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Avez-vous déjà triché à un examen ? Consommé une drogue ? Fraudé dans le métro ? Si un enquêteur vous pose la question en face, vous serez peut-être tenté de mentir. Les sondages sur les sujets sensibles sont donc faussés : la proportion mesurée est souvent bien plus faible que la réalité. C'est le biais de désirabilité sociale, bien connu en sociologie.
En 1965, le statisticien américain Stanley Warner a proposé une idée étonnante : introduire volontairement du hasard dans la question, de sorte que l'enquêteur ne puisse jamais savoir ce que signifie la réponse d'une personne. Et pourtant, grâce aux probabilités, on retrouve la proportion cherchée dans toute la population. Ce texte présente la méthode avec les outils de terminale : arbre pondéré, formule des probabilités totales, loi binomiale, espérance, variance et inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Il rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
Prenons l'exemple d'une enquête sur la triche aux examens. Chaque personne interrogée reçoit un disque partagé en deux secteurs, avec une flèche qu'elle fait tourner à l'abri du regard de l'enquêteur.
La personne lit l'affirmation désignée par la flèche et répond seulement « vrai » ou « faux », que l'on notera « oui » ou « non ». L'enquêteur entend la réponse, mais ne sait pas sur quel secteur la flèche s'est arrêtée. Un « oui » peut venir d'un tricheur tombé sur A, ou d'un non-tricheur tombé sur Ā : aucune réponse ne dénonce personne. On peut remplacer le disque par un dé, une pièce truquée, ou un tirage de carte : seule compte la probabilité $p$ de tomber sur l'affirmation A.
On note $r$ la proportion, inconnue, de tricheurs dans la population. C'est elle que l'on veut estimer.
On choisit une personne au hasard dans la population, puis elle fait tourner la flèche. On considère les événements :
Comme dans un exercice de bac, on représente la situation par un arbre pondéré.
La personne répond « oui » quand l'affirmation désignée est vraie pour elle : un tricheur tombé sur A, ou un non-tricheur tombé sur Ā. Donc $O = (C \cap A) \cup (\overline{C} \cap \overline{A})$.
Supposons qu'il y ait $10\,\%$ de tricheurs ($r = 0{,}1$) et que le grand secteur occupe les quatre cinquièmes du disque ($p = 0{,}8$). On lit les deux branches qui mènent à « oui » :
Environ un quart des personnes répondent « oui », alors que seulement un dixième ont triché. Et parmi les « oui », la proportion de tricheurs est $P_O(C) = \dfrac{0{,}08}{0{,}26} \approx 0{,}31$ : un « oui » ne permet pas de conclure qu'une personne a triché.
Étape 1. Les événements $C$ et $\overline{C}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales,
$$P(O) = P(C \cap O) + P(\overline{C} \cap O).$$Étape 2. Un tricheur répond « oui » exactement quand la flèche désigne A : $C \cap O = C \cap A$. En lisant l'arbre, $P(C \cap A) = P(C) \times P_C(A) = rp$.
Étape 3. Un non-tricheur répond « oui » exactement quand la flèche désigne Ā : $\overline{C} \cap O = \overline{C} \cap \overline{A}$, et $P(\overline{C} \cap \overline{A}) = (1 - r)(1 - p)$.
Étape 4. En additionnant : $P(O) = rp + (1 - r)(1 - p)$.
Notons $y = P(O)$. Développons : $y = rp + 1 - p - r + rp$, soit
$$y = (2p - 1)\,r + 1 - p.$$C'est une fonction affine de $r$. Si $p \neq \dfrac{1}{2}$, on peut l'inverser :
$$r = \frac{y + p - 1}{2p - 1}.$$La probabilité $y$ est inconnue, mais on l'estime par la fréquence $f$ des « oui » dans l'échantillon. On estime donc $r$ par
$$\hat{r} = \frac{f + p - 1}{2p - 1}.$$Et si $p = \dfrac{1}{2}$ ? Alors $y = \dfrac{1}{2}$ quelle que soit la proportion $r$ : les réponses ne contiennent plus aucune information. Le disque doit être déséquilibré.
On interroge $1\,000$ étudiants avec un disque où $p = 0{,}8$, et on obtient $250$ « oui », soit $f = 0{,}25$. Alors
$$\hat{r} = \frac{0{,}25 + 0{,}8 - 1}{2 \times 0{,}8 - 1} = \frac{0{,}05}{0{,}6} \approx 0{,}083.$$On estime à environ $8\,\%$ la proportion de tricheurs, sans avoir appris quoi que ce soit sur aucun étudiant en particulier.
On interroge $n$ personnes choisies au hasard, de façon indépendante (on assimile le tirage à un tirage avec remise). Le nombre $X$ de « oui » suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $y$. La fréquence $F = \dfrac{X}{n}$ et l'estimateur
$$R = \frac{F + p - 1}{2p - 1}$$sont des variables aléatoires : elles changent d'un échantillon à l'autre.
Étape 1 : la fréquence. D'après le cours sur la loi binomiale, $E(X) = ny$ et $V(X) = ny(1 - y)$. Donc $E(F) = \dfrac{ny}{n} = y$ et $V(F) = \dfrac{ny(1 - y)}{n^2} = \dfrac{y(1 - y)}{n}$.
Étape 2 : l'espérance de $R$. On a $R = aF + b$ avec $a = \dfrac{1}{2p - 1}$ et $b = \dfrac{p - 1}{2p - 1}$. Par linéarité de l'espérance,
$$E(R) = \frac{E(F) + p - 1}{2p - 1} = \frac{y + p - 1}{2p - 1},$$c'est-à-dire $E(R) = r$.
En moyenne, l'estimateur donne la bonne valeur : on dit qu'il est sans biais.
Étape 3 : la variance de $R$. On sait que $V(aF + b) = a^2\,V(F)$. Donc
$$V(R) = \frac{1}{(2p - 1)^2} \times \frac{y(1 - y)}{n}.$$Avec l'exemple précédent ($n = 1\,000$, $p = 0{,}8$ et $y$ estimé par $0{,}25$), l'écart type de $R$ vaut environ $\dfrac{\sqrt{0{,}25 \times 0{,}75 / 1\,000}}{0{,}6} \approx 0{,}023$. L'estimation de $8\,\%$ est donc assez imprécise : à quelques points près.
La variance de $R$ est divisée par $2$ quand on double $n$, et tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne, pour tout $\delta > 0$,
$$P\big(|R - r| \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{V(R)}{\delta^2}.$$Le membre de droite tend vers $0$ : plus le nombre de personnes interrogées est grand, plus il est probable que l'estimation soit proche de la vraie proportion $r$. C'est la loi des grands nombres appliquée à la méthode de Warner.
Fixons une exigence : on veut que l'estimation soit à moins de $5$ points de la vraie valeur ($\delta = 0{,}05$) avec une probabilité d'au moins $0{,}95$. Il suffit que $\dfrac{V(R)}{\delta^2} \leqslant 0{,}05$. Comme $y$ est inconnu, on utilise une majoration valable dans tous les cas.
On développe et on reconnaît une identité remarquable :
$$\frac{1}{4} - y(1 - y) = y^2 - y + \frac{1}{4},$$c'est-à-dire $\left(y - \dfrac{1}{2}\right)^2$, et un carré est positif ou nul.
Donc $V(R) \leqslant \dfrac{1}{4n\,(2p - 1)^2}$, et la condition est remplie dès que
$$\frac{1}{4n\,(2p - 1)^2 \times 0{,}05^2} \leqslant 0{,}05,$$c'est-à-dire dès que $n \geqslant \dfrac{2\,000}{(2p - 1)^2}$.
Le facteur $\dfrac{1}{(2p - 1)^2}$ est le prix de l'anonymat. Plus $p$ est proche de $\dfrac{1}{2}$, mieux la personne est protégée, mais plus il faut interroger de monde. En échange, on espère des réponses sincères, ce qu'un sondage direct ne garantit pas : une estimation un peu plus imprécise mais honnête peut valoir mieux qu'une estimation précise mais faussée.
Ces nombres sont des bornes prudentes : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev surestime la taille nécessaire. Avec des outils hors programme, on trouve environ cinq fois moins de personnes, mais le rapport entre les méthodes reste le même.
La courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation $p = \dfrac{1}{2}$ : un disque où l'affirmation sensible occupe $20\,\%$ marche aussi bien qu'un disque où elle occupe $80\,\%$. En effet, $(2(1 - p) - 1)^2 = (1 - 2p)^2 = (2p - 1)^2$.
Avec le disque de Warner, une personne honnête doit parfois répondre « oui » à « Je n'ai jamais triché » ou « non » à « J'ai déjà triché », ce qui peut la troubler. En 1969, une équipe de statisticiens américains autour de Bernard Greenberg propose de remplacer l'affirmation contraire par une question sans rapport, dont on connaît la proportion de « oui », par exemple « Êtes-vous né entre janvier et mars ? », vraie pour environ un quart des gens.
L'arbre change au second niveau : avec la probabilité $p$, la personne répond à la question sensible ; avec la probabilité $1 - p$, elle répond à la question innocente, pour laquelle la probabilité de « oui » est un nombre connu $s$. La formule des probabilités totales donne
$$y = p\,r + (1 - p)\,s,$$donc $r = \dfrac{y - (1 - p)\,s}{p}$.
Exemple. Avec $p = 0{,}7$, $s = 0{,}25$ et $200$ « oui » sur $1\,000$ : $\hat{r} = \dfrac{0{,}2 - 0{,}3 \times 0{,}25}{0{,}7} = \dfrac{0{,}125}{0{,}7} \approx 0{,}18$.
Le même calcul que plus haut montre que la variance est multipliée par $\dfrac{1}{p^2}$ au lieu de $\dfrac{1}{(2p - 1)^2}$ : avec $p = 0{,}7$, environ $2$ au lieu de $6{,}25$. Pour la même protection apparente, il faut beaucoup moins de personnes. D'autres variantes existent, comme la « réponse forcée », où le hasard impose parfois de répondre « oui » ou « non » quelle que soit la vérité.
Ces méthodes de réponse randomisée ont été utilisées pour estimer des comportements que l'on n'avoue pas facilement : consommation de drogues, avortements à une époque où ils étaient interdits, dopage chez les sportifs, fraude fiscale ou aux prestations sociales, triche aux examens, ou encore braconnage d'espèces protégées. Dans plusieurs études, elles ont donné des proportions nettement plus élevées qu'un sondage direct, ce qui suggère que les réponses directes étaient en partie fausses.
Elles ont aussi des limites :
En sciences économiques et sociales, ces méthodes posent une question de fond : comment mesurer ce que les gens cachent, sans porter atteinte à leur vie privée ? La protection des données personnelles en est un prolongement moderne : des techniques actuelles ajoutent volontairement du hasard aux données pour publier des statistiques sans révéler d'informations sur une personne précise.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
Le jury peut interroger sur les chapitres de spécialité mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement : les probabilités conditionnelles, les arbres pondérés et la formule des probabilités totales ; l'indépendance ; la loi de Bernoulli et la loi binomiale, leur espérance et leur variance ; les propriétés de l'espérance et de la variance (linéarité, $V(aX + b) = a^2 V(X)$) ; l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la loi des grands nombres ; les fonctions affines et l'étude d'une fonction.
Pour réviser ces chapitres, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours de spécialité en cartes.