$ forment le plan $\mathcal P$ qui contient $O$ et $\mathcal D$. L'image de $\mathcal D$ est donc contenue dans l'intersection de $\mathcal P$ et du tableau : deux plans sécants se coupent selon une droite. Les bords d'une table, les arêtes d'une maison restent donc des segments sur la toile : la perspective ne courbe pas les lignes droites. En revanche, elle ne conserve ni les longueurs, ni les angles, ni le parallélisme, comme on va le voir.

Deux rails de chemin de fer sont parallèles, mais sur une photo ils se rapprochent et semblent se toucher à l'horizon. La géométrie dit précisément où.

Le point de fuite n'est l'image d'aucun point réel de la scène : c'est la limite des images quand on part « à l'infini » sur la droite. Au XVIIe siècle, le Lyonnais Girard Desargues (1591-1661) en fera un vrai point en ajoutant au plan des « points à l'infini » où se coupent les parallèles : c'est la naissance de la géométrie projective.

• Les fuyantes perpendiculaires au tableau ($\vec u(0\,;1\,;0)$, comme les rails qui partent droit devant) : leur point de fuite est $F(0\,;0)$, le point principal $C$, juste en face de l'œil. Dans la Cité idéale ou dans la Cène de Léonard de Vinci, toutes les lignes du sol et du plafond y convergent ; chez Léonard, il est placé près de la tête du Christ.
• Les droites horizontales ($c = 0$) : leur point de fuite vérifie $Z = 0$. Tous ces points sont sur la droite horizontale du tableau qui passe à la hauteur de l'œil : c'est la ligne d'horizon. Un peintre qui choisit sa ligne d'horizon choisit donc la hauteur de l'œil du spectateur : haute pour un paysage vu d'une colline, basse pour un monument vu d'en bas.
• Les droites parallèles au tableau ($b = 0$) : la profondeur reste constante, égale à $y_A$, et $X(t) = \dfrac{d\,(x_A + ta)}{y_A}$ est une fonction affine de $t$. Les images restent parallèles entre elles : pas de point de fuite. C'est pourquoi les bords horizontaux d'une façade vue de face restent horizontaux.

Le pavement en damier est l'exercice favori des peintres de la Renaissance. Plaçons l'œil à la hauteur $h$ au-dessus du sol : le sol est le plan d'équation $z = -h$. Les joints entre les rangées de dalles sont des droites horizontales parallèles au tableau, à des profondeurs régulièrement espacées

où $L$ est la largeur d'une dalle (la rangée $k = 0$ est au pied du tableau). D'après la formule du projeté, le joint numéro $k$ est dessiné à la hauteur

Exemple à la main, avec $h = 1{,}5$ m, $d = 2$ m et des dalles de $L = 1$ m :

Les dalles sont identiques, mais les rangées dessinées se resserrent : la suite $(Z_k)$ n'est pas arithmétique. C'est l'erreur classique des peintres d'avant Alberti, qui faisaient diminuer chaque rangée d'une même fraction ou d'une même longueur, et obtenaient un sol qui semble se plier.

La figure ci-dessous montre la même chose de profil : l'œil, le tableau vu par la tranche et les rayons qui vont aux joints du sol. Les points du sol sont régulièrement espacés, leurs images sur le tableau ne le sont pas.

Les peintres n'avaient pas de calculatrice. La méthode qui s'impose après Alberti utilise une astuce : les diagonales des dalles. Elles sont horizontales et dirigées par $\vec u(1\,;1\,;0)$, donc, d'après le calcul du point de fuite, elles fuient toutes vers le point

situé sur la ligne d'horizon, à une distance du point principal égale à la distance $d$ de l'œil au tableau. On l'appelle le point de distance. La recette du peintre devient :

1. tracer la ligne d'horizon et le point principal $C$ ;
2. joindre $C$ aux joints de la première rangée, régulièrement espacés au bas du tableau (fuyantes perpendiculaires) ;
3. tracer une seule diagonale, du coin de la première rangée vers le point de distance ;
4. là où cette diagonale coupe les fuyantes, tracer les joints horizontaux.

La diagonale traverse chaque dalle d'un coin à l'autre : ses intersections avec les fuyantes tombent exactement sur les joints, et l'on obtient la suite $(Z_k)$ sans aucun calcul. Dans la figure suivante, l'œil peut être déplacé : le damier, le point principal et le point de distance suivent.

Le programme suivant calcule les hauteurs des joints, leurs écarts et leurs inverses. On peut changer $h$, $d$ et $L$ ; il vérifie aussi, sur une droite du sol qui s'éloigne en biais, que les images s'approchent du point de fuite calculé.

Hans Holbein le Jeune, Les Ambassadeurs, 1533 (National Gallery, Londres). La forme oblique au premier plan est un crâne, qui n'apparaît que regardé de très près sur le côté, presque au ras de la toile. Image : Wikimedia Commons, domaine public.

Une anamorphose est une image déformée exprès, qui ne se redresse que vue depuis un point précis. Holbein a peint, entre deux diplomates entourés d'instruments de science, un crâne étiré qu'on ne reconnaît qu'en se plaçant sur le côté du tableau. C'est une vanité : tout ce savoir et cette richesse passent, la mort reste. Les instruments posés sur le meuble (globes, cadran solaire, luth à la corde cassée) ont eux-mêmes fait l'objet de nombreuses interprétations.

Regardons une surface plane sous un angle rasant $\alpha$ (l'angle entre le regard et la surface). Un segment de longueur $\ell$ tracé dans la direction du regard occupe, vu de loin, la même place qu'un segment de longueur $\ell \sin\alpha$ vu de face : c'est la projection orthogonale du segment sur une droite perpendiculaire au regard. Pour qu'il paraisse mesurer $s$, il faut donc le peindre avec la longueur

Pour $\alpha = 30^\circ$, l'image doit être deux fois plus longue ; pour $\alpha = 15^\circ$, environ $1 \div 0{,}259 \approx 3{,}9$ fois. La fonction $\alpha \mapsto \frac{1}{\sin\alpha}$ tend vers $+\infty$ quand $\alpha$ tend vers $0$ : plus le point de vue est rasant, plus l'anamorphose est étirée et méconnaissable de face. Ce calcul simplifié suppose l'œil loin ; pour un œil proche, on refait exactement la projection centrale des sections précédentes, sur un tableau oblique.

Depuis les années 1980, des artistes peignent à la craie sur les trottoirs des gouffres, des cascades ou des escaliers qui semblent sortir du sol. Le principe est le même : le dessin, posé sur le sol (un plan presque parallèle au regard), est la projection centrale d'une scène en relief depuis un point de vue précis, souvent marqué au sol. Vu de ce point, l'illusion est saisissante ; vu d'ailleurs, le dessin paraît démesurément allongé. Les marquages routiers suivent la même règle : les mots « STOP » ou « BUS » peints sur la chaussée sont très allongés pour être lisibles par un conducteur qui les voit sous un angle rasant.

William Hogarth, Satire sur la fausse perspective, frontispice du traité de perspective de J. J. Kirby (1754). Sous l'image, Hogarth avertit que qui dessine sans connaître la perspective risque de commettre de telles absurdités. Image : Metropolitan Museum of Art, Wikimedia Commons, CC0.

Le graveur anglais William Hogarth a accumulé dans une seule image une vingtaine d'erreurs de perspective : des moutons qui grandissent en s'éloignant, un homme sur une colline lointaine qui allume sa pipe à la bougie d'une femme penchée à une fenêtre, une enseigne accrochée à la fois devant et derrière des arbres. Chercher et expliquer ces erreurs avec la formule du projeté est un bon exercice : une taille qui ne diminue pas avec la profondeur, deux objets qui se touchent sur l'image sans être à la même profondeur, des parallèles qui ne fuient pas vers le même point.

• Plusieurs points de fuite pour une même direction. Dans de nombreux tableaux des XIVe et XVe siècles, les fuyantes du sol convergent vers un point et celles du plafond vers un autre : on peut le vérifier en prolongeant les lignes sur une reproduction. Les historiens d'art utilisent ce test pour dater ou attribuer certaines œuvres.
• Des traces de construction. Sur plusieurs tableaux de Vermeer, des restaurateurs ont signalé un minuscule trou au point de fuite, d'où partiraient des fils tendus pour tracer les fuyantes (indice discuté, à présenter avec prudence).
• Des corrections volontaires. Une perspective exacte déforme les objets placés sur les bords d'un tableau large : une sphère y devient une ellipse, une colonne s'élargit. Raphaël, dans l'École d'Athènes, aurait peint les sphères tenues par les savants en cercles parfaits, contre la géométrie, parce que l'œil les aurait jugées fausses.
• Le refus de la perspective. Au XXe siècle, les cubistes, comme Picasso et Braque, renoncent au point de vue unique pour montrer un objet sous plusieurs faces à la fois. À l'inverse, M. C. Escher utilise une perspective parfaitement maîtrisée pour construire des bâtiments impossibles.

Les formules $X = \frac{dx}{y}$ et $Z = \frac{dz}{y}$ sont celles qu'utilisent un appareil photo (dont l'objectif joue le rôle de l'œil et le capteur celui du tableau) et les cartes graphiques des ordinateurs pour afficher une scène en trois dimensions. Le texte La 3D des jeux vidéo poursuit dans cette direction. Les architectes et les ingénieurs, eux, ont longtemps utilisé la géométrie descriptive de Gaspard Monge (fin du XVIIIe siècle), qui représente un objet par deux projections orthogonales plutôt que par une projection centrale.