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Une voiture fait l'aller à $60$ km/h et le retour à $90$ km/h : sa vitesse moyenne n'est pas $75$ km/h. Un placement gagne $50\,\%$ une année et perd $50\,\%$ l'année suivante : on n'est pas revenu au point de départ. Un agriculteur veut enclore le plus grand champ possible avec une clôture de longueur donnée. Une personne préfère payer une assurance plus chère que la perte moyenne qu'elle risque. Une bille posée au fond d'une cuvette y reste, posée au sommet d'une bosse elle tombe.
Derrière toutes ces situations se cache la même notion, au programme de terminale : la convexité. Une fonction convexe a une courbe « tournée vers le haut », et cette simple propriété géométrique produit une quantité d'inégalités utiles, que l'on démontre avec la dérivée. Ce texte rassemble ces connaissances : dérivée et dérivée seconde, tangentes, fonctions exponentielle et logarithme, récurrence, optimisation. Il ne propose pas de Grand Oral tout fait : à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
- Qu'est-ce qu'une fonction convexe ?
- Les inégalités de tangente
- Le point d'inflexion
- La moyenne arithmétique et la moyenne géométrique
- Avec $n$ nombres : le logarithme au secours
- Optimiser sans dériver : le champ et la rivière
- Quatre moyennes et leurs usages
- L'aversion au risque et l'assurance
- L'équilibre stable en physique
- Un peu d'histoire
- Des directions pour construire sa question
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Le cours de terminale définit la convexité par la position de la courbe par rapport à ses cordes : $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous points $A$ et $B$ de sa courbe, l'arc entre $A$ et $B$ est situé sous le segment $[AB]$. Elle est concave si l'arc est au-dessus.
Le cours relie ensuite cette définition à la dérivée :
- $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si sa dérivée $f'$ est croissante sur $I$ ;
- si $f'$ est elle-même dérivable, cela revient à dire que la dérivée seconde vérifie $f'' \geqslant 0$ sur $I$ ;
- et alors la courbe de $f$ est située au-dessus de chacune de ses tangentes.
Pour une fonction concave, tout s'inverse : $f'$ décroissante, $f'' \leqslant 0$, courbe sous ses tangentes et au-dessus de ses cordes.
L'idée est simple à voir : si la pente augmente quand on avance vers la droite, la courbe « se relève » sans cesse. Elle s'écarte donc vers le haut de chacune de ses tangentes, et elle reste sous les segments qui relient deux de ses points.
| fonction | $f''(x)$ | sur | conclusion |
|---|---|---|---|
| $x^2$ | $2$ | $\mathbb{R}$ | convexe |
| $\mathrm{e}^x$ | $\mathrm{e}^x$ | $\mathbb{R}$ | convexe |
| $\ln x$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $]0 ; +\infty[$ | concave |
| $\sqrt{x}$ | $-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}$ | $]0 ; +\infty[$ | concave |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\dfrac{2}{x^3}$ | $]0 ; +\infty[$ | convexe |
| $x^3$ | $6x$ | $\mathbb{R}$ | concave puis convexe |
La figure suivante permet de le voir. Les curseurs déplacent un point $A$, où l'on trace la tangente, et un point $B$, avec lequel on trace la corde $[AB]$.
Une animation du site montre aussi le lien entre la convexité et la croissance de la dérivée : animation sur la convexité.
Dire que la courbe d'une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes, c'est écrire une inégalité. En choisissant bien la fonction et le point, on obtient des inégalités célèbres. La méthode est toujours la même, et elle est au cœur du programme : on étudie le signe de la différence entre la fonction et la tangente.
La tangente à la courbe de l'exponentielle en $0$ a pour équation $y = \mathrm{e}^0 + \mathrm{e}^0(x - 0)$, soit $y = 1 + x$. Comparons quelques valeurs :
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\mathrm{e}^x$ | $0{,}135$ | $0{,}368$ | $1$ | $1{,}649$ | $2{,}718$ | $7{,}389$ |
| $1 + x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $1{,}5$ | $2$ | $3$ |
À chaque fois, $\mathrm{e}^x \geqslant 1 + x$, avec égalité seulement en $0$. Démontrons-le pour tout réel.
Étape 1. On pose, pour tout réel $x$, $g(x) = \mathrm{e}^x - 1 - x$. La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'(x) = \mathrm{e}^x - 1$.
Étape 2. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante et $\mathrm{e}^0 = 1$, on a $g'(x) < 0$ pour $x < 0$ et $g'(x) > 0$ pour $x > 0$.
Étape 3. Donc $g$ est décroissante sur $]-\infty ; 0]$, croissante sur $[0 ; +\infty[$, et admet un minimum en $0$ égal à $g(0) = 1 - 1 - 0 = 0$.
Conclusion. Pour tout réel $x$, $g(x) \geqslant 0$, c'est-à-dire $\mathrm{e}^x \geqslant 1 + x$.
On peut aussi l'obtenir directement par le cours : l'exponentielle est convexe, donc sa courbe est au-dessus de sa tangente en $0$. L'étude de $g$ a l'avantage de tout redémontrer.
Étape 1. La tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $1$ a pour équation $y = \ln 1 + \frac{1}{1}(x - 1)$, soit $y = x - 1$.
Étape 2. On pose $h(x) = x - 1 - \ln x$ sur $]0 ; +\infty[$. Alors $h'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}$, du signe de $x - 1$ puisque $x > 0$.
Étape 3. Donc $h$ est décroissante sur $]0 ; 1]$, croissante sur $[1 ; +\infty[$, et son minimum est $h(1) = 0$.
Conclusion. Pour tout $x > 0$, $\ln x \leqslant x - 1$, avec égalité seulement pour $x = 1$. C'est l'inégalité précédente « vue dans un miroir » : la fonction $\ln$ est concave, sa courbe est sous sa tangente.
Étape 1. On pose $k(x) = x - \sin x$ sur $[0 ; +\infty[$. Alors $k'(x) = 1 - \cos x$.
Étape 2. Comme $\cos x \leqslant 1$ pour tout réel, $k'(x) \geqslant 0$ : la fonction $k$ est croissante sur $[0 ; +\infty[$.
Conclusion. Pour tout $x \geqslant 0$, $k(x) \geqslant k(0) = 0$, donc $\sin x \leqslant x$. Ici, ce n'est pas la convexité qui sert (le sinus change de convexité), mais la même méthode : comparer à la tangente en $0$, qui est la droite $y = x$.
Appliquons $\ln x \leqslant x - 1$ à $x = 1 + \frac{1}{n}$, pour un entier $n \geqslant 1$ :
$$\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \leqslant \frac{1}{n}.$$En multipliant par $n > 0$, on obtient $n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \leqslant 1$, et comme la fonction exponentielle est croissante :
$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leqslant \mathrm{e}.$$Pour $n = 10$, on trouve $2{,}594$ ; pour $n = 100$, $2{,}705$ : la suite s'approche de $\mathrm{e} \approx 2{,}718$ par en dessous. En finance, cela dit qu'un placement à $100\,\%$ par an rapporte au plus $\mathrm{e}$ fois la mise, aussi souvent que l'on capitalise les intérêts.
Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : la fonction passe de concave à convexe, ou l'inverse. Pour une fonction deux fois dérivable, cela se produit là où $f''$ s'annule en changeant de signe.
Exemple à la main. Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$. Alors $f'(x) = 3x^2 - 6x$ et $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$. La dérivée seconde est négative pour $x < 1$ et positive pour $x > 1$ : $f$ est concave sur $]-\infty ; 1]$, convexe sur $[1 ; +\infty[$, et le point $(1 ; -1)$ est un point d'inflexion.
Attention. $f''(a) = 0$ ne suffit pas : pour $f(x) = x^4$, $f''(x) = 12x^2$ s'annule en $0$ sans changer de signe, et la fonction est convexe partout.
Un exemple réel. Pendant une épidémie, le nombre total de cas augmente d'abord de plus en plus vite (courbe convexe), puis de moins en moins vite (courbe concave). Le point d'inflexion correspond au moment où le nombre de nouveaux cas par jour, qui est la dérivée, atteint son maximum : c'est le « pic » de l'épidémie. Dans un modèle logistique, il est atteint quand la moitié de l'effectif final est touchée (voir le texte sur les épidémies).
Pour deux nombres positifs $a$ et $b$, la moyenne arithmétique est $\dfrac{a + b}{2}$ et la moyenne géométrique est $\sqrt{ab}$. Par exemple, pour $4$ et $9$ : $\frac{4 + 9}{2} = 6{,}5$ et $\sqrt{36} = 6$. Pour $1$ et $100$ : $50{,}5$ et $10$. La moyenne géométrique semble toujours plus petite.
Étape 1. Un carré est positif : $\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2 \geqslant 0$.
Étape 2. On développe : $a - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b \geqslant 0$, donc $2\sqrt{ab} \leqslant a + b$.
Conclusion. En divisant par $2$ : $\sqrt{ab} \leqslant \dfrac{a + b}{2}$, avec égalité si et seulement si $\sqrt{a} = \sqrt{b}$, c'est-à-dire $a = b$.
Euclide construisait déjà la moyenne géométrique à la règle et au compas (Éléments, livre VI). On place bout à bout deux segments de longueurs $a$ et $b$ sur un diamètre, et l'on trace le demi-cercle. La hauteur élevée au point de jonction mesure $\sqrt{ab}$ (par le théorème de Pythagore dans les deux petits triangles rectangles), tandis que le rayon mesure $\frac{a + b}{2}$. Une demi-corde ne peut pas dépasser le rayon : c'est l'inégalité.
Un rectangle de côtés $a$ et $b$ a pour périmètre $2(a + b)$ et pour aire $ab$. Le carré de même périmètre a pour côté $\frac{a + b}{2}$ et pour aire $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2$. L'inégalité, élevée au carré, dit exactement :
$$ab \leqslant \left(\frac{a + b}{2}\right)^2.$$À périmètre égal, le carré a la plus grande aire de tous les rectangles. Un rectangle de $1$ m sur $9$ m (périmètre $20$ m) a une aire de $9\ \text{m}^2$, le carré de $5$ m de côté a une aire de $25\ \text{m}^2$.
Pour $n$ nombres strictement positifs $x_1, x_2, \dots, x_n$, la moyenne arithmétique est
$$m = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n},$$et la moyenne géométrique est $g = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}$, c'est-à-dire le nombre positif dont la puissance $n$-ième est le produit. Avec $2$, $8$ et $4$ : $m = \frac{14}{3} \approx 4{,}67$ et $g = \sqrt[3]{64} = 4$. L'inégalité $g \leqslant m$ reste vraie, et l'inégalité de tangente $\ln x \leqslant x - 1$ en donne une démonstration très courte.
Étape 1. Pour chaque $i$, on applique $\ln x \leqslant x - 1$ au nombre $\dfrac{x_i}{m}$, qui est strictement positif :
$$\ln\left(\frac{x_i}{m}\right) \leqslant \frac{x_i}{m} - 1.$$Étape 2. On additionne ces $n$ inégalités. À gauche, la somme des logarithmes est le logarithme du produit :
$$\begin{aligned} &\ln\left(\frac{x_1 x_2 \cdots x_n}{m^n}\right) \\ &\leqslant \frac{x_1 + \cdots + x_n}{m} - n. \end{aligned}$$Étape 3. Par définition de $m$, $x_1 + \cdots + x_n = nm$, donc le membre de droite vaut $\frac{nm}{m} - n = 0$. Ainsi
$$\ln\left(\frac{x_1 x_2 \cdots x_n}{m^n}\right) \leqslant 0.$$Étape 4. Un nombre positif dont le logarithme est négatif est inférieur à $1$ : $x_1 x_2 \cdots x_n \leqslant m^n$, c'est-à-dire $g^n \leqslant m^n$.
Conclusion. La fonction $t \mapsto t^n$ étant strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$, on obtient $g \leqslant m$. Il y a égalité seulement si chaque inégalité de l'étape 1 est une égalité, c'est-à-dire si $\frac{x_i}{m} = 1$ pour tout $i$ : tous les nombres sont égaux.
On peut aussi lire l'inégalité avec la concavité du logarithme. Dire que la courbe de $\ln$ est au-dessus de ses cordes, c'est dire que le logarithme de la moyenne est supérieur à la moyenne des logarithmes. Pour deux nombres :
$$\ln\left(\frac{a + b}{2}\right) \geqslant \frac{\ln a + \ln b}{2} = \ln\left(\sqrt{ab}\right).$$Le mathématicien danois Johan Jensen a énoncé en 1906 la forme générale de ce principe : pour une fonction convexe $f$ et des nombres $x_1, \dots, x_n$,
$$f(m) \leqslant \frac{f(x_1) + \cdots + f(x_n)}{n},$$où $m = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}$ est la moyenne arithmétique des nombres.
« L'image de la moyenne est inférieure à la moyenne des images. » Le cas de deux nombres est la position de la courbe sous sa corde, au programme de terminale (admise) ; le cas général se démontre par récurrence, ou, comme ci-dessus, grâce à une tangente au point d'abscisse $m$. Avec $f(x) = x^2$, le principe donne par exemple $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leqslant \frac{a^2 + b^2}{2}$, que l'on retrouvera plus bas.
Un agriculteur dispose de $L = 200$ mètres de clôture pour fermer un champ rectangulaire le long d'une rivière rectiligne : le côté qui longe la rivière n'a pas besoin de clôture. On note $x$ la longueur des deux côtés perpendiculaires à la rivière et $y$ celle du côté parallèle. Alors $2x + y = 200$ et l'aire vaut $xy$.
On a $y = 200 - 2x$, donc l'aire est $A(x) = x(200 - 2x) = 200x - 2x^2$ pour $x \in [0 ; 100]$. Alors $A'(x) = 200 - 4x$, positive pour $x < 50$ et négative ensuite : le maximum est atteint pour $x = 50$, $y = 100$, et vaut $5\,000\ \text{m}^2$.
On écrit l'aire comme la moitié du produit des deux nombres $2x$ et $y$, dont la somme est fixée :
$$\begin{aligned} xy &= \frac{1}{2} \times (2x) \times y \\ &\leqslant \frac{1}{2}\left(\frac{2x + y}{2}\right)^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 100^2 = 5\,000. \end{aligned}$$L'égalité a lieu quand $2x = y$, donc pour $x = 50$ et $y = 100$. Le résultat est le même, sans aucun calcul de dérivée : le champ optimal est deux fois plus long que large. C'est la force des inégalités : elles donnent à la fois la valeur maximale et le cas où elle est atteinte.
La même idée montre qu'à volume fixé, le pavé droit de plus petite surface est le cube (inégalité pour trois nombres), et explique pourquoi de nombreux emballages et réservoirs ont des proportions proches de celles d'un cube ou d'un cylindre « aussi haut que large ».
Pour deux nombres strictement positifs $a$ et $b$, on définit quatre moyennes :
| moyenne | formule | $a = 60$, $b = 90$ |
|---|---|---|
| harmonique | $h = \dfrac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ | $72$ |
| géométrique | $g = \sqrt{ab}$ | $73{,}48$ |
| arithmétique | $m = \dfrac{a + b}{2}$ | $75$ |
| quadratique | $q = \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$ | $76{,}49$ |
Elles sont toujours rangées dans cet ordre : $h \leqslant g \leqslant m \leqslant q$, avec égalité seulement si $a = b$.
$h \leqslant g$. On applique $g \leqslant m$ aux nombres $\frac{1}{a}$ et $\frac{1}{b}$ : $\sqrt{\frac{1}{ab}} \leqslant \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$. En prenant les inverses de ces nombres positifs, l'ordre change : $\sqrt{ab} \geqslant \dfrac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$, soit $g \geqslant h$.
$m \leqslant q$. On calcule
$$\begin{aligned} q^2 - m^2 &= \frac{a^2 + b^2}{2} - \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \\ &= \frac{(a - b)^2}{4} \geqslant 0, \end{aligned}$$donc $m^2 \leqslant q^2$, et comme $m$ et $q$ sont positifs, $m \leqslant q$.
Une voiture parcourt $90$ km à l'aller à $60$ km/h, et les mêmes $90$ km au retour à $90$ km/h. L'aller dure $1{,}5$ h, le retour $1$ h : $180$ km en $2{,}5$ h, soit une vitesse moyenne de $72$ km/h, et non $75$. Sur des distances égales, la vitesse moyenne est la moyenne harmonique des vitesses : le trajet lent dure plus longtemps et « pèse » davantage. L'ordre des moyennes garantit qu'elle est toujours inférieure à la moyenne arithmétique.
Un placement gagne $30\,\%$ la première année et perd $20\,\%$ la seconde. Les coefficients multiplicateurs sont $1{,}3$ et $0{,}8$ : au bout de deux ans, le capital est multiplié par $1{,}3 \times 0{,}8 = 1{,}04$. Le taux annuel moyen correspond au coefficient $c$ tel que $c^2 = 1{,}04$, soit $c = \sqrt{1{,}04} \approx 1{,}0198$ : environ $+1{,}98\,\%$ par an. La moyenne arithmétique des taux, $\frac{30 - 20}{2} = 5\,\%$, surestime nettement la performance. Pour $+50\,\%$ puis $-50\,\%$, la moyenne arithmétique des taux est nulle, mais le capital est multiplié par $0{,}75$ : on a perdu un quart. Les organismes financiers présentent les performances sur plusieurs années par cette moyenne géométrique.
L'inégalité $m \leqslant q$ a un sens en statistiques : pour une série de valeurs, la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne est la variance, qui est positive (c'est la formule de König-Huygens). En physique, la moyenne quadratique est la valeur efficace : c'est elle qui compte pour l'énergie dissipée par un courant variable.
On propose à une personne deux choix : recevoir $50$ euros à coup sûr, ou jouer à pile ou face pour gagner $100$ euros ou rien. L'espérance de gain est la même, $50$ euros, mais la plupart des gens choisissent le gain certain. Les économistes disent qu'ils ont de l'aversion au risque.
En 1738, Daniel Bernoulli propose une explication : ce qui compte pour une personne n'est pas la somme d'argent $w$ elle-même, mais la satisfaction qu'elle en retire, mesurée par une fonction $u(w)$ appelée utilité. Et cette fonction est concave : les cent premiers euros comptent beaucoup plus que les cent euros qui s'ajoutent à un million. Bernoulli propose $u(w) = \ln w$ ; on utilise aussi $u(w) = \sqrt{w}$.
La convexité explique alors le comportement. Avec $u(w) = \sqrt{w}$, l'espérance d'utilité du jeu est $\frac{1}{2}\sqrt{100} + \frac{1}{2}\sqrt{0} = 5$, alors que l'utilité du gain certain est $\sqrt{50} \approx 7{,}07$. C'est exactement l'inégalité de Jensen pour une fonction concave : l'utilité de la moyenne est supérieure à la moyenne des utilités. Le gain certain qui procure la même satisfaction que le jeu, appelé équivalent certain, est le nombre $c$ tel que $\sqrt{c} = 5$, soit $c = 25$ euros : cette personne échangerait le jeu contre $25$ euros sûrs.
Une personne possède un patrimoine de $100\,000$ euros, dont une maison qu'un incendie, de probabilité $1\,\%$ dans l'année, ferait perdre $80\,000$ euros (chiffres choisis pour l'exemple). La perte moyenne est $0{,}01 \times 80\,000 = 800$ euros. Avec l'utilité de Bernoulli $u = \ln$, l'espérance d'utilité sans assurance est
$$E = 0{,}99 \ln(100\,000) + 0{,}01 \ln(20\,000).$$L'équivalent certain est $\mathrm{e}^{E} \approx 98\,403$ euros : cette personne est aussi satisfaite avec $98\,403$ euros sûrs qu'avec la situation risquée. Elle accepte donc de payer une prime d'assurance allant jusqu'à $100\,000 - 98\,403 \approx 1\,597$ euros, soit le double de la perte moyenne. L'assureur, qui mutualise des milliers de contrats, peut demander plus que $800$ euros et couvrir ses frais : la concavité de l'utilité rend l'assurance avantageuse pour les deux parties. Le même raisonnement explique la diversification des placements.
Ce modèle a ses limites, étudiées en économie comportementale : les mêmes personnes qui s'assurent achètent parfois des billets de loterie, ce qui montre une attitude face au risque plus compliquée qu'une seule fonction concave.
Un objet qui se déplace sur un axe, soumis à une force qui dérive d'une énergie potentielle $E_p(x)$, subit la force $F(x) = -E_p'(x)$ : elle pousse vers les énergies plus basses. Un équilibre est une position où la force est nulle, donc où $E_p'(x_0) = 0$.
Si l'énergie est convexe près de $x_0$, la courbe est en « cuvette » : un peu à droite de $x_0$, la dérivée, croissante, est positive et la force ramène vers la gauche ; un peu à gauche, elle ramène vers la droite. L'équilibre est stable. Si l'énergie est concave, en « bosse », la force éloigne de $x_0$ : l'équilibre est instable.
- Le ressort : $E_p(x) = \frac{1}{2}kx^2$ est convexe, et la position de repos $x = 0$ est stable.
- Le pendule : $E_p(\theta) = mgL(1 - \cos\theta)$, de dérivée seconde $mgL\cos\theta$. En $\theta = 0$ (pendule en bas), elle vaut $mgL > 0$ : équilibre stable. En $\theta = \pi$ (pendule à la verticale au-dessus de son axe), elle vaut $-mgL < 0$ : équilibre instable.
La figure montre une énergie « à double puits », $E_p(x) = x^4 - 2x^2$, qui sert de modèle simple à de nombreux systèmes ayant deux états stables (une molécule qui peut se replier de deux façons, un interrupteur, une règle qu'on comprime et qui flambe d'un côté ou de l'autre). On a $E_p'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1)$ : trois équilibres, en $-1$, $0$ et $1$. Et $E_p''(x) = 12x^2 - 4$, positive en $\pm 1$ (stables) et négative en $0$ (instable).
Le programme suivant tire au hasard des listes de nombres positifs, calcule les quatre moyennes et vérifie qu'elles sont toujours rangées dans
l'ordre. Il calcule ensuite la prime d'assurance maximale de l'exemple précédent. On peut changer la probabilité p ou la perte
perte et observer l'effet.
- Euclide (vers −300) construit la moyenne géométrique dans un demi-cercle, au livre VI des Éléments, et les Grecs connaissent les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique, qu'ils relient à la musique.
- Daniel Bernoulli, en 1738, introduit l'utilité logarithmique pour résoudre le paradoxe de Saint-Pétersbourg, un jeu d'espérance infinie que personne n'accepterait de payer cher.
- Augustin Cauchy démontre en 1821, dans son Cours d'analyse, l'inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique pour $n$ nombres, par une récurrence astucieuse (on passe de $n$ à $2n$, puis on redescend).
- Johan Jensen (1859-1925), ingénieur à la compagnie des téléphones de Copenhague et mathématicien amateur, publie en 1906 l'article qui fait des fonctions convexes un outil général : son inégalité est aujourd'hui partout, des probabilités à la théorie de l'information.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : démontrer une inégalité en étudiant une fonction ; la position d'une courbe par rapport à ses tangentes ; l'inégalité des moyennes et ses démonstrations (par un carré, par Euclide, par le logarithme) ; optimiser sans dériver ; le point d'inflexion.
- SES : l'aversion au risque et l'utilité concave ; l'assurance et la mutualisation ; le calcul d'un rendement moyen sur plusieurs années ; la diversification.
- Physique-chimie : la stabilité d'un équilibre et l'énergie potentielle ; la vitesse moyenne ; la valeur efficace d'un signal.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : la définition de la convexité et son lien avec la dérivée et la dérivée seconde ; la position par rapport aux tangentes et aux cordes ; le point d'inflexion ; l'étude du signe d'une fonction par sa dérivée ; l'équation d'une tangente ; les fonctions exponentielle, logarithme et racine carrée ; les propriétés algébriques de $\ln$ ; le raisonnement par récurrence ; l'espérance d'une variable aléatoire.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.