Cinq personnes ont des revenus de $1$, $2$, $3$, $4$ et $10$ (en milliers d'euros), soit $20$ au total. On les range de la plus modeste à la plus aisée, puis on se demande : quelle part du revenu total reçoivent les plus modestes ?

Par exemple, les $40\,\%$ les plus modestes (deux personnes sur cinq) reçoivent $3$ sur $20$, soit $15\,\%$ du revenu total. En plaçant les points $(x\,;L(x))$ et en les reliant, on obtient la courbe de Lorenz.

• Si tout le monde avait le même revenu, les $40\,\%$ les plus modestes recevraient exactement $40\,\%$ du revenu : la courbe serait la diagonale $y = x$, appelée droite d'égalité.
• Plus la courbe est creusée sous la diagonale, plus la répartition est inégale.

Gini propose de mesurer l'inégalité par l'aire comprise entre la diagonale et la courbe, rapportée à l'aire du triangle sous la diagonale, qui vaut $\dfrac{1}{2}$. Si $A$ est l'aire sous la courbe de Lorenz, l'aire entre la diagonale et la courbe vaut $\dfrac{1}{2} - A$, donc

Calculons $A$ pour nos cinq personnes. La courbe est formée de segments : l'aire sous chaque segment est celle d'un trapèze de largeur $0{,}2$. Un trapèze de hauteur $h$ et de bases $b$ et $b'$ a pour aire $h \times \dfrac{b + b'}{2}$.

• $0{,}2 \times \dfrac{0 + 0{,}05}{2} = 0{,}005$ ; $0{,}2 \times \dfrac{0{,}05 + 0{,}15}{2} = 0{,}02$ ;
• $0{,}2 \times \dfrac{0{,}15 + 0{,}3}{2} = 0{,}045$ ; $0{,}2 \times \dfrac{0{,}3 + 0{,}5}{2} = 0{,}08$ ;
• $0{,}2 \times \dfrac{0{,}5 + 1}{2} = 0{,}15$.

Donc $A = 0{,}3$ et $G = 1 - 2 \times 0{,}3 = 0{,}4$.

Les cas extrêmes. Si les cinq personnes gagnent la même chose, la courbe est la diagonale, $A = \dfrac{1}{2}$ et $G = 0$. Si une seule personne reçoit tout, $L(x) = 0$ jusqu'à $x = 0{,}8$, l'aire se réduit au dernier trapèze, $A = 0{,}2 \times \dfrac{0 + 1}{2} = 0{,}1$, et $G = 0{,}8$. Avec une population très nombreuse, cette valeur maximale se rapproche de $1$.

L'Insee publie chaque année le niveau de vie des ménages : le revenu du ménage divisé par un nombre d'« unités de consommation » qui tient compte de sa taille. Il le calcule avant redistribution (revenus du travail et du patrimoine, pensions de retraite et allocations chômage) et après redistribution (après impôts directs et versement des prestations sociales : allocations familiales, aides au logement, minima sociaux, prime d'activité). Voici les niveaux de vie moyens de chaque cinquième de la population (les quintiles), estimés pour 2024, en euros par an et par unité de consommation.

Source : Insee, France, portrait social, édition 2025 (estimation par microsimulation). Avant redistribution, le rapport entre le niveau de vie moyen des $20\,\%$ les plus aisés et celui des $20\,\%$ les plus modestes vaut $\dfrac{74\,980}{9\,090}$, soit plus de $8$ ; après redistribution, il vaut $\dfrac{58\,690}{14\,100}$, soit environ $4{,}2$.

Les cinq groupes ont le même effectif. La part de chaque quintile dans le total est donc son niveau de vie moyen divisé par la somme des cinq moyennes. Avant redistribution, cette somme vaut $171\,790$ : le premier quintile reçoit $\dfrac{9\,090}{171\,790} \approx 5{,}3\,\%$ du total. En cumulant, on obtient les points des courbes de Lorenz :

La courbe « après » est partout au-dessus de la courbe « avant », donc plus proche de la diagonale : quelle que soit la proportion $x$ des plus modestes que l'on considère, leur part du revenu total augmente avec la redistribution.

Vérification avec les cinq personnes : la somme $0{,}05 + 0{,}15 + 0{,}3 + 0{,}5$ vaut $1$, donc $G = 0{,}8 - 0{,}4 \times 1 = 0{,}4$.

• Avant redistribution : $L_1 + L_2 + L_3 + L_4 \approx 1{,}133$, donc $G \approx 0{,}8 - 0{,}453 \approx 0{,}35$.
• Après redistribution : $L_1 + L_2 + L_3 + L_4 \approx 1{,}340$, donc $G \approx 0{,}8 - 0{,}536 \approx 0{,}26$.

La redistribution fait baisser l'indice d'environ un quart. Attention : l'indice de Gini officiel de l'Insee pour 2024, calculé sur les niveaux de vie de toutes les personnes et non sur cinq moyennes, vaut $0{,}302$. En regroupant les personnes en cinq groupes, on efface les inégalités à l'intérieur de chaque groupe, et on sous-estime l'indice. On reviendra sur ce point avec la méthode des trapèzes.

Pour tout réel $n \geqslant 1$, la fonction $L(x) = x^n$ vérifie $L(0) = 0$, $L(1) = 1$, elle est croissante et convexe sur $[0\,;1]$ (pour $n$ entier, sa dérivée seconde $n(n-1)x^{n-2}$ est positive) : c'est une courbe de Lorenz possible. Pour $n$ entier, calculons son coefficient de Gini.

Avec $n = 1$, la diagonale : $G = 0$. Avec $n = 2$ : $G = \dfrac{1}{3}$. Avec $n = 3$ : $G = \dfrac{1}{2}$. Quand $n$ tend vers $+\infty$, $G$ tend vers $1$ : la courbe colle à l'axe des abscisses, presque tout le revenu est concentré sur une toute petite partie de la population.

Le même calcul reste vrai pour un exposant $n$ réel, et l'on peut chercher la courbe de cette famille qui a le même Gini que la France : $\dfrac{n-1}{n+1} = G$ donne $n = \dfrac{1+G}{1-G}$. Avant redistribution, $G \approx 0{,}35$ donne $n \approx 2{,}1$ ; après, $G \approx 0{,}26$ donne $n \approx 1{,}7$. La figure ci-dessous permet de comparer ces courbes aux points de l'Insee.

Pour les très hauts revenus et les patrimoines, les économistes utilisent souvent un autre modèle, la loi de Pareto, du nom de l'économiste italien Vilfredo Pareto, qui l'avait observée à la fin du XIX^e siècle. Elle dépend d'un paramètre $\alpha > 1$ : plus $\alpha$ est petit, plus les revenus sont concentrés. Sa courbe de Lorenz est $L(x) = 1 - (1-x)^{1 - 1/\alpha}$, et un calcul d'intégrale analogue au précédent, qui utilise des puissances non entières, donne $G = \dfrac{1}{2\alpha - 1}$. Par exemple, avec $\alpha = 1{,}5$, $G = \dfrac{1}{2}$. On admet ce résultat.

En pratique, on ne connaît la courbe de Lorenz qu'en quelques points, et on remplace l'intégrale par une somme d'aires de trapèzes. Le tableur ci-dessous fait le calcul pour les quintiles de l'Insee, avant redistribution (lignes $2$ à $6$) et après (lignes $10$ à $14$). La colonne B contient les niveaux de vie moyens ; on peut les remplacer par d'autres données.

• Colonne C, la part du quintile : =B2/SOMME(B2:B6).
• Colonne D, la part cumulée $L$ : =D2+C3.
• Colonne E, l'aire du trapèze : =0.2*(D2+D3)/2.
• Cellules B7 et B15, le coefficient de Gini : =1-2*SOMME(E2:E6).

L'Insee publie aussi les parts cumulées en $2024$ pour d'autres proportions de la population (après redistribution) : les $20\,\%$ les plus modestes reçoivent $8{,}4\,\%$ de la masse des niveaux de vie, les $40\,\%$ les plus modestes $21{,}9\,\%$, les $50\,\%$ les plus modestes $30{,}1\,\%$, les $80\,\%$ les plus modestes $61{,}2\,\%$ et les $90\,\%$ les plus modestes $75{,}1\,\%$. Avec ces six intervalles, la méthode des trapèzes donne une aire d'environ $0{,}357$, donc $G \approx 0{,}285$, alors que le Gini officiel vaut $0{,}302$.

Pourquoi l'écart est-il toujours dans le même sens ? La courbe de Lorenz est convexe : elle est située sous chacune de ses cordes. Chaque trapèze, limité en haut par une corde, a donc une aire supérieure ou égale à l'aire sous la courbe sur le même intervalle. La somme des trapèzes surestime l'intégrale $\displaystyle\int_0^1 L$, et donc sous-estime $G = 1 - 2\displaystyle\int_0^1 L$. Plus les points sont nombreux, plus l'écart est petit : c'est pourquoi l'Insee calcule l'indice sur les données individuelles.

Comparons deux groupes de cinq personnes.

• Groupe A : revenus $0$, $3$, $3$, $3$, $3$. Parts cumulées : $0$ ; $0{,}25$ ; $0{,}5$ ; $0{,}75$. Donc $G = 0{,}8 - 0{,}4 \times 1{,}5 = 0{,}2$.
• Groupe B : revenus $2$, $2$, $2$, $3$, $5$. Parts cumulées : $\dfrac{2}{14}$, $\dfrac{4}{14}$, $\dfrac{6}{14}$, $\dfrac{9}{14}$, de somme $\dfrac{21}{14} = 1{,}5$. Donc $G = 0{,}2$ aussi.

Pourtant les deux situations sont très différentes : dans A, une personne n'a rien et les autres sont égales ; dans B, personne n'est démuni mais une personne gagne beaucoup plus. Les deux courbes de Lorenz se croisent : en $x = 0{,}2$, la courbe de A est en dessous ($0$ contre $\dfrac{2}{14}$), en $x = 0{,}6$, elle est au-dessus ($0{,}5$ contre $\dfrac{6}{14} \approx 0{,}43$). Un seul nombre ne peut pas résumer toute une courbe. C'est pourquoi l'Insee publie aussi d'autres indicateurs : le rapport entre le seuil des $10\,\%$ les plus aisés et celui des $10\,\%$ les plus modestes, la part des $20\,\%$ les plus modestes, ou l'indice de Palma (part des $10\,\%$ les plus aisés divisée par celle des $40\,\%$ les plus modestes).

• Revenus ou patrimoine. Les inégalités de patrimoine sont beaucoup plus fortes que celles de revenus : en France, le Gini du patrimoine est de l'ordre de $0{,}6$ à $0{,}7$, selon les définitions.
• Avant ou après redistribution. Comme on l'a vu, le résultat change beaucoup. La redistribution monétaire ne comprend d'ailleurs pas les services publics gratuits (école, santé), qui réduisent encore les inégalités de niveau de vie.
• Comparaisons internationales. Après redistribution, les pays nordiques ont souvent un Gini un peu inférieur à $0{,}3$, les États-Unis autour de $0{,}4$, l'Afrique du Sud au-dessus de $0{,}6$. Ces comparaisons demandent de la prudence : les définitions du revenu et les méthodes d'enquête diffèrent d'un pays à l'autre.
• Une photographie. Le Gini d'une année ne dit rien de la mobilité : une même répartition peut correspondre à une société où l'on change souvent de position, ou à une société figée.