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En 1894, le capitaine Alfred Dreyfus est condamné pour trahison sur la foi d'une seule pièce : une lettre anonyme, le « bordereau ». Parmi les experts appelés à comparer les écritures, Alphonse Bertillon, le fondateur de l'identification judiciaire, affirme pouvoir prouver la culpabilité de Dreyfus par un calcul de probabilité. Dix ans plus tard, trois des plus grands savants français, Henri Poincaré, Paul Appell et Gaston Darboux, démontent ce calcul devant la Cour de cassation.
L'affaire est un cas d'école : une probabilité calculée de travers a pesé sur la vie d'un homme. Les outils pour comprendre l'erreur sont ceux de terminale : la loi binomiale, l'espérance, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, les probabilités conditionnelles et la formule de Bayes. Ce texte rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
L'affaire Dreyfus a duré douze ans et divisé la France entre dreyfusards et antidreyfusards, sur fond d'antisémitisme. On ne retient ici que les moments où l'expertise de l'écriture, et donc les probabilités, jouent un rôle.
- Septembre 1894. Le contre-espionnage français récupère à l'ambassade d'Allemagne une lettre non signée qui annonce l'envoi de documents militaires : le bordereau. Les soupçons se portent sur Alfred Dreyfus, officier stagiaire à l'état-major, juif et alsacien, dont l'écriture paraît « analogue ».
- Octobre 1894. Les experts en écriture se contredisent. Alphonse Bertillon, chef du service de l'identité judiciaire à la préfecture de police, conclut que Dreyfus a déguisé sa propre écriture : c'est la thèse de « l'autoforgerie ». Dreyfus est arrêté le 15 octobre.
- 22 décembre 1894. Dreyfus est condamné à l'unanimité par le Conseil de guerre, à huis clos, après la communication illégale aux juges d'un « dossier secret ». Il est dégradé le 5 janvier 1895, puis déporté à l'île du Diable, en Guyane.
- 1896-1898. Le lieutenant-colonel Picquart découvre que l'écriture du bordereau est celle du commandant Esterhazy. Esterhazy est acquitté en janvier 1898 ; Émile Zola publie « J'accuse » le 13 janvier. En août, on découvre que le commandant Henry a fabriqué un faux pour accabler Dreyfus.
- Août-septembre 1899. Second procès, devant le Conseil de guerre de Rennes. Bertillon y expose longuement son système, croquis à l'appui. Le mathématicien Paul Painlevé lit à l'audience une lettre d'Henri Poincaré qui juge ce travail dépourvu de toute valeur scientifique. Dreyfus est pourtant condamné à nouveau, « avec circonstances atténuantes », puis gracié le 19 septembre.
- 1904. La chambre criminelle de la Cour de cassation reprend l'enquête et demande à Henri Poincaré, Paul Appell et Gaston Darboux d'examiner les « systèmes » de Bertillon et de ses émules. Leur rapport, rédigé pour l'essentiel par Poincaré, est sans appel.
- 12 juillet 1906. La Cour de cassation annule le jugement de Rennes, sans renvoi devant un autre tribunal : Dreyfus est réhabilité et réintégré dans l'armée.
Alphonse Bertillon n'est pas expert en écriture. Il est célèbre pour avoir inventé, dans les années 1880, une méthode d'identification des criminels par des mesures du corps (le « bertillonnage »), puis la photographie judiciaire de face et de profil. Il aborde le bordereau avec la même méthode : mesurer.
Sa thèse est étrange. L'écriture du bordereau ressemble à celle de Dreyfus, mais en diffère sur bien des points. Pour Bertillon, ces différences ne disculpent pas Dreyfus : elles prouvent qu'il a imité sa propre écriture en la truquant, pour pouvoir dire, selon le cas, qu'on l'imitait ou que ce n'était pas la sienne.
Pour le « démontrer », Bertillon pose sur des photographies du bordereau un quadrillage. Il affirme que l'auteur a écrit en calquant un gabarit, formé d'après le mot « intérêt » répété, et réglé sur le kutsch, une unité de $1{,}25$ mm des cartes d'état-major. La preuve serait que certaines lettres tombent « trop souvent » aux mêmes places du quadrillage.
Voici l'argument tel que le rapport de 1904 le résume. Dans le bordereau, certains mots de plusieurs syllabes apparaissent deux fois (les « polysyllabes redoublés »). Leurs lettres initiales et finales forment $26$ lettres. Bertillon regarde la position de chacune par rapport à son quadrillage et compte les coïncidences, c'est-à-dire les lettres qui tombent à la même place dans les deux occurrences du mot. Il en trouve $4$.
Il estime ensuite à $0{,}2$ la probabilité qu'une lettre donne une coïncidence par hasard, et il conclut :
$$0{,}2 \times 0{,}2 \times 0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}2^4 = 0{,}0016.$$Une chance sur $625$ : selon lui, le hasard ne peut pas l'expliquer, donc le bordereau a été fabriqué, donc il est de Dreyfus. Chaque étape de ce raisonnement est fausse. La suite du texte examine les deux premières, qui sont mathématiques.
Avant les $26$ lettres, prenons-en $3$, avec la même probabilité $0{,}2$ de coïncidence pour chacune, et supposons que les lettres se comportent de façon indépendante. Quelle est la probabilité d'avoir au moins une coïncidence ?
Le contraire de « au moins une coïncidence » est « aucune coïncidence ». Chaque lettre ne coïncide pas avec la probabilité $1 - 0{,}2 = 0{,}8$, donc, par indépendance,
$$P(\text{aucune}) = 0{,}8^3 = 0{,}512,$$ $$P(\text{au moins une}) = 1 - 0{,}512 = 0{,}488.$$Avec seulement trois lettres, on a déjà presque une chance sur deux de trouver une coïncidence. Plus on regarde de lettres, plus il devient probable d'en trouver : c'est exactement ce que le calcul de Bertillon oublie.
Pour chacune des $26$ lettres, on a une épreuve de Bernoulli : « succès » si la lettre coïncide, avec la probabilité $p = 0{,}2$ ; « échec » sinon. On suppose, comme Bertillon le fait implicitement, que ces épreuves sont identiques et indépendantes. Le nombre $Y$ de coïncidences suit alors la loi binomiale de paramètres $n = 26$ et $p = 0{,}2$ : pour tout entier $k$ entre $0$ et $26$,
$$P(Y = k) = \binom{26}{k} \times 0{,}2^k \times 0{,}8^{26-k}.$$Le coefficient binomial $\dbinom{26}{k}$ compte le nombre de façons de choisir les $k$ lettres qui coïncident parmi les $26$ : c'est le facteur que Bertillon a oublié.
Ce que Bertillon a vraiment calculé. Si on n'avait regardé que $4$ lettres, le nombre $X$ de coïncidences suivrait la loi binomiale de paramètres $4$ et $0{,}2$, et
$$\begin{aligned} P(X = 4) &= \binom{4}{4} \times 0{,}2^4 \times 0{,}8^0 \\ &= 0{,}0016. \end{aligned}$$C'est la remarque de Poincaré : $0{,}0016$ est la probabilité de « $4$ coïncidences sur $4$ », pas de « $4$ coïncidences sur $26$ ».
Le bon calcul. Avec $\dbinom{26}{4} = \dfrac{26 \times 25 \times 24 \times 23}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 14\,950$,
$$\begin{aligned} P(Y = 4) &= 14\,950 \times 0{,}2^4 \times 0{,}8^{22} \\ &\approx 0{,}176. \end{aligned}$$Mais la question pertinente n'est pas « exactement $4$ » : si Bertillon avait trouvé $5$ ou $6$ coïncidences, il aurait conclu de la même façon. Il faut donc calculer la probabilité d'en trouver au moins $4$, par l'événement contraire :
$$P(Y \geqslant 4) = 1 - P(Y \leqslant 3).$$| $k$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $\binom{26}{k}$ | $1$ | $26$ | $325$ | $2\,600$ |
| $P(Y=k)$ | $0{,}0030$ | $0{,}0196$ | $0{,}0614$ | $0{,}1228$ |
La somme de la dernière ligne vaut environ $0{,}2068$, donc
$$P(Y \geqslant 4) \approx 1 - 0{,}2068 \approx 0{,}79.$$Le rapport de 1904 annonce « $0{,}7$, c'est-à-dire $400$ fois plus grande ». Le calcul exact donne environ $0{,}79$, soit près de $500$ fois $0{,}0016$ ; l'ordre de grandeur est le même, et la conclusion aussi : avec ses propres hypothèses, Bertillon avait environ quatre chances sur cinq de trouver au moins $4$ coïncidences par pur hasard.
L'espérance d'une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ vaut $np$. Ici,
$$E(Y) = 26 \times 0{,}2 = 5{,}2.$$En moyenne, le hasard seul produit donc environ cinq coïncidences. Bertillon en a trouvé quatre, c'est-à-dire moins que ce que le hasard donne en moyenne. Loin d'être une anomalie, son observation est parfaitement banale.
Le programme suivant refait le calcul exact, puis simule $100\,000$ « bordereaux » écrits sans aucun trucage, où chacune des $26$ lettres coïncide avec la probabilité $0{,}2$, et compte ceux qui présentent au moins $4$ coïncidences.
La fréquence change un peu d'une exécution à l'autre. La loi des grands nombres dit que plus le nombre de bordereaux simulés est grand, plus il est probable que cette fréquence soit proche de la probabilité exacte, environ $0{,}79$.
Le modèle binomial suppose que les lettres coïncident indépendamment les unes des autres, avec la même probabilité. C'est discutable : une personne qui écrit deux fois le même mot le trace souvent de façon semblable, ce qui rend les coïncidences encore plus probables. Et la valeur $0{,}2$ est une estimation de Bertillon lui-même. Le rapport ne valide pas ce modèle : il montre seulement que, même en acceptant toutes les hypothèses de Bertillon, sa conclusion ne tient pas.
Le rapport va plus loin. Même un calcul juste ne prouverait rien, car Bertillon a choisi ce qu'il comptait après avoir regardé le document. Poincaré prend l'exemple d'une loterie :
Si le n° 25 sort à la loterie, ce sera un événement dont la probabilité a priori était très faible, puisque les billets étaient fort nombreux ; mais cela ne veut pas dire que le tirage n'a pas été loyal, car il fallait bien qu'un numéro sortît ou un autre.
Chaque numéro a une faible probabilité, mais l'un d'eux sort forcément. De même, un document quelconque présente forcément des particularités : ce qu'il faut évaluer, dit le rapport, c'est « la probabilité d'une coïncidence quelconque parmi celles que vous compteriez à votre actif si elle se produisait ».
Le rapport chiffre l'idée : avec un millier de lettres dans le bordereau, les écarts entre leurs positions donnent environ $999\,000$ nombres qu'un chercheur obstiné peut examiner. Prenons un exemple numérique (ce n'est pas un chiffre du rapport) : supposons que chacun de ces nombres ait une chance sur cent de paraître « remarquable », indépendamment des autres. Le nombre $R$ de nombres remarquables suit la loi binomiale de paramètres $999\,000$ et $0{,}01$, donc
$$E(R) = 999\,000 \times 0{,}01 = 9\,990.$$Près de dix mille « coïncidences » sont attendues sans aucun trucage. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev dit même qu'on est presque sûr d'en trouver beaucoup. La variance vaut
$$V(R) = 999\,000 \times 0{,}01 \times 0{,}99 \approx 9\,890,$$et pour tout réel $\delta > 0$, $P\big(|R - E(R)| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V(R)}{\delta^2}$. Avec $\delta = 990$ :
$$P\big(|R - 9\,990| \geqslant 990\big) \leqslant \frac{9\,890}{990^2} \approx 0{,}01.$$Avec une probabilité d'au moins $0{,}99$, le hasard seul fournit donc plus de $9\,000$ coïncidences. C'est la conclusion du rapport : trouver $10\,000$ coïncidences après dix ans de recherche, « c'est presque la certitude ».
Ce piège porte aujourd'hui plusieurs noms : on parle du « tireur d'élite texan », qui tire sur une grange puis peint la cible autour de l'impact, ou des comparaisons multiples en statistique. On le retrouve dans l'astrologie, les « codes cachés » de la Bible ou les grappes de maladies trouvées en cherchant partout à la fois.
Le premier chapitre du rapport porte un titre inattendu dans un dossier judiciaire : « Notions sur la probabilité des causes ». Poincaré y distingue deux questions. La probabilité des effets : connaissant la cause, quelle est la probabilité d'une observation ? La probabilité des causes : ayant fait une observation, quelle est la probabilité de telle ou telle cause ? Devant le bordereau, l'effet est connu (des coïncidences) et la cause est cherchée (écriture naturelle ou forgerie). C'est la question que traite la formule de Bayes.
Poincaré prend deux urnes d'aspect identique. L'urne $U_1$ contient $90$ boules blanches et $10$ noires, l'urne $U_2$ contient $10$ blanches et $90$ noires. On choisit une urne au hasard, on tire une boule : elle est blanche. Quelle est la probabilité qu'on ait puisé dans l'urne $U_1$ ?
Étape 1 : les chemins qui mènent à $B$. Par la règle du produit sur les branches,
$$P(U_1 \cap B) = 0{,}5 \times 0{,}9 = 0{,}45,$$ $$P(U_2 \cap B) = 0{,}5 \times 0{,}1 = 0{,}05.$$Étape 2 : la formule des probabilités totales. Les événements $U_1$ et $U_2$ forment une partition de l'univers, donc
$$P(B) = 0{,}45 + 0{,}05 = 0{,}5.$$Étape 3 : la probabilité de la cause. Par définition d'une probabilité conditionnelle,
$$P_B(U_1) = \frac{P(U_1 \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}45}{0{,}5} = 0{,}9.$$C'est la valeur $\dfrac{9}{10}$ du rapport.
Poincaré ajoute aussitôt : ce $0{,}9$ vient de ce qu'on n'avait a priori aucune raison de préférer une urne à l'autre. Prenons maintenant $11$ urnes, dont $10$ composées comme $U_1$ et une seule comme $U_2$. On choisit une urne au hasard parmi les $11$ ; alors $P(U_1) = \dfrac{10}{11}$ et $P(U_2) = \dfrac{1}{11}$, et la même démarche donne
$$\begin{aligned} P_B(U_1) &= \frac{\frac{10}{11} \times 0{,}9}{\frac{10}{11} \times 0{,}9 + \frac{1}{11} \times 0{,}1} \\ &= \frac{9}{9{,}1} \approx 0{,}989. \end{aligned}$$Avec la proportion inverse ($1$ urne comme $U_1$ et $10$ comme $U_2$), la même boule blanche ne donne plus que
$$\begin{aligned} P_B(U_1) &= \frac{\frac{1}{11} \times 0{,}9}{\frac{1}{11} \times 0{,}9 + \frac{10}{11} \times 0{,}1} \\ &= \frac{0{,}9}{1{,}9} \approx 0{,}47. \end{aligned}$$La même observation conduit à des conclusions opposées selon la probabilité qu'on accordait à chaque cause avant de l'observer. C'est le cœur de l'objection de Poincaré.
Soit $A_1$, $A_2$, …, $A_m$ des événements de probabilités non nulles qui forment une partition de l'univers (les causes possibles), et $B$ un événement de probabilité non nulle (l'observation).
Étape 1. Par définition, $P_B(A_1) = \dfrac{P(A_1 \cap B)}{P(B)}$, et $P(A_1 \cap B) = P(A_1) \times P_{A_1}(B)$.
Étape 2. Par la formule des probabilités totales,
$$P(B) = \sum_{i=1}^{m} P(A_i) \times P_{A_i}(B).$$Étape 3. En remplaçant, on obtient la formule de Bayes :
$$P_B(A_1) = \frac{P(A_1) \times P_{A_1}(B)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{m} P(A_i) \times P_{A_i}(B)}.$$Le rapport en tire la liste de ce qu'il faut connaître pour remonter d'un effet à une cause : « quelle était a priori, avant l'événement, la probabilité de cette cause », c'est-à-dire les $P(A_i)$ ; et « quelle serait pour chacune des causes possibles, la probabilité de l'événement constaté », c'est-à-dire les $P_{A_i}(B)$.
Poincaré constate que la probabilité a priori de la culpabilité ne peut pas être calculée. Il propose alors de ne dire qu'une chose : « par la constatation de cette coïncidence, ce rapport devient tant de fois plus grand qu'avant la constatation ». Ce « rapport » est celui de la probabilité de la forgerie à celle de l'écriture naturelle. On peut le démontrer en terminale.
Notons $F$ l'événement « le bordereau est truqué », $\overline{F}$ son contraire, et $B$ l'observation. On écrit la formule de Bayes pour $F$ et pour $\overline{F}$ : les deux fractions ont le même dénominateur $P(B)$, qui disparaît quand on fait leur quotient.
c'est-à-dire
$$\underbrace{\frac{P_B(F)}{P_B(\overline{F})}}_{\text{après}} = \underbrace{\frac{P(F)}{P(\overline{F})}}_{\text{avant}} \times \underbrace{\frac{P_F(B)}{P_{\overline{F}}(B)}}_{\text{facteur}}.$$L'observation multiplie le rapport des chances par le facteur $\dfrac{P_F(B)}{P_{\overline{F}}(B)}$, qu'on appelle aujourd'hui le rapport de vraisemblance. Ce facteur, lui, peut s'estimer sans rien savoir de l'accusé : c'est exactement ce que propose le rapport.
Application au bordereau (une illustration construite ici, pas un calcul du rapport). Prenons pour $B$ l'observation « au moins $4$ coïncidences ». Sous l'hypothèse d'une écriture naturelle, le modèle de Bertillon donne $P_{\overline{F}}(B) \approx 0{,}79$. Comme Poincaré, prenons l'hypothèse la plus favorable à Bertillon : un faussaire obtiendrait ces coïncidences à coup sûr, $P_F(B) = 1$. Le facteur vaut alors au plus
$$\frac{1}{0{,}79} \approx 1{,}26.$$Les quatre coïncidences ne multiplient les chances de la forgerie que par $1{,}26$ au plus : elles ne prouvent à peu près rien.
Le rapport termine son introduction par un argument de pure logique. Un autre expert, le capitaine Corps, avait proposé son propre système, incompatible avec celui de Bertillon, et accumulait lui aussi des coïncidences « impossibles par hasard ». Si les coïncidences de Bertillon ne sont pas dues au hasard, le faussaire a suivi la méthode de Bertillon, et Corps a tort ; si celles de Corps ne sont pas dues au hasard, Bertillon a tort. Les deux ne peuvent pas avoir raison ensemble : c'est donc le mode de raisonnement lui-même qui est vicieux. Le rapport remarque même que Bertillon a présenté deux versions de son système qui se contredisent.
Le passage le plus cité du rapport porte sur ce que les mathématiques ne peuvent pas faire. La probabilité a priori, écrit Poincaré, est ici formée d'« éléments moraux » : l'honnêteté de l'accusé, ses mobiles, les autres indices.
Cette probabilité a priori, dans des questions comme celle qui nous occupe, est uniquement formée d'éléments moraux qui échappent absolument au calcul, et si, comme nous venons de le voir, nous ne pouvons rien calculer sans la connaître, tout calcul devient impossible. Aussi Auguste Comte a-t-il dit avec juste raison que l'application du calcul des probabilités aux sciences morales était le scandale des mathématiques. […] En un mot, le calcul des probabilités n'est pas, comme on paraît le croire, une science merveilleuse qui dispense le savant d'avoir du bon sens.
Poincaré ne condamne pas les probabilités : il les utilise avec rigueur dans tout le rapport. Il condamne leur usage comme un argument d'autorité, des chiffres impressionnants destinés à remplacer le jugement. Le contraste est frappant avec Condorcet et Laplace, qui espéraient au XVIIIe siècle appliquer le calcul aux témoignages et aux jugements des tribunaux.
Les erreurs de Bertillon n'ont pas disparu. Multiplier des probabilités sans justifier l'indépendance, confondre la probabilité d'une observation sous une hypothèse avec la probabilité de l'hypothèse sachant l'observation (l'« erreur du procureur »), présenter un chiffre minuscule comme une preuve : ce sont exactement les erreurs du procès de Sally Clark, en Angleterre, en 1999. Le texte L'affaire Sally Clark les détaille, et Prendre des décisions avec les probabilités présente la formule de Bayes appliquée aux tests et aux tribunaux. Les expertises par l'ADN posent aujourd'hui les mêmes questions : une probabilité de coïncidence d'« une chance sur un million » ne dit rien seule de la culpabilité si l'on a comparé l'empreinte à un million de profils.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : la loi binomiale et le rôle du coefficient binomial ; l'espérance comme « ce qu'on doit attendre du hasard » ; l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ; la formule de Bayes et le rapport des chances.
- HGGSP : l'affaire Dreyfus, l'antisémitisme et la presse ; le rôle des savants dans l'affaire (Poincaré, Painlevé, Appell, Darboux, Hadamard) ; la naissance de la police scientifique.
- SES : l'expertise et la décision publique ; l'usage des chiffres comme argument d'autorité ; les biais de raisonnement face au hasard.
- HLP : peut-on calculer la vérité d'un jugement ? Le « scandale des mathématiques » selon Comte et Poincaré ; le savant face à l'opinion.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : l'épreuve et le schéma de Bernoulli ; la loi binomiale, son espérance et sa variance ; les coefficients binomiaux et leur calcul ; la probabilité de l'événement contraire ; les probabilités conditionnelles, les arbres pondérés et la formule des probabilités totales ; l'indépendance ; l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la loi des grands nombres.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Le rapport de Darboux, Appell et Poincaré (texte intégral, PDF).
- R. Mansuy et L. Mazliak, « Introduction au rapport de Poincaré pour le procès en cassation de Dreyfus en 1904 », Journal électronique d'histoire des probabilités et de la statistique, 2005.
- Chronologie de l'affaire Dreyfus et Alphonse Bertillon (Wikipédia).
- Sur ce site : l'ancienne page sur l'affaire, avec la chronologie détaillée et de longs extraits du rapport ; L'affaire Sally Clark ; Prendre des décisions avec les probabilités ; La mathématique sociale de Condorcet (le calcul appliqué aux jugements) ; La planche de Galton (loi binomiale et loi des grands nombres).