On considère cette équation comme un polynôme du second degré en $y$, le nombre $x$ jouant le rôle d'un paramètre. En regroupant les termes selon les puissances de $y$ :

Un exemple à la main d'abord : pour $x = 0$, l'équation devient $y^2 + 2y - 1 = 0$, de discriminant $4 + 4 = 8$ ; elle a deux solutions $y = -1 - \sqrt{2}$ et $y = -1 + \sqrt{2}$. La courbe coupe donc l'axe des ordonnées en deux points. Pour $x = 1$ au contraire, on obtient $y^2 - 2y + 3 = 0$, de discriminant $4 - 12 < 0$ : aucun point de la courbe n'a pour abscisse $1$.

Dans le cas général, le discriminant de cette équation en $y$ vaut

On peut exprimer $y$ en fonction de $x$ si et seulement si $x^2-5x+2 \geqslant 0$. Pour trouver les valeurs de $x$ correspondantes, on calcule le discriminant de ce nouveau polynôme :

Ce polynôme possède deux racines

et

Un polynôme du second degré est du signe de son coefficient dominant à l'extérieur de ses racines : ici $x^2-5x+2 \geqslant 0$ pour $x \in \left]-\infty\,;\,x_1\right] \cup \left[x_2\,;\,+\infty\right[$. Entre $x_1$ et $x_2$, il n'y a aucun point de la courbe.

Pour ces valeurs de $x$, l'équation a deux solutions en $y$, confondues lorsque $x = x_1$ ou $x = x_2$. La première vaut

et de même $y_2 = 2x-1+\sqrt{x^2-5x+2}$. Ainsi, la courbe d'équation $y^2+3x^2-4xy+x+2y-1=0$ est la réunion des courbes des deux fonctions $f$ et $g$, définies sur $\left]-\infty\,;\,x_1\right] \cup \left[x_2\,;\,+\infty\right[$ par

On vérifie l'exemple à la main : $f(0) = -1-\sqrt{2}$ et $g(0) = -1+\sqrt{2}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-3\}$ par $f(x)=x+2-\dfrac{1}{x+3}$. La droite d'équation $y=x+2$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ en $+\infty$. En effet,

et comme $\lim\limits_{x\to+\infty}(x+3)=+\infty$, on a $\lim\limits_{x\to+\infty}-\dfrac{1}{x+3}=0$. Le calcul montre même davantage : pour $x>-3$, l'écart est négatif, donc la courbe est sous son asymptote. Le même calcul en $-\infty$ montre que la droite est aussi asymptote en $-\infty$, la courbe étant alors au-dessus.

On peut d'abord mettre $x^2$ en facteur sous le radical. Pour $x > 0$, et en notant $r(x) = \sqrt{1-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}}$,

Puisque $\lim\limits_{x\to+\infty} r(x) = 1$, une première intuition serait de dire que, pour $x$ grand, la racine « se comporte comme » $x$. Pour le vérifier, on calcule la limite de la différence en multipliant par la quantité conjuguée :

Quand $x$ tend vers $+\infty$, le numérateur tend vers $-5$ et le dénominateur vers $2$ : la différence tend vers $-\frac{5}{2}$, et non vers $0$. L'intuition était donc incorrecte : pour $x$ grand, la racine se comporte plutôt comme $x-\frac{5}{2}$.

Pour trouver les asymptotes, on utilise la même transformation que Galois dans sa copie : la forme canonique du polynôme placé sous le radical,

Le terme $-\frac{17}{4}$ devient négligeable devant le carré quand $x$ est grand. Cela suggère que, pour $x$ tendant vers $+\infty$, la racine se comporte comme $x-\frac{5}{2}$, et pour $x$ tendant vers $-\infty$, comme $-x+\frac{5}{2}$ : on retrouve la valeur absolue $\left|x-\frac{5}{2}\right|$. On en déduit deux droites candidates pour $f$ :

• en $+\infty$ : $y = 2x-1-\left(x-\frac{5}{2}\right)$, c'est-à-dire $y = x+\frac{3}{2}$ ;
• en $-\infty$ : $y = 2x-1-\left(-x+\frac{5}{2}\right)$, c'est-à-dire $y = 3x-\frac{7}{2}$.

On procède exactement de même pour démontrer que la droite d'équation $y=x+\frac{3}{2}$ est asymptote à la courbe de $g$ en $-\infty$, et celle d'équation $y=3x-\frac{7}{2}$ en $+\infty$. La courbe complète possède donc deux asymptotes, chacune approchée par une branche de $f$ et une branche de $g$.

Le programme suivant calcule l'écart entre $f$ et ses asymptotes pour des valeurs de plus en plus grandes de $|x|$. On voit les écarts diminuer, à peu près divisés par $10$ quand $x$ est multiplié par $10$ : c'est cohérent avec la formule $\frac{17/4}{x-5/2+\sqrt{x^2-5x+2}}$, qui se comporte comme $\frac{17}{8x}$.

Ce que l'énoncé appelle le « centre » de la courbe est le point d'intersection des deux asymptotes. On résout

En remplaçant $x$ par $\frac{5}{2}$ dans l'une des deux équations, on obtient $y = \frac{5}{2}+\frac{3}{2} = 4$ : le centre est le point $\Omega\left(\frac{5}{2}\,;\,4\right)$.

Ce point mérite son nom : c'est un centre de symétrie de la courbe. Pour le démontrer, on remarque d'abord, en développant, que

Ainsi, $5-x$ est dans l'ensemble de définition quand $x$ y est, et la racine carrée prend la même valeur en $x$ et en $5-x$ ; notons-la $R(x)$. Alors

donc

Le milieu du point $M\big(x\,;\,f(x)\big)$ et du point $N\big(5-x\,;\,g(5-x)\big)$ a donc pour coordonnées $\left(\frac{5}{2}\,;\,4\right)$ : c'est $\Omega$. Chaque point de la courbe de $f$ a son symétrique par rapport à $\Omega$ sur la courbe de $g$, et réciproquement.

Sur $\left]x_2\,;\,+\infty\right[$, la fonction $u : x \mapsto x^2-5x+2$ est strictement positive et dérivable, donc $\sqrt{u}$ est dérivable, de dérivée $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$. Ainsi

Où la dérivée s'annule. $f'(x)=0$ équivaut à $4\sqrt{x^2-5x+2} = 2x-5$. Cette égalité impose $2x-5 \geqslant 0$ ; on peut alors élever au carré :

Le discriminant vaut $3600-336 = 3264 = 64 \times 51$, d'où les racines $\dfrac{60 \pm 8\sqrt{51}}{24} = \dfrac{5}{2} \pm \dfrac{\sqrt{51}}{3}$. Seule $a = \frac{5}{2}+\frac{\sqrt{51}}{3} \approx 4{,}88$ vérifie $2x-5 \geqslant 0$.

Le signe. En calculant $f'(4{,}8) \approx -0{,}26$ et $f'(5) \approx 0{,}23$, et puisque $f'$ ne s'annule qu'en $a$ sur $\left]x_2\,;\,+\infty\right[$, $f$ est décroissante sur $[x_2\,;\,a]$ et croissante sur $[a\,;\,+\infty[$. Son minimum vaut $f(a) = 4+\frac{\sqrt{51}}{2} \approx 7{,}57$, alors que $f(x_2) = 2x_2-1 \approx 8{,}12$.

Sur $\left]-\infty\,;\,x_1\right[$, le même calcul montre que $f'$ ne s'annule pas et reste positive : $f$ y est croissante. Par la symétrie de centre $\Omega$, on obtient les variations de $g$ sans calcul : $g$ atteint un maximum $4-\frac{\sqrt{51}}{2} \approx 0{,}43$ en $\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{51}}{3} \approx 0{,}12$.

Sur $\left]-\infty\,;\,x_1\right]$ :

Sur $\left[x_2\,;\,+\infty\right[$ :

avec $x_1 \approx 0{,}44$, $2x_1-1 \approx -0{,}12$, $x_2 \approx 4{,}56$, $2x_2-1 \approx 8{,}12$, $a \approx 4{,}88$ et $4+\frac{\sqrt{51}}{2} \approx 7{,}57$. Entre $x_1$ et $x_2$, la fonction $f$ n'est pas définie.

Aux abscisses $x_1$ et $x_2$, la racine s'annule : les courbes de $f$ et $g$ s'y rejoignent, et la courbe complète y a une tangente verticale.

Un dernier calcul, simple à vérifier en développant, éclaire tout. On cherche à écrire le membre de gauche comme un produit des deux expressions qui définissent les asymptotes. On trouve

L'équation de la courbe équivaut donc à

Lorsqu'un point de la courbe s'éloigne, l'un des deux facteurs devient très grand, donc l'autre devient très petit : le point se rapproche de l'une des deux droites. C'est exactement la situation de la courbe de la fonction inverse $Y = \frac{k}{X}$, qui s'approche de ses deux axes. La courbe de Galois est une hyperbole, dont les asymptotes ne sont pas perpendiculaires. On retrouve ainsi le lien entre l'équation et ses asymptotes « directement et sans transformation de coordonnées », comme le demandait l'énoncé.

Si les nouveaux axes sont les droites d'équations $x=b$ et $y=a$, le nouveau repère est obtenu par translation du premier, et un point $M(x\,;\,y)$ a pour nouvelles coordonnées

Exemple. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ par $f(x)=4+\dfrac{1}{x-3}$. On prend pour nouveaux axes les droites d'équations $x=3$ et $y=4$, qui sont les asymptotes de sa courbe. Alors $X=x-3$ et $Y=y-4$, et l'équation $y=f(x)$ devient

On reconnaît l'hyperbole de la fonction inverse, simplement déplacée.

Si l'on fait tourner un point $M(x\,;\,y)$ autour de l'origine d'un angle $\theta$, son image $M'(x'\,;\,y')$ a pour coordonnées

Pour une droite d'équation $y=ax+b$, l'angle $\alpha$ qu'elle fait avec l'axe des abscisses vérifie $\tan(\alpha)=a$ : dans le triangle rectangle formé avec les axes, le côté opposé mesure $b$ et le côté adjacent $\frac{b}{a}$. Enfin, si l'on remplace l'axe des ordonnées par une droite qui fait un angle $\alpha$ avec l'axe des abscisses, les coordonnées d'un point dans ce repère oblique deviennent

Pour la courbe de Galois, on pourrait enchaîner les changements de repère : une translation vers le centre $\Omega\left(\frac{5}{2}\,;\,4\right)$, puis une rotation d'angle $\frac{\pi}{4}$ pour amener l'axe des abscisses sur l'asymptote $y=x+\frac{3}{2}$ (de coefficient directeur $1 = \tan\frac{\pi}{4}$), puis un axe des ordonnées incliné selon l'autre asymptote, de coefficient directeur $3$ (angle $\arctan 3$). Dans ce dernier repère, la courbe aurait une équation de la forme $XY = k$, comme la fonction inverse. Mais chaque étape oblige à remplacer $x$ et $y$ dans l'équation de départ, et les calculs deviennent vite très fastidieux. On comprend que l'énoncé demande une méthode directe : c'est précisément ce que permettent les limites, ou la factorisation de la partie précédente.

Évariste Galois naît le 25 octobre 1811 à Bourg-la-Reine, dans une famille cultivée et libérale : son père, qui dirige une institution d'enseignement, devient maire de la commune en 1815. Sa mère lui fait la classe jusqu'à douze ans. En 1823, il entre comme interne au collège Louis-le-Grand, à Paris, un établissement agité par les révoltes d'élèves contre la direction.

D'abord bon élève sans plus, il découvre les mathématiques vers quinze ans et s'y consacre entièrement : ses camarades racontent qu'il a lu la Géométrie de Legendre comme un roman, puis les mémoires de Lagrange. Ses professeurs, Hippolyte Vernier puis Louis Richard, remarquent son talent, mais les autres matières l'ennuient et les appréciations parlent d'un élève qui dérange. En 1829, à dix-sept ans, il publie son premier article, sur les fractions continues, et envoie à l'Académie des sciences un premier mémoire sur la résolution des équations.

Galois se présente une première fois, avec un an d'avance, au concours de l'École polytechnique, et échoue. Le 2 juillet 1829, son père, victime d'une campagne de lettres anonymes, se suicide à Paris. Quelques jours plus tard, Galois échoue une seconde fois à Polytechnique. Selon une légende jamais prouvée, il aurait jeté le chiffon à effacer au visage d'un examinateur. Il se tourne alors vers l'École préparatoire, où il est reçu fin août 1829 : c'est le concours dont le sujet est étudié plus haut.

Ses mémoires connaissent des malheurs. Celui qu'il soumet en 1830 pour le Grand prix de l'Académie est confié à Fourier, qui meurt peu après : le manuscrit est perdu. Le prix revient à Abel, à titre posthume, et à Jacobi.

Pendant la Révolution de juillet 1830, les élèves de l'École préparatoire sont enfermés par leur directeur, alors que ceux de Polytechnique se battent sur les barricades. Républicain ardent, Galois juge que Louis-Philippe a trahi la Révolution. Il rejoint la Société des amis du peuple, attaque son directeur dans la presse et il est exclu de l'école en janvier 1831.

Le 9 mai 1831, lors d'un banquet républicain, il porte un toast « à Louis-Philippe » un couteau à la main : arrêté, il est acquitté. Le 14 juillet suivant, il est arrêté sur le Pont-Neuf, en uniforme de la garde nationale dissoute et armé, et il est incarcéré à la prison Sainte-Pélagie. Entre-temps, le 4 juillet 1831, Poisson et Lacroix ont rendu leur rapport sur le nouveau mémoire qu'il a envoyé à l'Académie : les raisonnements ne sont « ni suffisamment clairs ni suffisamment développés » pour qu'ils puissent en juger l'exactitude. En prison, Galois rédige une préface amère contre les « grands de la science ».

En mars 1832, de santé fragile et alors que le choléra frappe Paris, il est transféré dans une maison de santé. Il s'y éprend d'une jeune femme, Stéphanie, dont l'identité reste discutée. Libéré, il est provoqué en duel ; les causes en sont encore débattues (une affaire de cœur, un piège policier, un sacrifice destiné à provoquer une insurrection).

La nuit du 29 au 30 mai 1832, il écrit à son ami Auguste Chevalier une longue lettre qui résume ses découvertes. Plusieurs fois, il note « je n'ai pas le temps ». Il demande que ses résultats soient soumis à Jacobi ou à Gauss, pour qu'ils donnent « leur avis non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes ».

Le 30 mai au matin, Galois est blessé au ventre d'une balle. Transporté à l'hôpital Cochin, il meurt le lendemain, le 31 mai 1832, à vingt ans. On lui prête cette phrase adressée à son frère Alfred : « Ne pleure pas, j'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans. »

Son frère et Auguste Chevalier recopient et diffusent ses manuscrits. En 1843, Joseph Liouville annonce à l'Académie des sciences qu'il a trouvé dans les papiers de Galois une démonstration « aussi exacte que profonde ». Il publie ses œuvres en 1846, dans le Journal de mathématiques pures et appliquées. Il faut encore plusieurs décennies pour que les idées de Galois soient comprises et enseignées.

En première, on apprend que l'équation $ax^2+bx+c=0$ (avec $a \neq 0$ et $\Delta = b^2-4ac \geqslant 0$) a pour solutions

Les solutions s'écrivent à partir des coefficients avec les quatre opérations et une racine carrée : on dit que l'équation est résoluble par radicaux. On sait aussi que la somme des solutions vaut $-\frac{b}{a}$ et leur produit $\frac{c}{a}$ : des expressions qui ne changent pas quand on échange les deux solutions.

Pour le degré $3$, une formule est publiée par Cardan en 1545, d'après des travaux de del Ferro et de Tartaglia. Pour l'équation $x^3+px+q=0$, elle donne la solution $x = A+B$, avec

Un exemple à la main. Pour $x^3+6x-20=0$, on a $\frac{q^2}{4} = 100$ et $\frac{p^3}{27} = 8$, donc la formule donne $x = \sqrt[3]{10+\sqrt{108}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{108}}$. Or $(1+\sqrt{3})^3$ $= 1+3\sqrt{3}+9+3\sqrt{3}$ $= 10+6\sqrt{3}$ et $6\sqrt{3} = \sqrt{108}$, donc le premier terme vaut $1+\sqrt{3}$ ; de même le second vaut $1-\sqrt{3}$. On trouve $x = 2$, et en effet $8+12-20 = 0$.

Ferrari trouve ensuite une méthode pour le degré $4$. Pendant près de trois siècles, on cherche en vain une formule pour le degré $5$. Ruffini en 1799, puis Abel en 1824, démontrent qu'il n'existe pas de formule générale par radicaux pour l'équation du cinquième degré.

Abel montre qu'il n'y a pas de formule pour toutes les équations du cinquième degré, mais certaines se résolvent très bien, comme $x^5-2=0$. Galois répond à une question plus fine : à quelle condition une équation donnée est-elle résoluble par radicaux ?

Son idée est de regarder les permutations des solutions qui préservent toutes les relations algébriques entre elles (à coefficients rationnels). Un exemple simple : les solutions de $x^2-2=0$ sont $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$. Toute relation vraie, comme $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ ou $\sqrt{2}\times(-\sqrt{2})=-2$, reste vraie si l'on échange les deux solutions : rien, dans les nombres rationnels, ne permet de distinguer $\sqrt{2}$ de $-\sqrt{2}$.

Pour une équation de degré $3$ dont on note les solutions $r_1$, $r_2$ et $r_3$, il y a $3! = 6$ façons de les permuter : ne rien changer, échanger deux solutions (trois possibilités), ou les faire tourner (deux possibilités). Si l'on enchaîne deux de ces permutations, on obtient encore l'une des six ; chacune peut être défaite par une autre. Un tel ensemble, stable par composition, s'appelle un groupe : Galois est le premier à employer ce mot dans ce sens.

À chaque équation, Galois associe ainsi son groupe. Son théorème, dit en mots, affirme qu'une équation est résoluble par radicaux exactement lorsque son groupe peut être « décomposé » en étapes simples, d'une manière qu'il définit précisément. Pour l'équation générale de degré $5$, le groupe est formé des $5! = 120$ permutations et cette décomposition est impossible. C'est le cas par exemple de $x^5-x-1=0$ : elle a une solution réelle, environ $1{,}1673$, que l'on peut approcher autant qu'on veut par dichotomie, mais qu'on ne peut écrire avec des racines.

Le groupe des six permutations de trois solutions est aussi celui des six symétries d'un triangle équilatéral (trois symétries axiales, deux rotations et l'identité), puisque ces symétries permutent les trois sommets. Cette coïncidence n'en est pas une : la notion de groupe décrit les symétries de toutes sortes d'objets. Elle sert aujourd'hui à classer les cristaux, à étudier le Rubik's cube, à construire des codes de cryptographie et elle est au cœur de la physique des particules. Après Galois, les mathématiques ne s'intéressent plus seulement aux nombres et aux figures, mais aux structures, une évolution que prolongera notamment Emmy Noether au XX^e siècle.