← Tous les textes du Grand Oral
MathsSES
Combien une entreprise doit-elle produire ? À quel prix un marché s'équilibre-t-il ? Qui paie vraiment une taxe : le vendeur ou l'acheteur ? Comment un consommateur répartit-il son budget ? La microéconomie étudie les décisions des agents économiques (ménages, entreprises) et leur rencontre sur les marchés. Depuis le XIXe siècle, elle s'écrit avec des fonctions, des dérivées et des intégrales.
Ce texte présente ses outils de base avec les mathématiques de terminale : dérivation et variations, logarithme, primitives et intégrales. Les exemples numériques sont inventés pour que les calculs se fassent à la main. Le texte rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
En 1838, le mathématicien français Antoine Augustin Cournot publie ses Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses. Il y écrit la quantité demandée d'un bien comme une fonction de son prix, et cherche le prix qui rend maximal le revenu d'un monopole en annulant une dérivée. Le livre passe presque inaperçu de son vivant.
Dans les années 1870, plusieurs économistes, dont le Français Léon Walras à Lausanne, fondent l'analyse « marginaliste » : les décisions se prennent en comparant ce que rapporte et ce que coûte une unité de plus, ce qui est l'idée même du nombre dérivé. Walras décrit l'équilibre simultané de tous les marchés. En 1890, le Britannique Alfred Marshall popularise dans ses Principes d'économie les courbes d'offre et de demande, l'élasticité et le surplus, que l'on présente ici.
Une entreprise fabrique une quantité $q$ d'un produit (en milliers d'unités, par exemple). Son coût total $C(q)$ comprend des coûts fixes (loyer, machines) et des coûts qui augmentent avec la production. Prenons l'exemple
$$C(q) = q^2 + 4q + 100, \qquad q > 0.$$- Le coût moyen est le coût d'une unité en moyenne : $C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q} = q + 4 + \dfrac{100}{q}$.
- Le coût marginal est le coût de la dernière unité produite. Les économistes l'écrivent comme la dérivée du coût total : $C_m(q) = C'(q) = 2q + 4$.
Pourquoi la dérivée ? Passer de $10$ à $11$ unités coûte $C(11) - C(10) = 265 - 240 = 25$, tandis que $C'(10) = 24$. Le nombre dérivé est la limite du coût supplémentaire par unité quand le supplément devient petit : c'est le coût de « l'unité de plus », à une approximation près.
| $q$ | $C(q)$ | $C_M(q)$ | $C_m(q)$ |
|---|---|---|---|
| $5$ | $145$ | $29$ | $14$ |
| $10$ | $240$ | $24$ | $24$ |
| $20$ | $580$ | $29$ | $44$ |
Le coût moyen baisse puis remonte : au début, les coûts fixes sont répartis sur de plus en plus d'unités ; ensuite, produire davantage devient de plus en plus cher. Dans le tableau, il est le plus bas en $q = 10$, là où il est égal au coût marginal. Ce n'est pas un hasard.
Étape 1 : la dérivée d'un quotient. $C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}$, donc
$$C_M'(q) = \frac{q\,C'(q) - C(q)}{q^2}.$$Étape 2 : on factorise par $q$. Comme $C(q) = q\,C_M(q)$,
$$C_M'(q) = \frac{q\big(C_m(q) - C_M(q)\big)}{q^2},$$et, en simplifiant par $q$,
$$C_M'(q) = \frac{C_m(q) - C_M(q)}{q}.$$Étape 3 : le signe. Comme $q > 0$, $C_M'(q)$ a le signe de $C_m(q) - C_M(q)$ : le coût moyen baisse quand le coût marginal est plus petit que lui, et augmente quand il est plus grand. En particulier, là où le coût moyen atteint un minimum, sa dérivée s'annule, donc $C_m(q) = C_M(q)$.
Vérification sur l'exemple. $C_M'(q) = 1 - \dfrac{100}{q^2} = \dfrac{q^2 - 100}{q^2}$, négatif sur $]0\,;10[$ et positif sur $]10\,;+\infty[$ : le minimum est $C_M(10) = 24 = C_m(10)$. L'intuition est celle d'une moyenne de notes : une nouvelle note plus basse que la moyenne la fait baisser, une note plus haute la fait monter.
Supposons que l'entreprise vende sur un marché où elle ne peut pas influencer le prix (on parle de concurrence parfaite) : le prix est fixé à $p = 40$. Sa recette est $R(q) = 40q$, et son profit est
$$\pi(q) = 40q - (q^2 + 4q + 100),$$soit $\pi(q) = -q^2 + 36q - 100$.
- $\pi'(q) = -2q + 36$, positive pour $q < 18$ et négative pour $q > 18$.
- Le profit est maximal en $q = 18$ : $\pi(18) = -324 + 648 - 100 = 224$.
La règle générale. Avec un prix $p$ fixé, $\pi(q) = pq - C(q)$ et $\pi'(q) = p - C_m(q)$. Si le coût marginal est croissant, le profit est maximal là où le prix est égal au coût marginal : tant qu'une unité de plus rapporte plus qu'elle ne coûte, on a intérêt à la produire. Ici, $2q + 4 = 40$ donne bien $q = 18$.
Le seuil de rentabilité. Le profit vaut $q\,(p - C_M(q))$ : il ne peut être positif que si le prix dépasse le coût moyen minimal, ici $24$. En dessous de ce prix, l'entreprise perd de l'argent quelle que soit la quantité produite. C'est pour cela que la courbe d'offre d'une entreprise, en concurrence parfaite, est la partie de la courbe de coût marginal située au-dessus du minimum du coût moyen.
Sur un marché, les économistes représentent la quantité $q$ en abscisse et le prix en ordonnée. Prenons :
- la demande : les acheteurs sont prêts à acheter la quantité $q$ au prix $p_d(q) = 60 - q$ ; plus c'est cher, moins ils achètent ;
- l'offre : les vendeurs sont prêts à vendre la quantité $q$ au prix $p_o(q) = 10 + q$ ; plus c'est cher, plus ils produisent.
L'équilibre est atteint quand les deux prix coïncident : $60 - q = 10 + q$, soit $q^* = 25$ et $p^* = 35$. À ce prix, tout ce qui est offert est acheté.
Le $q$-ième acheteur était prêt à payer $p_d(q)$, mais il ne paie que $p^*$ : il « gagne » $p_d(q) - p^*$. En additionnant ces gains pour toutes les unités échangées, on obtient le surplus du consommateur, qui est l'aire entre la courbe de demande et l'horizontale $p = p^*$ :
$$S_C = \int_0^{25} \big(p_d(q) - 35\big)\,\mathrm{d}q.$$Ici $p_d(q) - 35 = 25 - q$. Une primitive de $25 - q$ est $25q - \dfrac{q^2}{2}$, donc $S_C = 625 - 312{,}5 = 312{,}5$. De même, le surplus du producteur est l'aire entre l'horizontale $p = p^*$ et la courbe d'offre :
$$S_P = \int_0^{25} \big(35 - p_o(q)\big)\,\mathrm{d}q.$$Comme $35 - p_o(q) = 25 - q$, on trouve aussi $S_P = 312{,}5$.
Le surplus total, $625$, mesure le gain que l'échange apporte à l'ensemble des acheteurs et des vendeurs. C'est Marshall qui a popularisé cette notion.
L'État prélève une taxe de $t$ euros sur chaque unité vendue, payée par les vendeurs. Pour vendre la quantité $q$, ils demandent désormais $p_o(q) + t$. Le nouvel équilibre vérifie $60 - q = 10 + q + t$, soit
$$q_t = \frac{50 - t}{2}.$$À la main, avec $t = 10$. $q_t = 20$ ; les acheteurs paient $p_d(20) = 40$, les vendeurs reçoivent, une fois la taxe payée, $40 - 10 = 30$. Avant la taxe, le prix était $35$ : les acheteurs paient $5$ de plus, les vendeurs touchent $5$ de moins. La taxe est partagée, même si la loi la fait payer aux seuls vendeurs. Ici, le partage est égal parce que les deux droites ont des pentes opposées ; en général, c'est le côté du marché qui peut le moins réagir au prix qui en supporte la plus grande part.
- Surplus des consommateurs : comme $60 - q - 40 = 20 - q$, c'est $\displaystyle\int_0^{20} (20 - q)\,\mathrm{d}q$, soit $400 - 200 = 200$.
- Surplus des producteurs : comme $30 - (10 + q) = 20 - q$, on trouve aussi $200$.
- Recette de l'État : $10 \times 20 = 200$.
Le total vaut $600$, contre $625$ sans taxe. Les $25$ qui manquent ne sont gagnés par personne : ce sont les échanges qui n'ont plus lieu (de $20$ à $25$ unités), alors qu'ils auraient profité aux deux côtés. On appelle cette perte la perte sèche. Dans l'exemple, c'est l'aire d'un triangle de base $t$ (verticale) et de hauteur $25 - q_t = \dfrac{t}{2}$ :
$$\text{perte sèche} = \frac{1}{2} \times t \times \frac{t}{2} = \frac{t^2}{4}.$$La perte sèche augmente comme le carré du taux de taxe : doubler la taxe quadruple la perte. C'est l'un des arguments des économistes pour préférer des taxes faibles sur beaucoup de biens à une taxe forte sur un seul. La figure permet de faire varier la taxe.
Avec la figure, on voit aussi que la recette de l'État, $t \times \dfrac{50 - t}{2}$, ne croît pas indéfiniment : c'est une fonction du second degré de $t$, maximale pour $t = 25$, puis décroissante. Une taxe trop forte tue l'échange qu'elle taxe.
Quand le prix augmente de $1\,\%$, de combien de pourcents la quantité demandée baisse-t-elle ? Notons $D(p)$ la quantité demandée au prix $p$. Pour une petite variation $h$ du prix, la variation relative de la quantité est à peu près $\dfrac{D'(p)\,h}{D(p)}$, et celle du prix est $\dfrac{h}{p}$. Leur rapport est l'élasticité-prix de la demande :
$$e(p) = \frac{p\,D'(p)}{D(p)}.$$À la main. Pour la demande de la partie précédente, $D(p) = 60 - p$. Au prix $p = 35$ : $D = 25$, $D' = -1$, donc $e = -\dfrac{35}{25} = -1{,}4$. Vérifions : si le prix augmente de $1\,\%$, il passe à $35{,}35$, la quantité passe à $24{,}65$, soit une baisse de $\dfrac{0{,}35}{25} = 1{,}4\,\%$.
Avec le logarithme. L'élasticité est la dérivée de $\ln D$ « par rapport à » $\ln p$. Posons $x = \ln p$, donc $p = \mathrm{e}^x$, et $g(x) = \ln D(\mathrm{e}^x)$. Par dérivation d'une composée,
$$g'(x) = \frac{D'(\mathrm{e}^x)\,\mathrm{e}^x}{D(\mathrm{e}^x)} = \frac{p\,D'(p)}{D(p)} = e(p).$$C'est pourquoi les économistes travaillent si souvent avec des logarithmes : une élasticité est une pente dans un repère où l'on a pris le logarithme des deux grandeurs.
La recette des vendeurs est $R(p) = p\,D(p)$. Sa dérivée vaut
$$R'(p) = D(p) + p\,D'(p).$$En factorisant par $D(p)$, on obtient $R'(p) = D(p)\,\big(1 + e(p)\big)$.
- Si $-1 < e(p) < 0$ (demande peu élastique), $R'(p) > 0$ : augmenter le prix augmente la recette, car les acheteurs réduisent peu leurs achats.
- Si $e(p) < -1$ (demande élastique), $R'(p) < 0$ : augmenter le prix fait baisser la recette.
Pour $D(p) = 60 - p$, la recette $p(60 - p)$ est maximale en $p = 30$, où $e(30) = -\dfrac{30}{30} = -1$. La demande de tabac est souvent estimée peu élastique (des valeurs de l'ordre de $-0{,}3$ à $-0{,}5$ sont fréquentes) : une hausse des taxes réduit la consommation, mais moins que le prix n'augmente, et la recette fiscale augmente.
Pour la demande $D(p) = A\,p^{-k}$, avec $A$ et $k$ strictement positifs et $p^{-k} = \mathrm{e}^{-k \ln p}$ :
- $D'(p) = -k\,A\,p^{-k-1}$, donc $e(p) = \dfrac{p \times (-kA\,p^{-k-1})}{A\,p^{-k}} = -k$ : l'élasticité est la même à tous les prix ;
- $\ln D = \ln A - k \ln p$ : dans un repère où l'on place $\ln p$ et $\ln D$, on obtient une droite de pente $-k$.
C'est ainsi que l'on estime une élasticité à partir de données : on place les points $(\ln p\,;\ln D)$ et on mesure la pente de la droite qui les approche le mieux.
Une étudiante dispose de $100$ euros par mois pour deux biens : des places de cinéma (bien $x$, à $2$ euros dans un cinéma associatif) et des livres (bien $y$, à $5$ euros d'occasion). Les économistes décrivent ses préférences par une fonction d'utilité, qui est d'autant plus grande qu'elle est satisfaite. Prenons $U(x\,;y) = x\,y$.
- Elle dépense tout son budget : $2x + 5y = 100$, donc $y = \dfrac{100 - 2x}{5}$, avec $0 \leqslant x \leqslant 50$.
- Son utilité ne dépend plus que de $x$ : $u(x) = x \times \dfrac{100 - 2x}{5}$, soit $u(x) = \dfrac{100x - 2x^2}{5}$.
- $u'(x) = \dfrac{100 - 4x}{5}$, positive pour $x < 25$, négative ensuite : le maximum est en $x = 25$, et $y = 10$.
Elle va $25$ fois au cinéma et achète $10$ livres : elle dépense $50$ euros pour chaque bien, c'est-à-dire la moitié de son budget.
Plus généralement, prenons $U(x\,;y) = x^a\,y^{1-a}$, avec $0 < a < 1$, un revenu $R$ et des prix $p_x$ et $p_y$. Cette forme de fonction porte le nom de deux chercheurs américains, Charles Cobb et Paul Douglas, qui l'ont utilisée en 1928 pour la production.
Étape 1 : une variable. Le budget donne $y = \dfrac{R - p_x x}{p_y}$, pour $0 < x < \dfrac{R}{p_x}$.
Étape 2 : le logarithme. La fonction $\ln$ est strictement croissante, donc maximiser $U$ revient à maximiser $\ln U = a \ln x + (1-a)\ln y$.
Or $\ln y = \ln(R - p_x x) - \ln p_y$, et le terme $-(1-a)\ln p_y$ est une constante : il suffit de maximiser
$$f(x) = a \ln x + (1 - a)\ln(R - p_x x).$$Étape 3 : la dérivée.
$$f'(x) = \frac{a}{x} - \frac{(1-a)\,p_x}{R - p_x x}.$$La fonction $x \mapsto \dfrac{a}{x}$ est décroissante, et $x \mapsto \dfrac{(1-a)\,p_x}{R - p_x x}$ est croissante, donc son opposé est décroissant : $f'$ est strictement décroissante, donc elle s'annule au plus une fois, et $f$ est croissante puis décroissante.
Étape 4 : le point où $f'$ s'annule. $f'(x) = 0$ équivaut à $a(R - p_x x) = (1-a)\,p_x x$, soit $aR = p_x x$, et $x = \dfrac{aR}{p_x}$. La dépense pour le bien $x$ est alors $p_x x = aR$.
Dans l'exemple, $U = xy = (x^{1/2}y^{1/2})^2$ correspond à $a = \dfrac{1}{2}$ : la moitié du budget pour chaque bien. Ce modèle prévoit qu'une hausse du prix du cinéma fait baisser le nombre de séances, mais pas la somme dépensée au cinéma.
- Des agents parfaitement rationnels ? Le modèle suppose que chacun maximise une fonction en connaissant toutes les informations. L'économie comportementale, récompensée par les prix de la Banque de Suède en sciences économiques attribués à Daniel Kahneman en 2002 et à Richard Thaler en 2017, montre que nos choix s'en écartent souvent de façon prévisible.
- La concurrence parfaite est une situation idéale : dans la réalité, beaucoup d'entreprises fixent leurs prix.
- Un marché isolé. L'étude d'un seul marché ignore ses effets sur les autres ; c'est le problème de l'équilibre général posé par Walras.
- Des fonctions choisies pour le calcul. Les droites et les fonctions de Cobb-Douglas sont des approximations commodes, qu'il faut confronter aux données.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : le coût marginal comme nombre dérivé ; le minimum du coût moyen ; le maximum du profit ; le surplus comme intégrale ; la perte sèche en $t^2$ ; l'élasticité et le logarithme ; la maximisation de l'utilité sous contrainte.
- SES : le fonctionnement d'un marché concurrentiel ; l'incidence fiscale (qui supporte vraiment une taxe) ; la fiscalité comportementale (tabac, carburants) ; les limites de la rationalité.
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : le nombre dérivé et la fonction dérivée, la dérivée d'un quotient et d'une composée, le lien entre le signe de la dérivée et les variations, les extremums ; la fonction logarithme et ses propriétés ; les primitives et le calcul d'une intégrale comme aire ; les fonctions du second degré.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.
- Coût marginal, surplus, élasticité-prix de la demande et fonction de Cobb-Douglas (Wikipédia).
- A. A. Cournot, Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses, 1838 (disponible sur Gallica).
- Sur ce site : Nicole Oresme (la monnaie et l'impôt d'inflation).