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MathsHGGSPSVTHLPMaths expertes
La section 4 s'appuie sur l'option maths expertes : matrices et nombres complexes. Le reste du texte n'utilise que la spécialité.
Peu de nombres ont autant fait rêver que le nombre d'or, $\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$. On le dit caché dans le Parthénon, dans la Joconde, dans les coquillages et dans les visages « parfaits ». Une partie de ces affirmations est vraie, une autre a été inventée au XIXe et au XXe siècle, et beaucoup ne résistent pas à une simple mesure.
Ce texte fait les deux choses à la fois : il démontre ce que les mathématiques disent vraiment de $\varphi$ (l'équation d'Euclide, la suite de Fibonacci, le pentagone, l'angle d'or des plantes), et il examine avec esprit critique ce qu'on lui fait dire. Il rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
- La section d'Euclide
- Un nombre irrationnel
- La suite de Fibonacci et la formule de Binet
- Maths expertes : les suites récurrentes d'ordre 2
- Le pentagone et $\cos(\pi/5)$
- L'architecture grecque : un article commenté
- Dans la nature : réalité et mythes
- Dans les arts : ce qui est documenté
- Des directions pour construire sa question
Dans le livre VI des Éléments (vers 300 avant notre ère), Euclide définit une façon particulière de couper un segment en deux parties inégales, qu'il appelle le partage « en extrême et moyenne raison » : le segment entier est à la grande partie ce que la grande partie est à la petite. Si la grande partie mesure $a$ et la petite $b$, cela s'écrit
$$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}.$$Coupons un segment de $10$ cm. Avec $a = 6$ et $b = 4$ : $\dfrac{10}{6} \approx 1{,}667$ mais $\dfrac{6}{4} = 1{,}5$. Les deux rapports ne sont pas égaux ; la grande partie est trop petite. Avec $a = 6{,}5$ et $b = 3{,}5$ : $\dfrac{10}{6{,}5} \approx 1{,}538$ et $\dfrac{6{,}5}{3{,}5} \approx 1{,}857$ : cette fois elle est trop grande. Le bon partage est entre les deux, vers $a \approx 6{,}18$ : les deux rapports valent alors tous les deux environ $1{,}618$. La figure permet de chercher ce point.
Posons $x = \dfrac{a}{b}$, le rapport de la grande partie à la petite. Alors $\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{x}$ et
$$\begin{aligned} \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} &\iff 1 + \frac{b}{a} = \frac{a}{b} \\ &\iff 1 + \frac{1}{x} = x \\ &\iff x + 1 = x^2, \end{aligned}$$en multipliant par $x > 0$. Le rapport cherché est donc la solution positive de l'équation du second degré
$$x^2 - x - 1 = 0.$$Son discriminant vaut $\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 5$, et ses deux solutions sont
$$\begin{aligned} \varphi &= \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618, \\ \psi &= \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0{,}618. \end{aligned}$$Le nombre positif $\varphi$ est le nombre d'or. La lettre grecque $\varphi$ (phi) lui a été donnée au début du XXe siècle, en l'honneur du sculpteur Phidias ; le choix est attribué à l'ingénieur américain Mark Barr, et il ne prouve en rien que Phidias l'ait utilisé.
- Pour élever $\varphi$ au carré, on ajoute $1$ : $\varphi^2 = \varphi + 1 \approx 2{,}618$. C'est l'équation elle-même.
- Pour prendre son inverse, on retranche $1$ : en divisant $\varphi^2 = \varphi + 1$ par $\varphi$, on obtient $\varphi = 1 + \dfrac{1}{\varphi}$, donc $\dfrac{1}{\varphi} = \varphi - 1 \approx 0{,}618$.
- Les deux racines sont liées : leur somme vaut $\varphi + \psi = 1$ et leur produit $\varphi\psi = -1$ ; ainsi $\psi = 1 - \varphi = -\dfrac{1}{\varphi}$.
Le nombre $0{,}618$ qu'on voit sur la figure est donc $\dfrac{1}{\varphi}$ : dans un partage doré d'un segment de longueur $1$, la grande partie mesure $\dfrac{1}{\varphi}$ et la petite $\dfrac{1}{\varphi^2} \approx 0{,}382$.
Le nombre $\varphi$ ne peut pas s'écrire comme une fraction d'entiers. La démonstration suivante n'utilise que l'égalité $\varphi = 1 + \dfrac{1}{\varphi}$ ; c'est une version moderne d'un raisonnement que l'on prête aux pythagoriciens.
Raisonnons par l'absurde et supposons que $\varphi = \dfrac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers strictement positifs. Parmi toutes les écritures possibles, choisissons celle dont le dénominateur $q$ est le plus petit.
Étape 1. Comme $1 < \varphi < 2$, on a $q < p < 2q$, donc l'entier $p - q$ vérifie $0 < p - q < q$.
Étape 2. De $\varphi = 1 + \dfrac{1}{\varphi}$ on tire $\dfrac{1}{\varphi} = \varphi - 1 = \dfrac{p - q}{q}$, donc
$$\varphi = \frac{q}{p-q}.$$Étape 3. On a écrit $\varphi$ comme une fraction de dénominateur $p - q$, strictement plus petit que $q$. C'est impossible, puisque $q$ était le plus petit dénominateur possible. L'hypothèse est donc fausse : $\varphi$ est irrationnel.
En remplaçant indéfiniment $\varphi$ par $1 + \dfrac{1}{\varphi}$, on obtient l'écriture
$$\varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cdots}}}$$que l'on appelle une fraction continue. En s'arrêtant de plus en plus loin, on trouve $1$, $1 + 1 = 2$, $1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$, puis $\dfrac{5}{3}$, $\dfrac{8}{5}$, $\dfrac{13}{8}$… Ce sont des quotients de termes consécutifs de la suite de Fibonacci (section suivante).
Comme cette fraction ne contient que des $1$, les fractions obtenues approchent $\varphi$ plus lentement que pour n'importe quel autre nombre irrationnel : on dit parfois que $\varphi$ est « le plus irrationnel des nombres ». Cette propriété, qui peut sembler abstraite, explique la disposition des graines de tournesol (section 7).
En 1202, Léonard de Pise, dit Fibonacci, publie le Liber abaci, un manuel de calcul qui fait connaître en Europe les chiffres indo-arabes. Parmi ses problèmes figure celui-ci (traduction de Jérôme Gavin et Alain Schärlig) :
« Quelqu'un a déposé un couple de lapins dans un certain lieu, clos de toutes parts, pour savoir combien de couples seraient issus de cette paire en une année, car il est dans leur nature de générer un autre couple en un seul mois, et qu'ils enfantent dans le second mois après leur naissance. »
Chaque mois, le nombre de couples est égal au nombre du mois précédent (personne ne meurt), plus un couple nouveau pour chaque couple déjà présent deux mois plus tôt (ce sont ceux qui sont en âge de se reproduire). En notation moderne, on pose $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,
$$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n.$$| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $F_n$ | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 |
Fibonacci compte un couple de plus au départ (il part du couple déjà fécond) ; il trouve 377 couples au bout d'un an, qui est $F_{14}$. Le manuscrit de Florence montre ces nombres dans la marge.
Calculons les quotients de deux termes consécutifs : $\frac{2}{1} = 2$, $\frac{3}{2} = 1{,}5$, $\frac{5}{3} \approx 1{,}667$, $\frac{8}{5} = 1{,}6$, $\frac{13}{8} = 1{,}625$, $\frac{21}{13} \approx 1{,}615$, $\frac{34}{21} \approx 1{,}619$… Ils sont alternativement au-dessus et au-dessous de $1{,}618$, et s'en rapprochent très vite.
Le programme suivant calcule ces quotients ; il compare aussi chaque terme à la formule démontrée plus bas.
En utilisant seulement $\varphi^2 = \varphi + 1$ :
$$\begin{aligned} \varphi^3 &= \varphi \times \varphi^2 = \varphi^2 + \varphi \\ &= 2\varphi + 1, \\ \varphi^4 &= \varphi \times \varphi^3 = 2\varphi^2 + \varphi \\ &= 3\varphi + 2, \end{aligned}$$puis, de la même façon, $\varphi^5 = 5\varphi + 3$, $\varphi^6 = 8\varphi + 5$, $\varphi^7 = 13\varphi + 8$. Les coefficients sont les termes de la suite de Fibonacci : une récurrence immédiate montre que $\varphi^n = F_n\varphi + F_{n-1}$ pour tout entier $n \geqslant 1$. Le nombre $\psi$, qui vérifie la même équation, a la même propriété.
Peut-on calculer $F_{100}$ sans calculer les $99$ termes précédents ? Oui : une formule explicite, publiée par Jacques Binet en 1843 (et déjà connue d'Abraham de Moivre et de Daniel Bernoulli au XVIIIe siècle), donne $F_n$ directement.
La suite est définie à partir de deux termes, donc la propriété à transmettre porte sur deux termes consécutifs. Pour tout entier naturel $n$, notons $\mathcal{P}(n)$ la propriété
« $F_n = \dfrac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$ et $F_{n+1} = \dfrac{\varphi^{n+1} - \psi^{n+1}}{\sqrt{5}}$ ».
Initialisation. Pour $n = 0$ : $\dfrac{\varphi^0 - \psi^0}{\sqrt{5}} = \dfrac{1-1}{\sqrt{5}} = 0 = F_0$, et
$$\frac{\varphi - \psi}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{2\sqrt{5}}{2} = 1 = F_1.$$Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie. La seconde égalité de $\mathcal{P}(n)$ est la première de $\mathcal{P}(n+1)$ ; il reste à établir la formule pour $F_{n+2}$. Par définition puis par hypothèse de récurrence,
$$\begin{aligned} F_{n+2} &= F_{n+1} + F_n \\ &= \frac{\varphi^{n+1} + \varphi^n - (\psi^{n+1} + \psi^n)}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{\varphi^n(\varphi + 1) - \psi^n(\psi + 1)}{\sqrt{5}}. \end{aligned}$$Or $\varphi + 1 = \varphi^2$ et $\psi + 1 = \psi^2$, puisque $\varphi$ et $\psi$ sont les solutions de $x^2 = x + 1$. Donc
$$F_{n+2} = \frac{\varphi^{n+2} - \psi^{n+2}}{\sqrt{5}},$$et $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.
Conclusion. Par récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
La formule est étonnante : elle est pleine de $\sqrt{5}$, et pourtant elle donne toujours un entier. On peut même s'en servir plus simplement. Comme $|\psi| \approx 0{,}618 < 1$, on a $\left|\dfrac{\psi^n}{\sqrt{5}}\right| < \dfrac{1}{2}$ pour tout $n$ : $F_n$ est l'entier le plus proche de $\dfrac{\varphi^n}{\sqrt{5}}$. Par exemple, $\dfrac{\varphi^{30}}{\sqrt{5}} \approx 832\,040{,}000\,000\,2$ et $F_{30} = 832\,040$.
Étape 1. Par la formule de Binet, pour $n \geqslant 1$, en mettant $\varphi^{n+1}$ puis $\varphi^n$ en facteur :
$$\begin{aligned} \frac{F_{n+1}}{F_n} &= \frac{\varphi^{n+1} - \psi^{n+1}}{\varphi^n - \psi^n} \\ &= \varphi \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q^n}, \end{aligned}$$où l'on a posé $q = \dfrac{\psi}{\varphi}$.
Étape 2. Comme $\psi = -\dfrac{1}{\varphi}$, on a $q = -\dfrac{1}{\varphi^2} \approx -0{,}382$, donc $-1 < q < 1$. La suite géométrique $(q^n)$ tend vers $0$, ainsi que $(q^{n+1})$.
Étape 3. Par opérations sur les limites, $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q^n}$ tend vers $\dfrac{1 - 0}{1 - 0} = 1$, donc $\dfrac{F_{n+1}}{F_n}$ tend vers $\varphi$.
Comme $q$ est négatif, le facteur $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q^n}$ est tantôt plus grand, tantôt plus petit que $1$ : c'est l'alternance visible sur la figure. Et comme $|q| \approx 0{,}38$, l'écart est divisé par environ $\varphi^2 \approx 2{,}6$ à chaque étape.
Cette section utilise les matrices et les nombres complexes. Elle montre que la formule de Binet n'est pas un tour de magie : c'est le cas particulier d'une méthode générale, qui s'applique à toutes les suites définies par $u_{n+2} = a\,u_{n+1} + b\,u_n$.
Posons $X_n = \begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. La relation de récurrence s'écrit
$$X_{n+1} = \begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n \\ F_{n+1} \end{pmatrix} = A\,X_n,$$donc $X_n = A^n X_0$ avec $X_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. Calculer $F_n$, c'est calculer une puissance de matrice. Une récurrence (du même type que celle de Binet) montre que, pour $n \geqslant 1$,
$$A^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}.$$Par exemple $A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $A^3 = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Une conséquence surprenante : le déterminant de $A$ vaut $1 \times 0 - 1 \times 1 = -1$, et le déterminant d'un produit est le produit des déterminants, donc celui de $A^n$ vaut $(-1)^n$. On obtient l'identité de Cassini :
$$F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n.$$Avec $n = 6$ : $13 \times 5 - 8^2 = 65 - 64 = 1$. C'est le secret d'un vieux casse-tête : un carré de $8 \times 8 = 64$ cases, découpé en quatre morceaux et réassemblé en un rectangle de $13 \times 5 = 65$ cases. La case « gagnée » est cachée dans une diagonale qui n'est pas tout à fait droite.
Cherchons les suites géométriques $u_n = r^n$ (avec $r \neq 0$) qui vérifient $u_{n+2} = a\,u_{n+1} + b\,u_n$. En divisant par $r^n$, la condition devient
$$r^2 = a\,r + b,$$l'équation caractéristique de la suite. Pour Fibonacci ($a = b = 1$), c'est $r^2 = r + 1$ : on retrouve $\varphi$ et $\psi$. Lorsque cette équation a deux solutions distinctes $r_1$ et $r_2$, on démontre :
- toute suite $u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$ vérifie la relation (c'est une somme de deux solutions) ;
- pour des premiers termes $u_0$ et $u_1$ donnés, le système $\lambda + \mu = u_0$, $\lambda r_1 + \mu r_2 = u_1$ a une unique solution, car son déterminant $r_2 - r_1$ n'est pas nul ;
- la suite $\lambda r_1^n + \mu r_2^n$ et la suite $(u_n)$ ont les mêmes deux premiers termes et la même relation, donc, par récurrence, tous leurs termes sont égaux.
Pour Fibonacci, le système $\lambda + \mu = 0$, $\lambda\varphi + \mu\psi = 1$ donne $\lambda = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$ et $\mu = -\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ : c'est exactement la formule de Binet, trouvée cette fois sans la deviner. (En termes de matrices, cela revient à diagonaliser $A$, ce qui dépasse le programme de terminale.)
Prenons la suite définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et $u_{n+2} = u_{n+1} - u_n$. À la main :
| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $u_n$ | 0 | 1 | 1 | 0 | −1 | −1 | 0 | 1 | 1 |
La suite revient à son point de départ tous les $6$ termes. Son équation caractéristique $r^2 = r - 1$, soit $r^2 - r + 1 = 0$, a pour discriminant $\Delta = -3 < 0$. Ses solutions sont deux nombres complexes conjugués :
$$\begin{aligned} r_1 &= \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}, \\ r_2 &= \overline{r_1} = e^{-i\pi/3}. \end{aligned}$$La méthode précédente marche encore : $\lambda + \mu = 0$ et $\lambda r_1 + \mu r_2 = 1$ donnent $\lambda = \dfrac{1}{r_1 - r_2} = \dfrac{1}{i\sqrt{3}}$ et $\mu = -\lambda$, d'où
$$u_n = \frac{e^{in\pi/3} - e^{-in\pi/3}}{i\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\,\sin\!\left(\frac{n\pi}{3}\right).$$La formule d'Euler $e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i\sin\theta$ fait disparaître les nombres complexes : la suite est réelle, et périodique de période $6$ parce que $r_1^6 = e^{2i\pi} = 1$. Multiplier par $e^{i\pi/3}$, c'est tourner d'un sixième de tour : la suite « tourne » au lieu de grandir. Plus généralement, $u_{n+2} = 2\cos\theta \; u_{n+1} - u_n$ a pour racines $e^{\pm i\theta}$ et décrit une rotation d'angle $\theta$.
Le contraste avec Fibonacci est instructif : des racines réelles, dont l'une est plus grande que $1$ en valeur absolue, donnent une croissance exponentielle ; des racines complexes de module $1$ donnent une oscillation.
Le pentagone régulier et l'étoile à cinq branches, signe de ralliement des pythagoriciens, sont pleins de nombre d'or : dans un pentagone régulier, une diagonale est $\varphi$ fois plus longue qu'un côté. La clé est la valeur exacte de $\cos 36°$.
Notons $\theta = \dfrac{\pi}{5}$ (soit $36°$) et $c = \cos\theta$.
Étape 1. Comme $5\theta = \pi$, on a $3\theta = \pi - 2\theta$, donc $\cos(3\theta) = -\cos(2\theta)$.
Étape 2. Avec les formules d'addition et $\sin^2\theta = 1 - c^2$ :
$$\begin{aligned} \cos(3\theta) &= \cos(2\theta + \theta) \\ &= \cos 2\theta \cos\theta - \sin 2\theta \sin\theta \\ &= (2c^2 - 1)c - 2c(1 - c^2) \\ &= 4c^3 - 3c. \end{aligned}$$Étape 3. L'égalité de l'étape 1 devient $4c^3 - 3c = -(2c^2 - 1)$, c'est-à-dire
$$4c^3 + 2c^2 - 3c - 1 = 0.$$Étape 4. Le nombre $-1$ est une racine évidente ($-4 + 2 + 3 - 1 = 0$), et l'on vérifie en développant que
$$\begin{aligned} &4c^3 + 2c^2 - 3c - 1 \\ &= (c + 1)(4c^2 - 2c - 1). \end{aligned}$$Étape 5. Comme $c = \cos 36° > 0$, $c$ est la racine positive de $4c^2 - 2c - 1 = 0$, dont le discriminant est $4 + 16 = 20$ :
$$c = \frac{2 + \sqrt{20}}{8} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \approx 0{,}809.$$La diagonale et le côté. Dans un cercle de rayon $1$, une corde qui intercepte un angle au centre $\alpha$ mesure $2\sin\dfrac{\alpha}{2}$ (on coupe le triangle isocèle en deux triangles rectangles). Le côté $AB$ intercepte $72°$ et la diagonale $AC$ $144°$ :
$$\begin{aligned} \frac{AC}{AB} &= \frac{2\sin 72°}{2\sin 36°} = \frac{2\sin 36° \cos 36°}{\sin 36°} \\ &= 2\cos 36° = \varphi. \end{aligned}$$On peut aussi le vérifier avec les coordonnées des sommets, ou avec les modules de nombres complexes (en maths expertes, les sommets sont les racines cinquièmes de l'unité) : les calculs sont plus longs, mais ils aboutissent au même résultat. Et comme $\sin 36° = \dfrac{\sqrt{3 - \varphi}}{2}$, le côté d'un pentagone inscrit dans un cercle de rayon $1$ vaut $\sqrt{3 - \varphi} \approx 1{,}176$.
C'est ce lien entre $\varphi$ et le pentagone qui fait apparaître le nombre d'or dans le dodécaèdre et l'icosaèdre, deux des solides de Platon.
Le nombre d'or est-il vraiment dans le Parthénon ? Voici les principaux passages d'un article de Morgane Cariou et Adèle Jatteau publié sur le site Archéologie en chantier (École normale supérieure). Les encadrés « Remarque » ne font pas partie de l'article : ils vérifient ses affirmations avec les mathématiques des sections précédentes.
L'idée que le nombre d'or est un élément déterminant de l'architecture grecque antique est largement répandue, et relayée par des arguments plus ou moins scientifiques. C'est cette idée que tente d'interroger cet article en inspectant les sources antiques et les commentaires contemporains.
Filles des nombres d'or,
Fortes des lois du ciel,
Sur nous tombe et s'endort,
Un Dieu couleur de miel.
Paul Valéry, « Cantique des Colonnes ».
Le nombre d'or est un nombre égal à $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, soit environ $1{,}618$ et correspond à une proportion considérée comme particulièrement esthétique. Il apparaît dans la pensée grecque avec Pythagore, au tournant du VIe et du Ve siècle avant J.-C. mais Euclide, dans ses Éléments, est le premier à développer une théorie de ce nombre dans le passage où il tente de définir la façon la plus logique de couper harmonieusement un segment en deux parties inégales.
Cette proportion, pour de nombreux artistes comme Léonard de Vinci ou encore Le Corbusier, pour ne citer que les plus célèbres, donnerait la clef de l'harmonie d'une œuvre d'art. Cette croyance est d'autant plus largement répandue depuis la parution dans les années 1930 du livre du Roumain Matila Ghyka intitulé Le Nombre d'or. Pour cet auteur, les artistes grecs de l'Antiquité utilisaient délibérément le nombre d'or, ou section dorée, pour déclencher l'émotion du spectateur. […] Et Valéry fut un des fervents admirateurs de Ghyka, convaincu aisément de la véracité de ses thèses.
Mais dans quelle mesure n'y a-t-il pas là un mythe architectural ? Trouve-t-on réellement la proportion divine dans l'architecture grecque ?
Le cas le plus flagrant est peut-être celui du théâtre d'Épidaure, construit en Grèce à la fin du IVe siècle avant J.-C. Il y a en effet 55 gradins répartis en deux séries de 34 et 21 rangs ; or ce sont trois nombres successifs de la suite de Fibonacci et les rapports 34/21 et (34+21)/34 sont très proches du nombre d'or. Les gradins semblent donc partagés en « extrême et moyenne raison ».
$\dfrac{34}{21} \approx 1{,}619$ et $\dfrac{55}{34} \approx 1{,}618$ : ce sont deux quotients consécutifs de la suite de Fibonacci, donc, d'après la section 3, deux des meilleures approximations de $\varphi$ par des fractions de cette taille. Le calcul est juste. Il ne prouve pas pour autant une intention : le théâtre a été agrandi en deux temps (la partie haute est plus tardive), et un découpage en deux séries de gradins peut avoir bien d'autres raisons. Une coïncidence numérique est un indice, pas une preuve.
Le plus célèbre des monuments étudiés sous le rapport du nombre d'or est le Parthénon. Pour ce monument, J. Hambidge, F. Lund et E. Moessel, principaux auteurs à avoir cherché la Divine Proportion dans l'architecture grecque, restituent 3 types de tracés géométriques différents, mais qui font tous appel au rapport $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. […]
Le diplomate roumain Matila Ghyka, dans Le Nombre d'or, s'autorise de ces travaux pour fonder l'architecture grecque sur le rectangle à module $\varphi$. […] Pourtant, selon Marguerite Neveux, ce mythe ne résiste pas à un examen attentif : par exemple, Ghyka se fonderait sur des mesures approximatives. La preuve en est que pour trouver le rectangle d'or dans la façade du Parthénon, il est obligé de prendre quelques marches en plus de la façade elle-même. De plus, Ghyka est conduit à une généralisation abusive de sa théorie à toute l'architecture grecque et même à l'architecture égyptienne, alors que l'idée même de nombre d'or apparaît, avec la notion de proportion, seulement à partir de la géométrie grecque.
N'est-il donc pas plus prudent de substituer la notion de proportion à celle, plus systématique, plus biaisée, de nombre d'or ? […]
En somme, le nombre d'or est une réalité mathématique, découverte par les Pythagoriciens et connue, selon toute vraisemblance, des architectes grecs. L'ensemble des monuments qui ont survécu au temps témoigne indéniablement d'une attention aux proportions qui va jusqu'à l'utilisation de légères distorsions architecturales visant à créer des effets d'optique […].
Sur une façade, on peut mesurer des dizaines de longueurs : largeurs, hauteurs avec ou sans le fronton, avec ou sans les marches, entre axes des colonnes ou entre leurs bords. Avec seulement $20$ longueurs, on peut former $20 \times 19 = 380$ quotients. Il serait étonnant qu'aucun ne tombe entre $1{,}6$ et $1{,}64$. C'est exactement le reproche fait à Ghyka : choisir après coup les longueurs qui donnent le résultat voulu. Une démarche scientifique fixe d'abord ce que l'on mesure, puis regarde le résultat.
Remarquons aussi que la lettre $\varphi$, choisie au XXe siècle « en l'honneur de Phidias », a sans doute contribué au mythe : aucun texte antique ne dit que Phidias ou les architectes du Parthénon, Ictinos et Callicratès, aient utilisé ce rapport.
Au cœur d'une fleur de tournesol, les graines se forment une à une au centre, puis sont repoussées vers l'extérieur. Chaque nouvelle graine apparaît en tournant d'un angle à peu près constant par rapport à la précédente. Quel angle donne le remplissage le plus régulier ?
Partageons le tour complet en deux arcs dans le rapport d'or : le petit arc mesure $\dfrac{360°}{1+\varphi} = \dfrac{360°}{\varphi^2}$ (car $1 + \varphi = \varphi^2$), soit
$$\alpha = \frac{360°}{\varphi^2} \approx 137{,}508°.$$C'est l'angle d'or. Si l'angle était une fraction simple de tour, par exemple $135° = \dfrac{3}{8}$ de tour, une graine sur huit reviendrait exactement dans la même direction, et les graines s'aligneraient en huit rayons séparés par du vide. Avec l'angle d'or, la fraction de tour $\dfrac{1}{\varphi^2}$ est irrationnelle, et même « la plus irrationnelle » (section 2) : aucune direction ne revient jamais, et les graines comblent les vides au mieux. Le modèle ci-dessous, proposé par Helmut Vogel en 1979, place la graine numéro $k$ à la distance $\sqrt{k}$ du centre (pour que chaque graine dispose de la même surface) et à l'angle $k\alpha$.
Sur un vrai tournesol, l'œil voit des spirales qui tournent dans un sens et d'autres dans l'autre. Leurs nombres sont très souvent deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci, par exemple $34$ et $55$, ou $55$ et $89$, conséquence de l'angle d'or et des fractions $\dfrac{F_{n+1}}{F_n}$ qui l'approchent. Une étude participative publiée en 2016, qui a fait compter les spirales de plusieurs centaines de têtes de tournesol, a confirmé cette tendance, tout en trouvant une minorité de têtes qui s'en écartent : la nature suit le modèle de près, pas parfaitement.
Le nautile, un mollusque marin, construit une coquille en spirale dont la coupe est l'une des images les plus utilisées pour illustrer le nombre d'or. Sa spirale est bien une spirale logarithmique : à chaque tour, la distance au centre est multipliée par un même nombre. Mais ce nombre n'est pas celui de la « spirale d'or ».
- Une spirale d'or s'agrandit d'un facteur $\varphi$ à chaque quart de tour, donc d'un facteur $\varphi^4 \approx 6{,}85$ à chaque tour.
- La coquille du nautile s'agrandit d'un facteur proche de $3$ par tour. En 2005, le mathématicien américain Clement Falbo a mesuré des coquilles conservées à l'Académie des sciences de Californie : les rectangles qui les encadrent ont des côtés dans des rapports allant d'environ $1{,}24$ à $1{,}43$, en moyenne proche de $1{,}33$, loin de $1{,}618$.
La croissance en spirale logarithmique est réelle et s'explique bien (l'animal grandit sans changer de forme) ; c'est son lien avec $\varphi$ qui est imaginaire. Les deux spirales n'ont pas le même facteur de croissance, et la différence se voit à l'œil quand on les superpose.
On lit souvent qu'un visage est jugé beau quand ses proportions suivent le nombre d'or, et des « masques d'or » sont vendus pour le vérifier. Le problème est le même que pour le Parthénon : un visage offre des dizaines de longueurs, et l'on choisit après coup celles qui conviennent. Les études qui ont testé cette idée en faisant noter des visages par des observateurs ne trouvent pas de préférence particulière pour le rapport $1{,}618$ ; la symétrie et la « moyenne » des traits jouent un rôle bien plus net. C'est un bon exemple pour discuter de ce qu'est une preuve en sciences.
Distinguer ce qui est attesté par des textes ou par les artistes eux-mêmes de ce qui a été « découvert » après coup est un exercice d'histoire à part entière.
- Documenté : Luca Pacioli et Léonard de Vinci. En 1509, le mathématicien Luca Pacioli publie De divina proportione, un livre consacré à ce rapport et aux polyèdres, illustré par Léonard de Vinci. En revanche, aucun document ne montre que Léonard ait construit la Joconde ou l'Homme de Vitruve sur le nombre d'or : ces tracés sont modernes.
- Documenté : Le Corbusier et le Modulor. L'architecte publie en 1950 Le Modulor, un système de mesures fondé sur un homme de $1{,}83$ m, dont le nombril est à $1{,}13$ m et la main levée à $2{,}26$ m. On a $113 \times \varphi \approx 183$ et $226 = 2 \times 113$ ; les séries de mesures du Modulor sont fabriquées comme une suite de Fibonacci, chaque mesure étant la somme des deux précédentes. Il s'en est servi, par exemple, pour la Cité radieuse de Marseille.
- Documenté : Salvador Dalí. Le Sacrement de la dernière Cène (1955, National Gallery of Art de Washington) mesure environ $267 \times 167$ cm, un rapport proche de $1{,}6$, et la scène se déroule sous un immense dodécaèdre, le solide de Platon fait de pentagones. Dalí avait lu Ghyka et revendiquait cette géométrie.
- Un mythe moderne : les « retracements de Fibonacci » en bourse. Des analystes tracent sur les graphiques des cours des niveaux à $23{,}6\,\%$, $38{,}2\,\%$ et $61{,}8\,\%$ (des puissances de $\dfrac{1}{\varphi}$), en suivant la théorie des vagues de Ralph Nelson Elliott (années 1930). Aucune étude sérieuse n'a montré que les marchés obéissent au nombre d'or ; si ces niveaux semblent parfois fonctionner, c'est en partie parce que beaucoup d'opérateurs les regardent et agissent en conséquence : une prophétie autoréalisatrice.
Ce qui est certain, c'est que le XXe siècle a fait du nombre d'or un symbole : Ghyka et Valéry dans les années 1930, Le Corbusier, Dalí, puis la publicité et les logos. Le nombre d'or est devenu un objet culturel, ce qui est en soi un sujet d'étude.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : l'équation du second degré et ses deux racines ; l'irrationalité par la descente ; la suite de Fibonacci, la récurrence double et la formule de Binet ; la limite des quotients et les suites géométriques ; la valeur exacte de $\cos 36°$ ; en maths expertes, les matrices, l'identité de Cassini et les suites récurrentes à racines complexes.
- HGGSP : la transmission des mathématiques grecques par le monde arabe jusqu'à Fibonacci et aux chiffres indo-arabes ; la construction d'un mythe aux XIXe et XXe siècles (Ghyka, Valéry, Le Corbusier) ; ce que l'archéologie peut et ne peut pas prouver.
- SVT : la phyllotaxie et l'angle d'or, avec un modèle à tester ; la croissance en spirale logarithmique des coquilles, et pourquoi le nautile n'a rien d'« or ».
- HLP : la beauté peut-elle se mettre en équation ? Qu'est-ce qu'une preuve, et qu'est-ce qu'une coïncidence choisie après coup ? Le poème de Valéry et la fascination pour les nombres.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : les équations du second degré et le discriminant ; le raisonnement par récurrence ; les suites définies par récurrence, les suites géométriques et leur limite ; les opérations sur les limites ; le raisonnement par l'absurde ; les formules d'addition et de duplication en trigonométrie ; les boucles en Python. En maths expertes : le produit de matrices, les puissances d'une matrice, la forme exponentielle des nombres complexes et la formule d'Euler.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- M. Cariou et A. Jatteau, « Le nombre d'or dans l'architecture grecque : mythe ou réalité ? », Archéologie en chantier.
- M. Neveux et H. E. Huntley, Le nombre d'or : radiographie d'un mythe, Seuil, 1995.
- Nombre d'or, suite de Fibonacci et phyllotaxie (Wikipédia).
- Sur ce site : la première version de ce texte, Les solides de Platon, Les fractales en biologie et Suites récurrentes et chaos.