Pour construire un astrolabe, on adopte le point de vue d'un observateur terrestre, qui est aussi celui des astronomes de l'Antiquité : les étoiles semblent fixées sur une immense sphère céleste centrée sur la Terre, qui tourne autour de l'axe des pôles en un peu moins de 24 heures. Le Soleil, lui, se déplace lentement sur cette sphère au fil de l'année, le long d'un grand cercle incliné d'environ $23{,}44^\circ$ sur l'équateur céleste : l'écliptique.

Chaque étoile est repérée par deux angles, comme une ville sur la Terre :

• sa déclinaison $\delta$, l'équivalent de la latitude (Véga : $\delta \approx 38{,}8^\circ$) ;
• son ascension droite $\alpha$, l'équivalent de la longitude.

L'astrolabe est un modèle réduit de cette sphère, aplati sur un disque. Il ne dit rien sur la nature des étoiles ni sur le mouvement réel de la Terre : il décrit ce que l'on voit, et c'est pourquoi il a pu servir aussi bien avant qu'après Copernic.

Un astrolabe persan du XVIIIe siècle. Les pointes recourbées de l'araignée dorée marquent les étoiles brillantes ; dessous, on voit les cercles gravés du tympan. Photo : Andrew Dunn, Whipple Museum (Cambridge), Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 2.0.

Un astrolabe planisphérique est un empilement de pièces autour d'un axe central :

• la mère, un disque creux dont le bord, le limbe, est gradué en degrés ou en heures ;
• le tympan, une plaque posée dans la mère. On y a gravé l'horizon, les cercles de même hauteur au-dessus de l'horizon (les almucantarats) et le zénith. Ce dessin dépend de la latitude du lieu : un astrolabe de voyage est livré avec plusieurs tympans, un par ville ;
• l'araignée, une plaque ajourée qui tourne au-dessus du tympan. Elle porte le cercle de l'écliptique et des pointes qui indiquent les étoiles brillantes. Un tour complet de l'araignée représente une rotation du ciel ;
• la règle, qui tourne aussi et permet de lire un angle sur le limbe ;
• au dos, l'alidade, une réglette munie de deux pinnules percées, pour viser un astre et mesurer sa hauteur.

Toute la difficulté est de dessiner le tympan et l'araignée : comment représenter sur un disque plat des cercles tracés sur une sphère ? C'est le rôle de la projection stéréographique.

On représente la sphère céleste par une sphère de centre $O$ et de rayon $1$, dans un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ de l'espace. L'axe $(Oz)$ est l'axe des pôles : le pôle Nord céleste est $N(0\,;0\,;1)$ et le pôle Sud est $S(0\,;0\,;-1)$. Le plan d'équation $z = 0$ est le plan de l'équateur céleste ; c'est lui qui deviendra le tympan.

On « regarde » donc la sphère depuis le pôle Sud, et on note où chaque rayon visuel traverse le plan de l'équateur. L'hémisphère Nord se projette à l'intérieur du cercle équatorial, l'hémisphère Sud à l'extérieur, d'autant plus loin qu'on s'approche de $S$. C'est pourquoi un astrolabe pour l'hémisphère Nord s'arrête au tropique du Capricorne : au-delà, le dessin deviendrait immense.

Prenons le point $M(0\,;0{,}6\,;0{,}8)$. Il est bien sur la sphère car $0^2 + 0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1$.

• Le vecteur $\overrightarrow{SM}$ a pour coordonnées $(0\,;0{,}6\,;1{,}8)$.
• Une représentation paramétrique de $(SM)$ est $x = 0$, $y = 0{,}6\,t$, $z = -1 + 1{,}8\,t$ avec $t \in \mathbb{R}$.
• Le point est dans le plan de l'équateur quand $z = 0$, c'est-à-dire $t = \dfrac{1}{1{,}8} = \dfrac59$.
• Alors $y = 0{,}6 \times \dfrac59 = \dfrac13$ : le projeté est $M'\left(0\,;\dfrac13\,;0\right)$.

Comme $M'$ est dans le plan de l'équateur, on le repère désormais par ses deux coordonnées $(X\,;Y)$ : $X = \dfrac{x}{1+z}$ et $Y = \dfrac{y}{1+z}$.

Une étoile de déclinaison $\delta$ est à la hauteur $z = \sin\delta$ et à la distance $\cos\delta$ de l'axe des pôles. D'après les formules, son projeté est à la distance

du centre du tympan. Tous les points de même déclinaison (un « parallèle » du ciel) ont donc leur projeté sur un cercle de centre $O$ : c'est le premier cas où un cercle reste un cercle. On en déduit les trois cercles gravés sur tous les tympans :

Le pôle Nord ($\delta = 90^\circ$) se projette au centre. Remarque : le produit des rayons des deux tropiques vaut exactement $1$, car

Sur un vrai astrolabe dont le limbe intérieur (le tropique du Capricorne) mesure $8$ cm de rayon, l'équateur a donc un rayon de $8 \div 1{,}524 \approx 5{,}25$ cm et le tropique du Cancer $5{,}25 \times 0{,}656 \approx 3{,}44$ cm.

Vérification avec l'exemple : pour $M'\left(0\,;\frac13\right)$, $\rho^2 = \frac19$, $1 + \rho^2 = \frac{10}{9}$, donc $y = \frac{2/3}{10/9} = 0{,}6$ et $z = \frac{8/9}{10/9} = 0{,}8$ : on retrouve bien $M(0\,;0{,}6\,;0{,}8)$.

Un cercle tracé sur la sphère est l'intersection de la sphère avec un plan $\mathcal P$, d'équation cartésienne $ax + by + cz = d$ (avec $(a\,;b\,;c) \neq (0\,;0\,;0)$).

Le calcul ne demande que l'équation d'un plan et l'équation d'un cercle ; la formule de la distance d'un point à un plan, utilisée à l'étape 6, se retrouve en terminale avec le projeté orthogonal de $O$ sur $\mathcal P$. Les méridiens du ciel (cercles passant par les deux pôles) passent par $S$ : ils deviennent des droites passant par $O$, ce qu'on voit sur les tympans.

Plaçons-nous à Paris, de latitude $\varphi \approx 48{,}85^\circ$. Pour un observateur, la direction du zénith (la verticale) fait l'angle $\varphi$ avec l'équateur céleste. On choisit le repère pour que le zénith soit le point $Z(0\,;\cos\varphi\,;\sin\varphi)$ de la sphère.

• Le plan de l'horizon passe par $O$ et il est orthogonal à $\overrightarrow{OZ}$. Son équation est $\cos\varphi \cdot y + \sin\varphi \cdot z = 0$ : $a = 0$, $b = \cos\varphi$, $c = \sin\varphi$, $d = 0$.
• Avec $\sin\varphi \approx 0{,}753$ et $\cos\varphi \approx 0{,}658$, le centre est $\Omega\left(0\,;\frac{0{,}658}{0{,}753}\right) \approx (0\,;0{,}874)$.
• Le rayon vaut $\frac{\sqrt{0 + 0{,}658^2 + 0{,}753^2 - 0}}{0{,}753} = \frac{1}{0{,}753} \approx 1{,}328$.

L'horizon coupe donc l'axe vertical du tympan en $0{,}874 - 1{,}328 \approx -0{,}454$ (côté nord, sous le pôle) et en $0{,}874 + 1{,}328 \approx 2{,}20$, au-delà du tropique du Capricorne : sur l'instrument, l'horizon est coupé par le limbe.

Plus généralement, les points de hauteur $h$ au-dessus de l'horizon sont ceux pour lesquels $\overrightarrow{OZ}\cdot\overrightarrow{OM} = \sin h$, soit le plan $\cos\varphi \cdot y + \sin\varphi \cdot z = \sin h$. La formule donne l'almucantarat de hauteur $h$ :

puisque $\cos^2\varphi + \sin^2\varphi - \sin^2 h = \cos^2 h$. Pour $h = 90^\circ$, le rayon est nul : c'est le zénith, projeté à la distance $\frac{\cos\varphi}{1+\sin\varphi} \approx 0{,}375$ au-dessus du centre. Un graveur du Moyen Âge obtenait ces cercles par des constructions à la règle et au compas ; la formule donne le même résultat.

L'écliptique est un grand cercle incliné de $\varepsilon \approx 23{,}44^\circ$ sur l'équateur. Son plan passe par $O$ ; on peut l'écrire $-\sin\varepsilon \cdot y + \cos\varepsilon \cdot z = 0$. La formule donne un cercle de centre $\left(0\,;-\tan\varepsilon\right)$ et de rayon $\frac{1}{\cos\varepsilon}$, soit environ $0{,}434$ et $1{,}090$.

On vérifie que ce cercle touche les deux tropiques : $1{,}090 - 0{,}434 = 0{,}656$ et $1{,}090 + 0{,}434 = 1{,}524$. C'est logique : le Soleil atteint le tropique du Cancer au solstice de juin et celui du Capricorne au solstice de décembre. Sur l'araignée, l'écliptique est le grand cercle excentré, gradué avec les signes du zodiaque ou les dates de l'année.

L'angle de deux courbes en un point $M$ est l'angle de leurs tangentes en $M$. Ces tangentes sont dans le plan tangent à la sphère en $M$, le plan qui passe par $M$ et qui est orthogonal au rayon $[OM]$. La démonstration utilise le plan tangent en $S$, noté $\mathcal T$ : il est orthogonal à $(OS)$, donc parallèle au plan de l'équateur.

Si une tangente est parallèle à $\mathcal T$, le point $K$ n'existe pas ; on traite ce cas à part, ou par un passage à la limite. L'étape 3 admet une idée intuitive (la tangente au projeté est le projeté de la tangente), que l'on justifierait rigoureusement avec des dérivées.

La projection agrandit les petites figures d'un facteur $\frac{1}{1+z}$, le même dans toutes les directions (c'est une autre façon de dire qu'elle conserve les angles). Près du pôle Nord ($z = 1$), les longueurs sont divisées par $2$ ; sur l'équateur ($z = 0$), elles sont conservées ; près du pôle Sud, elles explosent. Les formes sont respectées, mais pas les tailles : comme la carte de Mercator, une projection stéréographique ne peut pas conserver les aires (voir le texte Construire des cartes).

Le programme ci-dessous le vérifie numériquement. Il part d'un point de la sphère, le déplace d'un tout petit pas vers le nord, vers l'est, puis en diagonale, et mesure les déplacements correspondants sur le plan.

On lit, pour chaque déclinaison, le même agrandissement vers le nord et vers l'est (égal à $\frac{1}{1+\sin\delta}$), un angle droit conservé, et l'angle de $45^\circ$ avec la diagonale conservé lui aussi. En revanche, l'agrandissement passe d'environ $7{,}5$ à $-60^\circ$ à environ $0{,}5$ près du pôle Nord : les aires sont multipliées par son carré.

On tient l'astrolabe suspendu par son anneau : la pesanteur le maintient dans un plan vertical. On tourne l'alidade jusqu'à voir l'astre (ou le sommet d'une tour) à travers les deux pinnules, et on lit l'angle sur le limbe du dos. Pour le Soleil, on ne regarde jamais à travers : on tourne l'alidade jusqu'à ce que le rayon qui passe par le trou de la première pinnule tombe sur le trou de la seconde.

Exemple. À $30$ m du pied d'une tour, on vise son sommet sous un angle de $35^\circ$, l'œil étant à $1{,}6$ m du sol. Dans le triangle rectangle formé par l'œil, le sommet et le point de la tour à hauteur d'œil :

Beaucoup d'astrolabes portent au dos un carré des ombres, deux échelles graduées de $0$ à $12$ qui donnent directement la tangente de l'angle visé sous forme de rapport : un ancêtre de la table de trigonométrie, gravé dans le laiton.

Plaçons-nous à la latitude $\varphi$, le zénith étant $Z(0\,;\cos\varphi\,;\sin\varphi)$. Un astre de déclinaison $\delta$ tourne autour de l'axe des pôles ; on repère sa position par son angle horaire $H$, l'angle dont il a tourné depuis son passage plein sud (le méridien). Il a pour coordonnées

Sa hauteur $h$ au-dessus de l'horizon est le complément de l'angle $\widehat{ZOM}$, donc $\sin h = \cos\widehat{ZOM} = \overrightarrow{OZ}\cdot\overrightarrow{OM}$ :

Le Soleil tourne de $15^\circ$ par heure ($360^\circ$ en 24 heures), et il est midi solaire quand $H = 0$.

Exemple : lire l'heure le 21 juin à Paris. Le matin, on mesure le Soleil à $h = 40^\circ$ de hauteur. Ce jour-là, $\delta \approx 23{,}44^\circ$.

• On isole $\cos H$ : $\cos H = \dfrac{\sin h - \sin\varphi\,\sin\delta}{\cos\varphi\,\cos\delta}$.
• Numérateur : $0{,}643 - 0{,}753 \times 0{,}398 \approx 0{,}343$. Dénominateur : $0{,}658 \times 0{,}917 \approx 0{,}604$.
• Donc $\cos H \approx 0{,}569$, soit $H \approx -55{,}4^\circ$ (négatif car c'est le matin, avant le passage au méridien).
• En heures : $55{,}4 \div 15 \approx 3{,}69$ h, soit environ 3 h 41 min avant midi : il est environ 8 h 19, heure solaire.

L'astrolabe fait exactement ce calcul, sans aucune formule : on tourne l'araignée jusqu'à ce que le Soleil (placé sur l'écliptique à la date du jour) se trouve sur l'almucantarat de $40^\circ$, du côté est, puis on lit l'heure sur le limbe avec la règle. C'est un calculateur analogique : la géométrie de la projection remplace le calcul trigonométrique.

La figure ci-dessous est un astrolabe simplifié. Le tympan fixe porte les trois cercles des tropiques et de l'équateur (gris), l'horizon (vert foncé) et les almucantarats de $15^\circ$ en $15^\circ$ (vert clair) ; il se redessine quand on change de latitude, comme si l'on changeait de plaque. L'araignée mobile porte l'écliptique (orange), le Soleil à la date choisie et une douzaine d'étoiles brillantes (le point rouge est Véga). L'est est à gauche, l'ouest à droite, le sud en haut : le ciel tourne dans le sens des aiguilles d'une montre.

Réglages de départ : Paris le 21 juin, Soleil à $40^\circ$ le matin. Tournez l'araignée : le Soleil monte jusqu'au méridien (midi), puis redescend et passe sous l'horizon le soir.

L'heure obtenue est l'heure solaire vraie, celle d'un cadran solaire. Pour passer à l'heure de nos montres, il faut la corriger par l'équation du temps, par la longitude et par le fuseau horaire : c'est l'objet du texte La mesure du temps. Certains astrolabes portaient d'ailleurs au dos une table de l'équation du temps.

De la même façon, on lit sur l'instrument l'heure du lever et du coucher du Soleil à une date donnée (le Soleil sur le cercle de l'horizon), la durée du jour, la direction où il se lève. Dans le monde musulman, ces lectures servaient à fixer les heures des prières.

On attribue souvent l'idée de la projection stéréographique à l'astronome grec Hipparque (IIe siècle avant notre ère), mais aucun de ses textes sur le sujet ne nous est parvenu. Le plus ancien traité conservé est le Planisphère de Ptolémée (IIe siècle de notre ère), qui explique comment projeter les cercles du ciel sur un plan ; il ne nous est connu que par une traduction arabe et sa traduction latine.

Au IVe siècle, à Alexandrie, Théon aurait écrit un traité sur l'astrolabe, aujourd'hui perdu et connu seulement par des citations. Sa fille Hypatie, qui enseignait les mathématiques et l'astronomie, est souvent associée à l'instrument : son élève Synésios de Cyrène décrit dans une lettre un instrument qu'il a fait fabriquer grâce à ce qu'il a appris d'elle. Les historiens discutent encore de la nature exacte de cet objet. Le plus ancien traité de l'astrolabe conservé en grec est celui de Jean Philopon, au VIe siècle.

Astrolabe fabriqué à Tolède par Ibrāhīm ibn Saʿīd al-Sahlī en 1067 (Musée archéologique national, Madrid). Photo : Luis García (Zaqarbal), Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 3.0.

C'est dans le monde arabe et persan, à partir du VIIIe siècle, que l'astrolabe devient un instrument courant et perfectionné. Les savants de Bagdad, du Caire, de Damas ou d'Ispahan écrivent des traités, multiplient les tympans, ajoutent des tracés pour la direction de La Mecque (la qibla) et les heures des prières. On attribue à l'astronome persan al-Ṣūfī (Xe siècle) un traité décrivant des centaines d'usages de l'instrument. Une femme, Mariam al-Ijliya, est connue comme fabricante d'astrolabes à Alep au Xe siècle.

Les astrolabes passent en Europe par l'Espagne musulmane (al-Andalus), où Tolède et Cordoue sont de grands centres. Au Xe siècle, Gerbert d'Aurillac, futur pape Sylvestre II, contribue à faire connaître ces savoirs après un séjour en Catalogne. Beaucoup de noms d'étoiles de nos cartes viennent de l'arabe, souvent par l'intermédiaire des astrolabes : Aldébaran, Altaïr, Bételgeuse, Deneb, Rigel, Véga.

L'astrolabe dit « de Chaucer », daté de 1326, d'un modèle proche de celui que décrit le poète (British Museum). Photo : Marie-Lan Nguyen, Wikimedia Commons, domaine public.

Vers 1391, l'écrivain anglais Geoffrey Chaucer, l'auteur des Contes de Canterbury, rédige un Traité de l'astrolabe pour son fils Lewis, âgé de dix ans. Il l'écrit en anglais et non en latin, pour qu'un enfant puisse le comprendre : c'est l'un des plus anciens textes techniques en langue anglaise. À Paris, vers 1400, l'atelier de Jean Fusoris fabrique des astrolabes, des horloges et des instruments astronomiques vendus aux princes de toute l'Europe (photographie du début de ce texte).

L'astrolabe est alors à la fois un outil de savant, un instrument pour l'astrologie (très liée à la médecine de l'époque), un objet d'enseignement et un objet de prestige. On peut en voir aujourd'hui au musée du Louvre, au musée des Arts et Métiers et à l'Institut du monde arabe, à Paris.

Considéré comme le plus ancien astrolabe marin retrouvé : il vient de l'épave de l'Esmeralda, un navire portugais coulé en 1503 au large d'Oman. On y voit les armes du Portugal et la sphère armillaire du roi Manuel Ier. Photo : Lodsworth, Wikimedia Commons, domaine public.

À la fin du XVe siècle, les navigateurs portugais simplifient l'instrument : l'astrolabe marin n'a plus ni tympan ni araignée. C'est une roue de bronze lourde et ajourée (pour que le vent ne la fasse pas tourner), avec une alidade et un limbe gradué. Il ne sert qu'à une chose : mesurer la hauteur du Soleil à midi pour connaître la latitude.

À midi, $H = 0$, et la formule de la hauteur devient, avec la formule d'addition du cosinus,

c'est-à-dire

Pour un Soleil qui passe au sud du zénith, on en déduit $h = 90^\circ - (\varphi - \delta)$, c'est-à-dire

Exemple. Au départ de Lisbonne, le 21 juin, on mesure le Soleil de midi à $h \approx 74{,}7^\circ$. Avec $\delta \approx 23{,}44^\circ$, on trouve $\varphi \approx 90 - 74{,}7 + 23{,}44 \approx 38{,}7^\circ$, la latitude de Lisbonne. Les marins emportaient des tables donnant $\delta$ pour chaque jour de l'année. La longitude, elle, restera un problème jusqu'au XVIIIe siècle (voir La mesure du temps). L'astrolabe marin sera remplacé par l'octant puis le sextant, plus précis car ils visent l'horizon et le Soleil en même temps.

Projection stéréographique polaire centrée sur le pôle Nord. Le cercle marqué est l'équateur ; l'hémisphère Sud, en blanc, s'étire très vite vers le bord. Image : Lars H. Rohwedder, Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 3.0.

La carte ci-dessus est exactement un tympan d'astrolabe appliqué à la Terre. Parce qu'elle conserve les angles, la projection stéréographique polaire est utilisée pour cartographier l'Arctique et l'Antarctique : le système de coordonnées militaire et civil UPS (Universal Polar Stereographic) prend le relais de la projection de Mercator transverse au-delà de $84^\circ$ Nord et de $80^\circ$ Sud. Les cartes de la banquise utilisées pour suivre le réchauffement climatique sont souvent dessinées ainsi.

En cristallographie et en géologie, on représente les directions des faces d'un cristal ou l'orientation des couches de roches par des points sur une sphère, que l'on projette stéréographiquement sur un abaque appelé canevas de Wulff (du nom du cristallographe russe Georg Wulff, 1902). Comme les angles sont conservés, on mesure directement sur le papier l'angle entre deux faces.

Les cherche-étoiles en carton vendus aux astronomes amateurs (une carte du ciel tournante sous une fenêtre qui représente l'horizon) sont des descendants directs de l'araignée et du tympan. En mathématiques supérieures, la projection stéréographique sert à ajouter un « point à l'infini » au plan des nombres complexes, qui devient une sphère : la sphère de Riemann.

Une « petite planète » : un panorama à 360° de la baie de Marina Bay (Singapour) projeté stéréographiquement depuis le zénith. Photo : Zexsen Xie, Wikimedia Commons, licence CC BY 2.0.

Une caméra à 360° enregistre toutes les directions autour d'elle, donc une sphère d'images. Pour en faire une photo plate, on peut projeter cette sphère depuis le point situé au-dessus de la caméra (le zénith) sur un plan : le sol se ramasse en un petit disque au centre, le ciel s'étale tout autour, et les bâtiments, verticaux, deviennent des rayons, comme les méridiens du tympan. Grâce à la conservation des angles, les formes des objets proches restent reconnaissables malgré l'énorme déformation des tailles.